CC BY
54
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2017. № 4
СТРОИТЕЛЬСТВО И АРХИТЕКТУРА _CIVIL ENGINEERING BUILDING AND ARCHITECTURE
УДК 539.42 DOI: 10.17213/0321-2653-2017-4-86-91
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫГИБА БОЛЬШЕПРОЛЕТНЫХ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ БАЛОК ОТ ПРЕДНАПРЯЖЕНИЯ АРМАТУРЫ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
© 2017г. П.П. Гайджуров1, Э.Р. Исхакова2, Аль-Джабоби Сами Фахль1, Аль-Хадж Махмуд Абдо Хаса1
1 Донской государственный технический университет, г. Ростов-на-Дону, Россия, 2ООО «Южный проектный институт». г. Ростов-на-Дону, Россия
DEFINITION OF CAMBER LONG-SPAN REINFORCED CONCRETE GIRDERS IN PRE-STRESSED REINFORCEMENT FINITE ELEMENT
P.P. Gaydzhurov1, E.R. Iskhakova2, Al-Jabobi Sami Fahl1, Al-YajMahmoudAbdo Hasa1
1Donskoy State Technical University, Rostov-on-Don, Russia, 2LLC «Southen Project Institute» . Rostov-on-Don, Russia
Гайджуров Петр Павлович - д-р техн. наук, профессор, кафедра «Техническая механика», Донской государственный технический университет, г. Ростов-на-Дону, Россия. E-mail: gpp-161@yandex.ru
Исхакова Эльвира Рашидовна - инженер-конструктор 1 кат. ООО «Южный проектный институт», г. Ростов-на-Дону, Россия. E-mail: elvira.ishakova@yandex.ru
Аль-Джабоби Сами Фахль - аспирант, кафедра
«Техническая механика», Донской государственный
технический университет, г. Ростов-на-Дону, Россия. E-mail: rgsu@rgsu.ru
Аль-Хадж Махмуд Абдо Хаса - аспирант, кафедра
«Техническая механика», Донской государственный
технический университет, г. Ростов-на-Дону, Россия. E-mail: rgsu@rgsu.ru
Gaydzhurov Peter Pavlovich - Doctor of Technical Sciences, Professor department of the «Technical mechanics», Donskoy State Technical University, Rostov-on-Don, Russia. E-mail: gpp-161 @yandex.ru
Iskhakova Elvira Rashidovna - design engineer, LLC «Southen Project Institute», Rostov-on-Don. Russia. E-mail: elvira.ishakova@yandex.ru
Al-Jabobi Sami Fahl - graduate student department of the «Technical mechanics», Donskoy State Technical University. Rostov-on-Don, Russia. E-mail: rgsu@rgsu.ru
Al-Yaj Mahmoud Abdo Hasa - graduate student department of the «Technical mechanics», Donskoy State Technical University, Rostov-on-Don, Russia. E-mail: rgsu@rgsu.ru
Для большепролетных железобетонных балочных конструкций разработана методика определения выгиба, обусловленного преднапряжением стального каната на бетон. Методика основана на численном решении линейно-упругой задачи об обобщенном плоском напряженном состоянии методом конечных элементов в форме метода перемещений. Приведено выражение для вычисления матрицы жесткости плоского четырехузлового конечного элемента, базирующееся на методе двойной аппроксимации. Выполнены числовые эксперименты по исследованию влияния различных схем криволинейной раскладки преднапряженной арматуры без сцепления с бетоном на величину выгиба балки прямоугольного поперечного сечения. Установлено, что результаты численного моделирования более чем на порядок отличаются от данных, полученных по упрощенной инженерной методике расчета выгиба балок с аналогичными схемами армирования. Предлагаемое математическое и программное обеспечение предназначено для анализа напряженно-деформированного состояния большепролетных балочных конструкций на этапе передачи усилия натяжения арматуры на бетон.
Ключевые слова: предварительное напряжение бетона стальными канатами; задача об обобщенном плоском напряженном состоянии; метод конечных элементов в форме метода перемещений; матрица жесткости плоского четырехузлового конечного элемента.
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2017. № 4
For long-span reinforced concrete girder structures the technique of determining the camber due to the pre-stressing of a steel rope on the concrete. The technique is based on numerical solution of linear elastic problems on the generalized plane stress state by the finite element method the deflection method. The expression to compute the stiffness matrix of a flat four-node finite element, based on the method of double approximation. Performed numerical experiments to investigate the impact of various schemes of curvilinear layout of prestressed reinforcement without bonding with concrete by the amount of camber of a beam of rectangular cross-section. The results of numerical simulations more than an order of magnitude different from the data obtained by simplified engineering methods of calculation of camber for beams with the same reinforcement pattern. The proposed mathematics and software designed to analyze stress-strain state of long-span beam structures on the phase transfer of the tension force of the rebar in the concrete.
Keywords: pre-stressing of concrete by steel cables; the problem of generalized plane stress; finite element method in the deflection method; stiffness matrix flat four-node finite element.
В настоящее время для анализа напряженно-деформированного состояния большепролетных железобетонных балок с предварительным напряжением арматуры на бетон, как правило, используют метод конечных элементов [1 - 8]. В известных конечно-элементных моделях в общем случае принято усилие преднапряжения стального каната, не имеющего сцепления с бетоном, задавать в виде сжимающих сосредоточенных сил, приложенных в точках анкеровки, и разгружающей нагрузки, направленной вверх и приложенной в соответствии с заданной криволинейной траекторией армирования балки. В частном случае прямолинейной раскладки пред-напряженной арматуры разгружающая составляющая отсутствует. В результате передачи усилия преднапряжения арматуры на бетон свободно лежащая на монтажной площадке балка выгнется. Величина выгиба играет важную роль при дальнейшей эксплуатации балки, так как позволяет полностью или частично компенсировать изгибные деформации, обусловленные внешними силовыми воздействиями. Следует отметить, что в литературе, посвященной конечно-элементному моделированию преднапряжен-ных балочных конструкций без сцепления с бетоном, отсутствуют сведения об определении закона распределения разгружающего усилия вдоль траектории раскладки напрягаемого стального каната. В инженерной практике проектирования подобных конструкций, как правило, используется упрощенный подход, суть которого состоит в замене разгружающего усилия, распределенного по некоторому закону, статически эквивалентной парой сил [9, 10]. В данном случае величина разгружающей нагрузки определяется с помощью уравнения равновесия, составленного для моментов сил, приложенных к балке с учетом заданной криволинейной траекторией армирования. Рассмотрим примеры упрощенного расчета величины разгружающего
усилия Ру для трех схем раскладки предварительно напряженной арматуры. На рис. 1 приведены расчетные схемы для 'Л части балки, соответствующие траекториям раскладки арматуры по параболе, сплайну, трапеции и линии параллельной оси балки.
V'
Р.
Р pr
У
Р pr
---------- ----- \РУ _____________________
2,5 о" 5 _
(PL
L0-34
2,06
Py
Р
pr
rfe
а
rt:
00
а -
Рис. 1. Траектории раскладки арматуры: а - параболическая; б - сплайновая;в - трапецеидальная;г - параллельная / Fig. 1. Trajectory layout rebar: а - parabolic; б - spline; в - trapezoidal; г - parallel
Выражения для определения величины Py имеют вид:
- при параболической схеме армирования
ZM a = Py 2,5 - Ppr 0,3 = 0, Py = 0,\2Ppr;
а
x
5
б
в
г
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION.
TECHNICAL SCIENCE. 2017. № 4
- при схеме армирования, описываемом сплайном,
ZMa = Py 1,72 - Ppr 0,3=0, Py = 0,174P рг;
pr
У
pr '
при трапецеидальном схеме армирования
ZMa = Py 2 -Ppr 0,3 = 0, Py = 0,15P
pr
У
pr -
при параллельной схеме армирования
Py = 0.
Здесь обозначено Ррг - усилие преднапря-жения арматуры.
Более точную информацию о величинах и характере распределения разгружающего усилия позволяет получить методика, описанная в работе [11] для случая плоского напряженного состояния. Данная методика базируется на использовании смешанного ансамбля конечных элементов (КЭ), в котором преднапряженный стальной канат моделируется шарнирно-стержневыми (ферменными) КЭ. Фиксация ферменных КЭ осуществляется в соответствии с заданной траекторией армирования с помощью упруго податливых связей. Податливые связи моделируются комбинированными КЭ пружинного типа. Картины распределения разгружающего усилия Р(х)
на /4 части балки, полученные с помощью стержневой конечно-элементной модели, для схем с параболической, сплайновой и трапецеидальной раскладкой арматуры показаны на рис. 2. Полученные значения Р(х) в дальнейшем используем для вычисления выгиба балки.
1 _______F(x)
* ^ЩЩХШШШШН
HI
Lt
F(x)
41
HI
m
IE**
41 HI
41
нагруженной системой сил Ррг, Ру рг, Р(х), строим, используя плоский четырехузловой КЭ. Отметим, что КЭ такого типа включен во многие коммерческие программные комплексы. Вместе с тем хорошо известно, что плоский четырехуз-ловой КЭ, построенный по классической изопа-раметрической технологии, отличается медленной сходимостью при моделировании изгибных деформаций балочных конструкций. Более точно описать сдвиговые деформации позволяет плоский четырехузловой КЭ, построенный с помощью метода двойной аппроксимации [12]. Суть данного метода состоит в раздельной аппроксимации перемещений и деформаций КЭ.
Уравнение равновесия для плоского четы-рехузлового КЭ (рис. 3) в глобальных осях г1, z2 представим в виде
[к]{и} ={р} , где [ к ] - матрица жесткости КЭ, размерность 8^8; {и}, {р} - векторы-столбцы узловых перемещений и узловых сил, имеющие структуру
{u} ={u|
(8x1)
-/„«„«„С2),/2)
Uo U
..U
(8)„(8)}T
2
{p} ={ р?} P 21 p{2) p 22) -РГ p 28)}J
(8x1)
В принятых обозначениях
,(8) „(8Ь T
,(к)
p\
(к)
нижний индекс соответствует номеру оси Zl (I = 1,2), а верхний индекс (к) - номеру узла КЭ (к = 1, 2, 3, 4).
(3)
z2>k
u
2
(1) 2
(3) P1
(3)
2
0
Рис. 2. Распределение разгружающего усилия F(x) для схем раскладок арматуры: а - параболической; б - сплайновой; в - трапецеидальной / Fig. 2. The distribution of the relief efforts F(x) for diagrams of the layouts of rebars: а - parabolic; б - spline; в - trapezoidal
Конечно-элементную модель для решения задачи о плоском напряженном состоянии балки,
Рис. 3. Плоский четырехузловой КЭ / Fig. 3. Plane four-node FE
Для случая, когда перемещения и1 и и2 в произвольной точке КЭ задаются в глобальных осях zl, а деформации е^ (/, у = 1,2) определяются в местных «сопутствующих» в общем случае неортогональных осях хг (г = 1,2), матрицу жесткости вычисляем по формуле [12, 13] 1 1
[к] = г | | [в]т[е][в]|ах2,
(8x8) _1 _1
1
2
а
z
б
1
в
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION.
TECHNICAL SCIENCE. 2017. № 4
где 1 - толщина КЭ; IА - определитель матрицы Якоби; [Е] - матрица упругости материала;
[Б] =[[ББ]2...[Б]4] - блочная матрица;
(3x8)
субматрица и ее компоненты:
[ D ] к =
(3x2)
d 11 d 12
d 21 d 22 (k = 1, 2, 3, 4);
d31 d 32
d11 = p1k [z1,1 + (z1,12 + z1,1 Р2k )x2] ;
d 12 = p1k [z2,1 + (z2,12 + z2,1 p2k )x2] ;
d21 = p2k [ z1,2 + ( z1,12 + z1,2 p1k ) x1] ;
d21 = p2k [ z1,2 + ( z1,12 + z1,2 p1k ) x1] ;
d22 = p2k [ z2,2 + ( z2,12 + z2,2 p1k ) x1] ;
d 31 = z1,1 p 2 k + z1,2 p1k ;
d32 = z2,1 p2к + z2,2 p1k• Здесь pik и p2k - элементы матрицы координат узлов КЭ в местных осях;
zi, j =■
8 zi 8 x
[ p ] =
(2x4) Z/, iJ ='
-111 -1 -1 -11 1
8 z
8 x,- 8 x
- компоненты тен-
j 1 j
зора преобразования координат. Индексы i, j, l изменяются в диапазоне от 1 до 2. Интегрирование в выражении [ h ] выполняем численно по формуле Гаусса.
С целью демонстрации возможностей разработанного математического и программного обеспечения выполним численные эксперименты, в которых используем дискретную конечно-элементную модель позициирования преднапря-женной арматуры в бетоне без сцепления. Согласно данной модели узлы сеток стержневых (стального каната) и плоских (бетона) КЭ совпадают. На рис. 4 приведены четыре схемы (параболическая, сплайновая, трапецеидальная, параллельная) фиксированной раскладки предна-пряженной арматуры по длине 'Л части балки и соответствующие конечно-элементные сетки. Балка имеет прямоугольное поперечное сечение 0,4^0,8 м. Усилие преднапряжения арматуры 170 т. Модуль упругости бетона 3,04104 МПа, коэффициент Пуассона 0,17, плотность бетона 2200 кг/м3.
Разгружающее воздействие F(x) прикладываем в виде сосредоточенных сил в узлах КЭ вдоль траектории армирования, используя результаты численных расчетов, полученные в работе [11] и схематично показанные на рис. 2.
; oo I __________i.6,3.5__________________________________
o,,
> t
«- 5 -> /V
У, м 0,8 0,6 0,4 0,2
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
x, м
а
оо С5
„ ^ 2,06 „
У, м 0,8 0,6 0,4 0,2
0 0,5 1 1.5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
x, м
б
оо, о'
Л ----------------------o„ f
2 1 ' I-2-»I 5 ->
У, м 0,8 0,6 0,4 0,2
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
x, м
в
оо <о
A
o,
e- 5 —»
У, м 0 0,6 0,4 0,2
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
х, м
г
Рис. 4. Расчетные схемы (а - параболическая; б - сплайновая; в - трапецеидальная; г - параллельная) фиксированной раскладки и соответствующие конечно-
элементные сетки / Fig. 4. The design scheme (а - parabolic; б - spline; в- trapezoidal; г - parallel) to fixed layout and corresponding finite element mesh
Расчеты выполняем с учетом собственного веса балки. Данные конечно-элементного моделирования для исследуемых схем раскладки преднапряженной арматуры в виде контрастных картин распределения полей нормальных напряжений cx и вертикальных перемещений u2 приведены на рис. 5.
5
/
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION.
TECHNICAL SCIENCE. 2017. № 4
о о о о
О СП ^t-
^f ON ^l"" ON
m (N (N ^
1 о
t^ »n m (N о о о о о о о" сТ о' о" о"
00 t- <N
on ^ »n m
in со ^ ^
м ю ю m
о о о о
о о о о
о о о о о
о " " " " ON \n " 1
CO о <N »/i NO CO ON r- NO
,—1 r- ÍN r- ÍN r- ÍN ,_i NO ,_1 \n
<N <N 1 1
m.....
" CO со <N t- " со t- »n
m m <N " <N " <N NO " NO о
<N CO NO <N " ON
O" CO NO " " и
о о о О o со
с" с" о" о" о" о о o о »n со
о" о" о" о"
ст. , Н/м'
u2 , м
" " " со ON t- NO со о
о О о NO »n NO о ON
VO »n о" Ч? о ы а\
<N <N
on со t^ чо
О Ю Ol со
^ '—i on NO
^ ^ ^ н
о о о о
сТ о' о" о"
^r
^ о m ^ Ol vo
>—i >—i on ООО
о" о" °„ о
ON ОС
CN CN 00
го о о о с" о'
, Н/м2
" »n " NO " " со " со " ON " о t-о »n t-t- ON NO
NO~ NO" NO" <N с/ <N t-"
■si- сп <N
u2 , м
О ЮО^^П^НЩ OCNCN-—i-—i-—lOOO
ооооооооо 0"00000000 о" <D' о" С" о" о" с" с"
К
»П
явно зависит от схемы раскладки преднапряжен-ной арматуры; при упрощенном расчете значение выгиба для всех схем практически не изменяется.
Таблица 1 / Table 1 Значения выгиба балки, полученные по двум методикам / The values of the camber of the beam, obtained with two methods
Схема преднапряжения Значения выгиба балки, м
МКЭ Упрощенная методика
Параболическая ","172 0,00940
Сплайновая "да"" ",""954
Трапецеидальная ","241 0,00934
Рис. 5. Распределение полей ст. и u2 при разных схемах преднапряжения: а - параболической; б - сплайновой; в - трапецеидальной; г - параллельной / Fig. 5. The distribution of the fields ст. and u2 at the different charts of prestressing: а - parabolic; б - spline; в - trapezoidal; г - parallel
Как видно из представленных данных, для всех схем раскладки экстремальные значения ст. локализуются в зоне анкеровки преднапряжен-ной арматуры. Причем наибольшее значение ст. наблюдается при параллельной схеме преднапряжения. Это объясняется тем, что в других схемах усилие преднапряжения перераспределяется из-за искривления арматуры. Сопоставление значений выгиба балки, полученных с помощью конечно-элементного моделирования и упрощенного расчета [10], приведено в табл. 1. Анализируя эти данные, приходим к выводу, что упрощенная методика дает заниженные значения выгиба. Причем не наблюдается даже качественного совпадения результатов расчетов, т. е. при конечно-элементном анализе значение выгиба
Отношение максимального значения выгиба к минимальному значению, полученному с помощью МКЭ (табл. 1), составляет 1,4. Таким образом, варьируя схемой раскладки преднапряженной арматуры даже для одного типоразмера балки можно на 40 % повысить величину выгиба.
Выводы
1. Разработана методика численного расчета выгиба большепролетных железобетонных балок с преднапряжением арматуры на бетон, позволяющая для схем криволинейного армирования без сцепления с бетоном реалистично моделировать разгружающий эффект.
2. Установлено, что значения выгиба балки, вычисленные по предлагаемой методике в 1,8...2,6 раза больше величин, полученных по упрощенной методике [9]. Занижение реального значения выгиба не позволяет в полной мере реализовать преимущества предварительного напряжения балочной конструкции.
Литература
1. Городецкий А.С., Батрак Л.Г., Городецкий Д.А., Лазнюк М.В., Юсипенко С.В. Расчет и проектирование конструкций высотных зданий из монолитного железобетона (проблемы, опыт, возможные решения и рекомендации, компьютерные модели, информационные технологии). Киев: Изд. «Факт». 2004. 206 с.
2. Nimiya R.J., Saibabu S., Eapen Sakaria P., Lakshmikandhan K.N., Sivakumar P. Finite element analysis of reinforced and pre-tensioned concrete beams // International journal of emerging technology and advanced engineering. Vol. 4. Issue 10. October 2014. P. 449 - 457.
3. Kote P.B., Patil S.P., Sangle K. Keshav. Finite element analysis of pre-stressed beam // International journal of foundation and research in science & engineering. Vol. 1. Issue 3. August 2014. P. 40 - 48.
4. Hyo-gyoung Kwak, Filip C. Filippou. Finite element analysis of reinforced concrete structures under monotonic loads.
а
б
в
ст
.
г
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2017. № 4
Department of civil engineering university of Cflifornia Berkeley, California, November 1990. 120 p.
5. Фиалко С.Ю. Четырехузловой конечный элемент для моделирования поведения тонкостенных железобетонных конструкций // Инженерно--строительный журнал. 2014. № 5. С. 27 - 36.
6. Прокопович А.А. Сопротивление изгибу железобетонных конструкций с различными условиями сцепления продольной арматуры с бетоном. НФК «Сенсоры. Модули. Системы». Самара, 2000. 296 с.
7. Дзюба И.С., Ватин Н.И., Кузнецов В.Д. Монолитное
большепролетное ребристое перекрытие с постнапряжением // Инженерно-строительный журн. 2008. № 1. С. 5 - 12.
8. Воронцов Г.В., Евтушенко С.И., Петров И.А. Методы оптимизации параметров, оценивания и управления переменными состояниями конструкций из упругих, упру-гопластических и вязкоупругих материалов: монография / под общ. ред. Г.В. Воронцова. Новочеркасск: ЮРГТУ, 2009. 246 с.
9. Гибшман Е.Е., Гибшман М.Е. Теория и расчет предварительно напряженных железобетонных мостов. М.: Авто-трансиздат, 1963. 396 с.
10. Портаев Д.В. Расчет и конструирование монолитных преднапряженных конструкций гражданских зданий: Научное издание. М.: Изд-во АСВ, 2011. 248 с.
11. Гайджуров П.П., Аль-Джабоби Сами Фахль, Аль-Хадж Махмуд Абдо Хаса. Конечно-элементное моделирование передачи усилия натяжения стального каната на бетон // Изв. вузов. Сев.- Кавк. регион. Техн. науки. 2017. № 2. С. 73 - 78.
12. Гайджуров П.П., Исхакова Э.Р. Билинейный четырехузловой конечный элемент для решения двумерных задач теории упругости // Изв. вузов. Сев. - Кавк. регион. Техн. науки. 2011. № 4. С. 7 - 13.
13. Воронцов Г.В., Евтушенко С.И. Матрицы жесткости геометрически и физически нелинейно деформируемых плоских трех- и четырехугольных конечных элементов. Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2008. № 5. С. 27 - 31.
References
1. Gorodetskii A.S., Batrak L.G., Gorodetskii D.A., Laznyuk M.V., Yusipenko S.V. Raschet i proektirovanie konstruktsii vysotnykh zdanii iz monolitnogo zhelezobetona (problemy, opyt, vozmozhnye resheniya i rekomendatsii, komp'yuternye modeli, informatsionnye tekhnologii) [Calculation and design of structures of high-rise buildings of reinforced concrete (problems, experiences, possible solutions and recommendations, computer models, information technologies)]. Kiev, «Fakt» Publ., 2004, 206 p.
2. Nimiya Rose Joshuva, Saibabu S., Eapen Sakaria P., Lakshmikandhan K.N., Sivakumar P. Finite element analysis of reinforced and pre-tensioned concrete beams // International journal of emerging technology and advanced engineering. Vol. 4. Issue 10. October 2014. Pp. 449-457.
3. Kote P.B., Patil S.P., Sangle K. Keshav. Finite element analysis of pre-stressed beam // International journal of foundation and research in science & engineering. Vol. 1. Issue 3. August 2014. Pp. 40-48.
4. Hyo-gyoung Kwak, Filip C. Filippou. Finite element analysis of reinforced concrete structures under monotonic loads. Department of civil engineering university of Cflifornia Berkeley, California, November 1990. 120 p.
5. Fialko S.Yu. Chetyrekhuzlovoi konechnyi element dlya modelirovaniya povedeniya tonkostennykh zhelezobetonnykh konstruktsii [Four-node finite element for modeling the behavior of thin-walled concrete structures]. Inzhenerno-stroitel'nyi zhurnal = Magazine of Civil Engineering, 2014, no. 5, pp. 27-36.
6. Prokopovich A.A. Soprotivlenie izgibu zhelezobetonnykh konstruktsii s razlichnymi usloviyami stsepleniya prodol'noi armatury s betonom [Bending strength of reinforced concrete structures with different conditions of coupling for the longitudinal reinforcement to the concrete]. Samara, NFK «Sensory. Moduli. Sistem», 2000, 296 p.
7. Dzyuba I.S., Vatin N.I., Kuznetsov V.D. Monolitnoe bol'sheproletnoe rebristoe perekrytie s postnapryazheniem [Monolithic longspan ribbed slab by postradiation]. Inzhenerno-stroitel'nyi zhurnal= Magazine of Civil Engineering, 2008, no. 1, pp. 5-12.
8. Vorontsov G.V., Evtushenko S.I., Petrov I.A. Metody optimizatsii parametrov, otsenivaniya i upravleniya peremennymi sostoyaniyami konstruktsii iz uprugikh, uprugoplasticheskikh i vyazkouprugikh materialov [Methods of parameter optimization, estimation and control variable States of structures made of elastic, elastoplastic and viscoelastic materials]. Novocherkassk, YuRGTU Publ., 2009, 246 p.
9. Gibshman E.E., Gibshman M.E. Teoriya i raschetpredvaritel'no napryazhennykh zhelezobetonnykh mostov [Theory and design of prestressed concrete bridges]. Moscow, Avtotransizdat, 1963, 396 p.
10. Portaev D.V. Raschet i konstruirovanie monolitnykh prednapryazhennykh konstruktsii grazhdanskikh zdanii [Calculation and design of monolithic prestressed structures for civil buildings]. Moscow, Izd. ASV, 2011, 248 p.
11. Gaidzhurov P.P., Al'-Dzhabobi Sami Fakhl', Al'-Khadzh Makhmud Abdo Khasa. Konechno-elementnoe modelirovanie peredachi usiliya natyazheniya stal'nogo kanata na beton [Finite element modeling of the transmission of the tension force of the steel rope on the concrete]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Tekhn. nauki, 2017, no. 2, pp. 73 - 78 .
12. Gaidzhurov P.P., Iskhakova E.R. Bilineinyi chetyrekhuzlovoi konechnyi element dlya resheniya dvumernykh zadach teorii uprugosti [Bilinear four-node finite element for solving two-dimensional problems of elasticity theory]. Izv. vuzov. Sev. - Kavk. region. Tekhn. nauki, 2011, no. 4, pp. 7-13.
13. Vorontsov G.V., Evtushenko S.I. Matritsy zhestkosti geometricheski i fizicheski nelineino deformiruemykh ploskikh trekh - i chetyrekhugol'nykh konechnykh elementov [Stiffness Matrix of geometrically and physically nonlinear deformable flat three - and quadrangular finite elements]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Tekhn. nauki, 2008, no. 5, pp. 27-31.
Поступила в редакцию /Received 14 июля 2017 г. / July 14, 2017
