Расчет скорости полета экраноплана при нелинейной зависимости от нее тяги силовой установки Текст научной статьи по специальности «Математика»

Результаты расчета нижней и верхней границ экономически оптимального срока службы автомобиля подтверждаются литературными данными. Известно, что шести и семилетние импортные автомобили при пробеге 700-800 тыс. км сохраняют до 40% первоначальной стоимости и пользуются повышенным спросом на вторичном рынке.

Выводы. Предложена методика расчета срока службы техники, эксплуатируемой в условиях холодного климата. Методика позволяет нормировать срок службы техники, устанавливать периодичность профилактических мероприятий, оценивать влияние ре-монтно-восстановительных работ на экономические

показатели и надежность конструкции.

Произведенный расчет показал, что нижняя граница экономически оптимального срока службы автомобиля MAN F2000 достигается при пробеге 659 тыс. км, а верхняя граница - при пробеге 969 тыс. км. Предварительные расчеты показывают, что при среднесуточном пробеге более 300 км импортные автомобили становятся экономически более выгодны по общим эксплуатационным затратам, чем отечественные аналоги. Имеющаяся информация в банке данных «Техника Севера» может применяться для оптимизации структуры парка машин, контроля и повышения качества ремонта.

Библиографический список

1. Гоц А.Н. Об оптимальной долговечности машин // Современные проблемы науки и образования. 2012. № 3; URL: www.science-education.ru/103-6245

2. Ишков А.М. Математическая ритмология в работоспособности техники на Севере. Якутск: Изд-во ЯНЦ СО РАН, 2000. 320 с.

3. Ишков А.М., Зудов Г.Ю., Майоров В.Ф. Работоспособ-

ность магистральных грузовиков в условиях Севера // Автотранспортное предприятие. 2006. №11. С.18-21. 4. Ишков А.М., Кузьминов М.А., Зудов Г.Ю. Эксплуатация магистральных автомобилей МАН F2000 в условиях холодного климата // Автотранспортное предприятие. 2008. №1. С. 44-46.

УДК 532

РАСЧЕТ СКОРОСТИ ПОЛЕТА ЭКРАНОПЛАНА ПРИ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ ОТ НЕЕ ТЯГИ СИЛОВОЙ УСТАНОВКИ

© В.А. Одареев1

Иркутский государственный технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Рассматривается нелинейная математическая модель экраноплана, связанная с зависимостью скорости полета от величины тяги силовой установки. В качестве расчетной принята самолетная схема с несущим комплексом малого удлинения и плоским горизонтальным оперением, вынесенным из зоны влияния опорной поверхности. Аппарат считается абсолютно жестким, совершающим малые вертикальные и угловые перемещения в плоскости тангажа. Получены апериодическая и колебательная составляющие скорости полета экраноплана. Библиогр. 6 назв.

Ключевые слова: экраноплан; опорная поверхность; несущий комплекс; отстояние от экрана; удлинение; тангаж; тяга силовой установки; скорость полета.

FLIGHT SPEED CALCULATION OF WING IN GROUND AIRCRAFT UNDER NON-LINEAR DEPENDENCE OF POWER PLANT THRUST V.A. Odareev

Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.

The article examines a nonlinear mathematical model of a wing in ground aircraft associated with the dependence of flight speed on the value of power plant thrust. An aircraft-type configuration with the bearing complex of low aspect ratio and a planar horizontal tail remote from the effect zone of bearing surface is accepted to be a computational model. The aircraft is considered to be absolutely rigid, performing small vertical and angular movements in the pitch plane. Aperiodic and oscillatory components of the wing in ground aircraft speed are obtained. 6 sources.

Key words: wing in ground aircraft; bearing surface; bearing complex; distance of the screen; extension; pitch; power plant thrust; flight speed.

Продольная устойчивость экраноплана может быть обеспечена путем создания быстродействующей системы автоматического управления (САУ), особенно необходимой при полете на малых отстояниях от опорной поверхности.

1Одареев Владимир Арсентьевич, доктор технических наук, профессор кафедры самолетостроения и эксплуатации авиационной техники, тел.: (3952) 405133.

Odareev Vladimir, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Aircraft Construction and Maintenance, tel.: (3952) 405133.

В уравнениях продольного движения экраноплана при симметричном полете аэродинамические силы, моменты и величина силы тяги силовой установки являются функциями параметров режима полета. В частности, сила тяги зависит от параметров двигателя и внешних условий, характеризуемых скоростью полета V, давлением Рн и температурой Тн окружающей среды на данной высоте полета. Так как в двигателе имеется ручка объединенного управления (РУД), положение которой характеризуется координатой бр, то зависимость силы тяги от параметров режима можно представить в виде Р= Р(бр, V, Рн , Тн,). Поскольку полет экраноплана осуществляется на малых отстояниях от экрана (земли, водной поверхности), параметры Рн и Тн можно считать постоянными. В дальнейшем положение ручки объединенного управления будем считать фиксированным.

Таким образом, для экранного режима будем иметь зависимость Р= Р^). Данная зависимость для различных типов двигателей силовой установки в широком диапазоне скоростей полета, как правило, нелинейная и в каждом конкретном случае может быть представлена в виде некоторого ряда с известными коэффициентами.

Для расчета скорости полета экраноплана в возмущенном движении воспользуемся декомпозиционными свойствами F-уравнений, рассмотренными в [1]. С этой целью в качестве расчетного примем приращение силы тяги силовой установки в виде

ар=p - p = a av+a2aV2, (i)

где коэффициенты a¡ для каждого конкретного двигателя имеют свои значения.

Тогда исходная система уравнений приобретает нелинейный член и запишется в виде [2]:

mA V = (a - pV£XüS)аV - pV¡SaCy /к0 - GaHV + P(AV);

maH = P0Av - P0AH/V + PV0SCy¡¡ АV + PV¡SaCy¡2; (2)

Jav = (pVoSbaCmo - a)AV + PVó2SbaaCm¡2,

где AV, ah, Av - приращения скорости, отстояния от экрана, угла тангажа соответственно.

В последней системе нелинейный член, характеризующий зависимость тяги двигателя от скорости (1), сохранен в первом уравнении в виде нелинейной функции

P(aV ) = a2aV2. (3)

Введем в дальнейшее рассмотрение следующие обозначения: x = AV , x2 = AH, x3 = Av, тогда следуя результатам работы [2], запишем систему уравнений (2) в форме

x^ ax ^^ ^13X3 — a^);

X2 + b22x2 + a22X2 + a21X1 + a23X3 =

0; (4)

x^ b^ ^x^ a^ ^x^ a^ ^x^ a^ 2X2 — 0.

Расшифровка коэффициентов данной системы уравнений приведена в [3]. Вводя оператор дифференцирования p = d/dt и используя формулы Крамера, из системы (4) получим

jm^j^ P(xi); x2 = an ¿1 P(xi); x3 = an ¿1 P(xi^ (5)

где т{р)= ^4 + + + ^ + ^

Щ2 (Р) = ^02Р2 + ^ + ^ т3 (Р) = ЯозР2 + ^ + ^ Б(р) = р5 + ^р4 + ё2ръ + ё3р2 + ^р + .

Поскольку в данном случае интерес представляет изменение скорости полета экраноплана в возмущенном движении, ограничимся расшифровкой коэффициентов полиномов щ(р) и в(р):

^01 = 1, ^11 = Ь22 + Ь33, ^21 = а22 + Ь22Ь33 + ^33; ^31 = Ь22а33 + а22Ь33, ^41 = ^22^33 _ ^23^32;

^ — 1, ^ — Ь2 ^ Ьз, — а22 ^ ^ ^33;

ё4

^22^33 а23а32 а12а21Ъ33 а13а31Ъ22; ё5 = а12^а23а31 — ^21^33)^ а13^а21а32 — ^31^22)•

Уравнение в(р) = 0 имеет один действительный корень р = С и два комплексно сопряженных р23 = а —и р45 = а2 - ]Ь2. Таким образом, для первого уравнения системы (5) могут быть записаны F-уравнения вида

1(с)- С^ )= Е,р{х,);

1( р) - 2^/р) + (а2+ъ2 )1 р) = ¿р (х)+(^>1+)р(х); (6)

^р) - 2«2^р) + (а2 + ¿22 1р) = Ч*2р(х ) + (ч2а2 + Ц2Ъ2 )р(х)

где х = 1/С) + р) + 1р), а индекс г опущен.

Структура коэффициентов в последней системе приведена в [1].

Апериодическая составляющая скорости полета экраноплана определяется, очевидно, функцией ^), поскольку присутствует в первом уравнении системы (6), имеющем действительный корень С характеристического уравнения исходной системы (4). Для выделения этого уравнения из системы (6) воспользуемся алгоритмом, изложенным в [4]. При нулевом приближении имеем

Т (р ) = /1 Т (С) Т (Р ) = /2 Т (с)

1 1 2,72 1 1 ' 1 2 2,12 1 1 '

аг + Ъ а2 + Ъ2

Здесь /1 = С1 + УЕ1, = С1 + Ц2Ь2УЕ1. Таким образом, согласно (6) получим равенство

Г

X =

1 + + Z

«I2 + bl2 «22 + b2 у

F/c) (7)

и, следовательно,

FlC)- C^ )= «2^2 B (f/c ))2, (8)

V V

где А = 1 ^-Г-Чт + ■

« + b a + b2

Интегрируя последнее уравнение, будем иметь решение в виде

F<C )(t)__F1(C)(0)__(9)

1 V/ exp (- Ct)+ F¡C )(o)-«Bu2 [exp (- C,t)-l]/Q В линейном случае, когда a2 = 0, из (9) следует

Fi(C )(t ) = Fi(C )(0). exp (Cit )■ Отсюда видно, что апериодическая устойчивость экраноплана по скорости в линейной задаче определяется знаком действительного корня С характеристического уравнения исходной системы (4). Иначе говоря, экрано-план устойчив апериодически только в случае, когда С < 0 , в противном случае неустойчив. В нелинейной задаче при С <0 согласно (9) имеем при t = 0 равенство F¡C)(t) = F¡C)(o), а при t ^да функция F\C )(t 0, что также указывает на апериодическую устойчивость экраноплана по скорости.

Колебательные составляющие скорости полета определяются соответственно функциями F^p)(t) и

F2( p )(t). Для их определения воспользуемся рабочей формулой вида

Л

(t) = [ 1 + nok + Znakpa Fk)(t), (10)

V a=1

n-1 n-1

где nok = £ok + Z moj' n*k = Zak + Z m j, j * k

' ak / / a j j=1 j=1

Расшифровка коэффициентов в последней формуле имеется в [4].

Для того чтобы выявить наибольшие значения изменения скорости полета, при анализе динамики экрано-плана не будем в дальнейшем учитывать затухание колебательных составляющих скорости, то есть будем пола-

a a ~ т

гать действительные части 1 и 2 корней характеристического уравнения равными нулю. Тогда первому уравнению системы (4) может быть поставлена в соответствие система F-уравнений (6), записанная в несколько иной форме [5]:

FC)-CXC)= B1P(x1); F/p) + b¡F^ = qfiPxú F(p) + Ь^(р) = q2b2P(xx). (11)

Поскольку второе и третье уравнения системы (11) однотипны, ограничимся в дальнейшем поиском функции F/ р )(t). Полагая для краткости F( Р )(t ) = F (t), из (10) выпишем нулевое приближение в виде

X =(l + «01)F1

и соответственно

P(x1 ) = s-x2 =e(1 + И01)2F12. (12)

Из той же формулы (10) следует первое приближение функции x (t) в форме

x1 =^[(1 + n01)F1 + n11F1 J.

Это дает возможность написать

P(x ) = ^[(1 + П01)2 F12 + 2(1 + «01)^11^1^1 + и^2 J.

Аналогично строятся следующие приближения.

Введем обозначение ^ = qb (1 + n01 )2 и ограничимся далее нулевым приближением (12). В этом случае из (11)получим уравнение

F1 + b2F =&hF?. (13)

При исследовании последнего уравнения основной интерес представляет периодическое решение. Так как параметр s есть величина малая, для поиска периодического решения уравнения (13) можно воспользоваться методом возмущений [6]. При s = 0 периодическое решение уравнения (13) получается как линейная комбинация функций sinb¿ и cosbt и, следовательно, период решения равен 2^/b . Однако при s Ф 0 частота периодического решения становится неизвестной и должна быть найдена. Искомое решение нелинейного уравнения (13), согласно методу возмущений, ищем в виде степенного ряда

ад

F1 (t) = FjO+^sF. (t), (14)

j=1

где Fj (t) - функция t с периодом 2я/щ .

Помимо разложения (14) необходимо также разложить по степеням s и неизвестную частоту щ в искомом решении, а именно

ад

щ2 = b2 +2sjCj , (15)

j=1

где постоянные C. подлежат определению.

Поскольку рассматриваются только периодические решения, начало отсчета t может быть выбрано произвольно. В связи с этим выберем его так, чтобы F (t ) = 0 при t = 0. Подставим теперь (14) и (15) в уравнение (13) и произведем уравнивание коэффициентов при одинаковых степенях s , тогда получим следующую систему линейных дифференциальных уравнений:

F10 +®12 F10 = 0; (16)

F11+Щ12 Fn=^1F120+C1F10; (17)

F12 + ®1F12 = 2V1F10F11 + C1F11 + C2F10 . (18)

В силу периодичности решений последних уравнений имеем

F1 j (t ) = F1 j (t + 2х/щ ), при этом начальные условия определяются равенствами

F10(ü) = ^+1)(0) = 0, Fj (0) = 0, j = 0,1,2,3,... (19)

С учетом этих условий решение уравнения (16) имеет вид

F10 (t) = A cos«t, F10 (0) = 0 . (20)

Последняя запись представляет собой порождающее решение. Подставляя его в правую часть уравнения (17), получим

Fn + «2F! = 1 /A2 +1 /A2 cos 2«t + CA cos <t . (21)

Решение уравнения (21) не должно содержать вековых членов, поэтому следует принять Q = 0. Тогда в силу условий(19) имеем

Fll(t) =1 Al2 -2•^ГAl2cosClt +1 Al2cos2clt.

2 c 3 c б c

(22)

Подставляя теперь решение (20) и (22) в правую часть уравнения (18), найдем

2 л2 (7 л2 ^ 2 л2 1 л2

F2 + c2F12 =----2 А3 +---2 А3 + cos^t----\43cos2^t +---\43cos3^t. (23)

3 c ^ 6 c J 3 c 6 c

Для выполнения условий периодичности функции F12 {t) необходимо потребовать равенство нулю круглой скобки перед функцией cos ct, отсюда получаем

Q =" 7 ■Лл1 А2. (24)

6 c

Таким образом, уравнение (23) запишется в виде

2 л2 1 Л2 F2 + С2F12 =----^ A3(l + cos 2ct)+---i- A3 cos 3ct. (25)

12 1 12 2 1 1 2

3 c б c

С учетом условий (19) последнее уравнение дает решение

F,{t) = -2 ■л А3 + — ■л2 А3 cosct + 2 ■л2 A3 cos2ct —— л2 A3 cos3ct.

12\/ ~ 4 1 т л л 41 1 с\ 41 1 л о 4 1 1

3 c 144 c 9 c 48

2

Если ограничиться членами ряда (14), содержащими s , то искомое решение уравнения (13) примет вид

F(t ) = s^i Al-s2 i Al3 +

22

il Л2 2 2il .3 í . „ 2il , , б7 il

cos ct +

A-s^v A +s2—^ A 2c2 1 3c4 1 V 1 3c 1 144 c у

l l l 2 l (26)

+

il A2 , 2il

A + A

V б^2 1 9c4 1 у 48c

л

cos 2ct - s2 —Ц- A,3 cos 3ct + ••• 1 48c4 1 1

Появление постоянного члена в решении (26) обязано асимметричности нелинейной характеристики P{xl ), определяемой выражением (1). В силу этого обстоятельства колебания скорости полета экраноплана происходят относительно некоторого постоянного прироста скорости к ее номинальному (или крейсерскому) значению.

Подставляя постоянную С2, определяемую равенством (24), в (15) и учитывая, что С = 0, получим значение квадрата частоты свободных колебаний скорости полета экраноплана:

С = b2 s2 7A2 +... (27)

6 с

Уравнение (27) следует решить относительно с,2, но, учитывая, что можно принять с2 « b2, в результате имеем

2 7 2 „2 7 л 2 I

с1 = bi Т-Т2Ai + -6 b

Из последней записи следует, что частота колебаний скорости полета зависит от амплитуды этих колебаний и, следовательно, от начальных значений F (о)-

Уравнение для расчета функции Е2 (/) согласно (11) идентично уравнению (13), поэтому процедура поиска искомого решения этого уравнения аналогична изложенной с той лишь разницей, что в последнем случае Е(о) = А, а взамен сС необходимо искать С. Таким образом, результирующее колебательное изменение скорости полета после суммирования найденных функций Е (^) и Е2 ) является двучастотным.

Для того чтобы выразить решение Е(р), Е2р) и Е1 ^) через начальные значения скорости X() = ) и ее производные при £ = 0, необходимо привлечь последнее равенство в системе уравнений (6).

Найденное выше периодическое решение может и не соответствовать реальным колебаниям скорости полета экраноплана. В связи с этим возникает необходимость исследования устойчивости полученного решения.

Реализация метода редукционной декомпозиции позволила свести сложную задачу исследования динамики полета экранопланов к совокупности более простых декомпозиционных задач, описываемых дифференциальными уравнениями меньшей размерности. Это дало возможность применять к таким задачам известные аналитические методы расчета.

Библиографический список

1. Одареев В.А. Косвенные оценки декомпозиционных свойств Р-уравнений при ? ^да и их использование в задачах динамики полета экранопланов // Асимптотические методы в задачах аэродинамики и проектирования летательных аппаратов. Иркутск, 1994. С.54-66.

2. Одареев В.А. Динамическая устойчивость экраноплана вблизи волны при переменной скорости полета // Вестник ИрГТУ. 2010. № 5. С.141-145.

3. Одареев В.А., Моженков И.Н. Линейные задачи устойчивости транспортных аппаратов на сверхмалых отстояниях от экрана с учетом скорости полета // Асимптотические методы в теории систем. Иркутск, 1992. С.90-96.

4. Одареев В.А. Декомпозиционные свойства Р-уравнений в установившемся процессе // Вестник ИрГТУ. 2000. № 8. С.79-89.

5. Одареев В.А. Методы редукционной декомпозиции в прикладных задачах динамики систем. Иркутск: Изд-во ИГУ, 1991. 216 с.

6. Вибрации в технике // Справочник в 6 т. Т. 2: Колебания нелинейных механических систем. М.: Машиностроение, 1979. 352 с.

УДК 656.13:658 (075.8)

ВОССТАНОВЛЕНИЕ МАТРИЦ КОРРЕСПОНДЕНЦИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА ФРАТАРА

© Н.В. Тарханова1, С.А. Яценко2, А.Ю. Михайлов3

Иркутский государственный технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Статья посвящена методике восстановления матриц корреспонденций, а также прогнозированию транспортной подвижности льготных категорий населения на примере г. Иркутска. Представлен алгоритм применения метода Фратара. По результатам обследования транспортной подвижности льготных категорий населения с применением предложенной модели оценена матрица корреспонденций между укрупненными транспортными зонами. Полученная в результате применения предложенной методики оценки транспортного спроса льготных групп населения информация об особенностях формирования транспортной подвижности является исходной базой для разработки мероприятий по повышению качества транспортного обслуживания льготных категорий населения. Ил. 5. Табл. 7. Библиогр. 8 назв.

Ключевые слова: матрица корреспонденций; метод Фратара; льготные категории пассажиров; транспортная подвижность.

1Тарханова Наталья Владимировна, доцент кафедры менеджмента и логистики на транспорте; тел.: (3952) 4Q5135, e-mail: tarnato@yandex.ru

Tarkhanova Natalya, Associate Professor of the Department of Management and Logistics in Transport, tel.: (3952) 405135, e-mail: tarnato@yandex.ru

2Яценко Светлана Анатольевна, доцент кафедры менеджмента и логистики на транспорте; тел.: (3952) 4Q5135, e-mail: sv_lana2005@mail.ru

Yatsenko Svetlana, Associate Professor of the Department of Management and Logistics in Transport, tel.: (3952) 405135, e-mail: sv_lana2005@mail.ru

3Михайлов Александр Юрьевич, доктор технических наук, профессор кафедры менеджмента и логистики на транспорте, тел.: (3952) 4Q5135, e-mail: mikhalovay@gmail.com

Mikhailov Alexander, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Management and Logistics in Transport, tel.: (3952) 405135, e-mail: mikhalovay@gmail.com