CC BY
13УДК 537.9: 51.7
А.Г. Масловская, Т.К. Барабаш
РАСЧЕТ СКЕЙЛИНГОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК РЭМ-ИЗОБРАЖЕНИЙ ДОМЕННЫХ СТРУКТУР СЕГНЕТОЭЛЕКТРИКОВ МЕТОДОМ ФРАКТАЛЬНОЙ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ
Рассмотрены вопросы применения фрактальных и мультифрактальных методов для анализа скейлинговых характеристик бинарных изображений доменных структур сегнетоэлектриков. В ППП Matlab реализованы алгоритмы фрактальной параметризации, основанные на покрытии изображения квадратными кластерами. Представлены результаты расчета скейлинговых характеристик для РЭМ-изображения доменной структуры сегнетоэлектрического кристалла ТГС.
The paper considers the application of fractal and multifractal analysis to study the self-similarity properties of bit-map images of ferroelectric domain structures. Algorithms of fractal parametization based on covering of fractal image by clusters are realized providing Matlab programming. The results of scaling characteristic analysis were examined for raster images of TGS crystal domain structure obtained with scanning electron microscope.
Введение
На современном этапе развития науки теория самоорганизации получает все большее распространение в различных областях знаний [1-2]. Теория фракталов и мультифракталов - одно из направлений математической формализации нестабильных систем и процессов, самоподобных природных объектов, обнаруживающих нерегулярность и беспорядок. Выявление самоподобия в структуре различных физических объектов возможно путем нахождения зависимости между физическими свойствами объекта и фрактальными характеристиками его самоподобной структуры. При этом реализация алгоритмов мультифрактального анализа дает удобный инструмент для поисков фрактальных закономерностей изображений различных структур, наблюдаемых в процессе самоорганизации.
Фрактальные методы нашли широкое применение в физике конденсированного состояния. Многие диссипативные твердотельные структуры, самоорганизующиеся в открытых системах, являются фрактальными [3-4]. Доменные конфигурации типичных сегнетоэлектриков, как результат процесса образования самоподобных структур, также обнаруживают фрактальные геометрические свойства [5-7].
Цель настоящей работы - расчет скейлинговых характеристик изображений доменных структур сегнетоэлектрических кристаллов, полученных методами растровой электронной микроскопии, на основе реализации алгоритмов фрактального и мультифрактального анализа.
Фрактальный анализ изображений
Для измерения фрактальной размерности двумерных физических объектов применяют большое число методов. Выбор методики измерения определяется природой фрактального
тт ттт мш Ь тШ, ¥¡¡1 Л Л У ¡Ш1 Шш А ш
т штт ¥ ш L Am Ж Щи
ш ш 7- ■Г
: т ¡8 Л 1|
ш 1 w 11
V 11
III
г
объекта и масштабами, при рассмотрении которых исследуемый объект можно считать фрактальным. Одним из классов методов измерения фрактальной размерности являются методы измерения в реальном пространстве, основанные на построении различного рода покрытий, т.е. на использовании определения размерности Хаусдорфа-Безиковича или его прямых следствий [1-3]. Известны различные варианты реализации этого метода, но большинство из них основано на применении соотношения «число частиц - радиус»:
N ~(R/R,)D , (1)
дающего определение размерности физического объекта.
Из соотношения (1) видно, что для определения значения D можно варьировать одну из двух величин - R или R0.
Алгоритм метода покрытия квадратными кластерами основан на варьировании размеров частиц покрывающего множества. Суть его состоит в том, что черно-белое изображение
разбивается на 22n частей - кластеров, после чего для каждого разбиения подсчитывается число | 1 1 1 | 1 1 1 | квадратов, которые содержат в себе хотя бы одну
точку объекта. Затем в двойном логарифмическом масштабе строят зависимость числа квадратов N, покрывающих кластер, от их размера R0 : log N — D log Rq. Далее методом наименьших квадратов проводится линейная аппроксимация данной зависимости, тангенс угла наклона полученной прямой дает значение фрактальной размерности. На рис. 1а показан пример схемы подобного разбиения.
В методе покрытия концентрическими кругами определяют центр изображения, а из него проводят концентрические круги с увеличивающимся радиусом R. Затем считают число точек (пикселей, или «мономеров»), принадлежащих анализируемому кластеру и находящихся внутри каждой окружности. После чего зависимость радиуса окружностей R от количества черных пикселей N строится в двойном логарифмическом масштабе и методом наименьших квадратов проводится линейная аппроксимация зависимости log N ~ D log R. Тангенс угла наклона прямой дает величину фрактальной размерности. Рис. 1б демонстрирует схему разбиения этого варианта метода.
Для применения подобных алгоритмов в практике фрактального анализа двумерных структур работа программ тестировалась на примерах классических фракталов, сгенерированных при помощи рекурсивных алгоритмов в ППП Matlab, - ковра и салфетки Серпинского, представленных на рис. 2.
Вычисленное значение фрактальной размерности для ковра Серпинского методом, использующим покрытие фрактальных структур квадратными кластерами, оказалось равным D = 1,9390, при этом аналитическая размерность Хаусдорфа-Безиковича этого фрактала равна ln8/ln3 »1.8928. Погрешность в данном случае обусловлена ограниченным числом итераций, используемых при генерации фрактала. При проведении расчета фрактальной размерности
а б
Рис. 1. Пример разбиения фрактального
изображения (дерево Леви) квадратными кластерами (а)и фрактала типа «дендрит» концентрическими
а б
Рис. 2. Фракталы: ковер (а) и салфетка (б) Серпинского.
фрактала «Салфетка Серпинского» методом, использующим покрытие концентрическими кругами, получена размерность 1,5979 (размерность Хаусдорфа-Безиковича - 1п3/1п2 » 1,5850).
В результате сравнительного анализа можно выявить ряд достоинств и недостатков анализируемых методов. Выбор метода чаще всего определяется видом изображения: если фрактал заполняет всю расчетную область квадратных кластеров, то рациональным представляется использование метода покрытий квадратами. Если же объект представляет собой центрально-симметричный фрактальный кластер, то оптимально использование метода покрытий концентрическими кругами.
Недостаток данных алгоритмов заключается в том, что они адекватно применимы только к однородным самоподобным структурам. Для самоафинных объектов алгоритм не даст объективную информацию относительно его скейлинговых характеристик. Если элементы фрактальной структуры несколько раз пересекают одну и ту же клетку, то это никак не влияет на результат работы алгоритма, так как ведется учет хотя бы одной точки структуры, попавшей в кластер, причем количество таких точек не подсчитывается. Вследствие этого данные методы при анализе широкого класса самоподобных объектов будут давать существенные погрешности.
Многие структуры в природе имеют мультифрактальное строение, для описания таких структур недостаточно введения лишь одной величины - его фрактальной размерности Б, а необходим целый спектр таких размерностей, число которых, вообще говоря, бесконечно. Причина этого заключается в том, что, наряду с чисто геометрическими характеристиками, определяемыми величиной Б, такие фракталы обладают и некоторыми статистическими свойствами [2]. Класс алгоритмов методов мультифрактального анализа изображений строится на определении мультифрактала и спектра размерностей Реньи. Как и в случае фрактального анализа, исходное изображение разбивается на кластеры с последующим уменьшением величины кластера. Но в случае мультифрактального анализа подсчитывается не просто количество кластеров, содержащих в себе точки самоподобной структуры, а их удельный вес.
Методы мультифрактального анализа широко используются многими исследователями для оценки количественных характеристик самоорганизующихся систем. Так, в работе [8] представлена схема компьютерного расчета мультифрактальных параметров изображения структур пространственной самоорганизации в металлических материалах, подвергнутых облучению ионными пучками и лазером. Используемый метод представляет собой модификацию метода покрытий. В работах [9-10] применен метод мультифрактального-вейвлет-анализа для исследования изображений поверхности материалов, демонстрирующих однородность и упорядоченность.
Рассмотрим методику мультифрактальной параметризации структуры [2]. На первом этапе данного метода осуществляется разбиение бинарного изображения, представленного множеством YNхМ, на кластеры (I - варьируемый размер кластера).
Считая, что множество ¥ , состоящее из N X N точек, имеет в (у) кластере (I, 1 = 1, к, к = N /1) определенное количество точек, формируем матрицу С, каждый элемент которой равен числу закрашенных клеток кластера. Тогда удельный вес кластера:
Мультифрактальный анализ изображений
где ^ С^ ^ - общее число единиц в матрице кластеров.
1
Построим меру
Ий (д, I) = • = N (д, I) Г
1, ]=1, к
0,' > т(д),
1 ®0 ' < т(д),
где I - размер ячейки; д - порядок момента.
Мера характеризуется последовательностью показателей т(д), определяющих, как по
степенному закону изменяются вероятности р в зависимости от I. Из формулы (3) следует, что
взвешенное число клеток N (д, I) можно записать в виде
N(д, I) = £рд - I
1,1 =1,к
-т(д)
(4)
а показатель массы определяется выражением т(д) =- Иш(1п N (д, I)/1п I).
I ®0
(5)
Далее по формулам (4) и (5) проводим расчет взвешенного числа клеток N(д, I) и скейлинговой экспоненты т(д) при варьировании параметра деформации д.
Воспользовавшись понятием спектра обобщенных фрактальных размерностей Реньи, можно рассчитать показатель Б(д):
т(д)
Б(д ) =
д -1
(6)
Преобразования Лежандра позволяют оценить и другие спектральные характеристики: а = й%/'д, (7)
/ (а) = а- д(а)-т(д (а)). (8)
Тестирование разработанного в ППП МайаЬ программного приложения было также проведено на примере фрактала «Ковер Серпинского». Результаты работы метода мультифрактальной параметризации структуры продемонстрированы на рис. 3-4.
На рис. 3 показаны зависимости распределения точек фрактального множества на изображении и скейлинговая экспонента при дроблении размера кластера и изменении параметра деформации д. Линейный характер полученной зависимости менее выражен по сравнению с реализацией предыдущего алгоритма, так как учитывается не просто факт наличия точек в кластере, а удельный вес каждого кластера, который зависит от количества содержащихся в нем
а б
Рис. 3. Зависимость распределения точек от величины кластера в двойном логарифмическом масштабе (а) и зависимость скейлинговой экспоненты т
от параметра деформации д (б).
точек.
На рис. 4а представлен спектр фрактальных размерностей Реньи при различных значениях параметра д. Рис. 4б соответствует рассчитанному мультифрактальному спектру размерностей / (а). Анализ полученных зависимостей: скейлинговой экспоненты (рис. 3б), спектра Реньи В(д)
а б
Рис. 4. Мультифрактальные характеристики: распределение размерностей (спектр Реньи) - (а), мультифрактальный спектр /(а) - (б).
(рис. 4б), а также /(а) (рис. 4а) указывает на монофрактальное строение исследуемого изображения.
Носителем фрактальной меры является множество ¥, представляющее собой объединение фрактальных подмножеств ¥а. Все множество ¥ характеризуется фрактальной размерностью В, а каждое из подмножеств ¥а - величиной /(а < В). Для однородного фрактала
«Ковер Серпинского» имеем В = а* = /тах (а*) »1,95, что в целом соответствует хаусдорфовой размерности, определенной фрактальным методом покрытий.
Анализ изображения доменной структуры сегнетоэлектрика методами фрактальной параметризации
При изучении свойств сегнетоэлектриков большое внимание уделяют их доменной структуре, благодаря которой эти диэлектрические материалы имеют обширные области практического применения. Предположения о фрактальности строения и динамики доменной структуры сегнетоэлектриков приведены в широком ряде работ [5-7], где представлены оценки фрактальных характеристик изображений доменных структур различных сегнетоэлектриков. При рассмотрении увеличенного при помощи электронного микроскопа изображения доменной структуры можно предположить, что она является самоподобной. Так, в работе [5] проведены исследования фрактальных закономерностей доменных структур сегнетоэлектриков С8И2Р04 и (КИ2СИ2С00И)3 И2804. Рассматривая увеличенные изображения этих структур, автор оценивает расстояния между доменами при различной степени масштабирования и проводит аналогию с классическим математическим фракталом «Пыль Кантора». В итоге в работе сформулирован вывод о том, что доменная структура изучаемых сегнетоэлектриков является самоподобной и фрактальная размерность данного множества (а точнее, ее одномерный аналог) сравнима с размерностью фрактала «Пыль Кантора». Подсчет расстояний, несомненно, дает значительную погрешность, и в практике подобных исследований целесообразно применять специально
Рис. 5. Бинаризированное изображение доменной структуры кристалла ТГС, полученное с помощью растрового электронного микроскопа [11].
Рис. 6. График зависимости числа
квадратных кластеров И, содержащих хотя бы одну точку изображения, от размера кластера Щ в двойном логарифмическом
разработанные методы, - например, мультифрактальный анализ на основе компьютерной обработки растровых изображений.
На рис. 5 представлен фрагмент микрофотографии РЭМ-изображения доменной структуры сегнетоэлектрического кристалла триглицинсульфата (ТГС) (по данным [11]).
Проанализируем приведенное двумерное растровое изображение доменной структуры триглицинсульфата при помощи описанных выше алгоритмов. Результат применения метода покрытий квадратными кластерами приведен на рис. 6. Полученное дробное значение размерности В = 1,86 характеризует самоподобие исследуемого изображения доменной структуры.
Результат расчета скейлинговых характеристик анализируемого изображения методом мультифрактальной параметризации двумерной структуры представлен на рис. 7. Графическое представление скейлиноговой экспоненты т(д) показано на рис. 7а. Полученная зависимость является нелинейной, что характерно для мультифрактальных структур.
Рис. 7б демонстрирует спектр полученных размерностей Реньи В(д). Анализ данного
ЕКяУ
-!-!-!-!-!-
^ *********
:
-20 -15
-10
10 15
а б
Рис. 7. Мультифрактальные характеристики. Скейлинговая экспонента т(д) - (а), распределение размерностей (спектр Реньи) В(д) - (б).
спектра позволяет определить набор размерностей, образующих исследуемое множество точек, а также оценить ширину фрактального спектра (Да» 1). Таким образом, представленное на рис. 5 изображение доменной структуры кристалла ТГС имеет самоподобное строение с распределением фрактальной размерности в диапазоне 1.7-2.7. Значение В(д = 0)» 1,86 соответствует фрактальной размерности, вычисленной по программе анализа изображений, использующего метод покрытий.
Можно заметить, что хотя методы анализа изображений достаточно наглядны и алгоритмически привлекательны, их использование связано с весьма серьезными ограничениями. Особенность заключается в том, что фотография представляет двумерную проекцию реального объекта. В этом случае фрактальная размерность не может превышать 2. В ряде работ, - например, в [6] и [12] - исследовался вопрос: можно ли по размерности проекции восстановить ее истинную размерность. Основной вывод состоит в следующем: если размерность частицы меньше 2, то размерность образа совпадает с истинной фрактальной размерностью. В случае Вист > 2 проекция не будет фрактальной, но должна обладать фрактальной границей. Таким образом, применение методов анализа двумерных структур в большинстве случаев ограничено объектами с размерностью В < 2 : при увеличении В точность измерений существенно снижается.
Выявление в строении доменной структуры фрактальных закономерностей позволит связать скейлинговые характеристики с физическими свойствами изучаемого объекта и тем самым получать новые данные об организации структуры. В частности, дополнительного рассмотрения требуют вопросы о количественной оценке степени упорядоченности такой структуры в зависимости от параметров внешнего воздействия и о связи параметров переключения со скейлинговыми характеристиками доменной конфигурации.
Заключение
В нашей работе рассмотрены и реализованы алгоритмы, предназначенные для фрактального и мультифрактального анализа изображений самоподобных абстрактных и природных структур. Проведена программная реализация метода фрактального анализа изображений алгоритмами, использующими покрытие кластерами. Применение данных алгоритмов оказывается несостоятельным для исследования объектов, имеющих сложную и неоднородную самоаффинную структуру. Алгоритмически реализован мультифрактальный подход к исследованию изображений самоподобных структур. Выполнена программная реализация мультифрактального метода покрытий. Получены спектральные характеристики исследуемых изображений. Верификация результатов работы программы проведена на примере классических фракталов. Приведены оценки мультифрактальных характеристик двумерного изображения доменной структуры сегнетоэлектрика, полученного методом растровой электронной микроскопии. Представленные в работе программные реализации могут быть использованы для выявления свойств самоподобия и фрактальных закономерностей физических объектов по исходным данным в виде растровых изображений.
1. Мандельброт, Б. Фрактальная геометрия природы: учеб. пособие. - М. : Институт компьютерных исследований, 2002. - 656 с.
2. Божокин, С.В., Паршин, Д.А. Фракталы и мультифракталы. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 128 с.
3. Олемской, А.И., Флат, А.Я. Использование концепции фрактала в физике конденсированной среды // УФН. - 1993. - Т. 7, № 5 - С. 1-50.
4. Встовский, Г.В., Колмакова, А.Г., Бунин, И.Ж. Введение в мультифрактальную параметризацию структур материалов // НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - Т. 5, № 2. - С. 116-120.
5. Ozaki, T. Fujii, K., Ohgami J. Fractal Aspects of Lamellar Ferroelectric Domain Structures Formed under the Influence of Depolarization Fields in CsH2PO4 and (NH2CH2COOH)3H2SO4 // Journal of the physical Society of Japan. - Vol. 64, No. 7. - 1995. - С. 2282-2285.
6. Пелегов, Д.В. Использование фрактального формализма для описания кинетики фазовых превращений в конечных системах: Дис. ...канд. физ.-мат. наук. - Екатеринбург, 2000. - 133 с.
7. Шур, В.Я., Николаева, Е.В., Шишкин, Е.И. и др. Кинетика доменной структуры и токи переключения в монокристаллах конгруэнтного и стехиометрического титаната лития // ФТТ. - 2002. - Т. 44, № 11. - С. 20552060.
8. Куликова, Н.В., Хмелевская, В.С., Бондаренко, В.В. Компьютерный анализ процессов самоорганизации в металлических материалах // Математическое моделирование. - 2006. - Т. 18, № 1. - С. 88-98.
9. Михайлов, О.И., Водолазький, Ю.О. Вейвлет-мультифрактальный анализ самоподобных изображений // Вестник Винницкого политехнического института. - 2009. - Т. 5, № 2. - С. 84-87.
10. Гиляров, В.Л., Корсуков, В.Е., Бутенко, П.Н., Светлов, В.Н. Применение вейвлет-преобразования при изучении изменения фрактальных свойств поверхностей аморфных металлов под воздействием механической нагрузки // Физика твердого тела. - 2004. - Т. 46, № 10. - С. 1806-1810.
11. Sogr, A.A., Maslovskaya, A.G., Kopylova, I.B. Advanced modes of imaging of erroelectric domains in the SEM // Ferroelectrics. - 2006. - Vol. 341. - P. 29-37.
12. Эрнст, М. Кинетика образов кластеров при необратимой агрегации: учеб. пособие - М.: Мир, 1988. - 672
с.
