CC BY
2
Расчет сферических оболочек на действие кольцевых нагрузок
А.Я. Астахова, Р.Э. Ниязов
Национальный исследовательский Московский государственный строительный
университет
Аннотация: В настоящее время для реализации сложных расчетов широко используются численные методы. Актуальной задачей является проверка правильности результатов численного расчета. Достоверность результатов можно подтвердить при определении напряженно-деформированного состояния различными методами. В данной работе представлены результаты расчета тонких изотропных кольцевых сферических оболочек постоянной толщины с углом полураствора в пределах 90 - 170 градусов двумя численными методами. Рассматриваются результаты решения системы дифференциальных уравнений общей моментной теории оболочек с применением системы компьютерной математики (Maple 2017) и метода конечных элементов (МКЭ). Приведенные примеры показывают, что результаты расчета с помощью выбранного конечного элемента КЭ-44 совпадают с точностью до (10 - 15)% для оболочек с углом полураствора до 120 градусов. При увеличении угла до 170 градусов разница значений функций становится значительной. Приведены примеры расчета кольцевых сферических оболочек под действием одной и трех кольцевых нагрузок.
Ключевые слова: упругая, сферическая оболочка, численный метод, система компьютерной математики, метод конечных элементов.
В настоящее время элементы строительных конструкций в виде стержней, плит и оболочек широко применяются при создании каркасов зданий и сооружений. Методы определения их напряженно-деформированного состояния имеют большое прикладное значение для обеспечения прочности отдельных элементов и надежной работы конструкции в целом. В строительстве широко применяются пространственные конструкции в виде гладких сферических оболочек. Повышение эффективности применения и реализации тонкостенных конструкций неразрывно связано с совершенствованием методов расчета оболочек. Используемые в теории расчета оболочек аналитические и численные методы базируются на работах известных ученых [1 - 3]. Существуют различные подходы в теории к выводу разрешающих уравнений, например, вариационные методы, рассматриваемые зарубежными
[4, 5] и отечественными исследователями [6, 7]. Достоверность результатов подтверждается при определении напряженно-деформированного состояния различными методами.
В настоящей работе представлены результаты расчета тонких изотропных кольцевых сферических оболочек постоянной толщины с углом полураствора р0 в пределах от 90° до 170° двумя численными методами. Рассматриваются результаты решения системы дифференциальных уравнений общей моментной теории оболочек (1) с применением СКМ-сиетемы компьютерной математики (Maple 2017) [8] и метода конечных элементов (МКЭ) ПК ЛИРА-САПР 2016 [9].
Система разрешающих уравнений рассматривалась в векторно-матричной форме [10] относительно коэффициентов ряда Фурье неизвестных функций:
Вывод полной системы (1) осуществлен на основании гипотез Кирхгофа-Лява, уравнений равновесия, геометрических соотношений и соотношений упругости линейной теории [10]. Неизвестными функциями в системе уравнений являются: радиальное и осевое усилия - Тг, Т2, обобщенное тангенциальное усилие - радиальное и осевое перемещения -иг, щ, окружное перемещение - V, угол поворота сечения - 0. Правая часть системы содержит проекции внешней нагрузки. Все функции напряженно-деформированного состояния (далее НДС) и нагрузки разложены в ряды Фурье по окружной координате. Рассматривается симметричная нагрузка соответствующая первому слагаемому к = 1 ряда Фурье.
ат
= A(s)T + q(s),
где: Т = (Trkt Tzk, Skt Msk, urk, uzk, vkt
ад ,
A (s) = | | аи | | , Т = (- 4rk>~4zk>~Яqk>0>0 > 0 > 0 > 0 ) .
(1)
ds
Решается задача Коши, т.е. задаются граничные условия на противоположных краях оболочки при s = 0 и s =1 (s = si/s0 - безразмерная переменная вдоль меридиана, отнесенная к длине дуги меридиана s0). При жестком защемлении компоненты перемещений и угол поворота нормали равны нулю. При шарнирном - компоненты перемещений и меридиональный изгибающий момент приравниваются к нулю.
Реализация численных расчетов системы осуществлялась на языках Maple и МКЭ. С помощью СКМ задачи решаются в диалоговом (интерактивном) режиме. Все СКМ имеют развитый язык программирования, который включает типовые средства программирования, такие как управляющие структуры, циклы, операторы ввода/вывода и т.д.
Метод конечных элементов (МКЭ) основан на аппроксимации любой непрерывной функции дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей. Общий алгоритм расчета МКЭ:
1. Дискредитация. Рассматриваемая область разбивается на конечные элементы, взаимодействующие через узловые параметры (степени свободы).
2. Выбор узловых неизвестных. Число степеней свободы определяется вариантом решаемой задачи.
3. Построение матрицы жесткости и вектора внешней нагрузки. Перемещения внутренней точки конечного элемента (КЭ) определяются посредством узловых перемещений через аппроксимирующие функции. Составляются матрицы жесткости и векторов внешней нагрузки дискретного элемента.
4. Решение системы уравнений равновесия. Общая система уравнений равновесия всей конечно-элементной модели является системой алгебраических уравнений, которые имеют ленточную структуру. При
и
решении линейных задач используются прямые методы: Гаусса, разложения Холесского, блочного разложения.
5. Вычисление значений перемещений внутренних точек КЭ через значения узловых параметров. Узловые компоненты вектора перемещений будут получены в результате решения системы алгебраических уравнений. Поиск перемещений внутренней точки КЭ осуществляется с помощью узловых значений перемещений посредством аппроксимирующих функций.
Расчет проводился в ПК ЛИРА-САПР 2016 (рис. 1) при использовании конечного элемента КЭ-44 (Универсальный четырехугольный КЭ оболочки).
Рис. 1. - Схема универсального четырехугольного КЭ оболочки Используемый КЭ предназначен для прочностного расчета тонких пологих оболочек. Приведенные примеры показывают, что результаты расчета с помощью выбранного конечного элемента КЭ-44 совпадают с точность до разницы в 10 - 15% для углов ß0 меньше 120°.
При увеличении угла до величины 170° разница представленных функций является значительной (рис. (2 - 10)).
Изменения внутренних усилий и перемещений представлены на примерах меридионального изгибающего момента Ms, осевой uz и радиальной ur составляющих вектора перемещений в середине меридиана для кольцевых сферических оболочек. Отклонение верхнего контура от вертикальной оси d = 5° (рис.2). В примерах условия опирания по верхнему и нижнему контурам приняты в форме заделка-заделка (обозначено z-z), а также шарнир-шарнир (обозначено s-s). Значения меридионального изгибающего момента при жестком защемлении показаны также на краях нижнего и верхнего контуров.
Рис. 2 - Расчетная схема задачи Для сферической оболочки с отношением R/h = 100 (h =1см) представлены следующие результаты табл. № (1 - 8), рис. (3 - 10). Действие одной вертикальной составляющей кольцевой нагрузки равной q = 2 кН/см2 и q = 3 кН/см на отрезке вдоль меридиана sp = 0.1 в оболочках с углом полураствора от 90° до 170°. Изменение осевого перемещения uz в середине меридиана представлено в табл. № 1, рис. 3.
Таблица № 1
Перемещения uz в точке s = 1/2, sp = 0.1 для ß0 = (90° - 170°) при z-z
ß0, R/h = 100 Maple [мм], q = 2 кН/см2 МКЭ [мм], q = 2 кН/см2 Maple [мм], л q = 3 кН/см МКЭ [мм], л q = 3 кН/см
90 -3,950 -4,323 -5,920 -6,485
100 -3,965 -4,537 -5,938 -6,805
110 -4,030 -4,950 -6,045 -7,430
120 -4,253 -5,760 -6,380 -8,640
130 -4,650 -7,300 -6,990 -10,950
140 -5,256 -10,206 -7,880 -15,250
150 -6,006 -16,960 -9,010 -26,440
160 -6,950 -33,305 -10,430 -49,960
170 -8,450 -72,065 -12,670 -108,098
-120,000
Рис. 3. - Перемещения и2 в точке ^ = 1/2 для р0 = (90° - 170°) при Показано изменение радиального перемещения иг в середине меридиана для углов полураствора р0 = (90° - 170°) табл. № 2, рис. 4.
Таблица № 2
Перемещения иг в точке ^ = 1/2, бр = 0.1 для р0 = (90° - 170°) при 2-2
Р0, Я/к = 100 Мар1е [мм], q = 2 кН/см2 МКЭ [мм], q = 2 кН/см2 Мар1е [мм], л q = 3 кН/см МКЭ [мм], л q = 3 кН/см
90 -2,862 -2,560 -4,290 -3,840
100 -2,752 -2,512 -4,126 -3,770
110 -2,430 -2,300 -3,650 -3,450
120 -1,910 -1,920 -2,877 -2,880
130 -1,270 -1,410 -1,880 -2,110
140 -0,543 -0,755 -0,843 -1,177
150 0,033 -0,013 0,053 -0,019
160 0,357 0,304 0,537 0,457
170 0,000 0,000 -0,010 0,000
1,000
0,000
-1,000
-2,000
-3,000
-4,000
-5,000
Рис. 4. - Перемещения иг в точке ^ = 1/2 для р0 = (90° - 170°) при 2-2
М Инженерный вестник Дона, №9 (2024) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n9y2024/9474
Далее показано изменение меридионального изгибающего момента в трех точках: в середине меридиана и на опорах при жестком защемлении по верхнему и нижнему контурам (обозначение 2-2) табл. № (3 - 5), рис. (5 - 7).
Таблица № 3
Момент М3 в точке л = 1/2, Бр = 0.1 для р0 = (90° - 170°) при 2-2
во, Я/И = 100 Мар1е [кН* см/см], q = 2 кН/см2 МКЭ [кН* см/см], q = 2 кН/см2 Мар1е [кН* см/см], л q = 3 кН/см МКЭ [кН* см/см], л q = 3 кН/см
90 13,524 12,400 20,265 18,636
100 11,613 10,635 17,432 15,945
110 9,597 8,775 14,364 13,200
120 7,623 6,940 11,481 10,412
130 5,712 5,195 8,652 7,790
140 4,043 3,485 6,061 5,223
150 2,436 2,015 3,780 3,018
160 1,124 0,924 1,848 1,381
170 0,000 0,000 0,000 0,000
25,000
20,000
15,000
10,000
5,000
0,000 Рис.
Мар1е [кН], д=2кн/смЛ2
5. - Момент М в точке л = 1/2 для р0 = (90° - 170°) при 2-2
Таблица № 4
Момент М5 в точке я = 0, бр = 0.1 для р0 = (90° - 170°) при 2-2
Р0, Я/к = 100 Мар1е [кН* см/см], q = 2 кН/см2 МКЭ [кН* см/см], q = 2 кН/см2 МарЬ [кН* см/см], л q = 3 кН/см МКЭ [кН* см/см], л q = 3 кН/см
90 8,560 6,910 12,839 10,400
100 10,290 8,040 15,441 12,100
110 12,558 9,730 18,824 14,600
120 15,372 12,400 23,037 18,600
130 18,501 16,800 27,951 25,100
140 22,155 24,150 33,243 36,200
150 26,250 41,650 39,270 62,450
160 33,600 85,150 50,400 127,700
170 67,662 200,950 101,430 301,150
350,000
300,000
250,000
200,000
150,000
100,000
50,000
0,000
Мар1е [кН], д=2кн/смЛ2
90 100 110 120 130 140 150 160 170
Рис. 6. - Момент М в точке я = 0 для В0 = (90° - 170°) при 2-2
М Инженерный вестник Дона, №9 (2024) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n9y2024/9474
Таблица № 5
Момент М5 в точке л = 1, Бр = 0.1 для р0 = (90° - 170°) при 2-2
в0, Я/И = 100 Мар1е [кН* см/см], q = 2 кН/см2 МКЭ [кН* см/см], q = 2 кН/см2 Мар1е [кН* см/см], л q = 3кН/см МКЭ [кН* см/см], л q = 3 кН/см
90 -4,248 -6,760 -6,374 -10,100
100 -9,345 -9,480 -14,007 -14,200
110 -16,023 -12,800 -24,045 -19,200
120 -24,423 -17,100 -36,540 -25,700
130 -34,230 -23,200 -51,261 -34,800
140 -44,310 -33,400 -66,570 -50,100
150 -53,550 -55,400 -80,220 -82,550
160 -60,900 -99,700 -91,350 -149,550
170 -67,620 -200,950 -100,800 -301,150
-350,000 -
Рис. 7. - Момент Мл в точке л = 1 для р0 = (90° - 170°) при 2-2 . Далее представлены результаты для этих же функций при шарнирном опирании по верхнему и нижнему контурам (обозначение л-л) табл. № (6 - 8), рис. (8 - 10).
Таблица № 6
Перемещения и2 в точке я = 1/2, Бр = 0.1 для р0 = (90° - 170°) при я-я
Р0, Я/к = 100 Мар!в [мм], q = 2 кН/см2 МКЭ [мм], q = 2 кН/см2 Мар1е [мм], л q = 3 кН/см МКЭ [мм], л q = 3 кН/см
90 -4,005 -4,422 -6,00 -6,633
100 -4,016 -4,665 -6,03 -6,997
110 -4,123 -5,131 -6,18 -7,697
120 -4,37 -6,035 -6,54 -9,052
130 -4,8 -7,763 -7,19 -11,645
140 -5,4 -11,201 -8,107 -16,802
150 -6,17 -19,363 -9,255 -29,045
160 -7,12 -41,313 -10,68 -61,97
170 -8,63 -102,798 -12,95 -154,197
-180 -
Рис. 8. - Перемещения и2 в точке я = 1/2 для р0 = (90° - 170°) при я-я
Таблица № 7
Перемещения иг в точке л = 1/2, Бр = 0.1 для р0 = (90° - 170°) при л-л
Р0, Я/И = 100 Мар!в [мм], q = 2 кН/см2 МКЭ [мм], q = 2 кН/см2 Мар!в [мм], л q = 3 кН/см МКЭ [мм], л q = 3 кН/см
90 -2,834 -2,55 -4,25 -3,824
100 -2,71 -2,495 -4,07 -3,743
110 -2,38 -2,273 -3,5516 -3,41
120 -1,845 -1,89 -2,78 -2,83
130 -1,175 -1,362 -1,773 -2,043
140 -0,481 -0,684 -0,73 -1,026
150 0,112 0,084 0,17 0,126
160 0,413 0,435 0,61 0,652
170 0 0 0 0
Таблица № 8
Момент М5 в точке я = 1/2, Бр = 0.1 для р0 = (90° - 170°) при я-я
Р0, Я/к = 100 Мар!в [кН*см/см], q = 2 кН/см2 МКЭ [кН*см/см], q = 2 кН/см2 Мар!в [кН*см/см], л q = 3 кН/см МКЭ [кН*см/см], л q = 3 кН/см
90 13,5135 12,4 20,181 18,6355
100 11,592 10,635 17,325 15,95
110 9,639 8,775 14,322 13,2
120 7,644 6,94 11,424 10,405
130 5,691 5,195 8,5911 7,79
140 4,0005 3,485 5,964 5,225
150 2,436 2,015 3,675 3,02
160 1,1865 0,92 1,638 1,3805
170 0 0 0 0
25 -
Мар1е [кН], д=2кн/смЛ2
Рис. 10. - Момент Мя в точке 5=1/2 для р0 = (90° - 170°) при я-я
Рассмотрим действие на кольцевую сферическую оболочку трех кольцевых нагрузок (рис. 11) равных по величине направленных вниз параллельно оси О2 и распределенных на одинаковых отрезках вдоль меридиана лр = 0.1.
Рис. 11. -Действие трех кольцевых нагрузок на сферическую оболочку Ниже представлены значения осевых uz и радиальных ur перемещений, меридионального изгибающего момента Ms в точке s = 0.5 для оболочек с отношение радиуса к толщине R/h = (200 - 25) табл. № (9 - 28), рис. (12 -31).
Изменения осевых перемещений щ при жестком защемлении по контурам ( 2-2) представлено в табл. № (9 - 12) и на рис. (12 - 15).
Таблица № 9
Перемещения uz в точке 5 = 1/2, для ß0 = (90° - 130°) и R/h = 200 при z-z
ßo, R/h = 200 Maple [мм], л q = 3 кН/см МКЭ [мм], л q = 3 кН/см Maple [мм], q = 2 кН/см2 МКЭ [мм], q = 2 кН/см2
90 -29,520 -33,186 -19,700 -22,124
100 -32,190 -39,907 -21,450 -26,605
110 -35,750 -51,214 -23,850 -34,140
120 -40,900 -66,420 -27,300 -44,280
130 -47,786 -94,395 -31,880 -62,930
0,000 -
90 100 110 120 130
-10,000 -
-100,000
Рис. 12. - Перемещения uz в точке s = 1/2, ß0 = (90° - 130°), R/h = 200 при z-z
Таблица № 10
Перемещения uz в точке s = 1/2, для ß0 = (90° - 130°) и R/h = 100 при z-z
ß0, R/h = 100 Maple [мм], л q = 3 кН/см МКЭ [мм], л q = 3 кН/см Maple [мм], q = 2 кН/см2 МКЭ [мм], q = 2 кН/см2
90 -6,010 -7,305 -4,000 -4,870
100 -6,990 -8,780 -4,661 -5,850
110 -8,150 -11,050 -5,430 -7,370
120 -9,600 -14,960 -6,408 -9,976
130 -11,450 -21,350 -7,632 -14,210
0,000 -
90 100 110 120 130
-25,000
Рис. 13. - Перемещения uz в точке 5 = 1/2, ß0 = (90° - 130°) и R/h = 100 при z-z
Таблица № 11
Перемещения uz в точке 5 = 1/2, для ß0 = (90° - 130°) и R/h = 50 при z-z
ß0, R/h = 50 Maple [мм], л q = 3 кН/см МКЭ [мм], л q = 3 кН/см Maple [мм], q = 2 кН/см2 МКЭ [мм], q = 2 кН/см2
90 -1,192 -1,498 -0,800 -1,000
100 -1,454 -1,741 -0,970 -1,160
110 -1,783 -2,370 -1,188 -1,582
120 -2,188 -3,371 -1,460 -2,250
130 -2,680 -4,750 -1,780 -3,170
0,000 -
90 100 110 120 130
-0,500 -
-5,000
Рис. 14. - Перемещения uz в точке s = 1/2, ß0 = (90° - 130°) и R/h = 50 при z-z
Таблица № 12
Перемещения uz в точке s = 1/2, для ß0 = (90° - 130°) и R/h = 25 при z-z
ß0, R/h = 25 Maple [мм], л q = 3 кН/см МКЭ [мм], л q = 3 кН/см Maple [мм], q = 2 кН/см2 МКЭ [мм], q = 2 кН/см2
90 -0,249 -0,291 -0,166 -0,194
100 -0,309 -0,372 -0,206 -0,249
110 -0,380 -0,482 -0,260 -0,321
120 -0,492 -0,691 -0,330 -0,461
130 -0,618 -0,966 -0,413 -0,644
0,000 -0,200 -0,400 -0,600 -0,800 -1,000
■ МКЭ [мм], q=2 кн/смл2
-1,200
Рис. 15. - Перемещения uz в точке 5=1/2, ß0 = (90° - 130°) и R/h = 25 при z-z Радиальные перемещения ur для оболочек с R/h = (200 - 25) в середине
меридиана показаны в табл. (13 - 16) и на рис. (16 - 19).
Таблица № 13
Перемещения ur в точке 5 = 1/2 для ß0 = (90° - 130°) и R/h = 200 при z-z
ß0, R/h = 200 Maple [мм], л q = 3 кН/см МКЭ [мм], л q = 3 кН/см Maple [мм], q = 2 кН/см2 МКЭ [мм], q = 2 кН/см2
90 -15,700 -13,750 -10,450 -9,166
100 -14,286 -12,690 -9,500 -8,460
110 -11,313 -9,800 -7,510 -6,532
120 -7,070 -6,180 -4,680 -4,120
130 -2,100 -2,087 -1,376 -1,392
90 100 110 120 130
0,000 -
90 100 110 120 130
МКЭ [мм], q=2 кн/смл2
-18,000 -
Рис. 16. - Перемещения ur в точке s=1/2, ß0 = (90° - 130°) и R/h = 200 при z-z
Таблица № 14
Перемещения ur в точке s = 1/2 для ß0 = (90° - 130°) и R/h = 100 при z-z
ß0, R/h = 100 Maple [мм], л q = 3 кН/см МКЭ [мм], л q = 3 кН/см Maple [мм], q = 2 кН/см2 МКЭ [мм], q = 2 кН/см2
90 -2,507 -2,670 -1,670 -1,781
100 -2,370 -2,320 -1,585 -1,550
110 -1,882 -1,760 -1,260 -1,176
120 -1,071 -0,590 -0,720 -0,400
130 -0,074 0,393 -0,047 0,262
1,000
Maple [мм], q=3 кн/смл2
-3,000
Рис. 17. - Перемещения ur в точке 5=1/2, ß0 = (90° - 130°) и R/h = 100 при z-z
Таблица № 15
Перемещения ur в точке 5 = 1/2 для ß0 = (90° - 130°) и R/h = 50 при z-z
ß0, R/h = 50 Maple [мм], л q = 3 кН/см МКЭ [мм], л q = 3 кН/см Maple [мм], q = 2 кН/см2 МКЭ [мм], q = 2 кН/см2
90 -0,327 -0,442 -0,220 -0,300
100 -0,272 -0,334 -0,183 -0,223
110 -0,174 -0,285 -0,116 -0,190
120 -0,021 -0,161 -0,013 -0,107
130 0,167 -0,003 0,111 -0,002
0,200
-0,500
Рис. 18. - Перемещения ur в точке s=1/2, ß0 = (90° - 130°) и R/h = 50 при z-z
Таблица № 16
Перемещения ur в точке s = 1/2 для ß0 = (90° - 130°) и R/h = 25 при z-z
ß0, R/h = 25 Maple [мм], л q = 3 кН/см МКЭ [мм], л q = 3 кН/см Maple [мм], q = 2 кН/см2 МКЭ [мм], q = 2 кН/см2
90 -0,054 -0,060 -0,036 -0,040
100 -0,030 -0,051 -0,020 -0,034
110 0,002 -0,036 0,001 -0,024
120 0,041 -0,015 0,027 -0,010
130 0,083 0,012 0,056 0,008
0,100 -
9 Maple [мм],, q=3 кн/смл2
-0,080
Рис. 19. - Перемещения ur в точке 5 = 1/2, ß0 = (90° - 130°) и R/h = 25 при z-z Изменения меридионального изгибающего момента M5 для оболочек с R/h = (200 - 25) и углом полураствора в пределах ß0 = (90° - 130°) в середине меридиана показаны в табл. (17 - 28) и на рис. (20 - 31) при опирании «заделка-заделка» (z-z).
Таблица № 17
Момент M5 в точке 5 = 1/2, для ß0 = (90° - 130°) и R/h = 200 при z-z
ßo, Maple МКЭ Maple МКЭ
R/h = 200 [кН*см/см], [кН*см/см], [кН*см/см], [кН*см/см],
q = 3 кН/см2 q = 3 кН/см2 q = 2 кН/см2 q = 2 кН/см2
90 37,118 27,000 24,780 18,050
100 29,400 21,750 19,740 14,350
110 22,596 15,700 14,973 10,460
120 16,422 11,015 11,025 7,345
130 11,403 7,000 7,623 4,670
Таблица № 18
Момент Ms в точке s = 1/2, для ß0 = (90° - 130°) и R/h = 100 при z-z
ß0, R/h = 100 Maple [кН* см/см], л q = 3 кН/см МКЭ [кН* см/см], л q = 3 кН/см Maple [кН* см/см], q = 2 кН/см2 МКЭ [кН* см/см], q = 2 кН/см2
90 20,895 16,600 13,923 11,050
100 18,648 13,800 12,600 9,200
110 15,666 10,960 10,500 7,305
120 12,548 7,385 8,400 4,925
130 9,513 5,210 6,300 3,180
25,000
Maple [кН], q=3 кн/смл2
20,000
15,000
10,000
5,000
МКЭ [кН], q=3 кн/смл2
Maple [кН], q=2 кн/смл2
МКЭ [кН], q=2 кн/смл2
0,000
90
100
110
120
130
Рис. 21. - Момент M5 в точке 5=1/2 для ß0 = 90°^130° и R/h = 100 при z-z
Таблица № 19
Момент M5 в точке 5 = 1/2, для ß0 = (90° - 130°) и R/h = 50 при z-z
ß0, R/h = 50 Maple [кН*см/см], л q = 3 кН/см МКЭ [кН*см/см], л q = 3 кН/см Maple [кН*см/см], q = 2 кН/см2 МКЭ [кН*см/см], q = 2 кН/см2
90 8,190 8,730 5,460 5,870
100 8,253 6,935 5,502 4,620
110 7,791 6,250 5,166 4,165
120 6,888 5,190 4,578 3,455
130 5,628 3,790 3,755 2,525
Maple [кН], q=3 кн/смл2
10,000 -
МКЭ [кН], q=3 кн/смл2
1,000
0,000 -
90 100 110 120 130
Рис. 22. - Момент Ms в точке s = 1/2 для ß0 = (90° - 130°) и R/h = 50 при z-z
Таблица № 20
Момент Ms в точке s = 1/2, для ß0 = (90° - 130°) и R/h = 25 при z-z
ß0, R/h = 25 Maple [кН*см/см], л q=3 кН/см МКЭ [кН*см/см], л q=3 кН/см Maple [кН*см/см], q=2 кН/см2 МКЭ [кН*см/см], q=2 кН/см2
90 2,793 3,900 1,861 2,625
100 2,930 3,570 1,953 2,380
М Инженерный вестник Дона, №9 (2024) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n9y2024/9474
110 2,940 3,075 1,953 2,050
120 2,730 2,645 1,840 1,760
130 2,436 2,000 1,628 1,320
4,500
МКЭ [кН], q=3 кн/смл2
1,000
Maple [кН], q=2 кн/смл2
0,500
МКЭ [кН], q=2 кн/смл2
0,000 -
90 100 110 120 130
Рис. 23. - Момент M5 в точке 5 = 1/2 для ß0 = (90° - 130°) и R/h = 25 при z-z
Таблица № 21
Момент M5 в точке 5 = 0, для ß0 = (90° - 130°) и R/h = 200 при z-z
ß0, R/h = 200 Maple [кН*см/см], л q=3 кН/см МКЭ [кН*см/см], л q=3 кН/см Maple [кН*см/см], q=2 кН/см2 МКЭ [кН*см/см], q=2 кН/см2
90 71,400 48,150 47,670 32,100
100 81,900 60,100 54,600 40,100
110 95,676 73,900 63,840 49,250
120 112,287 88,300 74,865 59,500
130 130,830 111,200 87,150 74,150
Maple [кН], q=3 кн/смл2
140,000 -
МКЭ [кН], q=3 кн/смл2
120,000
100,000
80,000
60,000
40,000
20,000
0,000
90 100 110 120 130
Рис. 24. - Момент Ms в точке s = 0 для ß0 = (90° - 130°) и R/h = 200 при z-z
Таблица № 22
Момент Ms в точке s = 0, для ß0 = (90° - 130°) и R/h = 100 при z-z
ß0, R/h = 100 Maple [кН*см/см], л q = 3 кН/см МКЭ [кН*см/см], л q = 3 кН/см Maple [кН*см/см], q = 2 кН/см2 МКЭ [кН*см/см], q = 2 кН/см2
90 37,464 26,700 24,990 17,800
М Инженерный вестник Дона, №9 (2024) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n9y2024/9474
100 42,000 37,600 28,056 25,100
110 48,300 49,300 32,130 32,900
120 56,217 63,600 37,485 42,400
130 65,520 82,300 43,680 54,900
90,000 -
Maple [кН], q=3 кн/смл2
80,000 70,000 60,000 50,000 40,000 30,000 20,000 10,000 0,000
90 100 110 120 130
Рис. 25. - Момент M5 в точке 5 = 0 для ß0 = (90° - 130°) и R/h = 100 при z-z
Таблица № 23
Момент M5 в точке 5 = 0, для ß0 = (90° - 130°) и R/h = 50 при z-z
ß0, R/h = 50 Maple [кН*см/см], л q = 3 кН/см МКЭ [кН*см/см], л q = 3 кН/см Maple [кН*см/см], q = 2 кН/см2 МКЭ [кН*см/см], q = 2 кН/см2
90 18,165 8,070 12,096 5,375
100 21,378 11,910 14,249 8,060
110 24,780 16,220 16,506 10,845
120 28,581 21,190 19,051 14,135
130 33,180 27,540 21,951 18,350
35,000 -
Maple [кН], q=3
0,000 -
90 100 110 120 130
Рис. 26. -Момент Ms в точке s = 0 для ß0 = (90° - 130°) и R/h = 50 при z-z
Таблица № 24
Момент Ms в точке s = 0, для ß0 = (90° - 130°) и R/h = 25 при z-z
ß0, R/h = 25 Maple [кН*см/см], л q = 3 кН/см МКЭ [кН*см/см], л q = 3 кН/см Maple [кН*см/см], q = 2 кН/см2 МКЭ [кН*см/см], q = 2 кН/см2
90 7,812 4,530 5,208 3,025
100 10,038 6,605 6,686 4,405
110 12,306 9,070 8,190 6,025
120 14,700 12,280 9,765 8,175
130 17,094 16,400 11,403 10,955
18,000
16,000
14,000
12,000
10,000
8,000
6,000
4,000
Maple [кН], q=3 кн/смл2
МКЭ [кН], q=3 кн/смл2
Maple [кН], q=2 кн/смл2
МКЭ [кН], q=2 кн/смл2
2,000
0,000
90
100
110
120
130
Рис. 27. - Момент M5 в точке 5 = 0 для ß0 = (90° - 130°) и R/h = 25 при z-z
Таблица № 25
Момент M5 в точке 5 = 1, для ß0 = (90° - 130°) и R/h = 200 при z-z
ß0, R/h = 200 Maple [кН*см/см], л q = 3 кН/см МКЭ [кН*см/см], л q = 3 кН/см Maple [кН*см/см], q = 2 кН/см2 МКЭ [кН*см/см], q = 2 кН/см2
90 -13,297 -98,800 -8,400 -65,500
100 -40,247 -101,600 -26,670 -67,700
110 -72,030 -109,050 -47,880 -72,550
120 -109,074 -121,250 -72,723 -80,650
130 -150,360 -143,600 -100,170 -95,900
0,000
-20,000
-40,000
-60,000
-80,000
-100,000
-120,000
-140,000
-160,000
Рис. 28. - Момент Ms в точке s = 1 для ß0 = (90° - 130°) и R/h = 200 при z-z
Таблица № 26
Момент Ms в точке s = 1, для ß0 = (90° - 130°) и R/h = 100 при z-z
ß0, R/h = 100 Maple [кН*см/см] л q = 3 кН/см МКЭ [кН*см/см], л q = 3 кН/см Maple [кН*см/см], q = 2 кН/см2 МКЭ [кН*см/см], q = 2 кН/см2
90 -2,793 -43,100 -1,863 -28,745
90 100 110 120 130
М Инженерный вестник Дона, №9 (2024) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n9y2024/9474
100 -15,645 -44,000 -10,500 -29,325
110 -32,130 -45,310 -21,420 -30,220
120 -51,450 -48,805 -34,230 -32,505
130 -72,240 -52,670 -48,300 -35,280
0,000
10,000
20,000
30,000
-40,000
-50,000
-60,000
-70,000
80,000
130
Maple [кН], q=3 кн/смл2
МКЭ [кН], q=3 кн/смл2
Maple [кН], q=2 кн/смл2
МКЭ [кН], q=2 кн/смл2
Рис. 29. - Момент Ms в точке s = 1 для ß0 = (90° - 130°) и R/h = 100 при z-z
Таблица № 27
Момент Ms в точке s = 1, для ß0 = (90° - 130°) и R/h = 50 при z-z
ß0, R/h = 50 Maple [кН*см/см], л q = 3 кН/см МКЭ [кН*см/см], л q = 3 кН/см Maple [кН*см/см], q = 2 кН/см2 МКЭ [кН*см/см], q = 2 кН/см2
90 -6,252 -25,800 -4,169 -17,200
100 -9,765 -28,000 -6,510 -18,625
110 -15,561 -30,600 -10,374 -20,405
120 -23,520 -35,250 -15,750 -23,510
130 -33,096 -39,900 -22,067 -26,600
Рис. 30. - Момент M5 в точке 5 = 1 для ß0 = (90° - 130°) и R/h = 50 при z-z
Таблица № 28
Момент M5 в точке 5 = 1, для ß0 = (90° - 130°) и R/h = 25 при z-z
ß0, R/h = 25 Maple МКЭ Maple МКЭ
[кН*см/см], л q = 3 кН/см [кН*см/см], л q = 3 кН/см [кН*см/см], q = 2 кН/см2 [кН*см/см] q = 2 кН/см2
М Инженерный вестник Дона, №9 (2024) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n9y2024/9474
90 -7,980 -12,385 -5,313 -8,290
100 -9,387 -14,515 -6,258 -9,500
110 -11,466 -16,650 -7,602 -11,085
120 -14,280 -20,505 -9,576 -13,670
130 -17,955 -24,000 -11,991 -16,070
Рис. 31. - Момент Ms в точке s = 1 для ß0 = (90° - 130°) и R/h = 25 при z-z Для кольцевых сферических оболочек с соотношением радиуса кривизны к толщине R/h =200, для углов полураствора ß0 = 90° и 130° рис. (32 - 39), условиями опирания «заделка-заделка» (z-z) и «шарнир-шарнир» (s-s) при действии трех кольцевых нагрузок представлены эпюры меридиональных изгибающих моментов Ms и изополя МКЭ.
и
Y4{x)
-19,95
-1й 5f,
кН*см/см , -1Ь,Ь4 / \ -8Л0
/ \ /
1 5.33 \
/
г 3 2,86
С7.67
О
Рис. 32. - Эпюра моментов Ms, q= 3 кН/см для ß0 = 90° и R/h = 200 при z-z
Рис. 33. - Изополя моментов Ms, q= 3 кН/см2 для ß0 = 90° и R/h = 200 при z-z
74(
кН*см/см i in _-15,5t ^ 4-19,95 /~\-1В,90
\f \ / \ J:
\ ---П: / з.и 1
15,33 \
"24,57 \ /32,76
0 с 0 so 0 75 1
л
Рис. 34. - Эпюра моментов Ms, q= 3 кН/см для ß0 = 90° и R/h = 200 при s-s
о
Рис. 35. - Изополя моментов Ms, q = 3 кН/см для ß0 = 90° и R/h = 200 при s-s
М Инженерный вестник Дона, №9 (2024) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n9y2024/9474
кН*см/см -150, Зб|
1
-24, 36 -12,60 -24,15 -25,20 1
1 38 16,80 25,20
/
130,83
о
Рис. 36. - Эпюра моментов Ms , q = 3 кН/см для ß0 = 130° и R/h = 200 при z-z
Рис. 37. - Изополя моментов Ms , q = 3 кН/см2, ß0 = 130° и R/h = 200 при z-z
1\ _ЛЬ,7В / \ -17,64 -24,36 -24,1Б
V г- -10,25 ^У \
i w 11,76 ^ V, / \
кН*см/см 17,01 чУ \ 28,14 \ J
Б9,64\У
о
Рис. 38. - Эпюра моментов Ms, q = 3 кН/см для ß0 = 130° и R/h = 200 при s-s
о
Рис. 39. - Изополя моментов Ms, q = 3 кН/см , ß0 = 130° и R/h = 200 при s-s
Таким образом для кольцевой сферической оболочки с отношением радиуса кривизны к толщине R/h = 200 и углом полураствора ß0 = 90° значения меридионального изгибающего момента существенно отличаются вблизи кольцевых опор в случае жесткого закрепления и шарнирного опирания рис. 32 и рис. 34, в других точках отличия нет или оно незначительное.
Для кольцевой сферической оболочки с отношением радиуса кривизны к толщине R/h = 200 и углом полураствора ß0 = 130° значения меридионального изгибающего момента существенно отличаются также вблизи кольцевых опор в случае жесткого закрепления и шарнирного опирания, в остальных точках отличие составляет порядка 30% рис. 36 и рис. 38.
На рис.(40 - 47) представлены эпюры меридиональных изгибающих моментов Ms и изополя МКЭ при действии трех кольцевых нагрузок в кольцевых сферических оболочках с соотношением радиуса кривизны к толщине R/h = 25, углами полураствора ß0 = 90° и 130° и условиями опирания «заделка-заделка» (z-z) и «шарнир-шарнир» (s-s).
кН*:м/см -7,98 /
/
-1,49 -1,26 /
/ г0,05—-X ^---ч -0,96 /
' / / \ /
/ 2,14 \ /
/ V 5 15
h, 81
О 02J 0.30 0.75 1
I
Л
Рис. 40. - Эпюра моментов Ms , q = 3 кН/см для ß0 = 90° и R/h = 25 при z-z
л
Рис. 41. - Изополя моментов Ms , q = 3 кН/см для ß0 = 90° и R/h = 25 при z-z
Ш*1
/ 4 -1,16 -fl, 74
0,60 \ / \
кН*см/см ч "ißi \
_Уь04
D 0.25 Q.5D Q.75 1
л
Рис. 42. - Эпюра моментов Ms, q = 3 кН/см для ß0 = 90° и R/h = 25 при s-s
л
Рис. 43. - Изополя моментов Ms, q = 3 кН/см для ß0 = 90° и R/h = 25 при s-s
кН*см/см -18,06 1
-В,26 -2,06 -0,38 -2,94 J
/ 2.44 5,99
/17,12
л
Рис. 44. - Эпюра моментов Ms , q = 3 кН/см для ß0 = 130° и R/h = 25 при z-z
о
Рис. 45. - Изополя моментов Ms, q = 3 кН/см для ß0 = 130° и R/h = 25 при z-z Для оболочек R/h = 25 и ß0 = 90° рис. 40 и 42 условия опирания существенно влияют на значения моментов вблизи опор, в других точках отличие составляет от ~2 до 30 %
Рис. 46. - Эпюра моментов Ms, q = 3 кН/см2 для ß0 = 130° и R/h = 25 при s-s
о
Рис. 47. - Изополя моментов Ms , q = 3 кН/см для ß0 = 130° и R/h = 25 при s-s Для оболочек R/h = 25 и ß0 = 130° рис. 44 и 46 значения моментов вблизи опор также отличаются, в других точках отличие порядка ~2 - 10 %.
Литература
1. Власов В.З. Общая теория оболочек. М.: Изд. АН СССР, 1962. 520 с.
2. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: «Наука» Д976. 512 с.
3. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки. М.: «Наука», 1966. 636 с.
4. Reissner E. Variational considerations for elastic beams and shells. Journal of the Engineering Mechanics Division, Proceedings of the American Society of Civil Engineers, 1962, Vol.88, No. EMI, pp.23-57.
5. Koiter W.T. A consistent first approximation in the general theory of thin elastic shells. In. Proceedings of the Symposium on the Theory of Thin Elastic Shells, IUTAM, Delft. Amsterdam: North-Holland, 1960, pp.12-33.
6. Литвинов В.В., Языев Б.М. Энергетический метод в форме Тимошенко-Ритца для определения критических сил осевого сжатия круговой цилиндрической оболочки // Инженерный вестник Дона, 2012, №1. URL: ivdon.ru/magazine/archive/nly2012/722/.
7. Бурцева С.В., Стрельников Г.П. К определению перемещений оболочек вариационно-энергетическим методом // Инженерный вестник Дона, 2013, №2. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n2y2013/1633/.
8. Дьяконов В.П. Maple 10/11/12/13/14 в математических расчетах. М.: ДМК Пресс, 2014. 800 с.
9. Джабраилов А.Ш., Николаев А.П., Клочков Ю.В., Гуреева Н.А., Ищанов Т.Р. Нелинейное деформирование осесимметрично нагруженной оболочки вращения на основе МКЭ с различными вариантами определяющих уравнений // Известия Саратовского университета. Новая серия. 2022. С.48-61.
10. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Методы расчета оболочек, т.4, Теория оболочек переменной жесткости. Киев: Наук. Думка, 1981. 544 с.
References
1. Vlasov V.Z. Obshay teoriy obolochek [General theory of shells]. Moskva: Izd. AN SSSR, 1962. 520 р.
2. Goldenveyzer A.L. Teoriy uprugih tonkih obolochek. [Elastic thin shell theory]. Moskva: Nauka, 1976. 512 p.
3. Timoshenko S.P., Voynovskiy-Kriger S. Plastiny i obolochki [Plates and shells]. Moskva: Nauka, 1966. 636 p.
4. Reissner E. Journal of the Engineering Mechanics Division, Proceedings of the American Society of Civil Engineers, 1962, Vol. 88, No. EMI, pp.23-57.
5. Koiter W.T. In. Proceedings of the Symposium on the Theory of Thin Elastic Shells, IUTAM, Delft. Amsterdam: North-Holland, 1960, pp.12-33.
6. Litvinov V.V., Yzyev B.M. Inzhenernyj vestnik Dona, 2012, №1. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n 1y2012/722/.
7. Burzeva S.V., Strelnikov G.P. Inzhenernyj vestnik Dona. 2013, №2. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n2y2013/1633/.
8. Diykonov V.P. Maple 10/11/12/13/14 v matematicheskih raschetax [Maple 10/11/12/13/14 in mathematical calculations]. Moskva: DMK Press, 2014. 800 p.
9. Dzabrailov A.H., Nikolaev A.P., Klochkov Y.V., Gureeva N.A., Izchanov T.R. Izvestiy Saratovskogo yniversiteta. Novay seriy, 2022. pp. 48-61.
10. Grigorenko Y.M., Vasilenko A.T. Metodi rascheta obolochec, t.4, Teoriy obolochec peremennoy zestkosti [Methods of Shell Calculation, Vol. 4, Theory of Shells of Variable Stiffness]. Kiev: Nauk. Dumka, 1981. 544 p.
Дата поступления: 1.07.2024 Дата публикации: 21.08.2024
