CC BY
9Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 69
www.mai.ru/science/trudy/
УДК 539.3
Расчет колебаний составных оболочек вращения с соединительными шпангоутами по методу конечных элементов
Рей Чжунбум
Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), МАИ, Волоколамское шоссе 4, Москва, А-80, ГСП-3,125993, Россия
e-mail: [email protected]
Аннотация
Разработан алгоритм расчета по методу конечных элементов (МКЭ) осесим-метричных и неосесимметричных колебаний составных ортотропных оболочек вращения со шпангоутами. Упругая оболочка с учетом ее предварительного осесим-метричного напряженно-деформированного состояния моделируется системой кольцевых конических полосок (КЭ). Шпангоут рассматривается как упругое кольцо с недеформируемым поперечным сечением, которое соединяет примыкающие к нему КЭ оболочки на одной, двух или более узловых окружностях.
Шпангоут с деформируемым контуром поперечного сечения рассматривается как упругая оболочка вращения, которая также представляется системой нескольких кольцевых конических КЭ.
В качестве примера рассмотрены свободные колебания цилиндрической оболочки с тонкостенным сферическим днищем, соединенных упругим шпангоутом. Оценено влияние параметров шпангоут на собственные частоты колебаний.
Ключевые слова: оболочка вращения, оболочки составные, шпангоута круговой, шпангоут тонкостенный, колебания упругие, метод конечных элементов
Введение
Расчету колебаний оболочек вращения с подкрепляющими шпангоутами (ребрами) посвящено большое количество работ. При этом используются различные расчетные модели: 1) при частом расположении ребер с достаточно малыми разме-
рами их поперечных сечений по сравнению с радиусом они "размазываются" вдоль образующей, [1]; 2) дискретные шпангоуты заменяются эквивалентными упругими связями по перемещениям и углу поворота, распределенными вдоль окружности [2]; 3) шпангоуты рассматриваются как кольцевые стержни с недеформируемым поперечным сечениям, соединенные с оболочками на одной, двух или более окружностях [3, 4]; 4) при использовании метода конечных элементов (МКЭ) для оболочки вращения используются КЭ в виде кольцевых полосок, а для шпангоута с деформируемым поперечным сечением- в виде системы кольцевых оболочечных или объемных КЭ[5, 6].
В данной работе для расчета осесимметричных и неосесимметричных колебаний составных ортотропных оболочек вращения при использовании КЭ- модели упругие подкрепляющие и соединительные шпангоуты рассматриваются как отдельные кольцевые КЭ с недеформируемым поперечным сечением. Тонкостенные шпангоуты с произвольным открытым или замкнутым контуром поперечного сечения считаются деформируемыми и представляются в виде системы КЭ оболочки вращения.
Постановка задачи
£
Рис. 1
Рассмотрим тонкую упругую ортотропную оболочку вращения, (рис.1), будем считать, что в окружном направлении, представляемом угловой координатой в, все параметры оболочки являются постоянными и система находится в стационарном
осесимметричном напряженно- деформированном состоянии. В этом случае все неизвестные функции линейной задачи гидроупругости можно представить в виде разложений в ряды Фурье по функциями cosпв, sinпв, при п = 0,1,2,.... В силу ортогональности этих функций при 0 <в< 2л колебания системы распадаются на осе-симметричные (п = 0) и неосесимметричные (п = 1,2,3,.). Здесь будем рассматривать колебания по одной из гармоник ряда Фурье при заданном п = 0,1,2,....
При расчете колебаний оболочки будем использовать МКЭ, рассматривая в качестве КЭ узкие кольцевые полоски оболочки. Оболочки всех КЭ будем считать коническими ; в этом случае меридиан оболочки аппроксимируется ломаной линией, состоящей из прямолинейных участков малой длины. Деформации тонкой оболочки КЭ описываются на основании теории Кирхгофа-Лява .
Перемещения и деформации срединной поверхности, углы поворота нормали и изменения кривизн оболочки для n-ой гармоники запишем в виде
{u,wss в $ щ }= ^fT^eS-ylкв,кв,
{v ГвА—в) = ГвА—e}sin пв. (!)
Амплитудные значения (1) в случае конической оболочки КЭ связаны соотношениями [ 7 ]:
3LJ 1
T = — + АА, T = 1 (Ucos® + Wsin® + пУ), ds R
-^у-~Ru+АА,; а(2)
ds RR os
А dw, а s® + ^; -=-o2W
s ds p R R ds2
_ п . тг п TTr cos® dW -в =—г sin®- У + — W---,
в R R2 Rds
п , . тт _ nd W
—вв=(sn ® *U - s®-W +
R2 4 ' ' R дs
3° (s) - угол поворота нормали оболочки в предварительном осесимметричном напряженно-деформированном состоянии с усилиями №(s), N0(s) и перемещениями и° (s), w° (s) .
Потенциальная энергия деформации ортотропной оболочки к-го КЭ (рис.2) для п-ой гармоники с учетом предварительного напряженно-деформированного состояния записывается в виде
где
Пк} = 1 [ + + Bes¡ + B serle +
+DsK2s + 2Ds+ ЗД2 + D*** + ^ + ОД?]^^ , (3)
fí - Eh fí - Eeh n - Eh П - Eeh
B s = л , Be = ^ , D s = л~(л \, De =
l-^e' 1 -^e' S 12 (!-WeY 12 í1 ~ WeY
3
3
V1 - Л J+R l A,
Be = Gh, Dse = f- ;f = f, f = ^, R = RM11 - y,
3 Bs Be Ds De V /lk.
h—толщина оболочки; E,G,/j, —модуль нормальной упругости, модуль сдвига и коэффициент Пуассона (индексы s и e указывают на меридиональное и окружное
направления); дп = 2 при n=0, дп = 1 при n = 1,2,3,____Длина образующей 1К k-го
КЭ оболочки должна быть значительно меньше длины 1к и зоны изгибного краевого эффекта ( /к << /к м ), которая имеет наименьшее значение
Г~ Г 2 2 ~|1/4
К и ~ 3yJ2 [DsRk / Be sin (pk J при n = 0 и постепенно возрастает при n = 1,2,3, _.
Кинетическая энергия оболочки k-го КЭ для n-ой гармоники:
T^ = 1 Poh (Ú2 + К2 + W2) Rds (4)
ро - плотность материала оболочки.
Матрицы жесткости и инерции оболочки
Рис.2
Амплитудные значения меридионального, нормального и окружного перемещений конического КЭ оболочки (рис.2) для п-ой гармоники аппроксимируются
степенными функциями меридиональной координаты ^ с неизвестными коэффициентами а , а2,.. .а8, зависящими от времени V.
и = а + а2, Ш = а + а4s + а5s2 + а6s3, V = а7 + а8^. (5)
Аппроксимации (5) удовлетворяют перемещениям КЭ как твердого тела при п = 0,1.
Соотношения (2) с учетом (5) записываются в матричном виде
где
8
р = ,*= а, Ре = Харе,< = агв , = = ауе ,
г=1 г=1 г=1
_ 8 _ 8 8
¿=1 ¿=1 ¿=1 8 8 = Ха^ = «гке, = = аке, (6)
кв
¿=1 ¿=1
а=Ы8>
^ = ^8 ' Ks = ^8 ' Ке={^г ^8' К*е={*е ^8 ; (7)
р,1 = р5,3 = SsЛ = Ss,8 = 0 , р5,2 = 1 , ,4 = -33° , р,5 = -23°S , р,6 = -33°^ ;
соб® соб® б1п® б1п® б1п® 2
р =-— Р =-— S Р =-— Р =-— S Р =-— s
Р0,1 ^ , р0,2 ^ s , р0,3 ^ , р0,4 ^ s , р0,5 ^ л ■
Б1П® 3 п п п п
s , рв,7 = ~ , ре,8 = ~ Уввх = , Уsв,2 = S ,
о° п ^° п п 2 <-)° п з
Уsв,3 =3 ~ , У«0,4 =3 ^ , У0,5 =3 ^ , ув,6 =3 ^ , у =3° БШ® соб® у = . С0Б® „ + 3 ^ .
Уsв,7 , У0,8 = 1 + S '
3,1 = 3,2 = 3,3 = 3,7 = 3,8 = 0 , 3,4 = -1 , 3,5 = , 3,6 = -3<2 ;
30,1 = 3в,2 = 0 ,
а = 1 а = а = 1,2 3 = п* = б1п® = БШ®
3в,3 = ^ , 3в,4 = ^ л , 3в,5 = ^ л , 3в,6 = ^ л , 3в,7 = ^ , 3в,8 = ^
Ks,1 = Ks,2 = Ks,3 = Ks,4 = Ks,7 = Ks,8 = 0 , Ks,5 = -2 , Ks,6 = -6S;
2 2 2 _ _ _п _п соб® _п 2 -СОБ®
^0,1 =К0,2 = 0 , Ке,3 = , = S ^ , кв,5 = S - 2 ^ S ,
п2 3 СОБ ® 2 п . п .
ке,6 =-¡2s - s , ке,7 =^Гsm®, ке,8 =~1Бтф- s;
8
8
_ пбш^ _ пбш^ _ псоб^ _ п псоб^
К9,1 = ' К9,2 = 5 ' К9,3 = ' К9,4 = ~ 5'
_ п псоб^ 2 п 2 псоб^ 3
К9,5 = 2~ Я ~2 5 , К9,6 = 3~Я ~~2 5 , К9,1 = К9,8 = 0 .
При осесимметричных продольно-радиальных колебаниях системы п = 0 и V = 7*в = 3е = к^ = 0. Соответственно этому в выражениях (6),(7) следует положить а7=а%= 0, / = 1,2,..6; векторы (7) при этом будут иметь 6-ый порядок.
С учетом (1),(2),(5),(6) потенциальная энергия к-го КЭ оболочки (3) записывается в виде
П?) = 1 ат Кк )а; (8)
ка} = 8^ [+ В^9 + ^) + В9*9*1 + В90У90УТ99 + Х +
-матрица жесткости к—го КЭ для вектора а; в случае неосесимметричных колебаний (п = 1,2,.и 8п = 1) она имеет 8-й порядок, а в случае осесимметричных колебаний (п = 0и 8п= 2)- 6-й порядок.
Кинетическая энергия к— го КЭ оболочки (4) с учетом (1),(5) будет
тОк} = 1 ат мак )а, (9)
где матрица инерции А:—го КЭ оболочки для вектора а имеет 8-й порядок для неосесимметричных колебаний (п = 1,2,.и 8п= 1) и 6-й порядок - для осесимметричных колебаний (п = 0и 8п= 2).
Для удобства соединения разных оболочек через упругие соединительные шпангоуты в качестве основных обобщенных координат к— го КЭ оболочки будем рассматривать амплитудные значения осевого % = ибш^- Ж соб^ , радиального ц = исоб^ + ЖБтф и окружного К перемещений и угла поворота нормали в меридиональной плоскости на краях я = 0 и я = 1к, рис.2. Векторы основных обобщенных координат к— го КЭ для неосесимметричных и осесимметричных колебаний, соответственно, записываются в виде
q(k} = [4-1 %-1 3-1 гк_1 & Лк з гк ]т, (10)
q(k} = [4-1 лк- 3-1 4 лк зк ]т. (11)
При этом вектор а выражается через к} как
а = О- я(к(12) где матрица преобразования для неосесимметричных колебаний с учетом обозначений бш^ = ^ = ск записывается в виде
О,
^к ск 0 0 0 0 0 0
-1 Л 1к кък 0 0 Г ^ 1к Ак 0 0
-ск 0 0 0 0 0 0
0 0 -1 0 0 0 0 0
-31- sk 21-1 0 31-2 *к К1 0
-2Къск 2/;Ч -I-1 0 2Къск -21- Ч -К1 0
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 Ч"1 0 0 0 1
(13)
для осесимметричных колебаний в приведенной выше матрице (13) необходимо вычеркнуть последние две строки, соответствующие ап ,а8, и 4-й и 8-й столбцы, соответствующие Ук_ •
С учетом преобразования (12) потенциальная и кинетическая энергии оболочки к-го КЭ имеют вид:
П > - 2 я
к (к) =1 я (- )т м^ )(Я{к)
1
(к )т
(к )Л( к)
о
К ( я
К
(к)
м
(к)
■ОТк как О к;
отк мак )Ок,
(14)
где К( ), М( } - матрицы жесткости и инерции к-го КЭ оболочки для основных обобщенных координатах (10) или (11).
Для упрощения вычислений кинетической энергии узкой кольцевой полоски к-го КЭ, а также вариации работы действующего на нее давления, амплитудное значение нормального перемещения Ж можно аппроксимировать линейной функцией (как и тангенциальных перемещений и,У ): Ж - (1 - фк ) + (фк ) •
Тогда для матрицы инерции М(к) будем иметь следующее приближенное выражение для случая неосесимметричных колебаний (п -1,2,.. ,и£и -1):
м(к) = 5?РЛ х п 12
X
3^-1 + Як 0 0 0
Кк 1 + Кк 0 0 0
3Як-1 + Як 0 0 0
Кк 1 + Кк 0 0
0 0 0
0 0 0
0 3Кк-1 + Як
0 0 0
0 0 0
0 Як-1 + Як
Як-1 + Як 0 0 0
Як 1 + 3Як 0 0 0
Як-1+Як 0 0 0
Як-1+3Як 0 0
0 0 0
0 0 0
0 Як-1+Як
0 0 0
0 0 0
0 Як-1+3Як
(15)
Для случая осесимметричных колебаний (п = 0 и£и = 2) в этой матрице необходимо вычеркнуть 4-ю и 8-ю строки и 4-й и 8-й столбцы, соответствующие Ук_х
и ^.
Дно оболочки с полюсом, где Я ^ 0, при численном решении можно заменить отверстием достаточно малого радиуса Яо со свободным краем к = 0 (на этом краю Л,У0 считаются неизвестными) или абсолютно жесткой пластиной радиуса Я Тогда при абсолютно жестком соединении пластины и первого (к = 1) КЭ на краю к = 0 необходимо выполнить условия: ла=Л = 0 при п = 0 ; 4 = ЯЛ У =-л0 при п = 1; 4 =Ло = Л0 = Уо = 0 при п = 2,3,....
Матрицы жесткости и инерции шпангоута
Рис. 3
Рассмотрим т-ый кольцевой шпангоут с произвольной формой недеформи-руемого поперечного сечения, рис.3; начало координат х, у поперечного сечения шпангоута располагается в его произвольной точке т, расстояние от которой до оси (радиус шпангоута) обозначается через Я . Размеры поперечного сечения шпанго-
ута будем считать малыми по сравнению с R; поперечными сдвигами поперечных сечений шпангоута будем пренебрегать. Осевое и радиальное перемещения на окружности радиуса R и угол закручивания поперечного сечения представляются в виде cos пв, r¡m cos пв , 3т cos пв , а окружное перемещение - как Vm sin пв; п = 0,1,2, .... Амплитудные значения ), гГк) ) и V(1) принимаются за обобщенные координаты m-го шпангоута, векторы которых для неосесимметричных (п = 1,2,3,.) и осесимметричных (п = 0) колебаний будем обозначать соответственно как
X = r & V f, x = r¿ r 3 . (16)
m >m m mJ ? m >m m-i V /
Потенциальная и кинетическая энергии рассматриваемого шпангоута записываются также как для тонкостенного кольцевого шпангоута с недеформируемым в своей плоскости поперечным сечением [ 3, 4], пренебрегая его депланацией (co(s)« 0) и изменяя на обратные направления O, Vm и 3т. С учетом этого потенциальная и кинетическая энергии m-го шпангоута записываются в виде:
ПШ} = 1 XTmKmXm , T^ = 1 XЖXm (17)
кLm) = [kj ], Mm = {mtJ ]
- матрицы жесткости и инерции т-го шпангоута.
В общем случае для неосесимметричных колебаний ( п = 1,2,3,. ; 8П = 1;/,7 = 1,2,3,4) будем иметь следующие выражения для коэффициентов обобщенных жесткостей и обобщенных масс т-го шпангоута:
к, = 5кЕЯ~3п2(п21 +уЗ ),
11 п т у у / кр / '
к 12 =5пхВЯ-тп2(( п2-1)1у + 8уЯт),
¿13 =-дпкВЯ--п2 (1у р),
= £ жЕЯ 3 /ЕЯ2 + ( 2п2 -1)5 Я + (п2 -1)21 ),
22 п т \ mV ' х т \ /х/'
к23 =-5пхЕЯ-2((п2-1)1ху + , к2А =5пкЕЯ-- п ( ЕЯт + п2 ^ ), к, =5жЕЯ-п (I + n2yJ ),
33 п т \ у ' кр / >
к34 = -$пКЕЯт пу
к44 =5п*ЕЯ--п2(ЕЯт + 5х), ку. = к}1; (18)
т, = 8крп К 1 (РЯ2т + ^К, + ПК)
11 п > о т \ т х т х 1
тп =ЯпКРоКп1ху ,
т
т
14
т
т
8„ЩР0 (1х + ) , 8пяраНт Хп (21у + ^уКт ) ,
т22 = 8пР (РКт + 8х ) , т23 = -8пР (1ху + ) ,
8пЖРоЯт 1п(21х + БД. ) , -8пРоК 1 (1х + 1у ) ,
т34 =-8пКРоп$у ,
т44 = 8п^РоКт^ (РКт + 31х + 3^х^т ), т, = т^ . (19)
Здесь Р, , £, 1Х, 1у, - площадь, статические моменты и моменты инерции площади поперечного сечения в общепринятых обозначениях; ^ = , - приведенный момент инерции поперечного сечения на кручение (- крутильная жесткость). В случае осесимметричных колебаний в выражениях (18),(19) следует положить : п = 0,8= 2, г,, = 1,2,3.
Условия соединения шпангоута с оболочками
Амплитудные значения перемещений в точке I т-го шпангоута (рис.3) выражаются через его перемещения в начале координат т как
К п п
£■=£ + 3 у, п = п -3 х , V = V — + £ — х + п — у .
^Ч -'т т^г ' п 1т т г ' г ^ К ' Л
(20)
Эти соотношения с учетом 3 = 3т записываются в матричном виде в зависимости от вектора :
X = С X ■ X
т,1 т, 1 т> т
\г 1 т \£'
Пт , X^ . — П
3 т 5 т,г
V _ т _ V _
1 0 Уг 0
0 1 -хг 0
Ст,1 0 0 1 0
х1 п-1- _ Кт «А Кт 0 Кт
колебаний («=0):
(21)
V = V = 0 ,
т г '
хт = [£т пт 3т],хт1 = [ц. 31 ]; соответственно в матрице Ст1 следует приравнять нулю четвертую строку и четвертый столбец.
Пусть к-ый КЭ оболочки, характеризуемый вектором обобщенных координат
X,,
X* _1
(10) или (11), который можно представить в виде % = узловой окружности к с окружностью I т-го шпангоута. Тогда
а * = с
жестко соединяется на
Г х 1 Г с о 1
т с+ = т,/
_ Хт—1 _ ? т,/ 0 Е
(22)
Если к-ый КЭ оболочки жестко соединяется на узловой окружности к-1 с окружностью I т-го шпангоута (= 1), то
Чк Ст,/
Г X1 ~Е 0 "
к с =
_ Хт _ ? т,/ _ 0 Ст/ _
(23)
Для подкрепляющего шпангоута, соединенного с оболочкой однорядным заклепочным или сварным швом, можно считать, что это соединение осуществляется только на одной окружности I этого шпангоута. В случае силового шпангоута, соединяющего края различных оболочек на различных окружностях ¡, необходимо учитывать эксцентриситеты этих соединений, т.е. координаты х,у. Таким образом т-ый шпангоут может быть соединен на одной, двух или более окружностях с различными оболочками. При этом векторы обобщенных координат на краях этих оболочек выражаются через вектор обобщенных координат Хт т-го шпангоута на основании соотношений (22),(23).
Если шпангоут является тонкостенным и имеет деформируемый открытый или замкнутый контур поперечного сечения, то он рассматривается как упругая оболочка вращения. Путем деления контура на отрезки такой шпангоут представляется в виде системы нескольких кольцевых конических КЭ, которые соединяются на узловых окружностях с соответствующими КЭ основной оболочки.
Потенциальная и кинетическая энергии, а также вариация работы внешних нагрузок, системы оболочек вращения со шпангоутами получается путем суммирования (14), (17) по всем КЭ и шпангоутам с учетом условий их соединения (22), (23) и условий закрепления
п=хпок)+хпт), т=хток)+хтшт), зл=х +хяхо.. (24)
к т к т к т
Уравнения колебаний системы в обобщенных координатах записывается в виде
ма+ка = ). (25)
Вектор обобщенных координат КЭ- модели для случая неосесимметричных колебаний незакрепленной оболочки со шпангоутами и со свободными краями
к = 0, к = г имеет вид
Я = [£0 / Л0 У0 Г/1 Л1 У1 €т ^т Лт Ут "" £г /г Лг Уг Г ;
для осесимметричных колебаний (и=0) здесь следует опустить все компоненты V.
Для решения системы уравнений (25) высокого порядка их следует преобразовать к нормальным координатам, представляющим некоторое число ^ низших собственных форм колебаний [4]:
ч($) = 1 /Р«)ГР;
р=1
[М + К]У = 0 ^а>2р,ур;
тр(}р +а2р/р) = Ер(0, (р = 1,2,.,5); тр = \ТрМУр, Ер = \рЪ. (26)
Пример расчета
Рис.4
- я
я-
а) б)
Рис.5
В качестве примера рассмотрим расчет собственных осесимметричных колебаний цилиндрической оболочки, соединенной упругим шпангоутом со сферическим днищем, к которому на окружности радиуса Я жестко присоединен груз с массой М, рис.4. Шпангоут, жестко соединенный с оболочками, имеет сплошное недеформируемое поперечное сечение в виде равнобедренного прямоугольного треугольника в вариантах а и б, показанных на рис.5а, б. Цилиндрическая и сферическая оболочки являются изотропными, имеют одинаковую толщину И и коэффициент Пуассона ¡=0.3. Модуль упругости Е и плотность материала ро оболочек и шпангоута одинаковы. Масса груза Мо = Я3рокг. Исходные данные: Ь = 4Я, И = 0.0025Я, с = 0.05Я, Яо = 0.2Я.
В таблице приведены безразмерные значения квадратов трех низших собственных частот колебаний ЛЛ = Е 1 (1 - ¡и2)р0Я2а2р, р = 1,2,3 для двух вариантов шпангоута.
Таблица 1
вар Л Л2
а 0.00027154 0.08647651 0.28286304
б 0.00028381 0.08425886 0.30118976
Отсюда видно, что несмотря на то, что площадь поперечного сечения шпангоута в вариантах а и б одинакова, его расположение относительно соединяемых оболочек оказывает существенное влияние на собственные частоты колебаний. При этом еще большее влияние форма поперечного сечения соединительного шпангоута и его расположение оказывают на краевые изгибы оболочек.
Выводы
Разработан алгоритм расчета по методу конечных элементов осесимметрич-ных и неосесимметричных колебаний составных ортотропных оболочек вращения с подкрепляющими и соединительными шпангоутами. Оболочки и тонкостенные шпангоуты с деформируемым контуром поперечного сечения моделируются кольцевыми коническими конечными элементами. Кроме этого рассматривается модель шпангоута в виде кольца с недеформируемым поперечным сечением с учетом эксцентриситетов его соединений с оболочками.
На примере цилиндрической оболочки со сферическим днищем, соединенных через упругий шпангоут, оценено влияние параметров шпангоута на собственные частоты колебаний.
Библиографический список
1. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. -М.:Машиностроение.1988. -272с.
2. Шмаков В.П. Избранные труды по гидроупругости и динамике упругих конструкций. -М.:Изд-во МГТУ им.Н.Э.Баумана,2011. -287с.
3. Сафронова Т.Д., Шклярчук Ф.Н. Применение метода отсеков к расчету колебаний круговых цилиндрических оболочек с тонкостенными шпангоутами// МТТ,1992, №2.-с.151-159.
4. Гришанина Т.В., Тютюнников Н.П., Шклярчук Ф.Н. Метод отсеков в расчетах колебаний конструкций летательных аппаратов. -М.:Изд-во МАИ, 2010.-180с.
5. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. -М.:Мир,1975. -542с.
6. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов: Справочник/ В.И.Мяченков, В.П.Мальцев, В.П.Майборода и др. - М.: Машинострое-ние,1989.-520с.
7. Бидерман В.Л. Механика тонкостенных конструкций. - М.: Машинострое-ние,1977.- 488с.
