Математическая модель расчета продольно-гофрированной конической оболочки, подкрепленной шпангоутами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3

DOI: 10.18698/2308-6033-2018-8-1794

Математическая модель расчета продольно-гофрированной конической оболочки, подкрепленной шпангоутами

© А.А. Дудченко, В.Н. Сергеев

МАИ, Москва, 125993, Россия

В основу исследования напряженно-деформированного состояния тонкой оболочки положена математическая модель, в соответствии с которой продольно-гофрированную оболочку можно интерпретировать как непрерывный набор стрингеров, ориентированных по образующим конической поверхности. Стрингеры связаны между собой только в продольном направлении, и каждый из них работает лишь на растяжение-сжатие и изгиб в плоскости осевого сечения оболочки вращения. Коническая оболочка, подкрепленная дискретным набором шпангоутов, представляет собой дискретно-континуальную систему и рассматривается с помощью аппарата обобщенных функций. Полученные авторами статьи инте-гродифференциальные уравнения равновесия конической оболочки в обобщенных перемещениях представляют интерес для специалистов, занимающихся расчетами тонкостенных конструкций.

Ключевые слова: математическая модель, коническая оболочка, дискретный набор шпангоутов, аппарат обобщенных функций

Введение. В данной работе рассматривается математическая модель дискретно подкрепленной конической оболочки. Дискретность подкрепляющего набора предлагается учитывать, фиксируя переменную жесткость системы с помощью дельта-функции Дирака [1-7]. Такой подход позволяет избежать «склейки». Задача исследования сводится к уравнениям с коэффициентами, содержащими особенности дельта-функции.

Общий метод построения решения уравнений с коэффициентами, содержащими особенности типа дельта-функции и их производных, представлен в работах [8-10]. Данный метод может быть использован в качестве основы исследования всевозможных объектов, сочетающих непрерывные элементы с дискретными.

Расчетная модель. Основные допущения. Вместо гофрированной оболочки из однородного изотропного материала рассматривается гладкая коническая оболочка вращения из эквивалентного однородного ортотропного материала. Соотношения упругости для оболочки с «размазанным» гофром имеют вид в форме [11-13]:

« Eh ( " ^

N11 _:—k1 "2

61 + 7^2 , N _TEh4T("£1 + £2), Nif _GY12, (1) 1 -"2 k2 k

kk

■1ft2

моб = в ь

1 -ц

Х1 +

ц

Л 1 -ц2 1

Х2 , М2°2б = В^-^у — (ЦХ1 + Х2 ),

V

к1к2 У

1 -ц*2 к

(1)

М2°б = М2°б = Х12.

к3

Здесь

, 1 г йу , 12 г г2 йу 1 1

к = ; к2 = —I—- + -1 /0^ 0 2 ь2"

Л2/ 0 cos 0 /0

I ( /

111 1соз20йУ; к3 = — —I— !cos 0 йу

0 2 к1 10

, (2)

где к1, к2, к3 — безразмерные коэффициенты г°фра; В — цилин-

дрическая жесткость, В =

ЕИ

3

; Е, С, ц, И — физические кон-

12(1 -ц2)

станты материала и толщина гофрированной оболочки соответственно; ц*2 =ц2/(кк).

1 / '

а б

Рис. 1. Гофрированная (а) и гладкая (б) панели

Однородному ортотропному материалу гладкой конической оболочки вращения, эквивалентной гофрированной оболочке, свойственна сильная анизотропия. Безразмерные коэффициенты (2) любого гофра, как правило, удовлетворяют условию к2 > к1, к3. Расчеты

2 3

показывают, что обычно к1 - к3 - 1...3, к2 /к1 > 10 „ЛО^.

Из формул (1) следует, что >> №2б, М^ >>М22, МЙ5,

поэтому будем использовать вместо (1) упрощенные соотношения упругости эквивалентной ортотропной оболочки:

< = кЕИеь N2 = 0, №б =1 СИу 12;

(3)

M0]6 = k^ Хь м2о2б = 0, М°2б = M2°f = 0.

(3)

Соотношения упругости (3) соответствуют расчетной модели, в которой гофрированную оболочку можно интерпретировать как непрерывный набор стрингеров, ориентированных по образующим конической поверхности, причем стрингеры связаны между собой только в продольном направлении и каждый из них работает лишь на растяжение-сжатие и изгиб в плоскости осевого сечения оболочки вращения. Применимость подобной модели гофрированной оболочки показана, например, в работе [13].

Запишем уравнения равновесия гофрированной конической оболочки, отбрасывая нелинейные члены в системе нелинейных уравнений равновесия (см. (69) [14]):

д г 1 д f Э>И дw

—[NoB\ + A—S2-N2 A sin у-cos у— + poAB + ръВ— = 0; да Эр V да; да

Л / л \

—[S0B\ + A—N2 + A sin у S2R + S2S A sin у - cos у— да дв V да

+ p2 AB (0 + e2) + P3A

дw a

-+ cos YW

дв У ,

„ . _ WD Г

-Q2 AB —^-Х2

V B

дд{.QoB (0 + £2)] + A -д Q2 - N0ABX0 + N 2 A (cos Y-BX2)-

0;

(4)

-(So + S2) ABip + P3AB (0 + e2)-poB |W - P2 A

дw

Эр

+ cos у W

= 0;

д

A—M 2 + H 2 др 2 2

дw

A sin у - cos у — -M3 ABxB - Q2 AB (0 + £2) = 0; да;

д д f дw

—[MoB (0 + 82)] + A—H2 -M3A (cos Y-BX2)-M2 A sin у-cos уд

да др V да

Q0AB (0 + 82) = 0;

д

(M2 -M0) ABTp + H2 A (cos у - BX2) + A — M3 - (S2 - S0) AB (0 + 80) = 0.

дв

Здесь N0, S0, S2, Q0, M0 — силовые факторы в собственно оболочке; N2, S2, Q2, M2, M3, H2 — силовые факторы в собственно шпангоуте.

Обобщенные силовые факторы в оболочке при переходе через шпангоут (а = а7- -0, а = аj + 0) имеют особенности: N0, S0, S2,

Q0, M0 — конечные скачки; N2, S2, Q2, M2, M3, H2 — особенности типа дельта-функции.

Система дифференциальных уравнений равновесия подкрепленной шпангоутом оболочки. При построении уравнений равновесия в перемещениях из уравнений равновесия (4) следует исключить неизвестные силовые факторы, для которых согласно гипотезе Кирхгофа — Лява — Клебша соотношения упругости отсутствуют. Из выражения (1) [14] и соотношений упругости для конической оболочки (3) и шпангоута (см. (80)-(82) [14]) соотношения упругости существуют лишь для Ы1, Ы2, S1, М1, М2, М3, Н1, в то время как £2, Q1, Q2 могут быть найдены из уравнений равновесия и поэтому подлежат исключению из последних. Промежуточное положение в этом отношении занимает момент Н2 (см. (1) и (83) [14], а также (3)), поскольку этот момент зависит от перерезывающих сил в поперечном сечении шпангоута, если последний прикреплен к эквивалентной оболочке эксцентрично. Тогда для момента Н2 не располагаем полноценным соотношением упругости. При этом дифференциальные уравнения равновесия «единой» оболочки можно свести к трем уравнениям относительно перемещений и, Ф, —, однако соответствующее преобразование нетривиально.

Предварительно решим, как обычно, моментные уравнения равновесия относительно S2, Q1, Q2, игнорируя пока зависимость Н2 от перерезывающих сил в шпангоуте:

S2 = ^ +(М2 -Мх )тр +Н 2

cos у

в

(1 — е2 )-Х2

+ -(1 — е2 )—М3; (5)

ВУ 2' эр 3

Ql = ——(МВ) + ~ М1 —М3 ^ АВ да ' А 1 да 3

cos у В

(1 — е2 ) —Х2

+

— (1 — е2)—Н2 —— М2 В 2 др 2 АВ 2

А sin у(1 — е2) —cos у ——

да

(6)

Q 2 = — (1 — е2 ) — М2 + — Н 2 В 'др 2 АВ

А sinу(1 — е2) — ^у —— да

-М3ХР. (7)

Уравнения (5), (7) проинтегрируем по а в окрестности линии контакта у'-го шпангоута а = а^. Учитывая выражения (1) [14], запишем

J

Нт [ S2Аёа = <3,

ш

«и

а ,—е

{ МЦ] Ч+Щу

cos у В

(1 — е2 ) —Х2

+ - (1 — е2)—Мш у В 2> др

lim | Q2Adа = QШ

В

(1 — е2)—Мш + —Мш К 2 др АВ П2]

Абш у(1 — е2) —соб у

д— да

-М«3] Тр

Внесем в полученные выражения «неполноценное» соотношение упругости (83) [14] и получим систему уравнений относительно перерезывающих сил Q«1J, Q«3J':

а

«и

1—С0!1 А В

3]

+QШ'C^sI а

В

1)

+ В (1 — £2 )двМ!]' + ^ Те

cos у В

(1 — е2 ) —Х2

Qш sinУ а* + Qш ^у В А у + ^

1 ^п у

1 +--А

В

1]

= {В (1—£2 ^ Мш Тр

Sin у

В

(1 — £2 )■

cos у д— АВ да

откуда, пренебрегая произведениями безразмерных эксцентриситетов

вида А, которые считаем малыми, и деформаций по сравнению с В

единицей, нетрудно определить

Qш =

М тр+в

1 Л соб у . * ^ д

1 — е2 + А3]

—Мш — др

СОБ у

В

А,— Мш Тв

2 и др У Р

СОБ у

В

~ —е2 Г

V ] /

Х2

(8)

а=а

а]

ош =

В

sin у . 1 -е2---А

2 В

1]

V

/

ар МШ] —Мш тр +

+ ^П У А* Э Л/ш + т + В А3] "др М"3] + 3тР

Sin у

В

£2

г

]

cos у Эж Эа

, (9)

где г* — радиус линии центров изгиба *-го шпангоута.

Внесем полученные выражения в «неполноценное» соотношение упругости (83) [14] и, пренебрегая произведениями тех же малых величин, запишем

1 Э

М2/ = тр|а=а * + у Эр (Аз*Мш -А**Мш).

(10)

Далее, используя (9) и (10), получим с той же точностью «полноценное» соотношение:

Мш ■

1У1П2]

3 ТР|а=а, +

+

Е* Э3

я3 эр3

'(а*311 -А3313).ж-(а3з33 — А*313) и

(11)

Таким образом, для момента Н2 в конической оболочке (см. (1) [14]) имеем с учетом выражения (11) соотношение упругости, что позволяет, исключив по обычной схеме усилия £2, 01, 02 из дифференциальных уравнений равновесия «единой» оболочки, получить три дифференциальных уравнения равновесия «единой» оболочки относительно перемещений и, Ф, ж .

Рассмотрим упрощенный вариант нелинейных дифференциальных уравнений равновесия оболочки в форме (4). Внося в эти уравнения выражения (5)-(7) и удерживая, как и всюду выше, лишь квадратичные нелинейные члены, представим окончательно уравнения равновесия оболочки в форме

Эж

да

[^В (1 + £2 )] + А "др[(М2 -М1 )тр]-N2 А МП у — со$ у —

+ Х1

э э

—(М1В) — А siп у М2 + А—Н2 — А ^ у М3 да Эр

да

+

+

+ тР

А—М2 + А sin у Н2 Эр 2 ' 2

+ Н 2 Эр! 2

cos у В

(1 — £2 ) —Х2

- +

А д +--

В др

(1 — е2)— М3 ' 2 др 3

+ р1 АВ (1 + £2) + Р3 В = 0;

д д —Г S1B (1 + £ 2)! + А—Ы2 + А бш у S1 да1 1 ^ 'J др 2 ' 1

1+да(ае2)

+

+АВтр

СОБ у

в

I ± М, +1—Н 2

А да 1 В др 2

+

А бш у(1 — е2) — СОБ у—— да

1—М3 В др 3

(1 — е2 ) —Х2

—М2 + Р2 АВ (1 + £2 ) + Р3 А дР

д—

--+ СОБ У Ф

= 0;

-(QlB) + -да А да

д д —(М1В) — Asin у М2 + А—Н2 — Асоб у М3 да др

+

э[!

+А—{ — (1 — е2 )— М 2 + — Н 2 др[ В^ 2 др 2 АВ 2

А бш у(1 — е2) — соб у—— да

"М3ТР

-Ае2 —

1 д , _ бш у ТТ

——М2 +-- Н 2

др1 В др

В

■Ы1 АВх1 + Ы2 АВ

СОБ у

В

(1 — е2 ) —Х2

2 ABS1 + А СОБ у Н2 + А—М

дР

+ Р3 АВ (1 + £2 ) — Р1В д—

-Р2 А

д—

--+СОБ уФ

= 0;

д£ 2

—(М1 В)+М1 В—2 — АВМ 11 1 да

да

соб у В

(1 — £2 ) —Х2

-М 2

А sin у(1 — £2 ) —СОБ у—— да

+ А (1 — £2 )эр Н2

^ АВ = 0.

(12)

Исключив с помощью соотношений упругости и деформационных соотношений из (12) силовые и деформационные неизвестные и перерезывающую силу Q1 с помощью последнего уравнения, получим систему из трех дифференциальных уравнений равновесия «единой» оболочки в перемещениях. Однако эти уравнения в настоящей работе ввиду их громоздкости не приводятся.

Выделение линейных операторов эквивалентной оболочки. Представим полученные дифференциальные уравнения «единой» оболочки (12) в следующем виде:

в

^В) + А^ 5, + АВд, = 0; Эа Эр

Э

—(51В) + А мп у 5, + АВд2 = 0; Эа

Э

Эа(01В) + АВЦ3 = 0;

Э

— (М1В) — АВ01 + АВд4 = 0, Эа

(13)

где д,, д2, д3, д4 — «фиктивная» нагрузка.

Запишем систему уравнений (13) в векторном виде, используя соотношения упругости для силовых факторов оболочки и соответствующие деформационные соотношения:

АВЧ1 = (Ц + Т) О, г = 1, 2, 3, 4,

где

А Э А Э2

ЬО = — cosу—Н2 +--тМ3 — А siп у N2;

1 В 'эр 2 В эр2 3

г тгт Л Э ,г А . ^ А Э .. = А—N9 + — siп у—М3--cos у—М2;

^ Эр 2 В 'Эр 3 В 'эр 2

ЦО =

А Э2

А В'

_э_ эр

_ М2 + — siп у—Н2 + А^у N2;

В эр2 ™ ™ 2 2'

(14)

(15)

Ь40 = А—Н2 — А cos у М3 — А siп у М2; ЭР

Г1° = да (N^£2) + А дв [(М2 — М1 )]тр + cos у N2 -Э^ +

+Х1

+тв

Э Э

—(М1В) — А siп у М2 + А—Н2 — А cos у М3 Эа Эр

+

А—М 2 + А sin у Н 2 Эр 2 ' 2

1 Э

— А — Н2

) эр [ V

cos у В

£2 +Х2

— (16)

А Э ( Э . .

--£2-М3

В эр^2 эр 3

/ ч Эж

+ АВр1 (1+£2 )+Вр —;

э э

т2 О = — (51В£2) + А siп у 5, — (а£ 2) + АВтр Эа Эа

1А м, +1А н 2

А Эа 1 В Эр 2

У

В

. . д— А Sin ув2 + СОБ у — да

—М3 + А др 3

СОБ у

В

£ 2 +Х 2

—М 2 + др 2

+АВР2 (1 +£2 ) + АР3

д—

--+СОБ УФ

дР ' ,

т^и =

1 д£ 2

А да

дд —(М1В) — А sin у М2 + А—Н2 — А соб у М3 да др

А _д_ В др

£2 — М2 + Н2 2 др 2 2

^ . СОБ у д— л

БШ у £2 +

V

А да

+М3 Втр

А д £2

В др^др

—М2 + sin у Н2

— Ы1 АВх — Ы2 АВ

СОБ у

£2 + Х2

"Тр

2 ABS1 + А соб у Н2 + А —М 12 др -

V В + АВР3 (1 + £2 ) —

— (16)

„ д— . Л д— .л

—ВР1---АР2 —+ СОБ уФ

да ^да

д£<1

Г4и = М^В—2 + АВМ3

да

+М 2

СОБ у

В

£2 +Х2

А£2— Н 2 + 2 др 2

д—л

А БШ у £2 + СОБ у-

да

Поскольку в конической оболочке в силу принятых допущений (3) силовые факторы Ы2о2б = М|2б = = М2°б = 0 и Ыо2б = Ыоб, то нелинейные дифференциальные уравнения равновесия «единой» оболочки (13) совпадают по виду с линейными дифференциальными уравнениями равновесия эквивалентной оболочки, если члены qi (/ = 1, 2, 3, 4) трактовать как некоторую «фиктивную» нагрузку на эквивалентную оболочку. Это обстоятельство позволяет перейти от системы дифференциальных уравнений (13) с сингулярными коэффициентами к системе интегродифференциальных уравнений с регулярными внеинтегральными операторами, поскольку эквивалентная оболочка статически определима в малом.

Интегродифференциальные уравнения равновесия и соотношения упругости эквивалентной оболочки. Трактуя в уравнениях (13) члены ABqi (/ = 1, 2, 3, 4) как некоторую «фиктивную» нагрузку на эквивалентную оболочку, запишем общий интеграл этих уравнений. Проинтегрируем второе и третье уравнения системы (13) отно-

сительно и 01 соответственно как обыкновенные дифференциальные уравнения, считая переменную в параметром. Далее, по-прежнему считая в параметром, проинтегрируем первое уравнение относительно N, исключив из него предварительно ¿1, и четвертое уравнение относительно М1, исключив из него предварительно Q1.

Опуская промежуточные выкладки, приведем окончательный результат:

N1 (а, р) = N1 (ао, +

а о ^ Э51 (ао, р) Аа о (ао -1Л

а

Эр

г

а

£

А /О- (5, р) а 5+

ао

+ -

Sin у

1(1 -АНМШ а

) 1 а а Эр

ау а ,2

2 и £2

¿1 (а, р) = ¿1 (ао, р) ■% - А Г \ 42 (5, р) а5;

а ао а

а

Ql (а, р) = 01 (ао, р) аа1 - А / аа 43 (5, р) ¿5;

ао

М (а, р)= М1 (а о, р)°° + 01 (а о, р) (а-а о )■

(17)

а

а

а 5 а 5

- А2 / а5(а-5) 43 (5, р) а 5 - А / а 44 (5, р) а 5,

ао ао

(здесь а отсчитывается от вершин конуса).

Выражения (17) представляют собой нелинейные интегродиффе-ренциальные уравнения равновесия оболочки. Под «фиктивной» нагрузкой 41, 42, д3, д4 здесь следует понимать выражения (14), где линейные операторы Ь1, Ь2, Ь3, Ь4 и нелинейные операторы 71, Т2, Т3, Т4 определяются выражениями (15), (16).

Из формулы (1) [14] следует, что регулярные соотношения упругости конической оболочки совпадают с соотношениями упругости для эквивалентной оболочки. На основании (3), (59) [13] запишем

к2ЕИ3 Э2ч

к1ЕИ ди ОИ

N = ———; ¿1 = — А да к1

1 ди г д г др А да

/фЛ Уг/

М1 =

12 А да

2

(18)

Коническая оболочка геометрически неизменяема в малом, что позволяет разрешить соотношения упругости (18) относительно перемещений и, Ф, ч, т. е. перейти к соотношениям упругости в инте-гродифференциальной форме.

Построим общий интеграл системы (18). Первое и третье уравнения можно проинтегрировать относительно и и ч соответственно как обыкновенные дифференциальные уравнения, считая переменную в параметром. Затем, по-прежнему считая в параметром, проинтегрировать второе уравнение относительно Ф, исключив из него предварительно и .

Опуская промежуточные выкладки, запишем окончательный результат:

и (а, в) = и (ао, в) + А ] ^^Л

ао

Г + ди (ао,в) f _r

0(а,в) = в(ао,в)-. . _R

Го Sin у дв V r0 J

+

+ -

i-а

sin у

Л l. вд)Ar j-ъ

(19)

ао

w (а, в) = w (а о, в) +

k1Eh дв дw(а,P)

(5) Gh

да

а=ао

й (5, в) d 5;

+ (а-ао)-12A2 |(а-5)d5.

J k2Eh

ао

Таким образом, из (19) вытекают не только регулярные соотношения упругости конической оболочки (18), но и геометрические граничные условия на краю оболочки а = ао .

Матричная интерпретация интегродифференциальных уравнений равновесия и соотношений упругости. Рассмотрим четырехмерную вектор-функцию силовых факторов в поперечном сечении оболочки а = const и запишем

Т (а, в) = (N1 (а, в), й (а, в), 01 (а, в), M (а, в)). (2о)

Тогда интегродифференциальные уравнения равновесия «единой» оболочки (17) могут быть представлены в виде

Т(а, в) = Гв (а) Т (а о, в) + J 4 (а, 5) Q (5, в) d 5,

(21)

где

Г (а) =

ао

-ai -A-if,--

а sin уа^ а^дв

0 A^-

а 2

о о

о о

- A — а

о о

5

-А (а-5) -А — а аУ

4 х 4 — матрицы линейных дифференциальных операторов по координате в, Q (а, в) — четырехмерный вектор «фиктивных» нагрузок,

(а

, в) = (41 (а, в), 42 (а, в), дз (а, в), ^ (а, в)).

(22)

Наряду с четырехмерным силовым вектором Т (20), «расширенный» четырехмерный вектор перемещений

í / о\Л

и* (а, в)= и (а, в), А (а, в), ч (а, в),

Эч (а, в)

Эа

(23)

Тогда интегродифференциальные соотношения упругости (21) могут быть представлены в виде

а

и* (а, в) = гв (а) и* (ао, в)+ | Лр (а, в) Т & в)

ао

где

Гр (а):

Sin у

1

те 1--

V те0 У 0 0

0 0

— 0 0

те0

0 1 те — те,

0 0 1

(

Лр (те, в) =

А

к ® Е ® к ®

А

1—а

к! ® Е к (^ ^уэв О (^)к №

Аkl ®

0

12 Л2

к2 ® Е ® к3 ®

Здесь также 4 х 4 — матрицы линейных дифференциальных операторов по координате в.

Как было отмечено ранее, из интегродифференциальных уравнений равновесия (17) и регулярных соотношений упругости в интегро-дифференциальной форме (19) вытекают дифференциальные уравнения равновесия (13) и регулярные соотношения упругости (3). Поэтому, присоединяя к (17) и (19) сингулярные соотношения упругости для остальных сингулярных силовых факторов, получим замкнутую систему уравнений конической оболочки.

Исключив из уравнений конической оболочки силовые факторы с помощью соотношений упругости и геометрических соотношений, из нелинейных членов получим уравнения равновесия конической оболочки в перемещениях.

Воспользовавшись матричной формой записи, сначала внесем (20) в (23). Опуская промежуточные выкладки, приведем сразу окончательный результат:

а

и* (а,р) = Г^ (а)и* (ао,Р) + Лр (а)Т(а<ьР)+ |К (а,£)О(£Р)(24)

ао

где 4 х 4 — матрицы линейных дифференциальных операторов по координате в ;

а

Лр (а) = |Лр (а,^) ГТ (§) (25)

ао

а

кр (а, £)= | Лр (а,п) Кв ) dт^ (26)

ао

Далее на основании выражения (14) определим вектор «фиктивных» нагрузок:

О = АВ^1 + ®Т), (27)

где составляющие Ци, Ти четырехмерных векторов QЦ, QT, представляющие собой значения некоторых операторов на вектор-функциях перемещений и, выразим через (15) и (16) соответственно.

Как следует из представлений (1) [14] обобщенных силовых факторов в оболочке, векторы

Оц = О! , От = От + ОТ, (28)

где индекс Я соответствует дифференциальным операторам с регулярными коэффициентами, а индекс Т — операторам с сингулярными коэффициентами, содержащими особенности типа дельта-функции.

Векторы операторов с сингулярными коэффициентами на основании формулы (1) [14] запишем в следующем виде:

о!=ХоЦ| о=ау8(а-а); (29)

3

ОТ =1От\а=ау8(а-а), (30)

3

где векторы операторов ниже составляющие:

имеют соответственно указанные

^и = — МП — ^^Ы! + ;

г эв

п2

г эв

2" п3 ■

и = NШ

cos у д , sin у д . .

- ■ ™ ----ыш +--—Ыт;

дв П2 Г дв щ г дв П3

1 А2

Г дв2

Щ О = cos у NЩl + - ыш + ^ дв Ы„2;

(31)

^шш О = — МП уыш + — ыш2 — cos ^ыи3; ги=^ )+тр дв ыш—siny Х11

дв

д д

+Х — ыш + sin у х^-Ыш--

дв "2 в "2 дв

дв

/

+

Ыш

П2

cos у

£2 + Х2

е2— ыш

дв V 2дв

Г9ши:

ШБ у

е2 +Х2

дв щ вдв щ Г

б1П уе2 +

ШБ у дч Л да

—ыш дв ^

т3ши = —(cos уе2 +г х2 ) n22 —

s1n у де2 Л да

ыш —1—

'И1

ыЩ1

г дв V дв

— (32)

£2

г дв

ы ш +—— 2 ы;1 + Л да

г д Ге2^ д

V ' у

-ыиш2 — ^

дв П2 г дв

ы,

щ

sm у £2 +

cos у дч Л да

-Шб утр ыш

^об у де2 , дтр Л

- + -

Л да дв

ыш — 2тр— ыш;

Р дв п3

ГШ О:

б1п у е2 +

cos у дч Л да

ыпш—£2 дв ыпш+(cos у £2+Г Х2) ыпш.

На основании деформационных соотношений (59) и (84), представленных в работе [13], соотношений упругости для шпангоута (80)-(83), приведенных в работе [14], а также соотношений (11) правых частей выражений (31), (32) запишем следующие операторы:

ЭФ Эр

+ и sin у- ч cos у

; тв

1А

А Эа

1 дч

Сг Эру

cos у Эи

"Г^ Эр;

= -Э^

Х1 = А2 эа2

(33)

Х2 ='

^Э2

г . Э 2 + — sin у — А Эау

ч + cos у

ЭФ

эр

N ш

п2

ЕЕ

ЭФ

--+ и sinу-ч cosу-

Эр ' '

/

1 Э № Я sin у Эч

--2 +-—

cos у Эр2 А Эа

Аэ_ Я

1 Э и Я cos у Эч

---1--!--

соб у Эр2 А Эа

Ак

Я

(34)

М

Е

"1

соб у

ЭФ .

--+ Б1п у и - соб у ч

Эр г ,

А3 Е

Я

11

1 Эч Я б1П у Эч J ' А Эа I Я2

1 Э2и ЯсобуЭч^ г13

собу Эр2

- + -

собу Эр2 J1

А Эа

Я2

мш = -/

+-

"2 Е Э3

1А

А Эа

' 1 Эчл

IГ эр |

соб у Эи

"Г^ Эр

+

Я3 Эр3

'(а*/11 -А3/13)ч-(а3/33 -А*/13)и'

мш =

п3

Е

соб у

ЭФ

эр

+ Б1п у и - соб у ч

АЕ

Я

1 Э ч Я б1П у Эч

13

1 Э и Я соб у ^

---1--•--

соб у Эр2 А Эа

соб у Эр2 А Эа /3

/_

Я2

Я2

1

1

г

11 13 33 * *

где Е, О, Е, / , / , / , /к, А1, А3, А1, А3 — некоторые функции переменной а, непрерывные на линиях а = а у контакта шпангоутов с оболочкой и совпадающие при а = а у с соответствующими характеристиками шпангоутов.

Вектор операторов с регулярными коэффициентами представим в виде суммы векторов:

$ = ©^ + о

(35)

где

ЕЕ

э э э

(^г£2) - А — (М^р) + Х1 да (М1Г)

Эа

—(Лге 2)- А sin у 51 — (ае 2 ) + -ЭМ гтв Эа1 1 2 1 1Эа1 2 Эа Р

1 Эе2 Э

А Эа Эа

(М^)- N1 Аг Х1

М 1г

Эв2 Эа

(36)

ъЕР

АгР1 (1 + е2 ) + Фз

АгР2 (1 + £2) + Арз

Эм

--+ cos у-о-

Эв Г .

Эм

АгРз (1 + е2 ) - гР1 Эа - А^2

Эм , --+ cos у-о-

Эр у .

(37)

Внешняя нагрузка на оболочку может зависеть от характера деформирования оболочки, вследствие чего можно предположить, что операторы в (37) в общем случае нелинейны. Если внешняя нагрузка не зависит от деформирования оболочки («мертвая» нагрузка), то эти операторы линейны.

Внесем (28) в уравнения (24) и (21), тогда на основании (29) и (30) запишем

0

и* (а, р) = Гр (а) и* (ао, Р) + Лр (а) Т (ао, р) +

+ 7X-КР (а,а,)[©Ш (а,-,р) + ©Ш (а,-,р)]е(а-а,)+ (38)

А , г,

+ — А

А а к? (а, 5) ©Е а Р) ;

ао ^

Т (а, ß) = rß (а) Т (ао, ß) +

+ 7 X - 4 (а, а,)Г0Ш (а,, ß) + ОШ (а,, ß)]e(a-aj)+ (39) А ■ т

1 v- 1

+ А а 4 (а, 5) QR (5, ß) 41

1

+ —

А

где 0 — функция Хевисайда (единичная ступенчатая функция), причем «смещенная». Запишем

Заключение. Выражение (38) представляет собой основное инте-гродифференциальное уравнение равновесия «единой» оболочки в перемещениях. Несмотря на то, что функция Хэвисайда разрывна, правая часть этого уравнения непрерывна, так как при а = а у множители при 0(а - ау) обращаются в нуль. Выражение (39) служит для формулировки статических граничных условий в концевом сечении оболочки а = аЦ . Геометрические граничные условия в этом сечении формулируются непосредственно с помощью выражения (38).

Отметим также, что разработанная математическая модель позволяет упростить исследования гофрированных оболочек. На основе полученных разрешающих уравнений несложно построить алгоритм для исследования напряженно-деформированного состояния и устойчивости дискретно подкрепленных конических оболочек.

Таким образом, полученные разрешающие интегродифферен-циальные уравнения равновесия позволяют достаточно просто получить решение для продольно-гофрированной конической оболочки, подкрепленной дискретным набором шпангоутов.

[1] Карпов В.В., Семенов А.А. Математическая модель деформирования подкрепленных ортотропных оболочек вращения. Инженерно-строительный журнал, 2013, № 5, с. 100-106.

[2] Климанов В.И, Тимашев С.А. Нелинейные задачи подкрепленных оболочек. Свердловск, УНЦ АН СССР, 1985, 291 с.

[3] Новицкий В.В. Дельта-функция и ее применение в строительной механике. Расчет пространственных конструкций, 1962, вып. 8, с. 207-245.

[4] Образцов И.Ф., Онанов Г.Г. Строительная механика скошенных тонкостенных систем. Москва, Машиностроение, 1973, 660 с.

[5] Овчаров А.А., Брылев И.С. Математическая модель деформирования нелинейно упругих подкрепленных конических оболочек при динамическом

ЛИТЕРАТУРА

нагружении. Современные проблемы науки и образования, 2014, № 3. URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=13235 (дата обращения: 15.04.2018).

[6] Онанов Г.Г. Уравнения с сингулярными коэффициентами типа дельта-функции и ее производных. Доклады Академии наук СССР, 1970, т. 1, № 5, с. 997-1000.

[7] Семенов А.А., Овчаров А.А. Математическая модель деформирования ортотропных конических оболочек. Инженерный вестник Дона, 2014, т. 29, вып. 2, с. 74-77.

[8] Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике. Победря Б.Е., ред. Москва, Мир, 1978, 518 с.

[9] Лазарян В.А., Конашенко С.И. Обобщенные функции в задачах механики. Киев, Наук. думка, 1974, 192 с.

[10] Михайлов Б.К. Пластины и оболочки с разрывными параметрами. Ленинград, ЛГУ, 1980, 196 с.

[11] Шалашилин В.И. К расчету оболочек, выполненных из гофрированного материала. Проблемы устойчивости в строительной механике. Москва, Изд-во литературы по строительству, 1965, с. 339-346.

[12] Шалашилин В.И. К расчету оболочек, выполненных из гофрированного материала. Известия АН СССР. Механика и машиностроение, 1964, № 3, с. 131-135.

[13] Комиссарова Г.Л. Устойчивость продольно-гофрированной оболочки, подкрепленной и неподкрепленной шпангоутами. Труды IV Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. Ереван, 1964.

[14] Дудченко А.А., Сергеев В.Н. Нелинейные уравнения равновесия конической оболочки, подкрепленной дискретным набором шпангоутов. Вестник ПНИПУ. Сер. Механика, 2017, № 2, с. 60-77.

Статья поступила в редакцию 31.05.2018

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:

Дудченко А.А., Сергеев В.Н. Математическая модель расчета продольно-гофрированной конической оболочки, подкрепленной шпангоутами. Инженерный журнал: наука и инновации, 2018, вып. 8.

http://dx.doi.org/10.18698/2308-6033-2018-8-1794

Дудченко Александр Александрович — д-р техн. наук, профессор кафедры МАИ. e-mail: a_dudchenko@mail.ru

Сергеев Валерий Николаевич — канд. техн. наук, доцент кафедры МАИ. e-mail: k603sergeev@mai.ru

Mathematical model for computing parameters of a longitudinally corrugated conical shell supported by frames

© A.A. Dudchenko, V.N. Sergeev

Moscow Aviation Institute, Moscow, 125993, Russia

The paper investigates the stress-strain state of a thin shell using a mathematical model according to which a longitudinally corrugated shell may be represented by a continuous set of stringers oriented along the generatrices of a conical surface. The stringers are only linked longitudinally, each of them undergoing just tension-compression and bending in the axial section plane of the rotational shell. A conical shell supported by a discrete set of frames is a discrete-continuous system studied by means of the generalised function approach. The authors derived integrodifferential conical shell equilibrium equations in terms of generalised displacements, which are of interest for those specialising in calculating thin shell structure parameters.

Keywords: mathematical model, conical shell, discrete set of frames, generalised function approach

REFERENCES

[1] Karpov V.V., Semenov A.A. Inzhenerno-stroitelnyy zhurnal — Magazine of Civil Engineering, 2013, no. 5, pp. 100-106.

[2] Klimanov V.I, Timashev S.A. Nelineynye zadachipodkreplennykh obolochek [Nonlinear problems for supported shells]. Sverdlovsk, Ufa Scientific Centre of the USSR Academy of Sciences, 1985, 291 p.

[3] Novitskiy V.V. Delta-funktsiya i ee primenenie v stroitelnoy mekhanike [Delta function and its application in structural mechanics]. Raschet prostranstvennykh konstruktsiy [Calculating parameters of three-dimensional structures], 1962, issue 8, pp. 207-245.

[4] Obraztsov I.F., Onanov G.G. Stroitelnaya mekhanika skoshennykh tonkostennykh sistem [Structural mechanics of sloping thin-walled systems]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1973, 660 p.

[5] Ovcharov A.A., Brylev I.S. Sovremennyeproblemy nauki i obrazovaniya — Modern problems of science and education, 2014, no. 3. Available at: http://science-education.ru/ru/article/view?id=13235 (accessed April 15, 2018).

[6] Onanov G.G. Doklady Akademii nauk SSSR — Proceedings of the USSR Academy of Sciences, 1970, vol. 1, no. 5, pp. 997-1000.

[7] Semenov A.A., Ovcharov A.A. Inzhenernyy vestnik Dona — Engineering journal of Don, 2014, vol. 29, no. 2, pp. 74-77.

[8] Kecs W., Teodorescu P.P. Introducere in teoria distributiilor cu aplicatii in tehnica [Introduction to theory of generalised functions with engineering applications]. Bucharest, Editura Tehnica, 1975, 412 p. [In Russ.: Kecs W., Teodorescu P.P. Vvedenie v teoriyu obobshchennykh funktsiy s prilozheniyami v tekhnike. Pobedrya B.E., ed. Moscow, Mir Publ., 1978, 518 p.].

[9] Lazaryan V.A., Konashenko S.I. Obobshchennye funktsii v zadachakh mekhaniki [Generalised functions in problems of mechanics]. Kiev, Naukova Dumka Publ., 1974, 192 p.

[10] Mikhaylov B.K. Plastiny i obolochki s razryvnymi parametrami [Plates and shells with discontinuous parameters]. Leningrad, Leningrad State University, 1980, 196 p.

[11] Shalashilin V.I Problemy ustoychivosti v stroitelnoy mekhanike [Stability problems in structural mechanics]. Moscow, State publishing house for construction literature, 1965, pp. 339-346.

[12] Shalashilin V.I. Izvestiya AN SSSR. Mekhanika i mashinostroenie — Journal of the Academy of Sciences, USSR. Engineering Sciences Branch. Mechanics and Machine Building, 1964, no. 3, pp. 131-135.

[13] Komissarova G.L. Ustoychivost prodolno-gofrirovannoy obolochki, podkreplennoy i nepodkreplennoy shpangoutami [Stability of a longitudinally corrugated conical shell as supported by frames and without them]. Trudy IV Vsesoyuznoy konferentsii po teorii plastin i obolochek [Proc. of the 4th pan-Union conference on plate and shell theory]. Yerevan, 1964.

[14] Dudchenko A.A., Sergeev V.N. Vestnik PNIPU. Ser. Mekhanika — PNRPU Mechanics Bulletin, 2017, no. 2, pp. 60-77.

Dudchenko A.A., Dr. Sc. (Eng.), Professor, Department of Moscow Aviation Institute. e-mail: a_dudchenko@mail.ru

Sergeev V.N., Cand. Sc. (Eng.), Assoc. Professor, Department of Moscow Aviation Institute. e-mail: k603sergeev@mai.ru