CC BY
58
ВШЗЕХЭШШ] выкшшех ©аведжшй
ГРИШИН Юрий Аркадьевич
доктор технических наук, профессор кафедры «Поршневые двигатели» (МГТУ им. Н.Э. Баумана)
УДК 621.436.052
Расчет разветвления трубопроводов
Ю.А. Гришин
С использованием газодинамических функций нестационарного течения в работе получены соотношения, которые применяются в качестве граничных условий для численных расчетов взаимодействия нестационарных потоков с разветвлениями трубопроводов. Расчетно-эксперимен-тальная проверка предложенных соотношений, проведенная с помощью численного метода распада произвольного разрыва, показала хорошее согласование результатов расчета с экспериментальными данными.
Ключевые слова: разветвление трубопроводов, нестационарные газодинамические функции, распад произвольного разрыва, числа Маха.
Using gas-dynamic functions of non-stationary flow there were obtained relations applied as boundary conditions for numerical calculations of the interaction of non-stationary fluxes with branching pipelines. The experiment-calculated verification of the proposed relations, conducted by means of a numerical method for the decay of a discontinuity, showed good agreement of calculation results with the experimental data.
Keywords: branching pipes, non-stationary gas-dynamic functions, decay of discontinuity, Mach number.
ХТисленные методы газовой динамики, применяемые для моделирования нестационарных течений в системах впускных и выпускных трубопроводов (коллекторах) многоцилиндровых поршневых двигателей, требуют задания граничных условий (ГУ) в разветвлениях трубопроводов. Разработкой методик задания таких ГУ занимались многие отечественные [1—5] и зарубежные исследователи [6, 7]. Для расчетов предлагалось использовать допущение о равенстве статических давлений в ответвлениях после взаимодействия, квазистационарные зависимости, и, наконец, наиболее точный подход на базе распада произвольного разрыва (РПР) с образованием ударных фронтов, сложным анализом получающихся волновых конфигураций и с учетом различного состава взаимодействующих газов. К сожалению, все методики являются исключительно громоздкими, например, для тройников (рисунок), даже в упрощенном виде, без учета образования контактных поверхностей после РПР, необходимо с помощью итераций решать систему из 9 уравнений с 9 неизвестными и логическим анализом направлений течения после разветвления. Система должна включать соотношения на фронтах волн после РПР на тройнике и законы сохранения для потоков за фронтами волн. Неизвестными в системе будут давления рх, ря плотности рх, py, pz и скорости vx, vy, vz. Даже с использованием гидравлического допущения о неизменной плотности по веткам (р = рх = py = pz), которую можно задать как среднее арифметическое от известных перед РПР p1x, p1y, p1z:
р:
Р1 х + Р1 у + Р1 * 2
(1)
и допущения об отсутствии потерь, система, включающая соотношения на фронтах элементарных волн после РПР (фронты на рисунке 1 обозначены двойными линиями), уравнения неразрывности и энергии, получается достаточно сложной:
Рх х - Рх = а1 х- ^х ); Р1 у - Ру = а1 у Р( ^ - V у );
Рг = а1 *- ^* );
Р1 *- Р* = а
^х +
Рх + VI
р 2
Рх + Vх2
р 2
ру, Р
Р*_ Р
у 2
* 2
( )
(3)
(4)
(5)
(6) (7)
Здесь в уравнениях для фронтов волн а = Vкр / р — скорость звука; ¥х, ¥у, ¥г — проходные сечения сходящихся ветвей. Неизвестные в системе: рх, ру, р*, ух, уу, V*. Знаки при получившихся в результате решения скоростях соответствуют положительным или отрицательным направлениям течений по ответвлениям. Если, например, имеет место течение из х в у ив *, то для второго этапа расчета, учитывающего потери, вместо (6) и (7) в системе следует использовать:
Р
Ру
- + -г = — + -г + ? р 2 р 2
1. у 2 '
Рх р
+4 _ Л+4+я
2 р 2
* 2
(8)
(9)
Коэффициенты потерь ^ и ^* зависят от углов пристыковки ветвей в тройнике соотношения их проходных сечений. Их значения задаются либо с помощью предварительных экспериментальных продувок, либо по известным из литературы зависимостям, например из справочника [8—10].
Рисунок. К расчету тройникового узла
Очевидно, даже при использовании значительных упрощений, описанная методика оказывается достаточно сложной. Фактически ее применение исключает возможность маршевого многовариантного расчета нестационарного газообмена двигателя внутреннего сгорания для оптимизации его параметров.
Однако, как и в стационарной газодинамике, значительную помощь в решении сложных задач оказывают газодинамические функции. Применение нестационарных газодинамических функций (НГДФ) и определенные рациональные допущения позволяют резко упростить проблему ГУ в тройнике.
По результатам расчета на предыдущем шаге, например, методом распада разрыва (схема С.К. Годунова), известны газодинамические параметры, в частности, давления р1х, р1у, ри и числа Маха М1х, М1у, М* (М = v/a) в зонах до прохода элементарных волн. Для расчета необходимо выбрать условно-положительное направление течений. Пусть положительным будет направление к центру тройника. Тогда известные значения числа М, очевидно, задаются с соответствующими знаками.
При реальных для коллекторов двигателя внутреннего сгорания градиентах температур
ВШзехэшш] выкшшпх ©аведжшй
числа М на контактных поверхностях после РПР различаются весьма незначительно, поэтому при рассмотрении волновых конфигураций эти поверхности можно не учитывать. Соответствующие соотношения для перепадов давления через газодинамические функции в самом общем виде могут быть записаны следующим образом:
Ах = А». _ Ау Рх Ру Ау _ п"(М1, ) а, к(Их) п"(Му) ; " п" (М, ) а у п(Му) п"(М1у );
р1у Ру Р*
(10)
Р11
Р1* Ру Рг Р1 * _ п"(М1у ) а у п(Му ) п"(М*) _ = п" (Му ) а * п(М*) п" (М, z);
А _ _
Р1 х Р* Рх Р1х
п" (М *) а * п(М*) п" (М» )
п"(М*) а» п(М» ) п"(М1»)'
(11)
(12)
Здесь п"(М) — НГДФ [8] для перепада давлений на фронтах элементарных волн после РПР,
п" (М)_-
1
' к ■ 1+ к
\
2
2 к ' ■1 \к-1 МI
л(М) — «стационарная» ГДФ [9] для перепада давлений в зоне квазистационарного течения между волнами,
1
п(М )_
' к-1 1+ к—1 М2
\
2
к '
а — коэффициенты потерь полного давления при входе в соответствующие ветви тройника.
Очевидно, что одно из соотношений (10)—(12) является лишним, так как получается из двух других. Воспользуемся зависимостями (10) и (12) и, раскрывая запись функций п"(М) и п(М), введем обозначения
к-1
У _
Р1 у а х
z _
\Р1 х а у /
Р1 * а х
\Р1 х а *
2к
к-1 1+ 2 М1 у к-1 , 1+ 2 М
к-1 1 1+ 2 М1 х] к-1 1+ 2 М1* к-1 , 1+ 2 М
к-1 2 1+ 2 М*
к-1 1 1+ 2 М к-1 , 1+^Г- М\ 2х
-;(13)
-. (14)
Эти формулы содержат неизвестные Мх, М
М*, однако расчетные исследования показали, что в реальном диапазоне изменений чисел М значения радикалов практически не отличаются от единицы, и они не чувствительны к изменению направления течения по ветвям, так как содержат Мво второй степени. В результате на практике вместо (13) и (14) можно использовать более простые формулы, не содержащие неизвестных чисел М:
У _
Р1у а х
к-1 к -1 , 1 + ^г- М
Р1х а
2
1у
\^1х у /
1+^ М1.
(15)
2
Z _
Р1 * а х
к—^ к -1 , 1+^- М
Р1 х а
2
1*
х^ * )
1+ к-1М
(16)
2
1х
Учитывая принятые обозначения, из уравнений (10) и (12) получим
к-1'
Му _ — (У-1) + УМх;
М* _ -1)+ 1МХ.
(17)
(18)
С помощью газодинамических функций (ГДФ) #(М) можно в общем виде записать уравнение сохранения расходов по ветвям:
ахд(Мх ) + /уауд(Му ) + /а^(М*)_0, (19)
где /у = Ру/РХ и / =
Используя вместо (19) упрощенную зависимость
аХМХ + /уауМу + /а_0,
(20)
к-1
получим систему из трех уравнений (17), (18) и (20) с тремя неизвестными, из которой получается простая расчетная формула для числа Мх:
2 1уау (1-7) + ^а, (1-I)
М =--—-—- (21)
М к-1 а х + 1У а уГ + а " (21)
После определения Мх значения Му и М? вычисляются по формулам (17) и (18).
При расчете в первую очередь необходимо выяснить направления перетоков по ветвям после РПР, т. е. в зонах х, у и До определения этих направлений невозможно задать и потери, которыми будут сопровождаться перетоки. Анализ показал, что для определения направлений на первом этапе потери можно не учитывать, т. е. все а = 1. С учетом этого положения обозначения (13), (14) или (15), (16), а также расчетная формула (21) упрощаются, что позволяет легко вычислять искомые неизвестные числа М со своими знаками, определяющими направления течений в ветвях за фронтами волн. Например, если получилось Мх > 0, Му > 0 и М? <0, значит из ветвей х и у на расчетном шаге численного расчета Лt будет происходить втекание в .
Теперь следует выполнить второй этап расчета. Потери полного давления а задаются формулой [9]
: = 1-
к+1
сх2,
(22)
где X — приведенная скорость. Используя связь между М и X [9], например, при определении потерь полного давления в зоне в результате втекания туда потоков из х и у, запишем
аz =1-к^ М2х(М?)/ 2, где т(М) — «стационарная» ГДФ [9], т(М ) =
(23)
1+ — М2" 2
Для практических расчетов можно использовать упрощенную зависимость
а ^ =1-кс,? М2/2,
(24)
в которую значение М можно подставлять по результатам расчета без потерь или с предыдущего расчетного шага.
Поскольку потоки из ветвей х и у вытекают, и отрывных зон в них нет, в формулах (15), (16) а также в расчетной формуле (21) задаем ах = ау = = 1. Кроме того, для уточнения расчета вместо (15) и (16) можно взять формулы (13) и (14), подставляя в радикалы соответствующие числа М, полученные на этапе определения направлений потоков.
Если первый этап расчета РПР показал, что потоки направляются из одной ветви в две другие, на втором этапе необходимо определять два значения а для каждой из «принимающих» ветвей. Затем их подставляют в соответствующие формулы.
В качестве рекомендации для маршевого расчета отметим следующее. Если числа Мх, Му или М? по результатам первого этапа (определение направления течения) по модулю оказались меньше некоторого малого наперед заданного в, их следует принять равными 0, чтобы на втором этапе (расчет с учетом потерь) не получить изменение направления соответствующего потока или сбой вычислений.
Отметим также, что полученные на первом этапе значения Мх, Му и М? можно считать окончательными, если места стыка ветвей внутри коллекторов выполнены скругленными, и потерь при перетоках не будет. При стремлении снизить потери газообмена проектируют именно такие коллекторы.
Для ускорения расчетов можно рекомендовать следующее: для вычислений с потерями можно использовать значения а предыдущего расчетного шага. Тогда все вычисления тройника можно делать в один этап.
После определения Мх, Му и Мг по схеме Годунова с помощью НГДФ определяются параметры перетоков:
„ а"(Мх) „ а"(Му)
ух=Мха1х амл; 'у=Муа1у ОМЛ;
а"(М_)
=М?а1? ом)
LDLbac^LODcass ©аведжшй
Px
п" (Mx )
: Pix „ ч; Py
п"(My ) ;
piy ;
п"(Mix ) ^y п"(Miy )
п"(M_ )
Pz - Piz
п" (Mi z )'
Pix e"(Mx ). = Pi y g" (My );
rt;x e'(Mix )'py rt;y s"(Miy );
Piz e"(Mz )
Pz
RTiz e"(Miz )
iz •
а также соответствующие значения массы, импульса и энергии:
тх _ ^х Рх М; т _ РуУу Ру М; тг _ Fzvz Р *М;
1х _ (РхРх + ^х )М; 1у _ (РуРу + )М; _ + )М;
E„ = m
Ey = ^y
Ez - m
Px
(к -1)Px
Py
(к -1)Py
Pz
(к -i)Pz
v2
+
2
v
+ y
2
2
v
+ z
2
Ai;
Ai;
A/1.
Для выполнения балансового этапа расчетной схемы Годунова массы, импульсы и энергии в последних ячейках ветвей х и у при Мх > > 0, Му >0и М* <0, необходимо уменьшить на соответствующие значения, а в последней ячейке ветви *, куда втекают потоки, увеличить на сумму этих величин.
В заключение отметим, что в составе коллекторов многоцилиндровых поршневых двигателей кроме тройниковых узлов имеются колена. В колене с основным трубопроводом коллектора стыкуется патрубок, идущий к клапанному каналу головки цилиндра, крайнего в ряду цилиндров.
Подход к расчету взаимодействия нестационарного потока с коленом аналогичен изложенному выше расчету тройникового узла, однако он значительно проще. От системы (10)—(12) остается одно уравнение (10), на базе
которого получаются формула (13) или (15). Вместо (21) для расчета Мх используется более простая зависимость:
Mx - Ï-Г <25)
к-1 CT x + fy CT yY
После определения Mx значение My рассчитывается по формуле (17).
Для проверки методики были проведены эксперименты с помощью одноцикловой установки [11], позволяющей записывать прошедшие и отраженные от тройника волны сжатия и разрежения. Расчеты соответствующих волн показали расхождение с экспериментом менее 3%. Такие незначительные ошибки вполне приемлемы для расчета газообмена и оптимизации рабочего процесса двигателя внутреннего сгорания.
Литература
1. Красовский О.Г. Численное решение уравнений нестационарного течения для выпускных систем двигателей // Тр. ЦНИДИ. 1968. Вып. 57. С. 3—20.
2. Ивин В.И., Рындин В.В. Нестационарный поток в разветвлениях выпускных трубопроводов ДВС // Изв. вузов. Машиностроение. 1976. № 9. С. 100—105.
3. Камкин С.В., Матвеев С.К., Кочерыженков Г.В. Численное моделирование течений в разветвленных выпускных системах судовых дизелей // Двигателестроение. 1979. № 6. С. 3-5.
4. Гришин Ю.А., Гусев А.В., Круглов М.Г. Методы расчета разветвленных систем газообмена ДВС//Двигателестроение. 1981. № 1. С. 10—12.
5. Рудой Б.П. Прикладная нестационарная газовая динамика. Уфа: Изд-во УАИ, 1988. 184 с.
6. Benson R., Woollatt D., Woods W.A. Unsteady flow in simple branched systems //Proc. Inst. Mech. Eng., 1963-1964. V. 178. Р. 104—112.
7. Seifert H. Die Berechnung instationarer Stromungs Vorgange in den Rohrleitungs- Systemen von Mehrzylindermotoren //MTZ. 1972. Bd. 33. N 11. Р. 421—428.
8. Гришин Ю.А., Круглов М.Г., Рудой Б.П. Газодинамические функции для расчета нестационарных течений газа // Изв. вузов. Машиностроение. 1977. № 3. С. 52—58.
9. Абрамович /.Н.Прикладная газовая динамика. В 2 ч. Ч. 1. М.: Наука, 1991. 600 с.
10. Кутателадзе С.С. Теплопередача и гидродинамическое сопротивление. М.: Энергоатомиздат, 1990. 367 с.
11. Гришин Ю.А., Рудой Б.П. Установка для генерирования уединенных волн конечной амплитуды // Элементы рабочих процессов ДВС: Межвуз. научн. сб. Уфа, 1973. С. 53—56.
Статья поступила в редакцию 02.03.2012
Р
x
