Расчет радиальной функции распределения в аргоне методом Монте-Карло Текст научной статьи по специальности «Физика»

му уравнение (2) по физическому содержанию не отличается от уравнения (1) и только учитывает некоторое дополнительное взаимодействие частиц, определяемое внешним воздействием на систему.

Как нам кажется, такая трактовка модифицированного уравнения Орнштейна-Цернике с одной стороны, более свободна от противоречий, а с другой стороны, открывает пути по определению зависимости характеристик локальных неоднородностей аморфной системы, а значит и введенной функции J13(г), от параметров процесса перехода в аморфное состояние. Пока из общих соображений понятно, что размер области, в которой локализуются частицы, оказывается тем меньше, а дополнительное их отталкивание тем больше, чем больше была скорость, с которой охлаждалась система. Предварительные результаты по величине дополнительного взаимодействия частиц можно получить, используя методы численного моделирования процесса быстрого охлаждения системы. На рис. 4 представлены результаты расчета среднего эффективного потенциала взаимодействия частиц, определенного с учетом вклада коллективных эффектов в полное взаимодействие пары частиц. Расчеты показывают, что в плотной переохлажденной системе полное взаимодействие частиц происходит более интенсивно. Значительнее становится отталкивающая компонента потенциала. Притягивающие свойства также проявляются более сильно, но на меньших расстояниях, чем в исходном потенциале. Общий эффект приводит к усилению локализации частиц и уменьшению их подвижности, что соответствует картине динамики частиц в аморфных телах. Это позволяет предположить, что воздействием, переводящим систему в аморфное состояние, является суммарное поле взаимодействия всех частиц системы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Саркисов Г.Н. Приближенные уравнения теории жидкостей в статистической термодинамике классических жидких систем // УФН.- 1999.- Т. 169. № 6.- С.625-642.

2. Аграфонов Ю.В. Модификация уравнения Орнштейна-Цернике для аморфных состояний / Ю.В. Аграфонов, А. С. Нестеров, Ш.Б. Цыдыпов и др. // Ультразвук и термодинамические свойства вещества. - 2003. - №29. -С.120-122.

3. Саркисов Г.Н. Молекулярные функции распределения стабильных, метастабильных и аморфных классических моделей // УФН.- 2002. Т. 172. № 6.- С. 647-669.

УДК 534.21

РАСЧЕТ РАДИАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В АРГОНЕ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО

Ш.Б. Цыдыпов, А.А. Парфенов, Н.В. Чекмарев

Бурятский государственный университет, Улан-Удэ. E-mail: [email protected]

Рассмотрены возможности расчета радиальной функции распределения простых жидкостей методом Монте-Карло и расчета на этой основе скорости звуковых волн. Приведены результаты расчетов для аргона при различных параметрах состояния.

Ключевые слова: метод Монте-Карло.

CALCULATION OF A RADIAL DISTRIBUTION FUNCTION OF ALLOCATION IN AN ARGON A MONTE-CARLO METHOD Sh.B. Tsydypov, А.А. Parfenov, N.V. Chekmarev Buryat State University, Ulan-Ude

Possibilities of calculation of a radial distribution function of allocation of simple fluids by a Monte-Carlo method and calculation on this bottom of velocity of sound waves are viewed. Effects of calculations for an argon are given at various state variables.

Key words: a Monte-Carlo method.

В основу теории систем со сложным молекулярным строением может быть положена уже разработанная теория простых жидкостей. В настоящее время можно считать построенной статистическую теорию только простых молекулярных систем, образованных частицами с центральными силами взаимодействия. Успехи, достигнутые в последнее время, являются результатом развития двух подходов - метода интегральных уравнений для функций распределения и методов численных экспериментов (молекулярной динамики и Монте-Карло).

Количественной характеристикой упорядоченности в системе может служить так называемая радиальная (парная) функция распределения g(r), которая определяется как отношение вероятности нахождения произвольной пары частиц на расстоянии r друг от друга к вероятности их однородного

некоррелированного распределения [1, 2]. Функция радиального распределения может быть рассчитана по формуле [1, 2]:

* (г) .р і ' + Дг Л. (|)

\pN “1 4 яг Д г /

где п(г.г+Дг) - число атомов. находящихся в сферическом слое толщиной Дг на расстоянии г от і атома. р -

плотность числа частиц системы. Величина р4яг2Дг представляет собой число частиц в сферическом слое толщиной Дг. находящимся на расстоянии г от і-го атома. для некоррелированного распределения.

Если энергию и взаимодействия между N атомами. расположенными в точках можно

представить в виде

и = і Ф (гу. ). (2)

1£ і < ]' £ N

где гу - расстояние между і и у частицами. Для функции *(г) справедливы еще два уравнения. связывающие ее с термодинамическими свойствами системы:

3_

2 2'

Е = N

3 1

—кТ + Р\ф( г) ^г

(3)

р = ркТ - 6 р 21 (г) аг . (4)

6 -1 аг

Уравнение (3), которое представляет внутреннюю энергию Е в виде суммы кинетической и потенциальной частей, для термически равновесной жидкости непосредственно следует из определения функции g(r). Уравнение (4) можно получить путем дифференцирования статистической суммы по объему.

Радиальная функция распределения g(r) зависит от р и Т, так что, строго говоря, следовало бы записывать ее в виде g(r; р,Т). Пользуясь уравнениями (3) и (4), можно, зная g(r) во всем интервале значений р и Т, вычислить все термодинамические свойства жидкости, задавшись видом межатомного потенциала ф(г). Вот почему парная корреляционная функция важна в статистической термодинамике жидкостей, для которых справедливо предположение (2). Это предположение обычно считается верным, по крайней мере, как хорошее первое приближение для атомов простых жидкостей. Методом Монте-Карло принято называть такие численные методы, характерной особенностью которых является использование чисто стохастических элементов в отличие от чисто детерминистических уравнений метода молекулярной динамики. Частную форму этого подхода, применяемую в физике жидкого состояния, разработали Метрополис и др. [1-2].

Метод Монте-Карло состоит из построения последовательности молекулярных конфигураций путем случайных смещений частиц модельной системы. Каждая новая конфигурация принимается или отвергается; критерием служит вероятность конфигурации пропорциональная больцмановскому фактору данной конфигурации ехр(-^АЕ), Ь=1/кТ. Заметим, что предположение о парной аддитивности потенциала межмолекулярного взаимодействия здесь не существенно. Метод Монте-Карло пригоден при любом виде межчастичного взаимодействия, важно лишь, чтобы выполнялось условие эргодичности, что равносильно ограничениям на выбор периодических граничных условий.

Обычно матрица переходов молекулярных конфигураций строится следующим образом: в системе случайным образом или поочередно выбирается какая-либо одна частица и рассматривается ее случайное смещение. Если вследствие этого изменение полной конфигурационной энергии АЕ < 0, то переход считается приемлемым, и прежняя конфигурация заменяется новой. Если же АЕ > 0, то переход может произойти лишь с вероятностью р=ехр(-^АЕ). В этом случае машина случайным образом выбирает десятичную дробь в интервале между 0 и 1 и сравнивает ее с величиной ехр(-^АЕ). Если эта экспонента больше случайного числа, то переход частицы совершается, в противном случае этот переход отвергается.

Таким образом, вероятность переходов частиц в конфигурационном пространстве оказывается пропорциональной больцмановскому фактору ехр(-^АЕ). Поэтому полное среднее любой функции полученное в результате реализации вышеописанного процесса при п®¥ стремится к среднему по каноническому ансамблю.

Основная задача метода Монте-Карло в данном случае сводится к тому, чтобы получить радиальную функцию распределения (1), с помощью которой можно вычислить термодинамические параметры системы [5], в частности, изотермическую сжимаемость.

В Т ~ 1 = (п 02 кТ ) 1 ^ пп ^ (5)

и

где п0 - концентрация частиц, \пп) - длинноволновая асимптотика корреляционной функции [5]:

(пп > = п 0 (1 + п 0 | (g ( г ) - 1 )Ог )

00

Для системы из N частиц радиальная функция распределения для трехмерного случая имеет вид:

V 1 аы , (7)

g (г)

N 4 рг

Ог

а для двумерного случая:

g ( г ) =

(8)

N 2рг Ог

где V, 8 - это соответственно объем или площадь системы, ёг - шаг по расстоянию, с которым производится расчет, dN - число частиц, попадающих в слой толщины ёг, подсчитываемые по расположению частиц в текущей конфигурации моделируемой системы.

Радиальная функция распределения g(r) после достаточно большого числа случайных смещений частиц усредняется. Далее получив из (5) сжимаемость, вычислим скорость звука по формуле

и2 = У В-1 (9)

' п 0

при заданной плотности и температуре аргона [3], где у - отношение теплоемкостей Ср/С^

Нами были проведены расчеты длинноволновой асимптотики корреляционной функции ^пп^ для

аргона методом Монте-Карло для температур 100, 200 и 260 С. В таблице приведены результаты расчета скорости звука и в аргоне по вышеуказанной методике и экспериментальные данные и взятые из справочника [4].

Таблица

Результаты расчетов скорости звука в аргоне

Т, к р, кг/м3 Р, Па и8, м/с (расчет) , м/с [4] Ди5/о5, %

100 0,508 1,047 * 104 185,3 186,1 0,4

5,084 1,023 * 105 183,2 184,1 0,5

200 0,339 1,395 * 104 262,1 263,5 0,5

2,542 1,045 * 105 261,9 263,2 0,5

24,742 1,002 * 106 259,9 261,7 0,6

287,070 1,000 * 106 241,1 -

260 2,034 1,088 * 105 298,7 300,5 0,6

18,810 1,002 * 106 298,0 300,5 0,8

194,882 1,000 * 107 292,6 314,0 6,8

Как видно из таблицы, наблюдается неплохое согласие расчетных данных с экспериментальными результатами. Относительная ошибка лежит в пределах 1%, кроме последнего в таблице значения, что, по-видимому, объясняется неточностью метода расчета при указанных в табл.1 параметрах состояния. Неплохое согласие результатов расчета для остальных случаев позволяет сделать вывод о том, что метод функций распределения позволяет рассчитывать скорость звука - одну из наиболее чувствительных термодинамических характеристик вещества.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гулд Х., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике. - М.: Мир, 1990. - 349 с.

2. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. - М.: Мир, 1978. - 405 с.

3. Ноздрев В. Ф., Федорищенко Н. В. Молекулярная акустика. - М.: Высшая школа, 1974. - 288 с.

4. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. - М.: Физматгиз, 1963. -708 с.

5. Вуд В. Исследование моделей простых жидкостей методом Монте-Карло // Физика простых жидкостей / под ред. Г. Темперли, Дж. Роулинсона и Дж. Рашбрука. - М.: Мир, 1973. Т.2. - 400 с.