Расчет пространственно-частотных характеристик дифракционного поля от секторных отверстий Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 535.4

РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННО-ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ДИФРАКЦИОННОГО ПОЛЯ ОТ СЕКТОРНЫХ ОТВЕРСТИЙ

© Батороев Анатолий Сократович, кандидат физико-математических наук, ведущий научный

сотрудник Института физического материаловедения СО РАН

Россия, 670047, г. Улан-Удэ, ул. Сахьяновой, 6, e-mail: abatoroev@mail.ru

© Чимитцыденов Эдуард Ринчиндоржиевич, ведущий инженер Института физического материаловедения СО РАН

Россия, 670047, г. Улан-Удэ, ул. Сахьяновой, 6, e-mail: edik_ch@mail.ru

На основе ранее полученных в рамках физической оптики аналитических решений проведен расчет и впервые получена трехмерная дифракционная картина от секторных отверстий. Полученная картина справедлива с заданной точностью в рамках приближения Френеля для произвольных значений углового раствора и радиуса секторного отверстия.

Ключевые слова: пространственно-частотные характеристики, секторное отверстие, дифракция Френеля, физическая оптика, дифракционное поле.

CALCULATION OF SPATIAL-FREQUENCY CHARACTERISTICS OF THE DIFFRACTION FIELD OF SECTOR APERTURE

Batoroev Anatoly S., candidate physical and mathematical sciences, leading researcher, Institute of Physical Material Science SB RAS 6, Sakhyanovoy, Ulan-Ude, 670047, Russia

Chimittsydenov Eduard R., leading engineer, Institute of Physical Material Science SB RAS 6, Sakhyanovoy, Ulan-Ude, 670047, Russia

Calculation was done based on the previously obtained under physical optics analytical decision; a three-dimensional diffraction pattern of sector aperture was obtained for the first time. The resulting picture was correct up to the given accuracy in Frenel approximation for arbitrary values of the angular alignment and the radius of the sector aperture.

Keywords: spatial-frequency characteristics, sector aperture, Frenel diffraction, physical optics, diffraction field.

Дифракция Френеля, являющаяся квадратичным приближением формулы Кирхгофа и подтверждаемая многочисленными экспериментами, является одной из классических задач [1]. Дифракционное поле в зоне Френеля сводится к интегралу по области отверстия с быстро меняющейся подынтегральной функцией. В зависимости от формы отверстия такие интегралы редко явно вычисляются; с другой стороны, при больших значениях фазового параметра прямые численные методы становятся здесь непригодными. В таких случаях обычно обращаются к их асимптотической оценке, которые имеют свои границы. Поиск аналитических решений для дифракции Френеля от областей различных конфигураций является актуальным. Несмотря на то, что дифракционная задача в постановке Френеля сложилась давно, ее аналитические решения были найдены сначала в случае отверстий двух конфигураций: прямоугольных и круглых [2, 3], а затем в случае секторного отверстия [4, 5].

Аналитические решения в области оптики необходимы для получения достоверного трехмерного распределения света вблизи фокальной точки, что имеет особое значение для оценки величины допуска в требуемом положении плоскости систем, формирующих изображение. В микроволновой части радиоволн они необходимы для анализа пространственной неоднородности структуры поля от различных дифракционных систем (ослабляющие экраны, сложный рельеф местности.

Для расчета пространственно-частотных характеристик дифракционного поля от секторных отверстий будем пользоваться решениями, полученными в [4, 5]. В этих работах были найдены аналитические выражения для множителя дифракционного ослабления Ф = W/W0, где W - дифракционное

поле от отверстия, a W = expi~Го) I r° - поле прямой невозмущенной волны в точке наблюдения за отверстием на расстоянии ro от источника; X - длина волны. Остальные параметры задачи приведены

А. С. Батороев, Э. Р. Чимитцыденов. Расчет пространственно-частотных характеристик дифракционного поля от секторных отверстий_

на рис. 1.

Искомая функция Ф найдена как сумма (луч проходит по отверстию) или разность (луч проходит вне отверстия) результатов интегрирования по двум смежным составляющим секторам, когда луч проходит по их общему прямому краю (рис. 1):

Ф(р0, р0) = Ф(р0, р) ± Ф(р0, <Р2), (1)

где

1

ф (Ро,^.) = -fп n ехр(* .0)Jехр(п ™2) ,

— J ехр(-i2nJn n0 u cos p.) dp ж J

du

(2)

Здесь приняты следующие обозначения: Vn = R/b; Vno = polb - относительные величины радиусов сектора и точки прохождения луча, где b = VX-z ; и = p/R - переменная интегрирования. Использованы полярные координаты p, p с центром, совмещенным с центром секторного отверстия: x = p cosp, У = psinp, po =^Xo2 + Уо .

В работах [7, 8] для уравнения (2) получены следующие аналитические выражения: для области наблюдения q/p > 1

ф (p0,p) = - ехр [п( n 0 + n) ].[ V о- (р, p ) - i у-(р, p) ]_ i_F (из).[ (и 2 ) - F (Ui) ] +

exp (in n 0 ) 4

t ( - 1/ ^^ - i j ( - 1)» ii^^l C.

и для области наблюдения q/p < 1

0(po, p) = - exp[i*(n:+n)] [u2(p, p)+iü/p, p)]

(3)

4

+ exp(n)sln pcos pj (-1)kGk ■ Jik-1 2 k=1

где

,2k

Gk =(iq)

,„ »k+1sin p

xk +1

1 .1 2

Jk = J e 2 qu u 2 k+1e -lpu cos pdu

(4)

(5)

(6)

Здесь по аналогии с задачей Ломмеля на круге [2] введены функции, имеющие внешнее сходство с функциями Ломмеля [6]:

__1 ь- с

(7)

Vs (p, p) = t (

t.( -»k (£

ü -(p,p) = t (- i)k I -f

■ E 2k + S p p ) !

■ E 2k + S (p. p ) '

(8)

где (р, р) - неполные цилиндрические функции в форме Пуассона [7, 8], имеющие интегральное представление

E v (p , p ) = — J exp ( - ip cos t ) sin 2v t dt л J

и представление в виде степенного ряда относительно переменной р

EV (p, p) = Л-1 Ckv (p)(-p)k

Av k-0 k!

(9) (10)

где Ckv(p) = 2 Jcoskt- sin2vt dt (11)

Для вычисления интегральной составляющей по выражению (4) в области наблюдения q/p < 1 используется рекуррентное соотношение, связывающее три последовательные члены ряда:

Jm = Q - (m - 1)Jm - 2 +J —cosp. Jm- ,

+

k = 0

k = 0

2 k

2 k + 1

0

2 k + S

v 0

0

_ in{ n-yj n^n cos ф)

где

Q = e

(12)

Таким образом, имея исходные значения и J1, можно вычислить все последующие значения Jm.

1. С использованием найденного решения были получены картины пространственной структуры поля для секторных отверстий с произвольными значениями радиуса и углового раствора. На рис. 1 представлена пространственная структура поля для секторного отверстия, симметрично расположенного относительно оси х и имеющего указанные параметры: Я = 10.95 X и р = 2п/3 (угловой раствор). Структура поля представлена в виде распределения Ф в трех плоскостях, удаленных от плоскости отверстия на расстояние г2 = 180 X, 200 X и 230 X. Расстояние от точечного источника до плоскости отверстия г1 = 300 X. В каждой плоскости значения Ф, соответствующие определенному значению угловой координаты р0, откладываются радиально от центра в единицах. Каждая кривая соответствует определенному значению р0 (удалению от центра). Кривые распределения Ф имеют асимметрию относительно оси у, что и понятно, поскольку само отверстие имеет такую же асимметрию. Все значения параметров и пропорции между ними выбраны для проведения модельных экспериментов при разработке защитных дифракционных экранов в микроволновом диапазоне радиоволн.

Рис. 1. Геометрия задачи и пространственная структура множителя дифракционного ослабления Ф для секторного отверстия с радиусом R = 10,95 X и угловым раствором ф = 2п/3. Расстояния от отверстия до источника r1 = 300 X, до плоскостей наблюдения r2 = 180 X, r2 = 200 X, r2 = 230 X. Каждая кривая соответствует определенной удаленности от центральной оси: ро = 10 X, ро = 6 X, ро = 2

2. В практике микроволнового радиодиапазона представляют интерес защитные экраны в виде полукруга [9] с радиусом, равным радиусу первой зоны Френеля в плоскости экрана относительно точек излучения и наблюдения, т. е. Я = Ъ1. Такие экраны в точке наблюдения на центральной оси, проходящей через центр полукруга, дают ослабление поля до нуля. Представляет интерес распределение поля в окрестности этих точек. На рис. 2 представлены для экрана в виде полукруга с радиусом Я = 10.95 X результаты расчетов дифракционной картины поля вблизи точки его минимального уровня, которые получены с использованием принципа Бабине [1] и найденного решения (3) для секторного отверстия. Для экрана с радиусом Я = 10.95 X расчетная точка наименьшего уровня поля находится на центральной оси на удалении г2 = 200 X от плоскости экрана, поэтому плоскость, в которой лежит эта точка, является главной. Структура поля представлена в виде пространственной картины распределения Ф в главной плоскости на г2 = 200 X и в трех других плоскостях, удаленных от плоскости отверстия на г2 = 150 X, г2 = 180 X, г2 = 230 X. В каждой плоскости значения Ф, соответствующие определенному значению угловой координаты ф0, откладываются радиально от центра в единицах. Так как экран является ослабляющим и обеспечиваемые им уровни поля достигают очень малых величин, здесь выбраны логарифмические единицы дБ. Каждая кривая соответствует некоторой удаленности р0 точки наблюдения от центра.

Как видно из дифракционных картин поля, степень ослабления поля уменьшается по мере удаления от центральной точки и по оси, и в самой плоскости наблюдения. В главной плоскости (г2 = 200 X) на небольшом удалении от центра р0 = X, ослабление достигает более -60 дБ, в то время как на удалении р0 = 3X наблюдается ослабление порядка -20 дБ. То же самое можно отметить при сдвиге по оси. Дифракционная картина имеет некоторую асимметрию относительно вертикальной оси, которая усиливается при удалении от главной плоскости ослабления. Причем направление асимметрии зависит от положения точки наблюдения относительно главной плоскости ослабления.

А. С. Батороев, Э. Р. Чимитцыденое. Расчет пространственно-частотных характеристик дифракционного поля от секторных отверстий_

Рис. 2. Пространственные картины поля (множителя дифракционного ослабления Ф) для ослабляющего экрана в виде полукруга с радиусом R = 10,951 Расстояния от отверстия до источника ri = 300Я, до плоскостей наблюдения r2 = 150Л,, r2 = 180.Д, r2 = 200Â, r2 = 230Я. Каждая кривая соответствует определенной удаленности от центральной оси: р0 = Я, р0 = 2Х, р0 = 3Я.

Таким образом, впервые получены результаты расчетов пространственной структуры дифракционного поля от секторного отверстия и от защитного экрана в виде полукруга. Использование в расчетах аналитических решений физической оптики [4, 5] дает возможность увеличить точность получения равномерной части дифракционного поля, что важно при решении различных практических задач, имеющих приложение в оптике и в микроволновой части радиоволн.

Литература

1. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. - М.: Наука, 1970. - 855 с.

2. Lommel E. Die Beugungserscheinungen einer kreisrunden Oeffnung und eines kreisrunden Schirmschens theoretisch und experimentell Bearbeitet // Abh. Bayer. Akad. - 1885. - Vol. 15. - P. 233-328.

3. Lommel E. Theory and experimental investigations of diffraction phenomena at a circular aperture and obstacle // Abh. Bayer. Akad. - 1886. - Vol. 15. - P. 531-547.

4. Батороев A. С. Дифракционное поле от секторных областей в зоне Френеля // Оптика атмосферы и океана. - 2007. -Т. 20, № 12. - С. 1137-1141.

5. Батороев А. С. Дифракция Френеля на секторном отверстии // Нелинейный мир. - 2012. - № 10. - С. 692-695.

6. Градштейн И.С., РыжикИ. Н. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - М.: Физматгиз, 1962. - 1100 с.

7. Агрест M. М., Максимов М. 3. Теория неполных цилиндрических функций и их приложения. - М.: Атомиздат,

8. Таблицы неполных цилиндрических функций / M. М. Агрест [и др.]. - М.: Вычислительный центр АН СССР, 1966. -

9. Батороев А. С. Ослабление отраженных полей с помощью секторных экранов // Вестник Бурятского государственного университета. - 2013. - Вып. 3. - С. 107-111.

References

1. Born M. and Wolf E. Principles of Optics. London: Pergamon Press Ltd, 1959.

2. Lommel E. Die Beugungserscheinungen einer kreisrunden Oeffnung und eines kreisrunden Schirmschens theoretisch und experimentell Bearbeitet. Abh. Bayer. Akad. 1885. V. 15. Pp. 233-328. (Ger.)

3. Lommel E. Theory and experimental investigations of diffraction phenomena at a circular aperture and obstacle. Abh. Bayer. Akad. 1886. V. 15. Pp. 531-547.

4. Batoroev A. S. Difraktsionnoe pole ot sektornykh oblastei v zone Frenelya [Diffraction field from sector areas in Fresnel zone]. Optika atmosfery i okeana — Atmospheric and Oceanic Optics. 2007. V. 20. No. 12. Pp. 1137-1141.

5. Batoroev A.S. Difraktsiya Frenelya na sektornom otverstii [Fresnel diffraction at sectoral orfice]. Nelineinyi mir — Nonlinear world. 2012. No. 10. Pp. 692-695.

6. Gradshtein I. S., Ryzhik I. N. Tablitsy integralov, summ, ryadov i proizvedenii [Tables of integrals, sums, series and products]. Moscow: Physical and mathematical literature publ., 1962. 1100 p.

7. Agrest M. M., Maksimov M. Z. Teoriya nepolnykh tsilindricheskikh funktsii i ikh prilozheniya [The theory of incomplete cylindrical functions and their applications]. Moscow: Atomizdat, 1965. 351 p.

8. Agrest M. M., Bekauri I. N., Maksimov M. Z. et al. Tablitsy nepolnykh tsilindricheskikh funktsii [Tables of incomplete cylindrical functions]. Moscow: Calculative Center of USSR Academy of Science, 1966. 321 p.

9. Batoroev A. S. Oslablenie otrazhennykh polei s pomoshch'yu sektornykh ekranov [Weakening of reflected fields using sector screens]. VestnikBuryatskogo gosudarstvennogo universiteta — Bulletin of Buryat State University, 2013. No. 3. Pp. 107-111.

1965. - 351 c.

321 c.