CC BY
15
П.H. Дагуров, A.B. Дмитриев. О методе расчета дифракционных интегралов
О МЕТОДЕ РАСЧЕТА ДИФРАКЦИОННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
На основе представлений о граничной дифракционной волне в зоне Френеля получен одномерный дифракционный интеграл, описывающий решение задачи дифракции на круговом отверстии. Проведено сравнение полученного решения с классическим.
Ключевые слова: дифракция Френеля, дифракционный интеграл, круговое отверстие, граничная волна.
ON THE METHOD OF DIFFRACTION INTEGRALS CALCULATION
One-dimensional diffraction integral, which describes a solution of diffraction phenomena at a circular aperture, was obtained based on the concepts of boundary diffraction wave in Fresnel zone. A comparison of the solution with the classical ones was made.
Keywords: Fresnel diffraction, diffraction integral, circular aperture, boundary wave.
В работах [1-3] был предложен метод нахождения дифракционного поля за отверстиями с произвольной формой края при условии нахождении точки наблюдения в зоне Френеля. Основой данного метода является преобразование исходного поверхностного дифракционного интеграла в линейный интеграл по контуру отверстия. Это позволяет заметно уменьшить вычислительную сложность подобных дифракционных задач.
В данной работе рассматривается обоснование работ [1-3] на примере сравнения классического решения задачи дифракции на круговом отверстии с решением, полученным методом граничной дифракционной волны.
Для кругового отверстия в случае радиальной симметрии поля в апертуре существует классическое решение в виде одномерного интеграла [4, 5], которое при нормальном падении плоской волны на отверстие радиуса R с центром на оси z имеет вид
где W - множитель прохождения поля, k = Inj/. - волновое число, X -длина волны, d - растояние по оси z от отверстия до точки наблюдения,
УДК 534.26; 621.371.33
О П.Н. Дагуров, A.B. Дмитриев
О P.N. Dagurov, А. V. Dmitriev
ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2/2013
./,(х) - функция Бесселя нулевого порядка. Интеграл (2) можно выразить через функции Ломмеля [4].
Используя результаты работ [1-3], аналогичное выражение для множителя прохождения после параметрического задания окружности и устремления источника в бесконечность (плоская волна) можно записать в виде
Ж = е+ — 2 Л
1 2ж
м
>1Г ]
К(г0соф-ф0)-Щ Я2 -2Яг0со+ г
( ¡к /
~ ехр — (Я2 - 2Яг0 со* - ф0) -
(3)
Здесь 8=1, если точка наблюдения находится в освещенной области, и 8 = 0 в случае нахождения ее в тени, г0,<р0 - полярные координаты точки наблюдения.
Преобразование интеграла (3) в (2) осуществить не удается. Для их сравнения были проведены вычисления непосредственно по данным формулам с помощью адаптивных квадратурных формул Гаусса-Кронрода, которые показали, что в вычислительном плане в случае нормального падения волны между обоими подходами нет различия (относительная ошибка меньше КГ"). На основании этого можно предположить, что получено новое интегральное равенство, т.е. равенство выражений (2) и (3). На рис. 1 показаны результаты расчетов по формулам (2) и (3) для распределения уровня поля поперек оси г, которые совпадают между собой.
г0/ X
Рис. 1. Распределение уровня поля за круговым отверстием. Плоская волна Я=4'к, 1 - расчет по формуле (2); 2 - расчет по формуле (3)
Таким образом, в работе получено новое решение классической задачи дифракции на круговом отверстии. Совпадение решений в пределах вычислительной погрешности позволяет утверждать, что получено новое интегральное равенство. Решение (3) является более общим, чем (2), поскольку позволяет рассчитать дифракцию волны, не имеющей
58
П.Н. Дагуров, A.B. Дмитриев. О методе расчета дифракционных интегралов
радиальной симметрии и падающей на апертуру под произвольным углом. Представление дифракционного поля в виде граничной волны выглядит предпочтительным в связи с развитием вычислительной техники и современных программных средств, допускающих эффективное вычисление одномерных дифракционных интегралов.
Литература
1. Дагуров П.Н., Дмитриев А.В. О граничной дифракционной волне в теории Френеля-Кирхгофа // Письма в ЖТФ. - 2009. - Т. 35, № 10. -С. 49-57.
2. Дагуров П.Н., Дмитриев А.В. Граничные дифракционные волны при многократной дифракции Френеля-Кирхгофа // Оптика и спектроскопия. - 2009. -Т. 107, №2. - С. 306-311.
3. Дагуров П.Н., Дмитриев А.В. Дифракция Френеля на отверстиях с произвольной формой контура // Вестник Бурятского государственного университета. - 2012. - Спецвып. В. - С. 231-233.
4. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. - М.: Наука, 1973. - 720 с.
5. Ахманов С.А., Никитин С.Ю. Физическая оптика. - М.: МГУ, Наука, 2004. - 656 с.
Дагуров Павел Николаевич, д-р физ.-мат. наук, доцент кафедры экспериментальной и теоретической физики БГУ, 670000, г. Улан-Удэ, ул. Смолина, 24 а. Тел. 8(301-2) 43-46-64. Факс 8(301-2) 43-31-84. E-mail: pdagurov@gmail. com
Дмитриев Алексей Валерьевич, канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. Института физического материаловедения СО РАН, 670047, г. Улан-Удэ, ул. Сахъяновой, 6. Тел. 8(301-2) 43-46-64. Факс 8(301-2) 43-31-84. E-mail: [email protected]
Dagnrov Pavel Nikolaevich, doctor of physical and mathematical sciences, associate professor, department of experimental and theoretical physics, Buryat State University, 670000, Ulan-Ude, Smolina St., 24 a, phone. 8(301-2) 43-4664. Fax 8(301-2) 43-31-84. E-mail: [email protected] Dmitriev Aleksey Valerievich, candidate of physical and mathematical sciences, senior researcher, Institute of Physical Material Science SB RAS, 670047, Ulan-Ude, Sakhyanovoy St., 6, phone. (301-2) 43-46-64. Fax 8(301-2) 43-3184. E-mail: [email protected]
