CC BY
46
УДК 629.12.035 Е. Н. Надымов
Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2013, вып. 3
РАСЧЕТ ПРИСОЕДИНЕННЫХ МАСС С ПОМОЩЬЮ КАПЛЕВИДНЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ
Каплевидные осесимметричные тела, впервые полученные в Санкт-Петербургском государственном университете, нашли широкое применение при решении задач теории локального взаимодействия. Если за ось вращения принять I, то образующие таких тел в параметрической форме представляются следующим образом:
I = 1(х), г = г(х), х0 ^ х ^ х1,
где в качестве параметра берется естественный параметр х = Бт(в), а в - угол между осью тела и касательной к образующей, tg(в) = г'/I'. Например, уравнения образующих тел, допускающих решения простейшего варианта третьей обратной задачи теории локального взаимодействия, могут быть записаны в виде [1]
г = д/1 — х211т{х),
3 т 1+ 2
г = (1 - 2с2)(х1 -х)- -сз(х? - X2) + - 1±-с3+2){х{+1 -
3=2
j + 1
где Ят(х) - полином степени т; х = х(в1) - максимальное значение х в носке тела. Рассмотрим наиболее простые тела с данными образующими при с2 = сз = ...
cm-i, так что
l = Х\ — x —
m
—X ) Cm{X1 —X ).
(1) (2)
Графики образующих для т = 2, 3 приведены на рис. 1 и 2. При т = 3 получаем тела, заостренные с одного из концов. Заострение с носка возникает при с3 < 0, а в другом варианте при с3 > 0 имеем заострение с кормы, значению ст = 0 соответствует окружность с единичным радиусом. Стоит отметить также, что окружность отвечает нулевому ст при любом т > 2. При т = 2 параметр с2 изменяется в пределах от —то до 0.5. На рис. 1 показаны минимальный, а также переходные от затупленных к заостренным значения параметра.
10 11 12 х
Рис. 1. Образующие каплевидных осесимметричных тел (m = 2,cm = —9, —1, 0.5, xi = 1)
r
m
Надымов Евгений Николаевич - аспирант, 199034, Санкт-Петербургский государственный университет; e-mail: johnnypmpu@gmail.com. © Е. Н. Надымов, 2013
г
Ст=1 О
-1
О
Рис. 2. Образующие каплевидных осесимметричных тел (т = 3,ст = — 1, 0,1, Х1 = 1)
Присоединенные массы (ПМ) каплевидных тел могут быть вычислены различными способами. Одним из таких методов является решение уравнения Лапласа в эллиптических координатах с помощью разделения переменных (МРП) [2]. При этом в разложении уравнения образующей в виде степенного ряда ограничиваются некоторым набором коэффициентов. Количество таких коэффициентов влияет в первую очередь на качество расчетов ПМ: чем оно выше, тем точнее приближение к форме каплевидного тела. Построенные таким образом тела могут быть использованы при расчетах ПМ различных объектов с более сложной геометрией. Кроме того, интерес представляет сопоставление результатов, полученных с помощью разных подходов, таких как метод эквивалентного эллипсоида (МЭЭ) или метод плоских сечений (МПС). В предыдущей работе [3] был представлен алгоритм численного расчета, основанный на МРП, и проведено его сравнение с МЭЭ. Для заостренных с одного из концов объектов точность результатов в первом случае была выше, так как при приближении эллипсоидом невозможно учесть всех особенностей таких тел.
Еще одним методом для расчета ПМ осесимметричных тел является МПС. Его используют для определения ПМ тел, удлиненных вдоль одной из своих осей, которую обычно обозначают через х. Суть метода заключается в том, что вычисляют ПМ отдельных поперечных сечений, а потом производится их суммирование вдоль этой оси. Формулы для расчета ПМ каплевидных осесимметричных тел записываются следующим образом [4]:
При этом допускается, что продольное растекание жидкости несущественно, если элементы тела перемещаются вдоль одного из поперечных направлений. Поправки ^ и ¡11 вводятся для уменьшения погрешности при расчете тел с небольшим удлинением и могут быть вычислены как экспериментально, так и теоретически, применяя известные точные решения. МПС рекомендуется использовать только для тел с относительным удлинением более 9, в противном случае продольное растекание жидкости оказывает значительное влияние на точность вычисления коэффициентов ПМ.
В табл. 1 приведены результаты расчетов коэффициентов ПМ каплевидных осесимметричных тел для параметров т = 2, х1 = 1/2, 1/4, 0, —1/4, —1/2, —1, -4, -8, -16. Здесь коэффициент ПМ к22 вычислен с помощью МПС, к[ 1 ,к'22 - на основе МРП,
кл 1, кпп ММ^ЭЭ.
11, к22
Таблица 1. Сравнение коэффициентов ПМ, вычисленных различными способами
XI иг кЛЛ и/ 22 У ^22 к22
1/2 1.097 0.034 1.1151 0.0396 -
1/4 0.6894 0.3823 0.7023 0.4159 -
0 0.5 0.5 0.4981 0.501 -
-1/4 0.379 0.5568 0.3812 0.5674 -
-1/2 0.3123 0.6174 0.3037 0.6221 0.653
-1 0.2178 0.6893 0.21 0.7042 0.7423
-2 0.1387 0.7824 0.1322 0.7909 0.8169
-4 0.0911 0.8594 0.081 0.858 0.873
-8 0.0624 0.9576 0.05 0.91 0.913
-16 0.0376 0.9367 0.03 0.945 0.94
Каплевидные осесимметричные тела применяются при расчете ПМ объектов более сложной геометрии. Большое разнообразие коэффициентов в уравнениях их образующих требует наличия таких алгоритмов их подбора, при использовании которых можно добиться наибольшего соответствия между приближаемым и каплевидным телами. Например, для определения ПМ объекта, заостренного с одного из концов, рекомендуется брать каплевидное тело, представленное формулами (1), (2), при нечетном значении параметра т. Изменение параметра ст в уравнениях образующих влияет на соотношение затупленной и заостренной частей тела. Его значение подбирают так, чтобы данное соотношение оставалось одинаковым для обоих тел. Кроме этого, при расчете учитываются объем и удлинение тела.
В качестве примера рассмотрим корпус модели подводного аппарата [5], имеющий следующие параметры: объемное водоизмещение - 0.1106 м3, относительное удлинение - 8.8652, соотношение затупленной и заостренной частей корпуса - 0.1153 (рис. 3).
z
Рис. 3. Схематизированный корпус модели подводного аппарата
В уравнениях образующих возьмем параметр т, равным 5, параметр ст подберем таким образом, чтобы соотношение заостренной и затупленной частей корпуса сохранялось (ст = 0.87). Далее для расчета обтекания корпуса в исходные уравнения (1), (2) введем масштабные коэффициенты г\ и Т2, которые отвечают за растяжение и сжатие образующих вдоль координатных осей:
1(х) = Т1
т * ь , ц — 1 ^^_1V , ++1 и |1 \
Х\ X тС-гпуХл X ) С-т\Х-\ X )
т — 1
г{х) =г2(1 -х2)2(1 + стхт).
При этом объем каплевидного тела будет равен
XI XI
= п 192 (х)1(х)Х = ПТ1Т22 I г2 (х)1(х)Х (3)
хо Х0
Полагая объем рассчитываемого корпуса равным объему каплевидного тела, находим коэффициенты Т1 и Т2 для продольного и поперечного обтекания. В табл. 2 приведены результаты расчетов корпуса корпуса модели подводного аппарата в сравнении с полученными МПС и МЭЭ.
Таблица 2. Результаты расчетов ПМ для схематической модели подводного аппарата
к МЭЭ МРП МПС
00 N = 4 N = 5
кц 0.0227 0.02997 0.03117 0.03205 -
&22 0.8947 0.9172 0.9331 0.9405 0.9388
В практических расчетах удобно пользоваться таблицами, содержащими заранее вычисленные коэффициенты ПМ каплевидных тел при различных значениях параметров в уравнениях образующих. С помощью таких таблиц можно быстрее подобрать приближающее тело и оценить ПМ исходного объекта. В табл. 3 приведены данные коэффициенты для симметричных тел и тел, затупленных с одного из концов.
Таблица 3. Результаты расчетов ПМ для разных т
Для т = 2 Для т = = 3 Для т = 4
Ст кц &22 Ст кц &22 Ст кц &22
0.5 1.1151 0.3096 1 0.6656 0.6139 1.25 1.1247 0.2563
0.25 0.7023 0.4159 0.8 0.5051 0.5734 0.5 1.1298 0.3157
0 0.4981 0.501 0.6 0.4582 0.543 0.25 0.7164 0.4278
-0.25 0.3812 0.5674 0.4 0.4718 0.5583 0 0.5139 0.5173
-0.5 0.3037 0.6221 0.2 0.5058 0.5358 -0.25 0.3911 0.5724
-1 0.21 0.7042 0 0.5238 0.5143 -0.5 0.2996 0.6349
-2 0.1322 0.7906 -1 0.2174 0.7253
-4 0.081 0.8598 -2 0.1482 0.8003
-8 0.0493 0.9102 -4 0.0943 0.8697
-16 0.0292 0.9447 -8 0.0519 0.9102
Таким образом, каплевидные осесимметричные тела могут быть использованы для быстрых численных расчетов ПМ тел с более сложной геометрией. Значительное
количество коэффициентов, входящих в уравнения образующих, позволяет добиться точного геометрического соответствия между исследуемым и приближающим телами, а следовательно, и более точных результатов вычисления. ПМ каплевидных осесиммет-ричных тел, в свою очередь, могут вычислены с помощью МРП. Кроме того, в практических расчетах удобно воспользоваться таблицами, содержащими значения ПМ для разных наборов коэффициентов в уравнениях образующих таких тел.
Литература
1. Мирошин Р. Н., Халидов И. А. Локальные методы в механике сплошных сред. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2002. 304 с.
2. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1970. 840 с.
3. Надымов Е. Н. Расчет присоединенных масс некоторого класса осесимметричных тел // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2012. Вып. 3. С. 117—123.
4. Короткин А. И. Присоединенные массы судостроительных конструкций. СПб.: Мор вест, 2007. 448 с.
5. Никущенко Д. В., Надымов Е. Н., Шушков Р. А. Расчет гидродинамических характеристик подводных аппаратов с выступающими частями, рулями и стабилизаторами // Вестн. С.-Петерб. унта. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2010. Вып. 4. С. 64—73.
Статья рекомендована к печати проф. Ю. М. Далем. Статья поступила в редакцию 21 марта 2013 г.
