CC BY
77
УДК 629.12.035
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 3
РАСЧЕТ ПРИСОЕДИНЕННЫХ МАСС НЕКОТОРОГО КЛАССА ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ
Е. Н. Надымов
С.-Петербургский государственный университет, аспирант, johnnypmpu@gmail.com
Проблема вычисления присоединенных масс (ПМ) является одной из наиболее важных при проектировании летательных аппаратов. Знанием ПМ тел, взаимодействующих с плотной средой, необходимо для решения разнообразных исследовательских и прикладных задач гидроаэромеханики, например, при нестационарном движении тел для оценки ходкости и управляемости. В трехмерном случае точные решения известны только для эллипсоидов, а в остальных используются различные приближенные приемы [1]. Таким образом, увеличение количества объектов, для которых известны формулы или алгоритмы вычисления ПМ, является на сегодняшний день актуальной задачей. Цель данной работы — расширить класс таких объектов каплевидными осесимметричными телами, впервые рассматривавшимися при решении задач теории локального взаимодействия [2], чтобы с их помощью оценить ПМ более сложных тел.
Выбранные тела относятся к классу удобообтекаемых тел вращения небольшого удлинения. Они используются для моделирования летательных аппаратов. Наиболее важной задачей при проектировании подобных аппаратов является задача оценки гидроаэродинамических характеристик, качество определения которых тесно связано с точностью расчета ПМ.
Уравнения образующих рассматриваемых каплевидных осесимметричных тел записываются следующим образом:
<Р) =Р1-Р- -^ТС^Г1 - Рт-1) + ст(р?+1 - рт+11 (1)
т — 1
Г(Р)=( 1 — р2)1/2( 1+ Стрт), (2)
где р 1, т, ст — некоторые параметры.
На рис. 1, 2 приведены графики этих тел для т = 2 и т = 3 соответственно. Выбраны минимальные и максимальные, а также наиболее характерные промежуточные значения констант ст:
1
ст = -9,-1,-, то = 2;
ст = —1, 0, 1, т = 3.
Присоединенные массы твердого тела вычисляются в виде поверхностного интеграла, если известны единичные потенциалы скоростей, возникающих при движении вдоль (вокруг) соответствующих координатных осей. Таким образом, задача сводится к решению уравнения Лапласа при заданных условиях на границе (непротекание
© Е. Н. Надымов, 2012
г
Ст=0.5 -1 -9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 х
Рис. 1. Образующие каплевидных осесимметричных тел (т = 3, ст = -9, — 1, 1/2, рх = 1).
Рис. 2. Образующие каплевидных осесимметричных тел (т = 2, ст = -1, 0, 1, рх = 1).
и постоянная скорость на бесконечности). Среди общих методов нахождения его решения в гидродинамике наибольшее распространение получили метод разделения переменных и метод особенностей [3].
Согласно известной схеме метода разделения переменных общее решение линейного уравнения Лапласа ищется в виде суммы частных решений с постоянными коэффициентами, значения которых определяются из граничных условий задачи. При этом используют ортогональную систему криволинейных координат, стараясь подобрать ее таким образом, чтобы одна из координатных поверхностей совпала с поверхностью исследуемого тела.
Известно, что решение уравнения Лапласа потенциалов скоростей продольного и поперечного обтекания в эллиптических координатах для меридианной плоскости представимо в следующем виде [4, 5]:
у ^^ А^п(Л)Рп—для продольного обтекания,
п=1
у ^^ Ап^п1(Л)Рп 1(^)совв —для поперечного обтекания,
п=1
где у — скоростной потенциал движения жидкости, Рп, Рп 1 и Qn, Qn1 —полиномы Лежандра первого и второго рода соответственно, а в — угол между меридианной и диаметральной плоскостями.
Если предположить, что уравнение меридианного профиля тела представимо в виде ряда Л по степеням то граничные условия двух типов обтекания представляют собой линейные уравнения для определения коэффициентов Ап и Ап1 [5]. В практических расчетах ограничиваются вычислением N первых коэффициентов в разложении скоростного потенциала движения жидкости.
Кинетическая энергия жидкости вне поверхности движущегося тела S выражается следующей формулой [1]:
Т =--
2
3<р
дп
1 6 6
ds = о 7 , 7 , AikUjUk,
i=1 k=1
где дф/дп — производная по нормали, а —плотность жидкости, А^ —присоединенные массы данного тела, щ — проекции скоростей тела на оси системы координат, связанной с телом.
Таким образом, для величин А^ имеем
Ajfc — —р
dfj дп
д^к dS,
или в безразмерном виде:
к
ll
Ли
m
k22
А22 m
кзз
Азз m
к44
А44 Jl '
к55
А55 Ja:
к66
Абб J3 '
где m — масса тела, Ji, J2, J3 — моменты инерции тела относительно выбранных координатных осей.
В настоящее время широкое распространение получили различные программные комплексы, которые упрощают и ускоряют вычисления. На основе приведенного выше алгоритма разработана программа, предназначенная для вычисления ПМ каплевидных осесимметричных тел вращения. Расчеты выполняются с использованием ядра математического пакета Maple.
Разработанная математическая модель была использована для решения ряда практических задач. Ниже излагаются результаты исследования двух схематизированных моделей подводных объектов, взятых из статьи [6]. Результаты расчетов для нескольких наборов вычисляемых коэффициентов сравнивались с данными, полученными методом эквивалентного эллипсоида, и численными расчетами с использованием программного комплекса FastShip.
Согласно [2], параметры в уравнениях образующих каплевидных тел (1), (2) не являются произвольными, а должны быть подобраны с учетом некоторых ограничений. Коэффициент pi — максимальное значение р в носке тела, а cm определяется с учетом неотрицательности r(p) и выпуклости кривой x(p),r(p). Значение cm — —1 служит границей между двумя классами тел: при cm > — 1 имеем r(p) — 0 только в точке r — 1, т. е. ri — 1, а при cm < —1 существует еще один корень,
1
ri
(--)l/m <
так что г(р) > 0 только при р < рх, и тело с носка заострено. Аналогичным образом для нечетных т условие г(р) > 0 дает при ст > 1 заострение тела с кормы. Кроме того, на ст накладываются следующие ограничения [2]:
|ст| < 1 при т = 21 + 1 > 3,
/ |1Ч m/2-1
1 I m + 1 \
2 \m-2
при m — 21 > 4,
m
cm
—оо < ст < — при то = 2.
Первая модель представляла собой корпус жесткого дирижабля «Акрон» (рис.3, а), являющийся телом вращения с относительным удлинением 5,9. Геометрические характеристики корпуса: объемное водоизмещение V = 7808, 47 м3, длина Ь = 80 м, ширина В = 13, 5 м, высота Н = 13, 5 м. Моделировалось обтекание напором воздуха со скоростью 1м/с.
Корпус данного объекта является симметричным относительно плоскости 0уг, поэтому для его расчета возьмем каплевидные тела с четным параметром то (то = 2), ет определяется из уравнения (1) с учетом величины относительного удлинения тела. Из рис. 1 видно, что параметр ст в этом случае можно взять равным -9. Далее для расчета обтекания корпуса в исходные уравнения (1), (2) введем два масштабных коэффициента Т1 и Т2, которые отвечают в уравнениях за растяжение и сжатие образующих вдоль координатных осей:
ж(р) = Т1
Р1 - Р--7Ст{Р\ -р ) + Ст{р1 -р }
т — 1
г(р) = Т2 (1 - р2)1/2 (1+ стрт).
При этом объем каплевидного тела, задаваемого уравнениями ж(р),г(р), будет равен
рг Р1
Пк = ^У г2 (р)х(р)3,р = ПТ1Т22У г2 (р)х(р)3,р, (3)
Р0 Р0
Положим объем рассчитываемого корпуса равным объему каплевидного тела. Для продольного обтекания возьмем величину Т2 = Н/2, а Т1 определим по формуле (5) из известного объема тела и уравнений образующих. В случае поперечного обтекания соответственно возьмем Т1 = Ь/хтах = Ь/х(р\), а Т2 определим по формуле (5). Таким образом, для первого корпуса получим:
Т1 = 8, 391, т2 = 6, 75 — для продольного обтекания,
Т1 = 6.78, т2 = 7, 51 —для поперечного обтекания.
В табл. 1 приведены результаты расчета ПМ корпуса представленным алгоритмом в сравнении с методом эквивалентного эллипсоида (МЭЭ) и данными, полученными с помощью специализированного программного комплекса Еаз18Ыр. Из нее видно, что представленный алгоритм дает результаты лучшие, чем метод эквивалентного эллипсоида (разность достигает 5%). При этом с увеличением количества членов N в разложении уравнения профиля в эллиптических координатах возрастает точность вычисления коэффициентов ПМ.
Вторая модель представляет собой схематизированный корпус подводного аппарата, заостренный с одного конца (рис. 3, б). Геометрические характеристики корпуса: объемное водоизмещение V = 0,1106 м3, длина Ь = 2, 5 м, ширина В = 0, 282 м, высота Н = 0, 282 м, относительное удлинение 8,9. Моделировалось обтекание со скоростью 1 м/с. Так как корпус заострен с одного из концов, возьмем в уравнениях образующих параметр т нечетным (например, т = 3), а параметр ст равным — 1
2
Рис.3. Схематизированные модели: а — корпус жесткого дирижабля «Акрон»; б — корпус модели подводного аппарата.
Таблица 1. Результаты расчетов для модели корпуса жесткого дирижабля «Акрон», МЭЭ — метод эквивалентного эллипсоида
Рав18Ыр МЭЭ Представленный алгоритм
N = 3 N = 4 N = 5
А-ц 0,0517 0,0445 0,0461 0,0489 0,05
к22 0,9364 0,8938 0,8975 0,9137 0,9211
(см. рис.2). Масштабные коэффициенты тх и Т2 рассчитаем, исходя из тех же предположений, что и для первого корпуса:
Т1 = 1.453, т2 = 0.141 —для продольного обтекания,
Т1 = 1.25, т2 = 0.152 — для поперечного обтекания.
Результаты расчетов приведены в табл. 2. Не удивительно, что совпадение с методом эквивалентного эллипсоида хуже, чем для первой модели, поскольку вторая модель заострена с одного из концов.
Таблица 2. Результаты расчетов для схематической модели подводного аппарата
мээ Представленный алгоритм
N = 3 N = 4 N = 5
fell 0,0227 0,02997 0,03117 0,03205
&22 0,8947 0,9172 0,9331 0,9405
Таким образом, класс объектов, для которых известны простые алгоритмы вычисления ПМ, расширен за счет рассмотренных каплевидных тел. Проведенные численные эксперименты подтверждают преимущества приближенного алгоритма, основанного на данных телах, перед методом эквивалентного эллипсоида для тел с более сложной геометрией.
Литература
1. Короткин А. И. Присоединенные массы судостроительных конструкций. СПб.: Мо-рвест, 2007. 448 с.
2. Мирошин Р. Н., Халидов И. А. Локальные методы в механике сплошных сред. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2002. 304 с.
3. Ламб Г. Гидродинамика. М.; Л.: ГИТТЛ, 1947. 928 с.
4. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1970. 840 с.
5. Kaplan C. Potential flow about elongated bodies of revolution // NACA Rep. 1936. P. 189-208. http://naca.central.cranfield.ac.uk/reports/1936/naca-report-516.pdf
6. Никущенко Д. В., Надымов Е.Н., Шушков Р. А. Расчет гидродинамических характеристик подводных аппаратов с выступающими частями, рулями и стабилизаторами // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2010. Вып. 4. С. 64-73.
Статья поступила в редакцию 26 апреля 2012 г.
