CC BY
9
положения линии пути БЛА Источник: разработано авторами
Из графиков зависимостей вероятности правильного решения видно, что при фиксированном значении параметра различения проверяемой гипотезы возрастание числа различаемых положений траектории приводит к уменьшению вероятности правильного определения положения траектории и приводит к уменьшению относительной дисперсии ошибки, но при значениях параметра различения проверяемой гипотезы более 20 уменьшение несущественно, следовательно, погрешность измерения
высоты должна быть не более, чем (20 х 2 х100% —15...16% от среднеквадратического отклонения высот зондируемой поверхности.
Список использованной литературы:
1. Черноус, С. А. Навигация GPS/ГЛОНАСС в Арктике и полярные сияния: / С. А. Черноус // Вестник Мурманского государственного университета. - 2016. - Т. 19, №4. - С. 806-812.
2. Просто о больших данных: / Гурвиц Джудит, Ньюджент Алан, ХалперФерн, Кауфман Марсия : [перевод с английского]. - Москва :Эксмо, 2015. - 400 с. - (Библиотека Сбербанка.Т. 58). ISBN 978-5-699-85806-4.
© Дубошин О.А., Лютин В.И., 2022
УДК 621.39
Машкаренко Д.М.
магистрант 2 курса ВГУ, г. Воронеж, РФ Лютин В.И.
Кандидат технических наук, доцент ВУНЦ ВВС «ВВА»,
г. Воронеж, РФ
РАСЧЕТ ПОТЕРЬ ПРИ ПРИНЯТИИ РЕШЕНИЙ ПО КРИТЕРИЮ НЕЙМАНА-ПИРСОНА ПРИ РАВНЫХ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ И РАЗЛИЧНЫХ ДИСПЕРСИЯХ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
Аннотация
В работе предложена технология обработки последовательности данных при определении Байесовского риска при неизвестных априорных вероятностях различаемых гипотез и заданной вероятности ошибки первого рода, и проведена оценка качества различения гипотез.
Ключевые слова
Теория различения гипотез, Байесовский риск, отношение правдоподобия, достаточная статистика.
Mashkarenko D.M.
2-year master's student of VSU, Voronezh, Russia Ljutin V. I.
Cand.Tech.Sci., senior lecturer MECS the Air Forces «MAA»
Voronezh, Russia
CALCULATION OF LOSSES AT DECISION-MAKING BY NEUMANN-PIRSONA CRITERION AT EQUAL AVERAGE VALUES AND VARIOUS DISPERSIONS OF RESULTS OF SUPERVISION
Annotation
In work the technology of processing of sequence of the data is offered at definition of Bajesovsky risk at
unknown aprioristic probabilities of distinguished hypotheses and the set probability of an error of the first sort, and the estimation of quality of distinction of hypotheses is spent.
Keywords
The theory of distinction of hypotheses, Bajesovsky risk, the credibility relation, the sufficient statistics.
Всё возрастающие требования к повышению эффективности и качества управленческих решений в условиях возрастания информационных потоков приводят к необходимости всемерного применения автоматизированных информационных технологий в экономике с использованием вычислительной техники для оптимизации управленческих решений.
Одной из задач экономики является оптимизация принятия управленческих решений, минимизирующих экономические потери. Решение принимает человек, и не всегда можно положиться на здравый смысл и интуицию при принятии управленческих решений в сложной экономической обстановке с многочисленными воздействующими факторами. Целесообразно найти оптимальное решение с максимальным исключением субъективных факторов. Для этого необходимо разработать алгоритм, с помощью которого автоматически определяется оптимальное решение на основе текущих наблюдений и результатов долговременных предыдущих наблюдений. Окончательное решение о действиях принимает человек, рассматривая решение автомата как рекомендательное.
Целью данной работы является определение Байесовского риска при неизвестной априорной вероятности и невозможности принятия аналитического решения, а также, разработка программного продукта для контроля знаний обучающихся в вузах.
В соответствии с поставленной целью в работе решены следующие задачи:
- исследование качества принятия решения по критерию Неймана-Пирсона;
- определение порога сравнения достаточной статистики П для обеспечения требуемой вероятности ложной тревоги F ;
- определение априорных вероятностей гипотез P0 = P(H0 ) и P = Р(Нх);
- расчёт среднего Байесовского риска.
Каждодневные наблюдения в течение L дней (месяца) курса валюты, акций или других ценных бумаг - векторное наблюдение
Y = bi> У2> yL Г. (1)
Для принятия решения строятся предположения или гипотезы о поведении курса ценных бумаг и действиях:
Hx - гипотеза о росте курса ценных бумаг, решение - продавать;
H0 - альтернатива или гипотеза о падении курса ценных бумаг, решение - ничего не
предпринимать или покупать.
Выбор той или иной гипотезы сопровождается потерями или платой за выбор гипотезы. При правильных решениях - это плата за ведение экономической разведки, содержание помещений и прочие необходимые траты на поддержание доходности предприятия. При правильных решениях всегда обеспечивается доход или отсутствие убытков. При неправильных решениях - это экономические потери предприятия. Величина платы устанавливается по результатам длительных наблюдений.
Средний Байесовский риск равен
R = I Pm I P{Hn\Hm )-П ^ , (2)
m=0 n=0
где Pm, m = 0,1, P0 + P = 1 - априорные вероятности гипотез; р(Ни|Нот ), m, n = 0,1 -вероятность принятия гипотезы Hn , если истинна гипотеза Hm, при этом p(h\H0 )= F - вероятность ошибки первого рода или вероятность ложной тревоги, р(Н0|Н ) - вероятность ошибки второго рода или вероятность пропуска сообщения; Пп т, m, n = 0,1 - плата или потери при принятии гипотезы Hп
если истинна гипотеза Нт, записываемая как матрица потерь
П =
П 00 П 01 Пю Пп
(3)
Для расчёта Байесовского риска необходимо знать матрицу потерь, априорные вероятности и условные вероятности гипотез.
Пусть компоненты векторного наблюдения У независимы и имеют нормальное распределение со средним т и среднеквадратическим отклонением о
w(yk) —(^V2^ 1 • exp{-(yk -m)7(2^)}.
(4)
(5)
Каждый компонент равен
ук = т + ,
где Лк, к = 1, Ь - последовательность стандартных нормальных чисел.
При независимых компонентах плотность распределения вероятностей векторного наблюдения
равна
w (Y H)—
1
(a,yf2^f xP"! 2Ii
(Ук - m)
i —1;0.
(6)
На рисунке 1 приведён пример реализаций с одинаковым средним т = т0 = т и различной
„2 2 дисперсией <г1 .
а) стабильность б) повышенные колебания
Рисунок 1 - Наблюдения при различных дисперсиях Источник: разработано авторами
Критерием принятия решений является сравнение отношения правдоподобия Л, равного отношению условных вероятностей вектора наблюдения для различаемых гипотез, с порогом к [1]
Л" h,
<
(7)
где Л — w (f|H )/W0 (f|H0), h — P •(Пю - П00)/(р • (П-01 - Пп)).
0/' ~ 0 ^00^
После подстановки (6) в (7) и преобразований решающее правило представляется как сравнение достаточной статистики £ с порогом П в зависимости от соотношения между о\ и о\
, (8)
H1
>
й п
<
H0
H1
<
й п
>
H0
И
И
2
2
0
<
2
Достаточная статистика равна
£ = -m? • (9)
k=i
Порог сравнения достаточной статистики равен
О т2 т2
2
П =
i " о
22 »i -ао
( \
ln h - L - ln *
V ai J
(10)
Таким образом, установлено решающее правило при различении двух гипотез при равных средних и неравных дисперсиях результатов наблюдений.
Достаточная статистика имеет %2 -распределение с числом степеней свободы Ь
Wfc)=--Цгт• j"lJ"exp]-^[> Z ^0 j = !-0. (11)
-rifJ l 2»j
.z-
где Г(г) = 1¿2 1 • е- • ^ - гамма-функция.
о
Определим вероятность принятия гипотезы Н, если она истинна, или вероятность правильного решения о гипотезе Н1.
Воспользуемся интегральной функцией хХ -распределения вероятностей [2]
ф(П, L,a, ) = П Wfe)- d£ = -г-• f Z^ - exp l - [ - d^, i = 1,0 • (12)
J L *-rf1
0 22 -aL-Г " 1 0
phh)=Г-ф(П,^), при ;i ,0, (13)
Тогда вероятность принятия гипотезы Н равна
[1 - ф(п, Ь, ах), при > а02, ф(П, дад при а\ <а02. Вероятность принятия гипотезы Н , если истинна гипотеза Н или вероятность ошибки второго рода (вероятность пропуска сообщения) равна
Ф0Н1 )=(,Ф1Ппь,г1 \ при >^ 04)
[1 -Ф(П, Ь, ), при а 2 <а0. Определим вероятность принятия гипотезы Н , если она истинна или вероятность правильного решения о гипотезе Н .
Р(НоНоЧ.ФПпг\ ПРи а > ^ <15)
[1 -Ф(П,Ь,а0), при а2 < а2.
Вероятность принятия гипотезы Н , если истинна гипотеза Н или вероятность ошибки первого рода Р (вероятность ложной тревоги) равна
[1 -ф(п, ь,а0), при а\ >а<2,
ф(п , Ь,а0), при а2 <а^.
Творческая часть задачи состоит в том, чтобы подобрать такое значение П, при котором выполняется равенство
(1 -Ф(П, Ь,аД при а2 >&1,
р=1 V,, о * у а а (17)
[ Ф(П, Ь,а0), при а2 <а2
P(HJ^0)=|i-фП^ * >»0, (16)
L
Один из путей - это использование обратной функции интегрального % -распределения вероятности
Гф-1 ((1 - F), Ь, о ), при о2 > о2, П = I и Л о0* р 0 1 0 о, (18)
[ Ф1 (F,Ь,о0), при о <а2-
При найденном значении порога сравнения достаточной статистики п определяется порог сравнения отношения правдоподобия из уравнения (10)
2 2 < „ < -<
к = ехр<! Ь • + П- 1 0 \. (19)
[ °1 2 О )
Из выражения для порога сравнения отношения правдоподобия (7) с учётом, что р + р = 1, выразим одну из априорных вероятностей гипотез, например, р
р = (1 + к • (П0Х - ПпУ(Пю - П00)) 1, Р = 1 - р. (20)
Таким образом, по заданной вероятности ложной тревоги F определены порог сравнения достаточной статистики п , порог сравнения отношения правдоподобия к и априорные вероятности гипотез р и р .
Найденные значения априорных вероятностей являются виртуальными, так как реально они не заданы, это такие значения, при которых обеспечивается заданная вероятность ложной тревоги.
В результате исследований разработана методика определения Байесовского риска при проверке статистических гипотез в задаче оценки эффективности управленческих решений по критерию Неймана-Пирсона. В работе получен новый научный результат, позволивший определить виртуальные априорные вероятности, соответствующие заданной вероятности ошибки первого рода (ложной тревоги). Список использованной литературы:
1. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. М.: «Советское радио», т.1, 1972, 742 с.
2. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика - М., Высш.шк., 2003.- 479 с.
© Машкаренко Д. М., Лютин В.И., 2022
