Расчет порочности слоя агломерационной шихты при ее оптимальной укладке Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 622.788.36

Власюк Ю.Н., Кривенко О.В.

РАСЧЕТ ПОРОЗНОСТИ СЛОЯ АГЛОМЕРАЦИОННОЙ ШИХТЫ ПРИ ЕЕ ОПТИМАЛЬНОЙ УКЛАДКЕ

Существует проблема определения порозностп и газопроницаемости пористого слоя агломерационной шихты. В литературных источниках получены закономерности в статике и лишь для простых (упорядоченных) структур идеального и фиктивного слоев, которые приближают к реальным материалам с помощью эмпирических коэффициентов [1,2,3].

В настоящей публикации предложена методика моделирования динамики порозности слоя шихты при любой упаковке шарообразных частиц с различными известными распределениями массовых и количественных концентраций.

Математическая модель основана на допущении наилучшего перемешивания всех частиц, поэтому одна часть объема технологического пространства барабана-окомкователя идентична другой его части. В свою очередь, такое допущение позволяет анализировать состояние укладки шарообразных частиц в сферообразное тело по их массовой и количественной концентрациям. Сферообразность формируемого тела принята в связи с его наибольшим объемом при минимальной поверхности. При этом, расположение частиц осуществляется вокруг самой большой из них и в процессе моделирования визуально контролируют их размещение (рис. 1).

Рис.1. Укладка шарообразных частиц в сферообразное тело

Для формирования такого шарообразного тела в соответствии с кривой распределения количества сферообразных частиц ьтых диаметров на текущий момент времени X создают массив их количества. При этом, случайным образом из полученного массива выбирают частицы ь того диаметра и одновременно определяют оставшееся их количество.

Принято, что центр О0 самой большой частицы лежит в начале координат (рис.2), то есть

х0 = о , ув = о , г0 = о . (1)

Рис.2. Схема укладки шарообразных частиц в прямоугольных и сферических координатах вокруг наибольшей.

Укладку шарообразных частиц производят сверху вниз по уровням. Первая цифра в индексах при обозначении - номер уровня, а вторая - номер шарообразной частицы в уровне.

- Шар с диаметром Dn располагают сверху центрального и принимают, что первый уровень с координатами центра шара

Хи = 0 , Yu = 0 , Z¡¡ = Rо + R„ • (2)

или в сферической системе координат

Фп = о , еи = 0 . ри = R0 + Rn , (3)

где числа <р , 0 , Р - сферические координаты, связанные с прямоугольными X, Y и Z формулами

X = р • cos ф • sin 9 ,

Y = p'sinq)-sin9 , (4) ,

Z = р•cos 9 , где 0 s <p < 2я , 0 s 0 s я , 0 s p < да.

Значения координат заносят в массив координат центров шаров. Второй уровень рассчитывают, принимая координаты первого укладываемого шара с центром 021 ф21 =0, р 21 = R0 + R21 . По теореме косинусов из треугольника О0ОпО21 (рис.2) после преобразований имеем

021 = arceos Р" + ~ (R4 + . (5)

2'Pil ' Р21

В прямоугольной системе координат эти параметры приобретают вид

X2l = Р21 -cos92i -Sin02i ,

Y2i = Р21 -8тф21 -sin021 , (6)

Z21 =' P21 -COS021 •

Для второй шарообразной частицы второго уровня с центром О 22 после преобразований имеем следующие сферические координаты

Р 22 ~ К-0 + ^22 '

Ф 22 = Ф 21 + агссоБ

р • вт 21

021 +Р* «т2е22 +»22)2 +

+р21 -совег, -р22 -со$е22

(2-Р21 5те21 р22 • эт922) ,

922 = агссов

Р11 + Р22 ~ (К-11 + К22)2 2-РII ' Р22

(7)

По аналогии определяют координаты центров остальных шаров второго уровня до тех пор, пока укладываемый шар не соприкоснется с первым. В процессе укладки используют проверку на соприкосновение шаров с первым по уравнению

}1(Х2* - Х21)2 + Ы - Y2,)2 + - - (и21 + < 8 , (8)

где - индекс последнего шара данного уровня, £ - задаваемая точность расчета.

Для третьего уровня укладки шаров составлена система из уравнений, определяющих расстояние между центрами О 21 и 031, О гг и О з, О о и О 31, соответственно,

\2 ,, \2 . /г, г, \2

(Х31 - х21)2 + (У31 - ¥21)2 + {ъъх - ъгху = И?, (Х31 - Х2г) + - У22)2 + - ^2г)г = Э2, X321+Yз2,+Zз21 , = Ъ

(9)

з >

причем, Э, = + , = Я22 + , Б3 = Я0 + Л31 .

Из условий (9) рассчитывают координаты центра О 31 первого шараг укладываемого между О 21 и О 2г

Х31 -

У22 •

- ъг

Р 21 + Р31 -(К-21 + ^р2

^ Р22 + Р31 -(К-гг + ЯзО2

■

^22 ■ 231

(Х21 ■ У22 - Х22 ■ ¥21) ,

^31 =

X

22 '

- X

21

Р21 + Рз1 ~(к21 + ^-зр2

Р22 + Р31 ~ (^-22 + ^31)2 2

- ■

- ^22 ' 231

(Х22 ' ^21 - Х21 • У22) ,

231 - |(Х21 + ¥221)'(р22 + Р31 ~ (»22 + »З^2)' 222 + (Х22 + У22г)'(р21

+рз1 - (^21 + ЯзО2) • г21 - (х21 • х22 + у21 • у22) • [(Р|2 +Р§,

-(»22+ К-31)2)-221 +(р1, +р\х-(Я21 +Кз1)2)-222] ±

± ((х21-х22 + У2, -У22).((р|2 +р|, -(я22 + к31)2)-221 +(р11+

+Р31 - (»21 + »зО2) • г22) - (х!2 + у222 )-(рЬ + рз! - (я21 + Кзх)2) х221-(х|] + У2\)-(р22 +Р31 -(»22 + »31)2)-222)2 -((х^2+У222)х Х221 + (Х21 + У221)- 222 - 2 ' (Х2Л ' Х22 + У21 ' "^22) ' 221 ' 222 + (Х22 > ХУ21 _ Х21 . У22)2)-((х|2 + У222)(Р221 + Р31 - (»21 + Г^31)2)2 + (Х

+ ^21 ^Р 22 + Р31 ~ (»22 + »зО2)2 - 2 (Х21 Х22 + У21 +

+ Р§1 -(»21 + К-зО2) (р22 +Р31 -(»22 +»31)2)-4 р|1 (Х22 У21-

31 +

-У у

Аи ' 1гг

(2• \(Х12 + У2\).^ + (ЛГ22, + ^ - 2• (Х21 ■ Хи + + У21 ■ ^22) • £2, • г22 + (^22 г21 -Хп -У22) 11. (1 о)

По аналогии рассчитывают координаты центра второго шара третьего уровня, лежащего между О 22 и Ъ 2з • Затем проверяют расстояние между центром 031 и О 32. Если

у1(х32-х}1)2 + (у32 -у31)2 + (г32-гп)2-(я31 + к32) > е,

(П)

то вторую цифру индекса для второго шара третьего уровня увеличивают на единицу, то есть 032 на 033 , аналогично, и для координат.

Между шарами с центрами 031 и 0 33 вписывает шар 032 таким образом, чтобы выполнялись условия касания всех трех шаров (рис.3, а), то есть

^(х32 - Х31)2 + (У32 - У31)2 + {¿гг ~ 231)2 - (^31 + »32) < 2 , ■ у/(х33 - х32)2 + (у33 -у32)2 + (г33 -г}2)2 -(я33 + к32) < в, (12) >/(Х22 ~ Х32)2 + (У22 - У32)2 + {ъ22 - - (К-22 + ^32) <

Рис.3. Примеры укладки частиц при проверке их на соприкосновение:

а) при вписывании одной частицы;

б) при вписывании нескольких частиц.

В случае, если располагаемый шар О 32; не позволяет выполнить условия (12), то вписывают несколько шаров. При этом проверяют по аналогии с условиями (12) проверку на касание. Например, два шара : (рис.3, б), при этом, цифру в индексе 0 33 заменяют на 034.

При подборе шаровидных частиц проверяют условие на величину радиуса укладываемой частицы, который должен быть больше критического радиуса. В противном случае, частица просто "провалится" внутрь поры.

Заполнение третьего уровня осуществляют до тех пор, пока выполняется условие

т/(хЧк - + (узл -У31>2 + - 231>2 -<*31 + а*) < е- <13> -

Все последующие уровни заполняют аналогично методике упаковки для третьего уровня.

Из любой укладки шаров очевидно, что минимальное количество шаров, образующих пирамиду, равно четырем. Такая укладка является также оптимальной, при которой любой дополнительный шар "проваливается" либо внутрь этой пирамиды, либо остается на ее поверхности и также образует пирамиду с частью ее шаров (трех). В связи с этим расчет объема этих пирамид является реверсивным. Вписываемый шар ведет к уменьшению объемов пустот пирамиды, а располагаемый на ее поверхности, наоборот, к увеличению.

В связи с вышеизложенным образующееся тело разбивают на пирамиды, вершины которых являются центрами самой большой частицы и три центра шаров, лежащих на ее поверхности.

Условие окончания заполнения поверхности центрального шара -сумма площадей сферических треугольников на центральном шаре, образованных при пересечении боковых граней пирамид с его поверхностью, должна равняться площади поверхности центрального шара.

Эпов^з, (14)

где т - количество сферических треугольников, ] • номер пирамиды.

После укладки сферообразиых частиц на поверхности центральной в полученные пустоты вписываем вновь шары с учетом их количества по методике, описанной в публикации [4].

Когда первый слой вокруг большой частицы сформирован, определяем его порозность и переходим к определению эквивалентного диаметра этого слоя и укладке оставшихся шаров на этот слой. Внутренний слой теперь принимаем за "самую большую" частицу. По алгоритму (1)...(14) осуществляют продолжение укладки шаров и необходимых расчетов. Эту последовательность повторяют до тех пор, пока выборка шаров не будет завершена.

Порозность образованной пирамиды

' пир

(15)

V,

пир

где

Уп - объем пустот, Упир - объем пирамиды АСОЕ (рис.4). Объем пирамиды с вершинами А (ХА,УА,гА), с (Хс. Ус, Ъс) , О (Х0, У0, иЕ (ХЕ, УЕ, гЕ) находят из решения матрицы

пир

Объем пустот

V = V

*п »пир

ХА YA 2а 1

Хс 1

хс Уо 1

хЕ YE 2е 1

1=1

(16)

(17)

где У| - доли объемов шарообразных частиц, образующих пирамиду АСБЕ (на рис. 4 - КРКБ, АМЬК, МСдР и ЬрЕЫ), Увп - объемы шаров, вписанных в пустоты данной пирамиды.

Порозность слоя агломерационной шихты на данный момент времени

ш

XV

Е = —— —^- , (18)

н 1 ¡=1

где к - количество шарообразных частиц в слое.

В результате перемещения материалов в барабане-окомкователе (в пространстве и во времени) диаметр частиц изменяется в соответствии с методикой, изложенной в работе [5]. Поэтому на каждый момент времени, равному сумме предыдущего момента времени и приращения по

времени, Т^Тя+ДТ для определенного сечения барабана возвращаемся

к методике (1)...(18). В статике, когда не происходят варьирования диаметров частиц и их концентраций, учет временных и пространственных изменений в целях ускорения расчетов следует исключить.

Предложенное математическое описание детерминированной модели процесса окомкования агломерационной шихты может быть использовано в любой части технологического пространства аглопроиз-водства. При этом модель позволяет вводить дополнительные алгоритмы или их опустить. Исходные данные в настоящую модель заносят от датчиков или по усмотрению и требованиям оператора-технолога.

Результаты расчетов на любой момент времени моделирования или технологического процесса могут быть представлены в виде графиков или таблиц, которые отражают качественные и количественные свойства аглошихты. При наличии управляющей системы эта модель может быть использована для оптимального ведения технологических процессов подготовки шихты.

Настоящая модель проходит испытание в производственных условиях аглофабрик металлургических комбинатов. Причем, выборка шаров может быть осуществлена по любому закону.

Перечень ссылок

1. Каменев А.Д. Комплексное моделирование агломерации и окомкова-

ния руд. Пер. с болг. Л.А.Вурсаловой, М.: Металлургия, 1978. - 256с.

2. Коротич В. П., Пузанов В. П. Газодинамика агломерационного процесса.* М.: Металлургия, 1969. - 208 с.

3. Теплотехника и газодинамика агломерационного процесса: Материалы респ. семинара / Ред. кол. Шурхал В. А (отв. ред.) и др. - Киев: Наук, думка, 1983. - 168 с.

4. Власюк Ю.Н., Нелюбоеа О.В. К вопросу о пористости сыпучей сре-

ды//Вестник Приазов. гостехуниверситета.- 1995. -№ 1,- С.217-219.

5. Власюк Ю.Н., Кривенко О. В. Математическое моделирование динамики процесса окомкования шихты / Мариуп. металлург, ин-т,- Мариуполь, 1993,- 22 с. - Деп. в УкрИНТЭИ, 15.11.93, № 2257 - Ук93.