Алгоритм моделирования траектории движения воздушного объекта Текст научной статьи по специальности «Физика»

Доклады БГУИР

2014 № 4 (82)

УДК 621.391.26

АЛГОРИТМ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТРАЕКТОРИИ ДВИЖЕНИЯ ВОЗДУШНОГО ОБЪЕКТА

А.А. ДЯТКО, СМ. КОСТРОМИЦКИЙ, П.Н. ШУМСКИЙ

ОАО «КБРадар» - управляющая компания холдинга «Системы радиолокации» Коммунистическая, 11, Минск, 220029, Беларусь

Поступила в редакцию 17 апреля 2014

Приведен метод вычисления координат траектории полета летательного аппарата, заданной множеством своих опорных точек и значениями радиусов окружностей, по которым летательный аппарат должен выполнять вираж в случае изменения направления своего движения. Показано, что наиболее просто необходимые вычисления выполняются в специальной системе координат, положение которой в пространстве определяется тремя опорными точками траектории.

Ключевые слова: траектория, вираж, система координат, аффинные преобразования.

Введение

При разработке, испытаниях и эксплуатационном контроле РЛС традиционно используются натурные испытания. Однако они имеют ряд недостатков: высокую стоимость, сложность получения повторяющихся условий, а также практическую неосуществимость на ранних стадиях разработки. В связи с этим все большее распространение получают полунатурные испытания. В этом случае совокупность сигналов и помех на входе РЛС моделируется с помощью имитаторов. Для формирования эхосигналов в имитаторах используются математические модели радиолокационных объектов. В частности, в качестве радиолокационного объекта может выступать летательный аппарат, который движется по заданной траектории. В этом случае, для формирования отраженных от него сигналов, необходимо иметь координаты точек этой траектории.

Постановка задачи

Пусть в декартовой системе координат (СК) ХУ7, заданы N точек /,, /'2,..., /' . которые определяют некоторую траекторию полета воздушного объекта без самопересечений (рис.1), под которым можно понимать, например, самолет, управляемый пилотом. В каждой заданной точке траектории известен модуль скорости объекта V,,\>2,..., V.,..

Воздушный объект должен переместиться из начальной точки Р1 в конечную точку /\ , пролетая при этом через точки Р2, Ръ,..Ры_х. Будем полагать, что траектория полета воздушного объекта представляет собой набор прямолинейных отрезков, которые соединяются между собой некоторой кривой, называемой виражом [1], рис.1.

Вход и выход летательного аппарата из виража должен выполняться по касательной к траектории виража. Считаем, что вираж выполняется по окружности, радиус которой известен.

Задача заключается в том, чтобы для заданных дискретных моментов времени получить координаты точек траектории в СК ХУ2.

Рис. 1. Траектория движения объекта; 1- траектория виража

Рис. 2. Система координат X У 2

Расчет координат точек сопряжения

Под точкой сопряжения будем понимать точку траектории летательного аппарата, в которой прямолинейный участок траектории переходит в вираж или вираж переходит в прямолинейный участок траектории. Другими словами, точка сопряжения - это точка траектории, где прямолинейный отрезок траектории касается окружности при входе (на рис.1 это точки р, р) или выходе (на рис. 1 это точка Р^ ) из виража.

Выполним расчет координат точек сопряжения для трех последовательных точек траектории рч, р, р+1. Для удобства обозначим их как р, р, р. В исходной СК ХУ2 решение требуемой задачи требует довольно громоздких вычислений. Поэтому мы воспользуемся другой системой координат, где эти вычисления выполняются достаточно просто.

Пусть £ - плоскость, которая определяется точками р, р, р. Для дальнейших вычислений перейдем от системы координат ХУ2 к системе координат Х1У121 , плоскость Х]У] которой совпадает с плоскостью Л' (рис. 2), а начало находится в точке Р2. При этом

направление оси Z1 будет определяться вектором N, нормальным к плоскости Л'.

Н = Р2Р1хР2Р,={пх,пу,пУ ,

(1)

где

Р = (х1,у1,г1)т, Р2=(х2,у2,г2)т, Р3 = (х3, у3, г3)т , (2)

РР — (х21, у21, г21) , РР — (х23, у23,223) , (3)

х21 = х1- х2, у21 = у - у2, г21 = г1 - г2, (4)

Х23 = х3 — х2 , у23 = уз — у2 , 223 = 23 — 22 ■ (5)

С учетом (2-5) выражение (1) для вектора нормали может быть представлено в форме:

— 0^1^23 ~~ У2322\)1 ~ (Х21г23 _ Х23^21 X/ ("^21^23 ~ Х2зУ2\)^ '

7 1 к

Х21 У21 г21

Х23 У 23 г23

где /, /, к - единичные вектора вдоль осей X, У, 2 соответственно в СК Х¥2 . Переход от

системы координат XXX к системе координат Х1У1Х1 можно представить как последовательность следующих операций: поворот СК XXX вокруг оси Ъ в положительном направлении (против часовой стрелки) на угол ф, поворот полученной СК вокруг оси X в

положительном направлении на угол 0 и смещение ее начало координат в точку Р20 .

Необходимые для последующих вычислений соотношения имеют следующий вид.

( р Л

=М1(р2е, 0, ф) •

(рЛ V 1 у

V 1 у

Рр =(х) , у),)Т, I = 1,2,3 - преобразование координат при переходе

от СК XXX к XУ'X1, где Мр, 0, ф)=Т* (р) К* (0) К* (ф),

(6)

ГреЛ Р 2

V 1 у

=% (0) (ф)

( Р

Р2 = (х2, у2, г2 )

' cos Ф sin Ф 0 0 л (1 0 0 0 л (1 0 0 —Ах"

—sin Ф cos Ф 0 0 ) II 0 cos Ф sin Ф 0 , Т* (АР) = 0 1 0 —Ау

0 0 1 0 0 —sin Ф cos Ф 0 0 0 1 —Аг

V 0 0 0 1 у V 0 0 0 1 у V 0 0 0 1 у

Р (Ф) =

матрицы аффинных преобразования координат [2] при вращении системы координат вокруг оси X, X и смещении начала координат на АР = (Ах, Ау, Аг)Т.

ф = — 0 = аг^

( \ п

V пу у

[2 - ъ§п(пх ) - $¥П(пх ) ®§р(—Пу )] , 0 < ф < 2л,

V п у

—

-[2 — sgn(П) — sgn(n::)], 0 < 0 < 2л:.

где (ПУ, ПХ, 1 ) = М(пх, Пу, пх, 1 )Т, sgn(x) =

■ - [2 — ^(пу ) — sgn(ny ) ^(Пх ) ] , 0 < V < 2л .

1, х > 0 —1, х < 0:

V = aгctg

1пх у

Дальнейшие вычисления выполняются в СК XlYlZí. Вычислим координаты центра окружности (т. О на рис. 3) по которой выполняется вираж. Пусть (х0, у0) - координаты центра окружности , г0 - радиус этой окружности (радиус виража). Тогда ее уравнение в СК ^У1! будет иметь вид

(х1 — х) )2 +(у1 — у) ) = г2. (7)

Так как окружность (7) проходит через начало координат (точка Р\ ) и отрезок прямой

1\1 А1 является касательным к окружности в точке (Р\()■ /{'А1 =0), можно записать систему уравнений для вычисления координат центра окружности

(х1 )2+(у; )2=г2. (8)

х0 х11 + у0 У1 = 0

X1

р2 ф^2

Рис. 3. Схема для выбора нужной траектории виража

Из (8) для у1 Ф 0 получаем, что

Рис. 4. Схема для выбора нужной точки выхода из виража

у1 _ го х01 ='

+ч

1 __ 1 _ ч у01 = чх01 = "

+ч

хю —

ф

У02

= ЧХ02 =

+ ч Х

' ч = Л

1 ч , У1

ф

+ чг

к = 0

хпо — 0

Для У1 = 0 находим

IУ01 = г0 IУ02 = —г0

Найденные координаты (х0^ у01) и (х^, у^) определяют центры двух окружностей (рис. 3) в точках О и О' соответственно, по которым возможно реализовать вираж. При этом окружность с центром в точке О определяет вираж для траектории без самопересечений, окружность с центром в точке О' - для траектории с самопересечением.

Мы будем использовать траекторию без самопересечений. Это приводит к необходимости определять окружность виража для этого типа траектории. Рассмотрим вектора

-х1у1л-у1)т =(х1л,уи и Ф*=(х1 -х1,у1 -у\)т =(х1у\)т.

Из рис. 3 видно, что для траектории без самопересечений угол а между векторами Р\0

РР

р2 р3

''должен быть острым. Отсюда получаем условие выбора траектории без

хоА + у01уз

самопересечений оо8 а =

Р^О-Р^

р\о

р1р1 р2 р3

■> 0 ■

Теперь задача заключается в определении координат точки выхода из виража (точка р

на рис. 3), после которой следует прямолинейный участок траектории р^1.

1

Г0

и

Для упрощения последующих вычислений переместим начало СК XlYlZ в центр окружности, по которой выполняется вираж (точка O на рис. 3). В результате получаем СК

2 2 2 222 111 X Y Z (рис. 4). В СК X Y Z пересчитываем координаты точек Р , P2 и P3 .

(рЛ

V 1 У

(РЛ

=TS(xl, y,,4) =TS(R1)

V 1 У

ГРЛ

V 1 У

i = 1,2,3.

(9)

где К) = (х), у),г))Т = (х), у),0)Т.

Пусть Р/ - лежащая на окружности с центром в точке О точка выхода из виража. Как будет показано ниже, это точка р или Р^2 (рис. 4). Вычислим координаты этой точки системе координат X2Y2Z2.

Воспользовавшись условием, что точка выхода из виража лежит на окружности, определяющей вираж, и выход из виража происходит по касательной к этой окружности, можно записать систему уравнений для вычисления координат этой точки

|( x2)2 + (у2)2 = r2

ixS(x32 -x2) + у2(уз2 -yl) = 0 .

(10)

Из (10) можно получить значения углов ф51 и ф52 (рис.4), соответствующих точкам Р^

и Р

s 2

ф51 = а + arccos p, ф52 = а - arccos p,

где p =

а = arctg

х2

V хз У

2-sng(y32)-sng(y32)sng(Х32)], 0<а <2л .

Поскольку значения углов ф51 и ф2 должны принадлежать диапазону [0, 2л), то их

|фя, при фя >0 • 10 значения должны вычисляться по правилу фй = < , I = 1,2.

[фя + 2- при фя < 0

Соответствующие декартовы координаты определяются в соответствии с выражениями

xSi = r0cos фSi У2 = r0sin ф Si

i = 1,2.

Дальнейшая задача заключается в выборе нужной точки выхода из виража р или р22 (рис. 4). Опуская промежуточные выкладки, приведем приведем условие выбора нужной точки:

р2 =

р s

[Р/j, при cos ф1 > 0 Р22, при cos ф2 > 0'

(11)

где cos ф1 =-

(хз2 - Х^1 )(х21 - Х^ ) + (Уз2 - yh )(Уш - y2S1)

cos ф2 =-

V( хз- -4)2+(Уз2 - y«)V(xB1- х^2+(уВ: - Уя)

(хз2 - XS2 )(x2B2 - XS2 ) + (Уз2 - Уи )(УВ2 - Уи )

V( Х32 - Х^2)2 + (У32 - У22)^( ^2 - xs2 )2 + 0^2 - У^ ' [хв1 = Г^^Фя 1 +5) JXB2 = r0cosfas2 + 5) g _[-ДФ, при cos Р1 > 0 [уш = 1 +5) ' [yB2 = 2 +5) ' [ Дф, при cos Р2 > 0

cos Рх =

(х22 - х12 )(ха 1 - х22) + (У22 - У12 )( Уа 1 - У22 )

>/(Х22 -Х12)2 + (У22 -yf)V(Xa1 -Х22)2 + (Уа1 -У22)2

r0

ооб Р2 = ■

(х22 - хЦ)(хА 2 - х22) + (,у22 - у2)(у, 2 - у22)

Л/(Х22 " Х12)2 + (У2 " У2)2 2 " Х22)2 + (Уа2 " У2)"

ГХА1 = Г0 С0§(Ф2 - АФ) |ХА2 = Г0 С0§(Ф2 + АФ)

I УА1 = Го 31П(ф2 - Аф) ' 1 Уа2 = Г0 §ш(Ф2 + АФ) '

ф2 = arctg

'ур Х2

V Х2 у

+ Л [2 - у22) - у22)sng(х22)], о < Ф2 < 2л,

Аф - некоторое малое значение угла. При этом предполагается, что условия (11) одновременно выполняться не могут.

Расчет координат траектории виража

Определим длину дуги виража Ь = г0| ф5-ф2| = г0| АФ| и угловое перемещение

V А

sng(АФ) летательного аппарата за время А, соответствующее интервалу

дискретизации координат траектории во времени, У2 - скорость летательного аппарата во время выполнения виража, АФ = ф- ф2 . Из условия АЬ = у2А = г0 |Аф| определим угловое

перемещение Аф летательного аппарата за время А:: Аф = sng(АФ). Вычислим число точек

Го

ЛГ АФ 1

отсчета координат траектории на вираже мр =--+1.

Аф

При расчете координат следует учесть, что первая точка траектории виража совпадает с конечной точкой предшествующего виражу прямолинейного участка траектории. Последняя точка траектории виража (точка выхода из виража р2 в СК Х2У222) является одновременно первой точкой следующего за виражом прямолинейного участка траектории.

Таким образом, в СК Х2У222 координаты точек траектории виража при его прохождении с постоянной скоростью V и через временной интервал можно представить в

виде р2 = (х2и, у2м, 22г )т , / = 0,1,..Ыр - 2, где \

х% = г0 соз[ф2 + (/ + 1)Лф],

= г0зт[ф2 + а + 1)Аф], / =0.1..... Ы,,. -2.

4=0

Пересчитаем полученное множество координат траектории виража в исходную систему координат XXX. Воспользовавшись (6) и (9), получаем

(р2\ V 1 у

(рЛ

V 1 у

Г Р

= 7^) ' = 72(Д1,)М(ра, 0, Ф) ' 1= М^, р0, 0, Ф)

1

Р] ■

(12)

где м2(л0, р0, 0, ф)=р^ЖР, 0, ф)=72(^07 (Ре) (0)я2 (ф) .

Г р I ГР2 I

Из (12) находим, что I ' I = М-1 (¿1, Р20, 0, ф) '

V 1 У

, где [2]

МЗД, Р, 0, ф)=[712(Р1)72 (Ре) (0) ¿2 (ф)]-1 = ¿2 (-ф) ¿X (-0)72 (-Р9 )712(-р1) .

Представим все множество рассчитанных координат траектории виража в СК X У 2 в

( р2 р2 р2 Л

Г0 Гг ...Г д^_2 Ч1 1 ... 1 ) Тогда в СК ХУ2 координаты траектории виража примут вид

виде матрицы =

Го

(

Q = M2-1(< Р2е, 0, ф)02, где q =

во a...Q„

л

Q=(.xi,yi,zif,i = 0,2,...,^

f-2 ■

1 1 ... 1

V у

Вычисление координат прямолинейных участков траектории трудностей не вызывает и может быть выполнено непосредственно в СК XXX. Но при этом должен быть задан закон движения летательного аппарата на этих участках.

Заключение

Разработан метод вычисления множества координат траектории виража летательного аппарата через заданные промежутки времени. Показано, что наиболее просто необходимые вычисления выполняются в специальной системе координат, положение которой в пространстве определяется тремя опорными точками траектории летательного аппарата. Приведены необходимые преобразования для перехода из исходной системы координат к расчетной и обратно.

ALGORITHM OF MODELING THE TRAJECTORY OF AN AERIAL OBJECT

A.A. DYATKO, S.M. KOSTROMITSKI, P.N. SHUMSKI

Abstract

The method of coordinates calculation of a flight trajectory of the aircraft, adjusted by the reference points and values of radiuses of circles on which the bend in case of change of a direction of the movement should carry out the aircraft is resulted. It is shown that it's easier to carry out nessesary calculations in special system of the co-ordinates which position in space is defined by three reference points of a trajectory.

Список литературы

1. Остославский И.В. Динамика полета. М., 1969.

2. Порее В.Н. Компьютерная графика. СПб, 2002.