CC BY
14
РАСЧЕТ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ ТЕМПЕРАТУРНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
Н.Н.АНОХИН, канд. техн. наук, профессор Н.В.ПРИЛИПОВ, аспирант
Московский государственный строительный университет
При определении напряженно-деформированного состояния пластин и оболочек, находящихся в температурном поле, рассматривается несвязанная нестационарная температурная задача. В этом случае не учитывается влияние напряжений и деформаций на распределение температуры, а при определении температурного поля не учитывается тепло, выделяющееся при деформировании тела от нагрузок. В качестве метода решения задачи нестационарной теплопроводности выбран метод конечных элементов [1]. На каждом шаге по времени с помощью метода прямой минимизации энергии решается упругая задача при заданном распределении температур[2].
Для двумерной температурной задачи функционал имеет вид:
где 0 - температура; X - коэффициент теплопроводности; с - удельная теплоемкость материала; £2 - область, занимаемая пластиной или оболочкой.
Выбирается треугольный конечный элемент с тремя узлами j и к. Узлы конечного элемента нумеруются против часовой стрелки, начиная с некоторого произвольно выбранного /-го узла. Координаты /-го, /-го и &-го узлов по оси х обозначены через х„ х,, хк, по оси у - через у„ ур ук. Интерполирующая функция, определяющая температуру произвольной точки конечного элемента, принимается в виде:
0(х,у) = а0 +а]х+а2у (2)
Коэффициенты ао, «ь а2 определяются с помощью граничных условий: 0=0,, при г--х, и угу, ; 0=0,, при х=хуиу=у, ; 0=0*, при х=хк и у=ук. Определив коэффициенты ао, «ь «2 и подставив их в (2) получим:
+сО — \dxdy,
Ш
(1)
1 У,
2 А =
1 х^ 1 х.
У!
Ук
Остальные коэффициенты в (3) получаются по формулам (4) циклической перестановкой индексов (индекс / заменяется на индекс /, индекс у - на индекс к, индекс к - на индекс / ). В матричном виде.
Л'^ Л,]
Лг , где N - матрица функции формы.
Введем вектор температурных градиентов:
\до
1
8
дх дв
ду
2 А
Ь ь} ьк с, Ск
Для того чтобы получить матрицы жесткости и энтальпии построим функционал для отдельного элемента, учитывая, что
Тогда
дв д1
1Ч(х,у)
д!
/(г) = ~~1Т+ , где К = В1 ВсЫйу - матрица жесткости;
д1
С = jcNтNdxdy - матрица энтальпии.
о
Коэффициенты матрицы жесткости могут быть получены аналитически:
К = А$ BrBdxdy =
4/1
А 2 , 2
о, +с,
Ь1Ь1+с,с] Ь,Ьк+с>ск , 2 , 2
¿А +
С имметричо Ьк +ск
Коэффициенты матрицы энтальпии определяются по формулам: "2 1 1
(5)
Ас 12
1 2 1 1 1 2
(6)
Матрицы (5) и (6) используются для построения глобальных матриц жесткости и энтальпии. Производя суммирование по конечным элементам
и, записывая условие экстремума скалярной функции векторного аргумента, получим систему уравнений вида:
3/
(7)
Уравнение (7) решается с помощью метода Эйлера: гш=гк-ыс-хК1к (8)
В качестве тестовой задачи взята задача о распределении температуры в прямоугольной области при заданных начальных и краевых условиях. Краевые условия: 0(0^;/)=0(/ь>',/)=20-10к 0(*,0,/)=20; 0(х,/2,/)=0. Начальные условия: во всех точках внутри области начальная температура принимается равной нулю. Прямоугольная область имеет размеры 1x2 м и покрывается сеткой треугольных конечных элементов. Общее количество элементов равно 64-м. Шаг по времени А/=0,005 с. Коэффициент температуропроводности а-'к1с-\ м2/сек.
Поля температур на 3-м, 20-м 120-м шагах по времени показаны на
рис.1.
200 ----------
1.80
1 60 1 40 %
1 20 \\'Ч '
1.00
080
0.60
0.40
0.20 —-
0.00 ------г •— 1 -
О ОО 0 20 0 40 0 60 0.80 1 00 б)
0 004-
0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00
ПВО I) 80 1 йо
а)
В)
Рис. 1. Изолинии температур: а) на 3-м шаге по времени; б) на 20-м шаге по времени; в) на 120-м шаге по времени
Рассмотрим задачу нестационарной термоупругости для пологой сферической оболочки, находящейся под действием термосиловой нагрузки (рис.2). Размеры оболочки в плане я=1м, Ь=2 м; толщина /г=0,01 м; кривизны к1=к2=0,001 м'; модуль упругости материала Е~2,1-Ю5 МПа; коэффициент Пуассона у=0,3; коэффициент теплового линейного
расширения а=(),15-10^ град"1. Граничные условия: опирание по контуру на абсолютно жесткие в плоскости и абсолютно гибкие из плоскости диафрагмы. На четверть оболочки накладывалась сетка размером МхЛГС=6хЮ.
Силовое воздействие представлено в виде поперечной равномерно распределенной нагрузки интенсивностью <?г=105 Н/м2, не изменяющейся с течением времени. Температурное воздействие определяется нестационарным температурным полем. В течение всего времени на контуре оболочки поддерживается температура в 10°, в точке с координатами (0,5; 1) поддерживается температура в 100°. В начальный момент времени во всех остальных точках области температура имела нулевое значение. Принимались следующие значения параметров: коэффициент температуропроводности а-лУ(срр)=12,56-106 м2/сек, шаг по времени Д/=10 с. Решение температурной задачи выполнялось по схеме (8), при этом на каждом шаге по времени для полученного поля температур с помощью вариационно-разностного метода и метода Дэвидона-Флетчера-Пауэлла выполнялось решение термоупругой задачи. Поля температур на 2-м и 2500-м шагах приведены на рис.3.
Рис.2. Пологая сферическая оболочка
а)
б)
Рис.3. Температурное поле: а) при /=20с; б) при /=2,5-104 с.
На рис.4 и рис.5 показаны прогибы и' и изгибающие моменты Л-/,,, полученные при /=2,5-104 с для четверти оболочки.
Рис.4. Прогибы ж пологой оболочки Рис.5. Изгибающие моменты Ми
в пологой оболочке
Литература
1. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. - М.: Мир, 1979.-392 с.
2. МипуМ. Математическое программирование. Теория и алгоритмы. -М.: Наука, 1990.-488 с.
ANALYSIS OF SHALLOW SHELLS UNDER NONSTATIONARY TEMPERATURE ACTION
N.N.Anohin and N.V.Prilipov
Elastic shallow shell in temperature field is considered. For solution of nonstationary temperature problem the finite element method is used. The solution of termoelasticity problem is carried out by finite difference energy method in common with method of direct minimization. The analysis of shell under local temperature action is realized.
