CC BY
17
Расчет тонких упругих оболочек
ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ПОЛОГИХ ОРТОТРОПНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК, НАХОДЯЩИХСЯ В ТЕМПЕРАТУРНОМ ПОЛЕ
Н.Н. АНОХИН, канд. техн. наук, профессор Московский государственный строительный университет
Рассмотрим нестационарную задачу термоупругости ортотропных оболочек с учетом их низкой сдвиговой жесткости. Задача формулируется как вариационная и сводится к нахождению функций перемещений, дающих минимальное значение полной потенциальной энергии системы. Выражение для полной потенциальной энергии пологой оболочки, занимающей область О, имеет вид:
П(у) = | {[(ЛГ,г>/П - ДО^Л! , (1)
п п п
где V = (м V 9] 02 м/)Т - вектор, компонентами которого являются функции перемещений; и, V, 0) ,02 - соответственно функции тангенциальных перемещений, углов поворота поперечных сечений и прогибов; £ = ( еи е22 еп *"22 Кп е\ъ егг )т - вектор, компонентами которого являются составляющие тензора деформаций; N - ( N22 N¡2 Ми М22 Мп бп 023 )Т - вектор, компонентами которого являются усилия, определяемые по соотношениям теории ортотропных оболочек; ТУ, = ( Л^7 N22 0 Ми' М22 О О О )т - вектор, компонентами которого являются температурные усилия; ц = (<71 Щ т2 ) - вектор внешней нагрузки.
Компоненты тензора деформаций записываются с учетом деформаций поперечного сдвига:
ди н> д\ м> дх ди
еи—---1-----; &22~.......н—; е12=-----1--;
дх Л, ду Л2 дх ду
двх дв2 дв2 дв, ¿>и< дм/ п
К11 «22 = • , + ,, е13 +0\ ; е23 = У+02 ■
дх ду дх ду дх ду
Усилия Мь N22, ... , 023, действующие в пологой ортотропной оболочке и входящие в выражение (1), определяются по известным формулам:
Е /? Е И
—!-(еи+У12е22); Л^22=-—2-(е22 Мп=СпИеп\
й И*
мп = ; йз = ; & = °1^е2ъ, (3)
где Е\, Е2- модули упругости; 0\2, 0]3, (72з - модули сдвига; VI2, у21 - коэффициенты Пуассона; А - толщина оболочки. Температурные усилия МТп,
22, Л/и, Л/22 определяются для ортотропно-
го материала соотношениями:
Е, И'е К ш
1 У12У21 -Л/ 2 -Л/2
1 МгУ21 -Л/2 42*21 -А/2
-Л/2 Л/2
_ 3
-Л/2 А/2
где аь а2 - коэффициенты теплового линейного расширения материала; Т(х,у,г) - функция, определяющая закон изменения температуры по объему оболочки.
Решение температурной задачи выполнялось методом конечных элементов [1], а для определения напряженно-деформированного состояния пластин и оболочек использовался вариационно-разностный метод и квазиньютоновский метод Дэвидона-Флетчера-Пауэлла [2] на основе функционала (1) с использованием зависимостей (2), (3), (4). Поля температуры и напряжений считались несвязанными, а нагружение квазистатическим.
Рассмотрена пологая цилиндрическая оболочка (рис.1), выполненная из композиционного анизотропного материала с низкой сдвиговой жесткостью (однонаправленный органоэпоксикомпозит). Физические характеристики материала имеют следующие значения [3]: Е\ = 78 ГПа; Е2 = 4,1 ГПа; С|2= = = 2,1 ГПа; у12= 0,0168; у21 = 0,32; а! = -3,5-10^ град"1; сх2= 35-10"* град"1. При этом выполняется известное соотношениеЕ\У\г~ Ег\г\-
Рис. 1. Пологая цилиндрическая оболочка
Оболочка имеет жесткое закрепление по криволинейным сторонам, то есть при _у = Ои>' = йи = у = 01 = 02 = м> = О. Прямолинейные кромки свободны от закрепления. Геометрические параметры имеют следующие значения: размеры в плане а - Ь = 1 м; толщина Ь = 5-10"3 м; кривизны к\ = 0Д2 = 0,2 м-1.
Выполнен расчет оболочки при действии поперечной равномерно распределенной нагрузки интенсивностью - 500 Па и постоянной по объему температуры, изменяющейся во времени от 0 до 60 град. Результаты расчетов при = 500 Па и Т = 0; 20; 40; 60 град, представлены на рис. 2-9. Представлены нормальные перемещения уу (см) пологой цилиндрической оболочки и изгибающие моменты Му (кгсм/см) в серединах элементов. Результаты решения нестационарной задачи показывают, что при действии только поперечной нагрузки перемещения м> направлены к центру кривизны оболочки (рис. 2, 3).
При повышении температуры перемещения м> в центре оболочки уменьшаются, а затем меняют знак на обратный, то есть оболочка начинает выгибаться вверх. При этом характер нормальных перемещений и изгибающих моментов качественно изменяется (рис. 4-9).
Рис. 2. Перемещение м> оболочки при дг= 500 Па и Т= 0 град
Рис. 3. Изгибающие моменты Му при дг= 500 Па и Т = 0 град
Рис. 4. Перемещение м> при дг~ 500 Па и 7 = 20 град
Рис. 5. Изгибающие моменты Му при - 500 Па и Т- 20 град
Рис. 6. Перемещение м> при д2= 500 Па и Т= 40 град
Рис. 7. Изгибающие моменты Му при 500 Па и Т= 40 град
Рис. 9 Изгибающие моменты Му при = 500 Па и Т = 60 град
Для оценки влияния граничных условий на напряженно-деформированное состояние данного типа оболочек рассматривалась оболочка, жестко закрепленная по всему контуру, то есть при х = 0, х = а,у = 0,у = Ь и = V = 01 = 02 = = 0.
21
Все остальные параметры, а именно геометрические и физические характеристики имеют те же значения, что и в предыдущем примере расчета.
Сравнивались решения для данных двух типов граничных условий при действии поперечной равномерно распределенной нагрузки интенсивностью ц = 500 Па и постоянной по объему температуры Т- 20; 40; 60 град. Отмечается, что при жестком закреплении по всему контуру амплитуда нормальных перемещений м> и изгибающих моментов Му больше, чем при жестком закреплении по двум противоположным криволинейным сторонам и свободных прямолинейных кромках.
Литература
1. Анохин Н.Н., Прилитое Н.В. Расчет пологих оболочек при стационарном температурном воздействии// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений, №1, 2005. - С. 99-102.
2. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. - М.: Мир, 1975.-536 с.
3. Композиционные материалы: Справочник/ Под общ. ред. В.В.Васильева, Ю.М.Тарнопольского. - М.: Машиностроение, 1990. - 512 с.
NUMERICAL ANALYSIS OF SHALLOW ORTOTROPIC CYLINDRICAL SHELLS UNDER TEMPERATURE ACTION
N.N.Anohin
Basic geometrical and physical equations and Lagrangian functional for ortho-tropic shallow shells with low shear rigidity are presented. Computing models are based on the theory of shells with account of transverse shear deformations. Temperature problem is solved with the help of finite element method. For minimization of discrete analog of Lagrangian functional Davidon-Fletcher-Powell method is used. Numerical results of calculation of shallow cylindrical shells with different types of boundary conditions are presented.
