Решение задач термоупругости оболочек методом прямой минимизации энергии Текст научной статьи по специальности «Физика»

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕРМОУПРУГОСТИ ОБОЛОЧЕК МЕТОДОМ ПРЯМОЙ МИНИМИЗАЦИИ ЭНЕРГИИ

Н.Н.АНОХИН, канд. техн. паук, профессор С.И.ТРУШИН, доктор техн. наук, профессор Н.В.ПРИЛИПОВ, аспирант

Московский государственный строительный университет

Задача расчета пластин и оболочек, находящихся в температурном поле, формулируется как задача отыскания минимума функционала Лагранжа, представляющего собой полную потенциальную энергию системы. Компоненты полной деформации е,-, записываются в виде суммы упругих е,,е и температурных а'/'деформаций:

еи =ееи +а'Г; е22 =ее22 +аТ; е12 =е{2 \ еи =ееи; <?23 =е23,

где а - коэффициент теплового линейного расширения материала; Т(ху,г) - функция, определяющая закон изменения температуры по объему оболочки.

Используя гипотезу Франца Неймана для термоупругих задач теории пластин и оболочек, запишем исходные геометрические соотношения, связывающие полные деформации и перемещения:

ди н' дч »V ду ди

е^ | — ь* , е 20 — ~ ^ » е^ 2 — ......,

дх ду Н7 дх ду

(1)

дО, дО^ д02 дв, дч д\»

*т 1 =--г- кп =-—-: А-;: ♦ ■■; е13 =—Щ; е23 +02. ох ду сх ду дх ду

где и и V - тангенциальные составляющие перемещения; и' - нормальная составляющая; 0, и 0;> - углы поворота поперечных сечений оболочки; Ль Я? - радиусы кривизн в направлении координатных осей. Соотношения (1) построены с учетом деформаций поперечного сдвига, что позволяет, в отличие от модели Кирхгофа-Лява, рассчитывать оболочечные конструкции средней толщины, а также выполненные из материала с низкой сдвиговой жесткостью.

Компоненты напряженного состояния связываются с компонентами упругой деформации соотношениями обобщенного закона Гука.

Подставив геометрические и физические соотношения в исходный трехмерный функционал Лагранжа, выполнив интегрирование по толщине А и отбросив чисто температурные слагаемые, получим двумерный функционал теории оболочек в виде:

П(и) = ± (2)

2 о а о

где у=(и V О, 02 ж)7 - вектор, компонентами которого являются функции перемещений; с = ( еп е-п е\г "22 еи е2Ъ ) - вектор, компонентами которого являются составляющие тензора деформаций (1); ( Л',, Ы22 М2 Ми М-п М\ 2 013 (?2з У - вектор, компонентами которого являются усилия, определяемые по известным соотношениям теории оболочек; = ( А^ц7 Лг227 0 Миг мпг О О О )т - вектор, компонентами которого являются температурные усилия; ^ = (<71 /и, т2 д7)7 - вектор внешней нагрузки, компоненты которого имеют направления, соответствующие компонентам вектора перемещений.

Температурные усилия и моменты для изотропного материала определяются по формулам:

р И/2 р И/2

■V,7, ' Л'!, 'а Г Т(х,у.2)<Ь; Мти = М\2 \Т(х,у,2)2ё2.

I—V ]—V

1 У -И/2 к -Л/2

Предположим, что на область О., занимаемую конструкцией, наложена сетка

X, = Хо +/А,; У1 = у0 +ул2; / = 0,1,...,я»,; j=0,l,...,m2 .

Рассмотрим ячейку области О с вершинами в точках (дг„ уД (х,,,, >;,), (х„ уг ]), (х,+|, и обозначим значения сеточных функций в этих точках и0, и1, и2, и3 . Функционал энергии (2) может быть представлен в виде суммы интегралов по ячейкам сетки . Для вычисления

'■У

интеграла П,, по ячейке используется его дискретный аналог /'',,. Наиболее простая аппроксимационная схема имеет следующий вид:

,, +Л7> ^ ^ \

/'¡1 -ЬЬ/-----------------------------------------,-------------- ----- - .- --------------

^ 4 Щ 2Й2

где Л] , И2 - линейные размеры ячейки в направлении координатных осей; / - подынтегральная функция; и(т) - значения искомых функций перемещений в узлах.

В результате дискретизации исходная вариационная задача сводится к задаче минимизации функции !•'(и) = ]ГЬ\} , где м=(«1 и2... мм)г - вектор

¡,1

узловых перемещений. Данная функция является дискретным аналогом полной потенциальной энергии системы (2) и представляет собой сумму потенциальной энергии деформации Щи) и потенциала внешних сил Л (и):

Р(и)=1¥(и) + Л(и) (3)

Для решения задачи минимизации как квадратичной, так и неквадратичной функции Г'\и), представленной в виде (3), могут быть использованы методы прямой минимизации энергии, в которых не

формируются и не решаются системы алгебраических уравнений вытекающих из условия экстремума функционала. К таким методам относится метод Дэвидона-Флетчера-Пауэлла [1], принадлежащий группе квазиньютоновских методов. В нем матрица, обратная к матрице Гессе, аппроксимируется с помощью первых производных. Схема этого метода имеет вид:

-Хк г)(ик )У1<(ик )

(4)

где матрица ц(|/) представляет собой аппроксимацию матрицы [V21^(ик)]'\ Для квадратичной целевой функции /-'(«) матрица т} преобразуется таким образом, что после п шагов она становится равной матрице [У2/1]1 . На первом шаге полагается = Е. В этом случае исходное направление минимизации совпадает с направлением наискорейшего спуска.

Для оценки решения термоупругой задачи рассматривается замкнутая цилиндрическая оболочка при температурном воздействии. Осевое сечение оболочки показано на рис. 1.

сч

X

Рис. 1. Цилиндрическая оболочка при температурном воздействии

Исходные данные следующие: длина /=1 м; радиус 7М),1 м; коэффициент теплового линейного расширения а=0.15-1(Г' град1. Температура постоянна в окружном направлении и изменятся по линейному закону вдоль образующей так, что при х=0 /г0=0, при х=1 /,=100° (рис.1). Граничные условия принимались следующими: по всему контуру полосы у=01=02=0, кроме того, при х=0 м=0.

Аналитическое решение данной задачи приведено в монографии С.П.Тимошенко и С.Войновского-Кригера [2], где представлена формула для определения нормальных перемещений вдоль образующей:

В табл. 1 приведены значения нормальных перемещений вдоль образующей цилиндрической оболочки, полученные численно и аналитически по формуле (5).

Табл.1

Координата x, м Перемещение w, м

Численное решение Аналитическое решение

0 0,09066-10"4 0

0,25 0,3476-10"1 0,375-10"

0,5 0,75-10"' 0,75-10~4

0,75 1,152-Ю"4 1,125-Ю"4

1 1,409-10^ 1,5-104

Литература

1. Мину М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы. - М.: Наука, 1990,- 488 с.

2. Тимошенко С П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. -М.: Физматгиз, 1963. -636 с.

SOLUTION OF TERMOELASTICITY PROBLEMS OF SHELLS BY THE METHOD OF DIRECT MINIMIZATION OF ENERGY

NN. Anohin, S.I.Trushin and N.V.Prilipov

Numerical procedures for analysis of shells under temperature action are described. Computing models are based on the theory of shells with account of transverse shear deformations. The functions of displacements are defined by minimization of discrete analog of Lagrangian functional with the help of Davidon-Fletcher-Powcll method. Test problem was solved with the help of the proposed numerical algorithms.