CC BY
18
РАСЧЕТ ОРТОТРОПНЫХ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК С НИЗКОЙ СДВИГОВОЙ ЖЕСТКОСТЬЮ НА ТЕРМОСИЛОВОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
Н.В.ПРИЛИПОВ, аспирант
Московский государственный строительный университет
Представляет интерес анализ напряженно-деформированного состояния оболочечных конструкций из композиционных анизотропных материалов с низкой сдвиговой жесткостью. К числу таких материалов относятся, например, органопластики. Для однонаправленных органоэпокси-композитов, относящихся к органопластикам, физические характеристики материала имеют следующие значения [1]: модули упругости Е\=78 ГПа, А'2=4,1 ГПа; модули сдвига С7]2 = С13 = С2ъ = 2,1 ГПа; коэффициенты Пуассона У12=0,0168, \'21=0.32.; коэффициенты теплового линейного расширения а.1=-3,5-10"6 град1, а2=3510 б град"1. При этом выполняется известное соотношение Е\\\2=Е2\21-
Упругие деформации для ортотропного материала определяются по формулам:
Б\\ = £и ~ ' Б22 = *>22 ~' £12=£12'£13 = £|3>£23 = £23 О)
Компоненты напряженного состояния связываются с компонентами упругой деформации соотношениями:
Е / ч Е
-(4 + ^¡2); ст22 = -—3— (4 + );
' « •» V11 Ч § ' ¿.1 * \ ¿А 1 1 / ' /ЛЧ
1-УпУ21У 1 — ^12^21 (2)
Подставим в вьфажение для потенциальной энергии деформации формулы (1) и (2) и выполним интегрирование по нормальной координате г от -Ы2 до /г/2. В результате ряда преобразований получим:
1]<У) = ^Я (#1.*.! + + К'пеп +Мпки +М22к22 +Мпкп + 1 о
+03^13 +еи*а + +А/,>„ +МТ2гк22 + (3)
1 12
-(Л'|1а1+Лг22а;2)^(0 + — Л я
+7(^,0, +Лг22а2)^(0 +—(Миа, + М22 а2 )/Г2 (/)) + Д С/Г )^/<Г2
Усилия Ли, Лт22, ... - 023, действующие в пологой ортотропной оболочке и входящие в формулу (2), определяются по формулам:
ей ЕЙ
—!-(е„+1'12е22); Л/22 = -——(е22+^,е„); = С?12/ге12;
IV и \4. / ■ II Л
Р ^ Е И3
12(1-112К2])
12(1~.'12.'21)
С /?'
М12 =~-*"12; Йз = 0,,/гев; 023 = С23/ге23.
Температурные усилия Л'/ц, Мт22 и функции /-',(;). /''2(0 оп-
ределяются для изотропного материала соотношениями:
К
] 1/. /ч I ^ , , Л
1 у —
12* 21 -Л/2
Л/2
^ ) а. / ->
22 1
I — 1-' ь
1 1 32 21 -Л/2
Е
■С С
Мм=-—~--(«: I (5)
1 — 1/ I/ *
1 ' 12 21 Л/2
Е
Мт21 =--——(а2+!/,,«,) | Г(ху,2)г(1г;
^ 2 * '21 -А/2
6/2 Л/2
Ы1 -Ь'2
Учитывая, что
+ЛГ22а2)/<; (/) = Л^е,, +Мтпе22,
12
—(Миах + М22а2)Р2 (1) = Мтикп +М12к22
и отбрасывая в (3) чисто температурное слагаемое АII' получим двумерный функционал теории оболочек, представляющий собой полную потенциальную энергию системы:
П(У) = (Л^>Ю-Л(ч^П , (6)
^ а о с
где v=(u у в] 62 м>)т - вектор, компонентами которого являются функции перемещений; е = ( еи е22 л22 "12 ¿-'и )г - вектор, компонентами
которого являются составляющие тензора деформаций; N = ( Л',, \'22 М)2 Мц М22 А/12 (?2з )г - вектор, компонентами которого являются усилия, определяемые по соотношениям теории ортотропных оболочек (4), Л'г = (.V,17 Л':.;Г 0 Мц7 М22 0 0 0 )т - вектор, компонентами которого являются температу рные усилия, определяемые зависимостями (5); ц = (<?, д2 >щ пъ
цг )7 - вектор внешней нагрузки, компоненты которого имеют направления, соответствующие компонентам вектора перемещений.
Решение температурной задачи выполнялось методом конечных элементов, а определение напряженно-деформированного состояния пластин и оболочек выполнялось с помощью квазиньютоновского метода Дэвидо-иа-Флетчера-Пауэлла [2] на основе функционала (6).
Рассмотрим квадратную в плане пластинку, жестко закрепленную по контуру. Физические характеристики органопластика, из которого изготовлена пластинка, даны выше. Геометрические параметры имеют следующие значения: размеры в плане а=Ь-\ м; й=10"3 м. На пластинку действует поперечная равномерно распределенная нагрузка интенсивностью дг~500 Па и постоянная по объему температура Т= 60 град. На рис. 1 и 2 представлены нормальные перемещения >? и изгибающие моменты М\ 1 в квадратной ортотропной пластинке при заданном термосиловом нагруже-нии.
Рассмотрена пологая цилиндрическая оболочка из органопластика с физическими характеристиками, приведенными выше.
Рис. 1. Прогибы и> квадратной жестко закрепленной по контуру ортотропной пластинки
Оболочка имеет жесткое закрепление по криволинейным сторонам, прямолинейные кромки свободны от закрепления. Геометрические параметры имеют следующие значения: размеры в плане а=Ь= 1 м; толщина А=5 10"3 м; кривизны к]= 0, к2=0,2 м"1. Выполнен ряд расчетов оболочки при действии поперечной равномерно распределенной нагрузки интенсивностью г/.=500 Па и постоянной по объему температуры Т = 0; 20; 40; 60 град. При действии только поперечной нагрузки q2 перемещения ч> направлены к центру кривизны оболочки.
При повышении температуры перемещения V в центре оболочки уменьшаются, а затем меняют знак на обратный, то есть оболочка начинает выгибаться вверх. При этом характер нормальных перемещений и изгибающих моментов качественно изменяется.
64
Рис. 2. Изгибающие моменты Мц в квадратной жестко закрепленной по контуру ортотропной пластинке
Рассматривалась оболочка, жестко закрепленная по всему контуру. Все остальные параметры, а именно геометрические и физические характеристики имели те же значения, что и в предыдущем примере расчета. Сравнение решений при данных двух типах граничных условиях для значения Т= 20 град показывает, что при жестком закреплении по всему контуру амплитуда нормальных перемещений w и изгибающих моментов Mi больше, чем при жестком закреплении по двум противоположным сторонам.
Литература
1. Композиционные материалы: Справочник/ Под общ. ред В.В.Васильева, Ю.М.Тарнопольского.-М.. Машиностроение, 1990. - 512 с.
2. Анохин Н.Н., Трушин С И., Прилипов Н.В. Решение задач термоупругости оболочек методом прямой минимизации энергии. - Строительная механика инженерных конструкций и сооружений, №1, 2005, с. 99-102.
ANALYSIS OF ORTOTROPIC PLATES AND SHELLS WITH LOW SHEAR RIGIDITY UNDER TEMPERATURE AND LOAD ACTION
N.V.Prilipov
Basic geometrical and physical equations and Lagrangian functional for or-thotropic plates and shallow shells with low shear rigidity are presented Temperature problem is solved with the help of finite element method. For minimization of discrete analog of Lagrangian functional Davidon-Fletcher-Powell method is used. Numerical results of calculation of plates and shallow cy lindrical shells are presented.
