CC BY
23
Расчет тонких упругих оболочек
РАСЧЕТ ПАРАБОЛО-СИНУСОИДАЛЬНОИ ОБОЛОЧКИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
В.Н. ИВАНОВ, канд. технических наук, профессор Российский университет дружбы народов
В работе исследуется напряженно-деформированное состояние полуволновой оболочки с параболо-синусоидальной резной срединной поверхностью. Резная поверхность образуется движением плоской кривой в нормальной плоскости направляющей кривой [1, 2]. Направляющей параболо-синусоидальной резной поверхности является парабола, образующей - синусоида. Геометрия резных поверхностей рассмотрена в работе [3].
В зависимости от положения синусоиды (угла наклона оси синусоиды к плоскости параболы) в нормальной плоскости параболы, значений параметров параболы и синусоиды, числа полуволн синусоиды можно получить различные формы конструкций оболочек. Примеры конструирования параболо-еинусоидальпых оболочек приведены в статье [4].
В данной статье рассматривается параболо синусоидальная полуволновая оболочка с вертикальной направляющей параболой, и образующей синусоидой на одну полуволну с осью, перпендикулярной плоскости параболы (рис. 1).
Параболы: z~zü~aa\, х = ах, а ~ 0,05 м"1, zq г~ 11,25,
-15 < а, <15 м. Знак минус перед параметром а показывает, что
вершина направляющей параболы направлена вверх.
/ а \
Синусоида: z = bsin ж , Ъ ~ 1м- амплитуда, с ■-■■ 16 м
длина полуволны синусоиды, 0 < а 2 < с.
Общий размер оболочки в плане -32x16 м, стрела подъема опорной параболы 11,25 м, Стрела подъема оболочки 12,25 м. Толщину оболочки принимаем 5 см.
Продольные края оболочки а, - ±15 м - жестко защемлены, поперечные края а2 = 0, а2 = с = 16 м оперты на гибкие диафраг мы. ;>1
известными в литературе точными и приближенными решениями. Программный комплекс позволяет рассчитывать оболочки сложной геометрии с ортогональной системой координат. Разработанный алгоритм вариационно-разностного метода учитывает внутреннюю и внешнюю геометрию срединных поверхностей оболочек. В программе используются коэффициенты первой квадратичной формы и радиусов кривизны. В программный комплекс включена библиотека плоских кривых и поверхностей, мозволяювдая конструировать различные формы тонкостенных конструкций и вычислять их геометрические параметры.
Оболочка имеет две плоскости симметрии а{ -- 0 и а? ~ у,
поэтому расчет проводим для Ул части оболочки. II а осях симметрии удовлетворяются граничные условия: равенство нулю тангенциальных перемещений и угла поворота нормальных к оси симметрии:
п л dw
в сечении а,-0 • и 0 ш .............,
дщ -О
с . 8 w
в сечении а?..... v^O ».....-■--.
2 да2 О
Для исследования сходимости расчета проведем расчеты с равномерными разностными сетками 10x10, 20x20, 40x40, 60x60. Результаты расчета приведены в табл. 1. Положительные значения изгибающих моментов соответствуют растянутым волокнам на внутренней стороне толщины оболочки
. м, (кН/м) Таблица 1,«
сетка (м) 13.0 12,0 9,0 6,0 -3,0 0
10x10 0 ■0,557 -0,735 -0,773 -0,823 ■0,848
20x20 0 0 0.550 -0,733 -0,814 ■0,866 -0,894
40x40 0 -0,518 - 0,724 -0,819 -0,880 -0,910
60x60 0 -0,509 ■0,720 -0,818 -0.881 -0,912
1 10x10 -9,65*1 •22,1 "18,4 1 -14,3 ■11,6 -10,7
1 20x20 1,6 -13,2 -22,6 -18,8 -14,6 -11,8 -10,8
40x40 -14,9 -22,7 ¡8,9 -14,7 -11,8 -10,9
1 60x60 -14,9 -22,7 ■18,9 -14,7 -11,8 -10,9
Рис. 1. Нарабою-синусоидальная оболочка положительной гауссовой кривизны
1< . 1 и ОЩ «
раничкыс условия: а, - = +15 м ■ ■ и\ - щ щ • О;
4 м ■ ЩМу/'У -г 0.
Расчет проводим на действие собственного веса оболочки, равномерно распределенной) но срединной иоверхносчи оболочки..
Аналитические методы расчета, используемые при расчетах оболочек канонических форм.....оболочек вращения, цилиндрических, конических, пологих оболочек, чаше вест неприменимы для оболочек сложной геомечрии. Для их расчета применяются различ ные численные методы.
Дня расчета нараболо синусоидальной оболочки использовал-ся программный комплекс «УЙМБМЛ», реализующий вариационно-разностный метод. Алгоритм вариационно-разностно) 1) метода «нисан в работе |5 |. Программный комплекс разработан на кафедре со противления материалов Российского университета дружбы народов. .Работа комплекса апробирована на расчетах оболочек канонических форм. Результаты расчетов показали хорошее совпадение^
известными в литературе точными и приближенными решениями. 11рограммный комплекс позволяет рассчитывать оболочки сложной геометрии с ортогональной системой координат. Разработанный алгоритм вариационно-разностного метода учитывает внутреннюю и внешнюю геометрию срединных поверхностей оболочек. В программе используются коэффициенты первой квадратичной формы и радиусов кривизны. В программный комплекс включена библиотека плоских кривых и поверхностей, позволяющая конструировать различные формы тонкостенных конструкций й вычислять их геометрические параметры.
Оболочка имеет две плоскости симметрии с^ -О и а2
поэтому расчет проводим для "Л части оболочки. II а осях симметрии удовлетворяются граничные условия: равенство нулю тангенциальных перемещений и угла поворота нормальных к оси симметрии:
в сечении сх, 0 г<---0 и ^ ,
5а, --()
с с м
в сечении сх, V О и
2. Л а , О
Для исследовании сходимости расчета проведем расчеты с рав номерными разностными сечками 10x10, 20x20, 40x40, 60x60. Результаты расчета приведены и табл. 1. Положительные значения изгибающих моментов соответствуют растянутым волокнам на внут-
> и; | 1! * V !И > • ) * *' 4 ' * ' : ' М * М * ! ! *' ' '* ч* (< ''» К' М
. v. (кП/м) Таблица 1.<■:
сечка (м) -15.0 -12,0 -9,0 -6,0 -3,0 0
Г 10x10 0 -0,557 -0,735 -0,773 -0,823 -0,848
20x20 0 0 0.550 -0,733 -0,814 -0,866 -0,894
40x40 0 -0,518 - 0,724 -0,819 -0,880 -0,910
60x60 0 -0,509 -0,720 -0,818 -0.881 -0,912
10x10 -9,65 -22,1 -18,4 -14,3 -11,6 -10,7
20x20 1,6 -13,2 -22,6 -18,8 -14,6 -11,8 -10,8
40x40 -14,9 -22,7 -18,9 -14,7 -11,8 -10,9
60x60 -14,9 -22,7 -18,9 -14,7 -11,8 -10,9
продолжение табл. 1,а
сетка (м) а, »15.0 -12,0 -9,0 -6,0 -3,0 0
10x10 -12,4 -21,3 -17,6 -14,0 -11,6 -11,0
20x20 3,2 -15,1 -21,5 -17,7 -14,2 -11,4 10,9
40x40 ■16,4 -21,6 -17,7 -14,0 -11,6 -10,9
60x60 -16,3 -21,6 -17,7 -14,0 -11,6 -10,8
10x10 -12,6 -17,9 -16,4 -14,0 -11,9 -11,4
20x20 4,8 -13,9 -17,9 -16,5 -14,0 -12,0 -11,3
40x40 -14,8 -17,7 -16,4 -13,9 -12,0 -11,3
60x60 -14,9 -17,7 -16,4 -13,9 -12,0 -11,3
10x10 "12,4 -15,9 -15,7 -13,9 -12,1 -11,6
20x20 40x40 6,4 -13,0 13,8..... -15,7 .........-1577 -15,7 "-1577..... -13,9 -13.9 -12,2 -12,2........ -11,6 -11,6
60x60 -13,9 -15,6 -15,7 -13,9 -12,2 -11,6
10x10 -12,3 -15,3 -15,4 ™з7Г" -12,1 -11,7
20x20 8,0 -12,8 -15,1 -15,4 -13,9 -12,2 -11,7
40x40 -13,5 -15,0 -15,4 -13,9 -12,3 -11,7
60x60 -13,6 -15,0 -15,4 -13,8 -12,3 -11,7
М2 (кН/м) Таблица 1,6
сетка -15.0 -12,0 -9,0 -6,0 -3,0 0
10x10 0 -0,412 0,022 0,240 0,314 0,330
20x20 0 0 -0,328 -0,119 0,008 0,077 0,098
40x40 0 -0,111 -0,054 -0,018 0,004 0,011
60x60 0 -0,053 -0,027 -0,011 0,002 0,001
10x10 -1,45 -3,54 -1,44 -0,260 0,383 0,577
2.0x20 1,6 -1,99 -3,35 -1,16 -0,174 0,474 0,707
40x40 -2,24 -3,37 -1,09 •0,160 0,493 0,744
60x60 -2,23 -3,40 -1,08 -0,159 0,495 0,751
10x10 -1,86 -5,32 -2,17 -0,342 0,657 0,952
20x20 3,2 -2,26 -5,24 -2,04 -0,346 0,730 1,11
40x40 -2,46 -5,32 -2,03 -0,373 0,741 1,16
60x60 -2,45 -5,36 -2,04 -0,381 0,742 1,17
...
продолжение табл. 1,6
сетка (м) «2(М>\ -15.0 -12,0 -9,0 -6,0 -3,0 0
10x10 4,8 -1,89 -6,02 -2,89 -0, 650 0,675 1,07
20x20 -2,08 -6,09 -2,83 -0, 626 0,805 1,30
40x40 -2,22 -6,17 -2,84 -0, 647 0,829 1,37
60x60 -2,23 -6,20 -2,85 -0, 655 0,831 1,39
10x10 6,4 -1,85 -6,39 -3,33 -0,863 0,648 1,10
20x20 -1,95 -6,49 -3,33 -0,829 0,815 1,38
40x40 -2,07 -6,53 -3,36 -0,849 0,849 1,46
60x60 -2,09 -6,54 -3,37 -0,857 0,852 1,48
10x10 8,0 -1,84 -6,66 -3,36 -0,769 0,770 1,22
20x20 -1,91 -6,65 -3,47 -0,859 0,849 1,43
40x40 -2,02 -6,64 -3,53 -0,911 0,858 1,50
60x60 -2,04 -6,64 -3,55 -0,926 0,857 1,51
5 (кН/м) Таблица 5.1 ,в
сетка -15.0 -12,0 -9,0 -6,0 -3,0 0
10x10 0 16,2 7,50 0,662 -1,27 -1,11 0,01
20x20 17,6 6,17 0,399 -1,34 -1,15 0
40x40 17,7 6,32 0,376 -1,35 -1,17 0
60x60 17,9 6,32 0,380 -1,35 -1,17 0
10x10 1,6 14,3 5,69 0,524 -1,01 -0,841 0,01
20x20 15,3 5,03 0,175 -1,22 -0,970 0
40x40 14,7 4,95 0,129 -1,27 -1,01 0
60x60 14,5 4,96 0,129 -1,27 -1,01 0
10x10 3,2 9,57 4,50 1,15 -0,301 -0,436 0
20x20 9,57 4,33 0,972 -0,441 -0,525 0
40x40 9,10 4,33 0,953 -0,464 -0,547 0
60x60 8,92 4,34 0,956 -0,465 -0,551 0
10x10 4,8 5,14 3,24 1,18 -0,027 -0,199 0
20x20 4,82 3,32 1,11 -0,077 -0,266 0
40x40 4,80 3,35 1,10 -0,095 -0,281 0
60x60 4,72 3,36 1,11 -0,096 -0,284 0
Л/2 • 102 (кНм/м) Таблица \ ,<)
сетка «2 (МГ\ -15.0 -12,0 -9,0 -6,0 -3,0 0
все 0 0 0 0 0 0 0
10x10 1,6 -0,767 7,92 3,50 1,30 0,501 0,324
20x20 -2,29 8,49 3,64 1,25 0,325 0,128
40x40 -3,77 8,69 3,70 1,25 0,279 0,068
60x60 -4,20 8,74 3,71 1,25 0,270 0,057
10x10 3,2 -0,653 0,590 0,020 -0,058 -0,042 -0,037
20x20 -1,90 0,541 -0,134 -0,118 -0,052 -0,041
40x40 -3,03 0,535 -0,178 -0,136 -0,053 -0,041
60x60 -3,31 0,534 -0,186 -0,139 -0,054 -0,041
10x10 4,8 -0,431 -0,582 -0,020 0,052 0,026 0,015
20x20 -1,20 -0,721 -0,005 0,063 0,026 0,010
40x40 -2,05 -0,785 0,001 0,068 0,026 0,008
60x60 -2,29 -0,802 0,002 0,069 0,026 0,007
10x10 6,4 -0,309 -0,568 -0,068 0,049 0,042 0,034
20x20 -0,842 -0,629 -0,053 0,054 0,042 0,030
40x40 -1,56 -0,666 -0,048 0,056 0,042 0,029
60x60 -1,80 -0,663 -0,048 0,056 0,042 0,029
10x10 8,0 -0,273 -0,555 -0,108 0,042 0,048 0,041
20x20 -0,742 -0,597 -0,110 0,048 0,048 0,038
40x40 -1,42 -0,608 -0,111 0,049 0,049 0,037
60x60 -1,66 -0,611 -0,112 0,050 0,049 0,037
Из данных таблиц \,а-в видна хорошая сходимость тангенциальных усилий. Их значения, за исключением опорной зоны «1 = -15, на всех сетках практически совпадают, а в опорной зоне существенное различие имеется только на сетке 10x10. Значения тангенциальных усилий в опорной зоне на сетках 40x40 и 60x60 практически совпадают, а на сетке 20x20 отклонение составляет 5-ь8 %. Сжимающие нормальные усилия Л', с небольшим градиентом распределены по области оболочки. Значения нормальных тангенциальных усилия N2 значительно ниже нормальных усилий . В верхней зоне оболочки появляются растягивающие напряжения, значения которых на порядок ниже сжимающих напряжений и, очевидно, не оказывают существенного влияния на прочное^,
оболочки. Существенные касательные тангенциальные усилия возникают в четверти нижней опорной зоны оболочки вдоль гибкой диафрагмы. В средней зоне касательные усилия близки к нулю. Эпюры тангенциальных усилий представлены на рис. 2.
В распределении изгибных усилий проявляется явно выраженный краевой эффект, В средней зоне оболочки изгибные усилия на 2 порядка ниже изгибных усилий опорных зон. Напряженное состояние оболочки можно считать безмоментным с краевым эффектом. В отличие от тангенциальных усилий сходимость изгибных усилий в опорной зоне значительно медленнее, особенно для изгибающего момента М\ в заделке («1 = -15). Для наглядности приведем таблицу опорных изгибающих моментов М\ в опорном сечении щ ~ -15, добавив расчет на сетке 80x80 (табл. 2).
М, -10 (кНм/м) Таблица 2
сетка 0 1,6 3,2 4,8 6,4 8,0
а\
10x10 0 -5,11 -4,35 -2,87 -2,06 -1,82
20x20 0 -15,3 -12,7 -8,01 -5,61 -4,94
40x40 -15.0 0 -25,2 -20,2 -13,6 -10,4 -9,50
60x60 0 -28,0 -22,1 -15,3 -12,0 -11,0
80x80 0 -29,1 -22,7 -15,9 12,6 -11,6
6м, (60x60/80x80)% 0 2,7 2,6 3,8 4,8 5,2
В нижней строке табл. 5.2 приведены значения относительной точности значений моментов на сетках 60x60 и 80x80. Как видно из табл. 5.2, удовлетворительные значения моментов в опорной зоне при жесткой заделке получаем при сетке 60x60 и более точные на сетке 80x80. Современные компьютеры представляют пользователю значительные ресурсы оперативной памяти и скорость счета. Время счета оболочки с сеткой 80x80 составляет менее 1-й минуты. В тоже время, можно использовать сетку с переменным шагом, задавая более крупную сетку в средней зоне оболочки, и сгущая ее (уменьшая шаг) в опорной зоне или в других зонах возможной концентрации усилий.
В работе не приводите» таблица значений крутящих моментов, гак как их значения более чем на порядок меньше изгибающих мо ментов.
Дня проверки работоспособности программного комплекса бы ли проведены также расчеты других отсеков относительно осей симметрии, а также расчет полной оболочки. Расчет экнивапентных отсеков полностью совпал с приведенными расчетами на однотипной сетке, а расчет полной оболочки с сеткой 80x80 совпал с ре зульгатами расчета симметричного отсека оболочки с сеткой 40x40. В некоторых точка наблюдалось не совпадение в третьей значащей цифре, что не превышает долей процента точности.
Отметим также выполнение статических граничных условий опирания оболочки, которые не задаются при формировании не ходных данных задачи. Значения изгибающих моментов при шарнирном опирании (онирании на гибкие диафрагмы), значения сдви гающих тангенциальных усилий и крутящих моментов на осях симметрии оболочки равны нулю либо на несколько порядков ниже соответствующих величин в области оболочки, что подтверждает принцип Лагранжа статические граничные условия удовлетворяются при минимизации функционала полной энергии деформаций.
Ниже на рис. 2 приведены графики внутренних усилий в ха рактерных сечениях оболочки.
1 17
Рис. 2,а. Касательные тангенциальные усилия
a-L= 1.6
Рис. 2,в. Нормальные тангенциальные усилия в сечениях а2 - const ^ ^
В виду симмет рии конструкции и нагрузки графики строятся на половине сечения оболочки. При этом г рафики нормальных усилий /У| и N2 и изгибающих момен тов М\ и Мг совмещены в сечении слева и справа от оси симметрии, что позволяет визуально сравнивать их значения. На графиках видно, что нормальные усилия АГ, значит ельно превышают усилия N2, что связано с пологостью образующей синусоиды и условиями онирания на поперечных краях оболочки.
Значения нормальных тангенциальных усилий и изгибающих моментов не позволяют непосредственно судить об их вкладе в напряженное состояние оболочке, которое зависит от соотношения цилиндрический жесткости оболочки на растяжение и изгибной цилиндрической жесткости. Нормальные напряжения от тангенциальных нормальных усилий и максимальные (минимальные) нормальные напряжения ог изгибающих моментам определяются соответственно по формулам:
>N,
N, h
Mi
>М i
■К-
W
Cj ад юва тел ы ю, рв
а
м,
Л
N, М,
Л:
±6
h 6
Mt
h2
(1)
Ниже в табл. 3 приведены значения нормальных напряжений от нормальных тангенциальных усилий и максимальные значения нормальных напряжений от изгибающих моментов. Знак (±) нормальных напряжений от изгибающих усилий соответствует знаку нормальных напряжений на нижней (внутренней) поверхности оболочки.
сг (КНа) Таблица 3
(У 0 1,6 3,2 4,8 6,4 8,0
0 -294 -324 -296 -278 -272
О л/, -15 0 -698 -546 -381 -302 -279
0 -44,1 -48,6 -44,4 -41,6 -40,8
0 -105 -81,8 П -57,2 -45.3 -41,9
-13,875 -4,79 -382 -402 -332 -292 -280
аМ| -1,6 177 123 66,7 41,4 34,9
продолжение табл. 5.3
(7 0 1,6 3,2 4,8 6,4 8,0
ч)^58 -83,9 -139 -158 -159 -158
°М2 0 228 29,6 -16,2 -12,4 -8,97
-10,1 -455 -431 -354 -313 -300
-12 -2,24 37,2 9,55 4,68 4,30 -3,87
а N2 -0,61 -68,3 -107 -124 -131 -133
ам2 0 210 12,8 -19,4 -16,0 -14,7
-14,4 -378 -355 -329 -314 -307
-9 Г -2,09 9,22 -3,30 Г 1,24 3,29 3,70
-0,33 -21,5 -40,8 -57,1 -67,6 ■71,1
ам2 0 89,1 -4,53 0,05 -1,13 2,69
-16,4 294 -279 -279 -278 -277
-6 -1,94 0,43 -3,79 -1,68 -0,90 -0,59
-0,15 -17,7 -3,17 -13,2 -17,2 -18,6
ам2 0 29,9 -3,36 -1,67 -1,34 -1,19
-17,6 -237 -233 -240 -244 -245
-3 -1,76 -2,61 -3,65 -3,29 -3,13 -3,05
ам? -0,04 9,92 14,8 16,6 17,1 17,1
0 6,42 1,29 0,63 1,00 1,17
-18,2 -217 -217 -226 -231 -233
аМ\ 0 -1,67 -3,10 -3,70 -3,77 -3,78 -3,77
Ощ 0 15,1 23,5 27,8 29,7 30,3
ам2 0 1,26 -0,98 0,17 0,68 0,88
Как видно их табл. 5.3 изгибные нормальные напряжения сопоставимы с напряжениями от нормальных усилий лишь в зоне краевого эффекта. Причем в заделке изгибные напряжения существенно превышают нормальные напряжения от тангенциальных нормальных усилий.
Литература
1. Mohge G. Mémoire sur Г integration de quelques equation aux derivees partielles/ Mem. Ac. sci. 1787. - 309 p.
2. Нордеи А.П. Теория поверхностей. - M.: Гостехиздат, 1956. -260 с.
3. Иванов В. H., Ршван Мухаммад. Геометрия резных поверхностей Монжа и конструирование оболочек// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений: Межвузовский сборник научных трудов. - Вып. 11. - М.: Изд-во АСВ, 2002. -С. 27-36.
4. Иванов В.Н. Конструирование оболочек на основе параболо-синусоидальных поверхностей// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2005. - № 2. - С. 15 - 25.
5. Иванов В.Н., Наср Юнее Аббуши. Расчет оболочек сложной геометрии вариационно-разностным методом// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений: Межвузовский сборник научных трудов. - Вып. 9. - М.: Изд-во АСВ, 2000.-С. 25-33.
ANALYSIS OF PARABOLA SINUS RULED SHELL OF POSITIVE GAUSSES CURVATURE
V.N. Ivanov
The stress-strain state of ruled parabola sinus shell of positive curvature are investigated. The program complex "VRMShell" is used for calculation. The variation differential difference methods are realized in the program. The tables and graphics of internal forces and normal stresses are represented in the article.
