Уравнения равновесия и движения тонких оболочек и пластин и их численная реализация Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 624 074.43

! УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ И ДВИЖЕНИЯ Щ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИН И ИХ ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ

С.К. Ельмуратов

Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова

Кабык,шаныц ортангы к,абатына кртысты векторлык, нусцада цабыцшалар теориясыныц тец салмагы мен цозгалысын meqecmipy кррытындыеы келтхршен. Жаца сандыц нобай - крсыц желгш торквздер odicme.\teciHin нег1зшде пластин мен к,абыкшалардьщ тез1мд1л1к пен §§|| тербел1'ске есебтщ алгоритм1 жасалган.

Приведен вывод уравнений равновесия и движения теории оболочек в векторной форме относительно срединной поверхности оболочки. На основе новой численной схемы -метода криволинейных сеток разработан алгоритм расчета пластин и оболочек на устойчивость и колебания.

The result of equation of balance and coverings movement theory by vectorial form with regard to middle surface of covering was given. It was given on the basis of new numerical scheme - the methods of curvilinear net the algorithm of plates and coverings calculation for steadiness and oscillation.

Рассмотрим оболочку двоякой кривизны, которая находится под воздействием внешних нагрузок. Проведем сечения в направлении осей х1 и х2, нормально к срединной поверхности оболочки (рисунок 1).

Для площадки размером -¿а = yja.a^ запишем условие равенства нулю главного вектора всех сил. приложенных к рассматриваемому элементу пологой оболочки в ее срединной поверхности [ 1 ].

где Np = N д е - ковариантный вектор внутренних усилий с компонентами

NPl О -l,2;z = l,2,3>

= п - векторы основного тона локального базиса системы коорди-

(1)

нат х1,х2', (е3 =[ё1,е2]/у/а);

д - вектор внешней нагрузки. [,] - знак векторного произведения векторов. Векторы усилий являются составляющими для заданной срединной поверхности контравариантного тензора с векторными компонентами

Л^1 = ЛГ11е, +М12ё2+£)1ё3 й2 = ЛГ21е, + Ы22ё2+02ё3

(2)

Принимая, что х1 и х2 всегда ортогональны, то есть ёх • е2 =0 или иначе | • ¡е^сова = 0 , получим

Л^1 шЫие2+01е3 К2 =Л^22е2 +£>%

(3)

У < " С- А (\ г.

I Чх*

Рис. 1. Главные векторы усилий и моментов на срединной поверхности

оболочки

Или в индексной форме

N° шМшёа+(2ве3

(4)

Выражения для усилий имеют вид

ЕЬ Г И и п 22 11 11 11 11

[иг а еп + ш я £22 а еп -иа а Бп\ =

(5)

ЕИ 1-1'2

Г _ 11 22^ , 1111 [ш а бп + а а £п\

дГ22=_^_[а22Л22+шПа22^]

Из полученных выражений (5) видно, что физико-механические свойства и геометрические характеристики оболочки (Е, и, И) можно задавать дискретно. Это позволяет весьма произвольно задавать неоднородность материала, менять толщину оболочки.

Выражения для перерезывающих сил О* определяются из условий равенства нулю главного момента внутренних усилий и моментов, действующих на элемент оболочки

с^аМ * Г

дх'

Вектор внутренних моментов определяется по формуле

(6)

Мр=Са/Мрае\ (7)

где Сау - дискриминантный тензор поверхности (Сп=С,,=0, С|2 = у[а ,

С 2] = ~4а)

Векторы внутренних моментов будем выражать через их ковариантные компоненты

М1 = у[а(мие2 -Мпех) М2 = у[а{м21е2 -М22^2)

Подставляя (8) в (6) и умножая результат на полученные векторы е2 и е] основного локального базиса получим соответственно выражения для 0х и <22. При этом необходимо учесть, что контравариантные компоненты тензора внутренних моментов 1а между узлами можно усреднить через их значения в основных узлах сетки с помощью закона преобразования компонент тензора

(«-и=\к)Т <г + "¡г-«г5 -к) (9)

и принять во внимание свойства векторно-скалярного произведения трех векторов

'сс'^Р.

Т'хё3 = Т

(10)

а 3

Контравариантные компоненты тензоров изгибающих и крутящих моментов выразим через ковариантные компоненты изгибных деформаций Ц^р

Ми =э(аиап/ли + шпа22^22\

М22 = о(а22а72/и22 + шиа~

Мп =М2^0{\-у\апа22^

(П)

Здесь й - цилиндрическая жесткость.

Компоненты тангенциальных деформаций срединной поверхности определим через вектор перемещений

и = usës = ихё +и2е~ +и3е}

(12)

по форму ле

1

дЦ . дЦ .

^ а е Р + -V в еа ^сх схр

\

+

(13)

В пологих оболочках тангенциальными деформациями ег можно пренебречь ввиду их малости, и тогда можно записать

ВЦ 1/42

сх I

Изгибные деформации срединной поверхности в векторной форме будут иметь вид

, , дП

е' (15)

сх

Здесь £) - вектор углов поворота окрестности точки срединной поверхности определяется из выражения

С учетом этого можно получить дискретные зависимости для компонент тензора изгибных деформаций •

Углы поворота нормали срединной поверхности оболочки выражаются через перемещение по формуле

дй _

Примем, что вектор внешней нагрузки д меняется во времени по определенному закону. Тогда согласно принципа Даламбера надо учитывать силы инерции при движении оболочки. В этом случае нагрузка в векторном виде будет

_ ч ч . д2€

д-д^-рН—г (18)

ot

Здесь первый член представляет собой внешнюю нагрузку, меняющу юся во времени весьма произвольно: второй член определяет инерционную силу. В выражении (18) р - плотность материала, ¿/ - вектор перемещений. Для случая гармонических свободных колебаний оболочки решение (1) можно записать в виде

и{х\х\^и{х\х2)ът(р)( + (р) (19)

Здесь 1][хх ,х~) - амплитуда синусоидальных колебаний, со - частота собственных колебаний. Подставляя (19) в (1) и сокращая на 8т(йЯ + <р) получим уравнение собственных колебаний оболочки

дудЙ1 , д^ай2 дх1 " дх

4-——;— + й)рии= 0 (20)

Для вынужденных колебаний решение ищем в виде

0(х1 ,х2,г)= 0(х1, х2 )ят а, (21)

где 0 - частота возмущающей силы С учетом (21) можно записать

д4аЫ1 дл^Ы1 рв2кГт

Для гармонических вынужденных колебаний q задается в виде

(Л о • Л Р

<?(/)= Я ьта----т- (23)

g дг

Во всех остальных случаях может меняться во времени по определенному для каждого случая закону.

Для дискретизации полученных уравнений применим новую численную схему - метод криволинейных сеток [1] основанную на идее корректной аппроксимации ковариантной производной вектор-функции в криволинейных системах координат.

В качестве координатной системы удобно использовать координаты, соответствующие номерам узлов разностной сетки в направлении х1, д^с постоянным интерваломДх7=Дх2=1 при любой сетке. Величины и ^/с^Г определяют расстояние между узлами в направлениях х1 и х2.

Тогда векторное уравнение

-;— + ^¡ац = 0 (24)

дх1

можно преобразовать к разностному виду учитывая, что Й' = е - (1 = 1,2; ] = 1,2.3)- векторы вну тренних усилий (рисунок 1)

+ [¡а&ё, + ц% + $3ё3)|. = О

Выполним усреднение геометрических характеристик д и нагрузки в узлах. Проектируя конечно-разностное выражение векторного уравнения равновесия элемента оболочки с центром в узле (1, ]) на векторы взаимного локального базиса в узле (1, ^ получим систему трех скалярных уравнений равновесия

при а -1,2,3.

(^0.5,^0,5 + + #12^.1 + -

_ (^1-0.5:^ + /-0^)^11 а,./ ^г «., + +

2 11 (26)

+ (^0.5;;Ч0.5 ^мм)^*/ + д^,/ + д!^ ^ _ _(^0.5;;-0.5 + л/^-0.5; ,40,5 ) + ^^ + ^ +

Здесь «¡^0,5;,г0.5 = ^(х±о,5: ;±о,5 $ ~ 1»2,3) коэффициенты преобразования векторных компонент при переходе из локального базиса точки / ± 0,5; ] ± 0,5 в локальный базис точки г,

Аналогично получаем дискретные выражения для компонент тензоров деформаций.

Полученные соотношения для тензоров деформаций и усилий необходимо дополнить граничными условиями. В методе криволинейных сеток формирование уравнений производится путем последовательной подстановки в уравнение равновесия векторных компонент напряжений и смещений. Граничные условия в этом случае удовлетворяются последовательным исключением их нулевых компонент. Отпадает необходимость введения дополнительных законтурных точек, как это делается в методе конечных разностей. Рассмотрим контурный элемент оболочки размером йх! йх1. Разделим его на ячейки относительно текущего узла (I, (рисунок 2). На кажду ю ячейку конту рного элемента действует определенная часть внутренних усилий и внешней нагрузки.

Рисунок 2 - Векторы усилий и объемных сил на контуре оболочки

Л

По граням элемента действуют силы

^«*0,5;j*0,5 = )/±0,5;/*0.5

Ni±o,S-,j*0,5 = (Л* )*0,5;j*0,5

(27)

Если какая-либо ячейка отсутствует, соответственно исключаются и силы, а в уравнениях равновесия и движения компоненты у силий вводятся с соответствующими коэффициентами. Каждой ячейке соответствуют определенные разностные выражения, объединяя которые мы получаем разрешающее соотношение в рассматриваемом узле. Уравнения по конту ру области для самых различных граничных условий формируются достаточно просто и наглядно. Например, свободный край по оси х1 при j=const имеет вид, приведенный на рисунке 3,а.

В этом случае

л/2 = дг1 _ п- N1 = Nx = ft- V - V = О

Для случая свободного утла оболочки когда точка i,j является утловой на внешней кромке имеем (рисунок 3,6)

j-0,5;/-0,5 = ^i-0.SJ-0,5 ~ Ф -^/-0,S;j+0,5 = ^¿-0,5;;+0.5 =

Л/т1 = jV2 =0- V =V =V =0

i+0,5;jf+0,5 »+0,5;./'+0,5 ' V1 v2 u

Аналогично записываются граничные условия для других случаев опирания оболочки.

X

х

Рисунок 3 - Варианты граничных условий

Уравнения равновесия и движения оболочки вместе с граничными условиями образу ют замкнутую систему уравнений теории оболочек.

На основе изложенного метода криволинейных сеток разработан алгоритм расчета оболочек и пластин на устойчивость и динамику при продольно-попе-речном загружении исследуемого объекта. При разработке алгоритма расчета конструкций вводимые данные подразделялись на исходные данные для решаемой задачи и на данные о режиме счета и выдачи результатов. Это необходимо для ускорения процесса ввода исходных данных, а также для выбора наиболее оптимального пути решения задач.

На начальном этапе решались тестовые задачи. Рассмотрена задача о вынужденных колебаниях прямоугольных пластин с учетом произвольно расположенных сосредоточенных масс при различных граничных условиях. Для сравнения решена задача о вынужденных колебаниях шарнирно опертой квадратной пластины, точное решение которой приведено в работе [2]. Вибрационная нагрузка приложена в центре пластины. Решение получено в двойных тригонометрических рядах. На рису нке 4 точные значения прогибов XV отмечены точками. Решение этой задачи методом криволинейных сеток показало, что. начиная с 6 конечноразностных делений, погрешность не превышает 3%. Далее исследовалось влияние Р0 на значение наибольшего прогиба XV. Величина Р0 менялась от 0 до 20 кН с шагом 5 кН. На рисунке 4 приведен график этой зависимости в виде кривой 1. Для сравнения эти же задачи решались автором методом конечных разностей на основе уравнений движения и совместности приведенных в работе [3]. Задачи решались при числе шагов сетки 5=6 и 5=8. Расхождение с точным решением составило 8%. Как видно из сравнения, метод криволинейных сеток дает более точные результаты.

В работе [4] исследуется сходимость метода криволинейных сеток в задачах устойчивости оболочек. На основе решенных задач авторы делают заключение. что метод криволинейных сеток может успешно применяться для расчета тонкостенных оболочек.

50.0 45.0 40.0 35.0

эо.о

25.0 20.С 15.0 10.0 5.0

О 5.0 10.0 15.0 20.0 Рисунок 4 - График влияния сосредоточенной массы на наибольший прогиб

Таким образом, анализ решенных задач позволяет сделать вывод о том. что метод криволинейных сеток может быть успешно применен для исследования устойчивости и колебаний тонкостенных конструкций.

ЛИТЕРАТУРА

1. Жадрасинов Н.Т. Нелинейная деформация составных оболочек. -Алма-ты: Еылым. 1998,- 174 с.

2. Киселева И В. Колебания опертой по контуру прямоутольной ортотропной пластинки с учетом сосредоточенной массы в месте приложения вибрационной нагрузки. М.:МАДИ, 1957,-вып. 21.-С 147-152

3. Ельмуратов С.К. Устойчивость и динамика неоднородных пластин и пологих оболочек переменной жесткости. //Вестник 111 У, №1, серия "Физика и математика"'. - Павлодар, 2005. - С 17-28.

4. Гоцуляк Е.А., Ермишев В Н., Жадрасинов Н.Т. Сходимость метода криволинейных сеток в задачах теории оболочек. //Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев: 1981,-вып. 39.-С.80-84.

V (сн)-КГ3

..... ............... 5

!

1 1 i 1

! 1 ц

1

..........

2\ ^¿рК. 1

РоСкИ/