Применение метода криволинейных сеток к расчету ребристых плит Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 624.072.24.001.24

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КРИВОЛИНЕЙНЫХ СЕТОК К РАСЧЕТУ

РЕБРИСТЫХ ПЛИТ

С.К. Ельмуратов

Павлодарский государственный университет им.С.Торайгырова

№yMbicma kucmk Cbi3bi^mbi mop ediciMeH %a6bip3axbi maKmanapdb^ KepHeyrn-defyopMa^fwaHaaH Kyui 3epmmejedi.

In the work intense-deformed condition of a ridge plate is investigated by a method of curvilinear grids.

Рассматривается вертикально расположенная ребристая плита, защемленная по трем сторонам и свободная по верхней кромке. На плиту действует вертикальная распределенная по верхней кромке нагрузка. Выделим из плиты плоский единичный элемент, ограниченный координатными линиями x1,x1+xd1 в одном направлении и x2,x2+xd2 - в другом. На рисунке 1 показаны силы, действующие на стороны элемента и вектор объемной силы УсЬс^Лх1.

Рисунок 1 - Векторы напряжений и объемных сил элемента плиты

V"

37

Для рассматриваемого плоского элемента запишем условие равенства нулю главного вектора всех сил, и после сокращения на dx1 dx2, получим

+ = (1)

сЬс1 дх2

где аар- компоненты метрическош тензора а; ъ^у физические компоненты вектора напряжений; V - вектор объемной силы. Для криволинейной системы координат удобно оперировать ковариантными или контравариантными компонентами вектора напряжений. Заменим физические компоненты с?(-а) вектора напряжений через его ковариантные оа или контравариантныест а компоненты, представленные в матрице основных и взаимных ерлокальных базисов [1-3].

- о ' <? "Уд - рп /- 1 о т л (2)

Подставляя (2) в (1) получим

8у[а61 5-Уяст2 г- 7 .

Здесь а = апа22-апап - фундаментальный определитель метрического тензора.

Зависимость между компонентами тензоров напряжений и деформации для случая малых деформаций упругого тела, находящегося в условиях плоской задачи, подчиняется известным соотношениям закона Гука.

Для неортогональной системы координат их можно записать в виде

^Г^^я^^К^к, (3)

Придавая индексам значения (а, в, У, т = 1,2) в развернутом виде окончательно получим

.и

а "= ^ а11 а" + Еи { а + а12а21 > 2е12 а"а12 ]

су 22=^[22а22а22 +еп{ а + а12а21>2в21а22а21]

ст 12= ^ ^а11 + апа21) ^2 > гп а11 а12 + г22Л21 ]

38

Касательные векторы основного локального базиса деформированной системы координат определяются по формуле

- дх' „ ди (5)

е ---е +-

" дх" " дха

Соответствующие им компоненты основного метрического тензора вычисляются из соотношения

. ди _ ди _ ди ди (6)

я„п = а™в---е„ Н--т- ■ е„ Н----г

аР аР дха р дх* " дха дхр

*

Из вариации компонент основного метрического тензора аа р получим выражения компонент тензора деформаций

1/. \1[5м_ ди „ ди 8и\ (7)

6аР - - «ар /= ,, -а ' вР + -р ' ба + -а ' дв

Подставляя (7) в (4), затем в (1) и проектируя полученные уравнения на векторы взаимного базиса аъ локальной системы координат можно получить два скалярных дифференциальных уравнения равновесия в перемещениях. Производим дискретизацию полученных дифференциальных уравнений методом криволинейных сеток для плоской задачи теории упругости.

С учетом ортотропии материала выражения для компонентов тензора напряжений и деформации примут вид

а 1 != Г ! в11вН + Е22 (2 в + а12а21 \ 2Е12 а11а12 ]

1 —VIV 2

22 -Е? Лг [ 22 22 ^ 12 21Ч „ 22 21П _ 12 т ^ , Г 11 12 , 22 21 "I

ст =2С?Лс (еп а а +Е22а а J (8)

Выполним дискретизацию векторного уравнения (1). Рассмотрим плоскую разностную сетку (рисунок 2). Искомые функции вычисляем в определенных узлах разностной сетки, как показано на схеме, а именно: напряжения а1 в узлах (г' ± 0,5; у), а2 в узлах (г'; j ± 0,5); компоненты вектора перемещений ё в основных узлах (г; у) разностной сетки.

39

Применяя разностную схему непосредственно к векторным слагаемым уравнения (1), получим разностный аналог контравариантных производных вектора напряжений

[/¿(т11*! +а12%3+0)5;у. - ^ пА Па2+

\Та{2\+а 2232Х+0,5-Е^2Ч+^ =0 (9)

Определим компоненты вектора перемещений ё = ёа • аа в основных узлах (г;/) и произведем усреднение в промежуточных узлах (г' ± 0,5 ;/ ± 0,5) получим

й1 ± 0,5; у+0,5 = 1 (й1+1; у+1 + "г+1; у + "г; у + "г; у+1)

й1 ±0,5;у -0,5 = 4 (й1 ±1;у-1 + "г ±1;у + "г;у + "г;у-1) (10)

* ± 0,5; у = >; у +М*; у ± 0,5 = > у + * у ±0

Разностное векторное уравнение (10) спроецируем на векторы взаимного локального базиса аа в узле (/,у). В результате получим систему двух скалярных уравнений (а =1,2)

/_11 „а/;/ . _12 а/;/ \

а,+0,5;> (СТ ¡+0Ыаи+0,5у + СТ а2;+0,5;,' ) ~

V /11 , ^ 12 С.П,/ \ ,

"¡-0,5;у ' Vе1 ¡-0,5;;' ' "1£-0,5;у + "/-0,5;./ ' аН-0,5у)+ (11)

, Г /_ 21 . 22 \ _

V 'У+0,5 ЧСТ1;у+0,5 " "1<;У+0,5 + ст у+0,5 '

~ л1аи-0,5 ' (Р5-0,5 ' <У-0,5 +СТ^-0,5 ' <;у'-0,5) + "5Р =0

В уравнении (11) приняты коэффициенты преобразования при переходе от узла (г';/) к узлу (г ±0,5/ ±0,5).

а 1\] _—

¡±0,5 — е\' вр /±0,5;>±0,5

Выполним дискретизацию деформации £ар в соответствующих узлах методом криволинейных сеток и получим разностные выражения для компонент деформации

_(дЦ _

Е1:1м,5а ~ ^ ' е1 у ~ иЫ '' еь+0,5;у ~

= [("а • е" " К • е" ] • £¡¡+0,5;/

-Г Л- -

8 22,- ^ д^2 ' е2 ^ - (."¡+0,5;У+0,5 "¡+0,5;У-0,5 ) ' е2|+0,5;; ~ = [(Ма'® )г+0,5;/+0,5 ~~ (Ма ' ® )г+0,5;у-0,5 ] ' ®2(+0,5;у»

1 (8й _ дй Л 1 Г^ - ч -

е„ =—--е +--е = — Ким.,-м,,,)-е, ,.„«., +

Ф/+0,5уЧ0,5 — М|+0,5у-0,5 ) ^¡+0,5у ^ 2 ' ® ~(Ыа ' ® Ху ^

Х е2;+0,5у + ^Чх ' е )(+0,5;/+0,5 — (Ма ' ® )г+0,5у+0,5 1 ®1/+0,5;у }

(12)

Выполняя скалярное произведение базисных векторов по формулам (12) и учитывая (10) окончательно получим

е11г±0,5;У = ^^М-.^и+о]^ + и2г±1иаи±Ыу ~ МЦ;Уа1г'±0,5;у ~ М2г;УаЬ±0,5;у)'

822г;У±0,5 = ^"Ь^^^а'У+О.З + "2г;у±1а2г'; у±0,5 '21^+0,5 ~"2г;уа2!; 7+0,5^

^ 12г +0,5;у + Ы2г;У±1а2Ш) ,5;у ~ М1г;;а^±0,5;у ~ иИ;]аЪ±0,5;^ +

-и -аи±1и~1-и -а2*±1и~1 -и •аии -и -а2^ (13)

Подставляя последовательно (13) в (8), а затем в (1) и, проектируя полученные уравнения на векторы взаимного базиса аъ локальной системы координат, получим систему двух скалярных уравнений в перемещениях и, дополнив их граничными условиями, получаем разрешающую систему уравнений плоской задачи.

Исследовано напряженно-деформированное состояние ребристой плиты-панели при действии нагрузки вертикально приложенной в срединной плоскости. Подобрано расположение ребер, их размеры и размеры плиты, соответствующие наименьшему напряженно-деформированному состоянию плиты-панели.

41

ЛИТЕРАТУРА

1. Ельмуратов С.К. Уравнения равновесия и движения тонких оболочек и пластин и их численная реализация. // Наука и техника Казахстана, Павлодар, №1, 2005. - С. 24-33.

2. Ельмуратов С.К. Расчет тонких оболочек и пластин на устойчивость и динамику. //Вестник ПГУ, серия физико-математическая.- Павлодар, ПГУ, №3, 2005. - С. 43-51.

3. Ельмуратов С.К. Исследование устойчивости и колебаний тонких оболочек и пластин методом криволинейных сеток. // Поиск, серия естественных и технических наук.- Алматы, №4. 2005. - С. 312-317.

4. Пред. патент. 1649. РК. Комплексные добавки для бетонной смеси. /Ш.К. Торпищев., С.К. Ельмуратов и др. 15.11.2005. Бюл. № 11.- С. 3 с.

42