CC BY
19
РАСЧЕТ 11А Р А БОЛ О-С И Н У СОИ ДА КЛ ЬНОЙ ОБОЛОЧКИ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
В.Н. ИВАНОВ, канд. технических наук, профессор Российский университет друокбы народов
В работе исследуется напряженно-деформированное состояние полуволновой оболочки с параболо-синусоидальной резной срединной поверхностью. Резная поверхность образуется движением плоской кривой в нормальной плоскости направляющей кривой [1, 2]. Направляющей параболо-синусоидальной резной поверхности является парабола, образующей - синусоида. Геометрия резных поверхностей рассмотрена в работе [3]. Если амплитуда полуволны синусоиды направлена по внешней нормали направляющей параболы, то получаем отсек параболо-сину-соидальной резной поверхности положительной гауссовой кривизны, в противоположном случае отсек отрицательной гауссовой кривизны. Если образующая синусоида имеет несколько полуволн, то получим многоволновую параболо-синусоидальную оболочку переменной гауссовой кривизны. Геометрия и вопросы формообразования резных поверхностей рассмотрены в работах [3], [4]..
Напряженно-деформированное состояние параболо-синусо-идальной оболочки положительной гауссовой кривизны рассматривалось в работе [5]. Расчеты оболочек проведены с применением программного комплекса «УЯМЗНЕЬЬ». Программный комплекс разработан для расчета тонкостенных конструкций сложной геометрии на основе вариационно-разностного метода. Алгоритм расчета учитывает все характеристики геометрии срединных поверхностей оболочек. Принципы и алгоритм расчета тонкостенных конструкций сложной геометрии на основе вариационно-разностного метода описан в работе [6]. К программному комплексу прилагается библиотека кривых и поверхностей, позволяющая конструировать разнообразные тонкостенные конструкции. Библиотека позволяет вычислять геометрические характеристики поверхностей - коэффициенты основных квадратичных форм и радиусы кривизны поверхности, а также производные геометрических характеристик, используемых в расчете.
Расчет проведен для оболочки с направляющей параболой в вертикальной плоскости и образующей полуволной синусоиды с
осью перпендикулярной плоскости параболы и вершиной направленной вниз (рис. 1).
10 см
Рис. 1. Параболо-синусоидальная оболочка отрицательной гауссовой кривизны
л
Направляющая парабола г = а-Ьх: а = 11,25 м — стрела подъема направляющей параболы; Ъ = 0,05 м 1; пролет опорной параболы - 30 м.
Образующая синусоида г = -с эт
я—
с = 2 м - ам-
плитуда синусоиды; = 30 м - длина полуволны синусоиды. Размер оболочки в плане - 30x30 м2.
Стрела подъема оболочки в центре - 9,25 м. Толщина оболочки - 10 см. Расчет проведен на действие собственного веса оболочки ц. В расчете принята условная величина 4=1. При необходимости результаты расчета умножаются на действительное значение нагрузки.
Приняты следующие условия опирания оболочки - продольные грани (х = ±15м) жестко защемлены, на попереч-
ных гранях осуществляется шарнирно неподвижное опира-ние.
Граничные условия:
ч ,,
а) при х = ±15м - И] = и2 == =—- = 0;
да\
б) при .у = 0, у = 30м - щ =ы2 =«з =М2 =0.
Здесь и далее - щ,и2 перемещения в касательной плоскости оболочки по направлению поверхностной системы координат а],а2; м3 перемещение по нормали к срединной
поверхности оболочки; Л^Л^ - нормальные тангенциальные усилия; .V - тангенциальное усилие сдвига; М\М2 - изгибающие моменты; //-крутящиймомент.
В работе [5] исследована сходимость результатов расчета отсека параболо-синусоидальной оболочки положительной гауссовой кривизны. Проведены расчеты на сетке 10x10, 20x20, 30x30, 40x40, 60x60 и 80x80. Показано, что удовлетворительные результаты получаются на сетке 40x40. При дальнейшем сгущении сетки уточнение результатов не превышает 3-5 %.
Для подтверждения аналогичных условия сходимости для отсека параболо-синусоидальной оболочки отрицательной гауссовой кривизны ниже в табл. 1, 2 приводятся результаты расчета оболочки на сетках 60x60 и 80x80. в таблицах приведены значения тангенциальных и изгибных усилий в опорных и средних сечениях оболочки. Из таблиц 1, 2 расчета видно, что уточнение изменения внутренних усилий на сетке 80x80 по сравнению с сеткой 60x60. не превышает 1-3 %. Причем наибольшие отклонения наблюдаются в опорной зоне оболочки. Результаты расчета в других сечениях оболочки здесь не приводятся. Однако можно отметить, что проведенные расчеты показывают, что более медленная сходимость отмечается в опорной зоне.
. Перемещения и усилия в параболо-синусоидальной оболочке отрицательной гауссовой кривизны
_ Сетка 60x60 Таблица 1
X У "I и2 из N. К2 Б
-15.0 0.0 0 0 0 0 0 0
-12.0 0.0 0 0 0 .170Е+01 .113Е+02 -.297Е+01
-9.0 0.0 0 0 0 .137Е+01 .916Е+01 .178Е+01
-6.0 0.0 0 0 0 .384Е+00 .256Е+01 .193Е+01
-3.0 0.0 0 0 0 .528Е+00 -.352Е+01 .103Е+01
0.0 0.0 0 0 0 -.955Е+00 -.637Е+01 .ОООЕ+ОО
-15.0 7.5 0 0 0 -.228Е+02 -.343Е+01 .189Е+01
-12.0 7.5 -.877Е-05 .600Е-05 -.310Е-03 -.176Е+02 .102Е+02 .103Е+01
-9.0 7.5 .857Е-05 .118Е-04 -.201Е-03 -.145Е+02 .752Е+01 -.120Е+00
-6.0 7.5 .197Е-04 .782Е-05 -.744Е-04 -.116Е+02 .375Е+01 .904Е-01
-3.0 7.5 .174Е-04 -.279Е-05 .118Е-04 -.982Е+01 -.203Е+01 .296Е+00
0.0 7.5 0 -.816Е-05 .488Е-04 -.940Е+01 -.505Е+01 -.103Е-02
-15.0 15.0 .ОООЕ+ОО 0 0 -.202Е+02 -.303Е+01 .000Е+00
-12.0 15.0 -.125Е-04 0 -.194Е-03 -.154Е+02 .108Е+02 -.231Е-04
-9.0 15.0 .184Е-05 0 -.244Е-03 -.121Е+02 .904Е+01 -.266Е-03
-6.0 15.0 .314Е-04 0 -.156Е-03 -.106Е+02 .309Е+01 .157Е-04
-3.0 15.0 .366Е-04 0 .416Е-04 -.961Е+01 -.268Е+01 .431Е-03
0.0 15.0 .ОООЕ+ОО 0 .136Е-03 -.939Е+01 -.464Е+01 .ОООЕ+ОО
X У и! и2 и3 М, М2 Н
-15.0 0.0 0 0 0 0 0 .208Е-01
-12.0 0.0 0 0 0 .334Е-02 -.528Е-07 -.217Е-01
-9.0 0.0 0 0 0 .288Е-02 -.712Е-07 -.544Е-01
-6.0 0.0 0 0 0 .229Е-02 -.871Е-07 -.246Е-01
-3.0 0.0 0 0 0 .195Е-02 -.104Е-06 -.123Е-01
0.0 0.0 0 0 0 .176Е-02 -.106Е-06 -.750Е-01
-15.0 7.5 0 0 0 -.439Е+00 -.658Е-01 -.236Е-04
-12.0 7.5 -.877Е-05 .600Е-05 -.310Е-03 .815Е-01 .144Е-01 .989Е-02
-9.0 7.5 .857Е-05 .118Е-04 -.201Е-03 -.140Е-02 .198Е-02 .153Е-01
-6.0 7.5 .197Е-04 .782Е-05 -.744Е-04 -.694Е-02 -.779Е-02 -.137Е-01
-3.0 7.5 . 174Е-04 -.279Е-05 .118Е-04 -.155Е-01 -.314Е-02 -.154Е-01
0.0 7.5 0 -.816Е-05 .488Е-04 -.336Е-01 -.244Е-02 .129Е-07
-15.0 15.0 0 0 .ОООЕ+ОО -.352Е+00 -.528Е-01 .652Е-01
-12.0 15.0 -.125Е-04 0 -.194Е-03 .746Е-02 -.141Е-01 -.584Е-09
-9.0 15.0 .184Е-05 0 -.244Е-03 .350Е-01 .867Е-02 -.992Е-08
-6.0 15.0 .314Е-04 0 -. 156Е-03 .510Е-01 .208Е-01 .149Е-08
-3.0 15.0 .366Е-04 0 .416Е-04 -.425Е-01 -.960Е-02 .392Е-07
0.0 15.0 0 0 .136Е-03 -.991Е-01 -.277Е-01 .171Е+01
X У "1 u2 u3 N, n2 S
-15.0 0.0 0 0 0 0 0 0
-15.0 3.0 0 0 0 .201Е+02 .301Е+01 .266Е+00
-15.0 6.0 0 0 0 .232Е+02 .348Е+01 .195Е+01
-15.0 9.0 0 0 0 .222Е+02 .ЗЗЗЕ+01 .156Е+01
-15.0 12.0 0 0 0 .208Е+02 .312Е+01 .739Е+00
-15.0 15.0 0 0 0 .202Е+02 ■303Е+01 0
-7.5 0.0 0 0 0 .878Е+00 .585Е+01 .219Е+01
-7.5 3.0 .724Е-05 .587Е-05 .921 Е-04 .155Е+02 .605Е+01 .216Е+01
-7.5 6.0 . 136Е-04 -103Е-04 .107Е-03 .135Е+02 .601Е+01 .379Е+00
-7.5 9.0 .166Е-04 .111Е-04 .158Е-03 .125Е+02 .590Е+01 .399Е+00
-7.5 12.0 . 170Е-04 .721Е-05 .206Е-03 .116Е+02 .622Е+01 .416Е+00
-7.5 15.0 .167Е-04 0 .225Е-03 .112Е+02 .644Е+01 .224Е-03
0 0.0 0 0 0 .955Е+00 .637Е+01 0
0 3.0 0 .424Е-05 .781Е-05 .985Е+01 .555Е+01 .476Е-03
0 6.0 0 .735Е-05 .265Е-04 .949Е+01 .517Е+01 .875Е-03
0 9.0 0 .822Е-05 .730Е-04 .934Е+01 .494Е+01 .113Е-02
0 12.0 0 .557Е-05 .117Е-04 .935Е+01 .474Е+01 .916Е-03
0 15.0 0 0 . 136Е-03 .939Е+01 .464Е+01 0
X У Ul и2 и3 М, М2 Н
-15.0 0.0 0 0 0 0 0 .259Е-01
-12.0 0.0 0 0 0 .614Е+00 .921Е-01 Л41Е-05
-9.0 0.0 0 0 0 .481Е+00 .721Е-01 .201 Е-04
-6.0 0.0 0 0 0 .408Е+00 .613Е-01 .226Е-04
-3.0 0.0 0 0 0 .367Е+00 .550Е-01 .128Е-04
0.0 0.0 0 0 0 .352Е+00 .528Е-01 .652Е-01
-15.0 7.5 0 0 0 .252Е-02 .778Е-07 .366Е-01
-12.0 7.5 .724Е-05 .587Е-05 .921 Е-04 .270Е-01 .521Е-02 .695Е-02
-9.0 7.5 . 136Е-04 .103Е-04 .107Е-03 .242Е-01 Л48Е-01 .442Е-02
-6.0 7.5 .166Е-04 .111Е-04 .158Е-03 .843Е-02 .209Е-02 .223Е-02
-3.0 7.5 . 170Е-04 .72IE-05 .206Е-03 .448Е-01 .164Е-01 .560Е-02
0.0 7.5 .167Е-04 0 .225Е-03 .601Е-01 .219Е-01 . 105Е-07
-15.0 15.0 0 0 0 .176Е-02 .106Е-06 .750Е-01
-12.0 15.0 0 .424Е-05 .781Е-05 .945Е-02 .723Е-03 .254Е-08
-9.0 15.0 0 .735Е-05 .265Е-04 .220Е-01 .108Е-02 .901Е-08
-6.0 15.0 0 .822Е-05 .730Е-04 .486Е-01 .758Е-02 .164Е-07
-3.0 15.0 0 .557Е-05 . 117Е-03 .823Е-01 .208Е-01 .158Е-07
0.0 15.0 0 0 .136Е-03 .991Е-01 .277Е-01 .171Е-01
Сетка 60x60
Таблица 2
я: У и2 и3 N. N2 8
-15.0 0.0 0 0 0 0 0 0
-12.0 0.0 0 0 0 .171Е+01 .114Е+02 -.295Е+01
-9.0 0.0 0 0 0 .138Е+01 .920Е+01 .182Е+01
-6.0 0.0 0 0 0 .385Е+00 .257Е+01 .193Е+01
-3.0 0.0 0 0 0 -.536Е+00 -.357Е+01 .101Е+01
0.0 0.0 0 0 0 -.971Е+00 -.647Е+01 .000Е+00
-15.0 7.5 0 0 0 -.232Е/+02 -3444Е+01 -.205Е+01
-12.0 7.5 -.882Е-05 .597Е-05 -.312Е-03 -.176Е+02 .102Е+02 .104Е+01
-9.0 7.5 .870Е-05 .119Е-04 -.201Е-03 -.145Е+02 .756Е+01 -.949Е-01
-6.0 7.5 .200Е-04 .798Е-05 -.748Е-04 -.116Е+02 .387Е+01 .117Е+00
-3.0 7.5 . 177Е-04 -.287Е-05 .120Е-04 -.982Е+01 -.205Е+01 .301Е+00
0.0 7.5 0 -.842Е-05 .503Е-04 -.938Е+01 -.521Е+01 -.464Е-03
-15.0 15.0 0 0 0 -.201Е+02 -.302Е+01 0
-12.0 15.0 -.126Е-04 0 -. 193 Е-03 -. 154Е+02 .108Е+02 -.100Е-04
-9.0 15.0 .170Е-05 0 -.245Е-03 -.121Е+02 .906Е+01 -. 117Е-03
-6.0 15.0 .319Е-04 0 -.161 Е-03 -.106Е+02 .320Е+01 .755Е-05
-3.0 15.0 .376Е-04 0 .424Е-04 -.960Е+01 -.268Е+01 . 194Е-03
0.0 15.0 0 0 .141Е-03 -.929Е+01 -.474Е+01 0
X У и2 и3 М, М2 Н
-15.0 0.0 0 0 0 0 0 .208Е-01
-12.0 0.0 0 0 0 .336Е-02 -.398Е-07 -.217Е-01
-9.0 0.0 0 0 0 .289Е-02 -.536Е-07 -.548Е-01
-6.0 0.0 0 0 0 .230Е-02 -.657Е-07 -.245Е-01
-3.0 0.0 0 0 0 .198Е-02 -.785Е-07 -Л23Е-01
0.0 0.0 0 0 0 . 179Е-02 -.809Е-07 -.101Е+00
-15.0 7.5 0 0 0 -.444Е+00 -.665Е-01 -.235Е-04
-12.0 7.5 -.882Е-05 .597Е-05 -.312Е-03 .827Е-01 .148Е-01 .986Е-02
-9.0 7.5 .870Е-05 .119Е-04 -.201Е-03 -. 179Е-02 .195Е-02 .158Е-01
-6.0 7.5 .200Е-04 .798Е-05 -.748Е-04 -.675Е-02 -.810Е-02 -Л40Е-01
-3.0 7.5 .177Е-04 -.287Е-05 .120Е-04 -.150Е-01 -.303Е-02 -.160Е-01
0.0 7.5 0 -.842Е-05 .503Е-04 -.351Е-01 -.242Е-02 .581Е-08
-15.0 15.0 0 0 0 -.357Е+00 -.536Е-01 .662Е-01
-12.0 15.0 -.126Е-04 0 -.193 Е-03 .696Е-02 -.145Е-01 -.283Е-09
-9.0 15.0 .170Е-05 0 -.245Е-03 .347Е-01 .867Е-02 -.440Е-08
-6.0 15.0 .319Е-04 0 -.16! Е-03 -.106Е+02 .320Е+01 .755Е-05
-3.0 15.0 .376Е-04 0 .424Е-04 -.425Е-01 -.967Е-02 .182Е-07
0.0 15.0 . 0 0 .141Е-03 -.104Е+00 -.291Е-01 .317Е+01
X У "1 и2 и3 N1 N. Б
-15.0 0.0 0 0 0 0 0 0
-15.0 3.0 0 0 0 .200Е+02 .299Е+01 .230Е+00
-15.0 6.0 0 0 0 .231Е+02 .347Е+01 .194Е+01
-15.0 9.0 0 0 0 .221Е+02 .332Е+01 .155Е+01
-15.0 12.0 0 0 0 .207Е+02 .311Е+01 .730Е+00
-15.0 15.0 0 0 0 .201 Е+02 .302Е+01 .ОООЕ+ОО
-7.5 0.0 0 0 0 .880Е+00 .587Е+01 .222Е+01
-7.5 3.0 .733Е-05 .593Е-05 .916Е-04 .155Е+02 .612Е+01 .220Е+01
-7.5 6.0 .137Е-04 .104Е-04 . 107Е-03 .135Е+02 .611Е+01 .414Е+00
-7.5 9.0 . 168Е-04 .113Е-04 .159Е-03 Л25Е+02 .599Е+01 .374Е+00
-7.5 12.0 .171Е-04 .736Е-05 .209Е-03 .115Е+02 .630Е+01 .402Е+00
-7.5 15.0 .168Е-04 0 .229Е-03 .112Е+02 .653Е+01 .992Е-04
0 0.0 0 0 0 .971Е+00 .647Е+01 0
0 3.0 0 .434Е-05 .769Е05 .985Е+01 .568Е+01 .214Е-03
0 6.0 0 .756Е-05 .273Е04 .949Е+01 .532Е+01 .393Е-03
0 9.0 0 .850Е-05 .753 Е04 .931Е+01 .509Е+01 .510Е-03
0 12.0 0 .578Е-05 .121Е03 .927Е+01 .486Е+01 .412Е-03
0 15.0 0 0 Л41Е03 .929Е+01 .474Е+01 0
X У "1 и2 из М, м2 Н
-15.0 0.0 0 0 0 0 0 .208Е-01
-12.0 0.0 0 0 0 .622Е+00 .933Е-01 .123Е-05
-9.0 0.0 0 0 0 .485Е+00 .728Е-01 .200Е-04
-6.0 0.0 0 0 0 .413Е+00 .620Е-01 .225Е-04
-3.0 0.0 0 0 0 .372Е+00 .558Е-01 . 126Е-04
0.0 0.0 0 0 0 .357Е+00 .536Е-01 .662Е-01
-15.0 7.5 0 0 0 .253Е-02 .586Е-07 .366Е-01
-12.0 7.5 .733Е-05 .593Е-05 .916Е-04 .277Е-01 .569Е-02 .695Е-02
-9.0 7.5 .137Е-04 Л04Е-04 .107Е-03 .250Е-01 .153Е-01 .441Е-02
-6.0 7.5 . 168Е-04 .113Е-04 .159Е-03 .838Е-02 . 199Е-02 .255Е-02
-3.0 7.5 Л71Е-04 .736Е-05 .209Е-03 .459Е-01 .169Е-01 .602Е-02
0.0 7.5 Л68Е-04 0 .229Е-03 .617Е-01 .226Е-01 .452Е-08
-15.0 15.0 0 0 0 . 179Е-02 .809Е-07 .101Е+00
-12.0 15.0 0 .434Е-05 .769Е-05 .964Е-02 .659Е-03 Л 14Е-08
-9.0 15.0 0 .756Е-05 .273Е-04 .229Е-01 Л22Е-02 .405Е-08
-6.0 15.0 0 .850Е-05 .753Е-04 .508Е-01 .779Е-02 .737Е-08
-3.0 15.0 0 .578Е-05 .121Е-03 .865Е-01 .217Е-01 .711Е-08
0.0 15.0 о 0 .141Е-03 .104Е+00 .291Е-01 .317Е-01
По результатам расчета построены графики напряжений от тангенциальных и максимальных значений напряжений от изгиб-ных внутренних усилий (рис. 2 а, б).
Для сравнения эпюры нормальных напряжений от нормальных тангенциальных усилий /V] и максимальных нормальных напряжений от изгибающих моментов и, соответственно, от нормальных тангенциальных усилий N2 и изгибающих моментов Л/2 совмещены. В виду симметрии напряженно-деформированного состояния относительно средних сечений отсека оболочки эпюры нормальных напряжений а^ и а^ построены на левой половине сечения оболочки, а эпюры нормальных напряжений адг и аМг на правой половине сечения. Нормальные напряжения от тангенциальных нормальных усилий показаны на графиках сплошными линиями, напряжения от изгиб-ных усилий - штриховыми линиями. Значения ординат напряжений от изгибных усилий на графиках заключены в скобки.
Знаки нормальных изгибных напряжений соответствуют знаку изгибающих моментов на соответствующем участке оболочки. Положительное значение момента соответствует растяжению внутреннего (нижнего волокна) оболочки, отрицательный момент растяжению внешнего волокна. На графиках напряжения от изгибающих моментов отложены со стороны растянутых волокон.
Напряженно-деформированное состояние в средней зоне оболочки можно характеризовать как безмоментное. На графиках виден явно выраженный краевой эффект изгибных напряжений.. Лишь в опорной зоне в сечениях а] =±15 напряжения от изгибающих моментов М|,М2 одного порядка с напряжениями от тангенциальных нормальных усилий N^N2 соответственно. В средней зоне оболочек они на два порядка ниже Наибольшие нормальные напряжения а^ в сечениях а2 = сож1 возникают в опорной зоне плавно уменьшаясь к средней зоне оболочки примерно в два раза. Нормальные напряжения а^
превышают нормальные напряжения ам в 1,5^3 раза.
ctzJA
(4.(
52,1
38,7
98
94
20,5
(49.6V
145
(266)
(8.
.75,6
91V
176
(39,9)
34,2
(31,7
'202
Рис. 2,a. Нормальные напряжения в сечениях а2 - const
-— - нормальные тангенциальные напряжения
— — - нормальные изгибные напряжения
23 221 207 201
«г ' -7,5
8,8 (16,6)
(13,6) (10,1) 0-2) (9>2)
155 135 125 115 П2
= 0
(М) (5,8)
(62.6) ,
98,5 94,9 9зд 92,7 92,9
Рис. 2,6. Нормальные напряжения в сечениях ал =
СОП1В|
— _ - нормальные тангенциальные напряжения - нопмапьиые ичгибные напряжения
Касательные напряжения от сдвигающих усилий в основном на 1-2 порядка ниже нормальных напряжений Лишь в угловых зонах значения касательных напряжений сравнимы с нормальным напряжениями.
Литература
1. Mohge G. Mémoire sur l'intégration de quelques equation aux derivees partielles/ Mem. Ac. sci. 1787. - 309 p.
2. Норден А.П. Теория поверхностей. — M.: Гостехиздат, 1956. -260 c.
3. Иванов B.H., Ризван Мухаммад. Геометрия резных поверхностей Монжа и конструирование оболочек// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений: Межвузовский сборник научных трудов. - Вып. 11,- М.: Изд-во АСВ, 2002. - С. 27 - 36.
4. Иванов В.Н. Конструирование оболочек на основе параболо-синусоидальных поверхностей// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2005. - № 2. - С. 15 - 25.
5. Иванов В.Н. Расчет Параболо-синусоидальной оболочки положительной гауссовой кривизны// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2006. - № 1. -С. 21-34
6. Иванов В.Н., Наср Юнее Аббуши. Расчет оболочек сложной геометрии вариационно-разностным методом// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений: Межвузовский сборник научных трудов. - Вып. 9. - М.: Изд-во АСВ, 2000.-С. 2.5-33.
ANALYSIS OF PARABOLA SINUS RULED SHELL OF NEGATIVE GAUSSES CURVATURE
V.N. Ivanov
The stress-strain state of ruled parabola sinus shell of negative curvature are investigated. The program complex "VRMShell" is used for calculation. The variation differential difference methods are realized in the program. The tables and graphics of internal forces and normal stresses are represented in the article.
