CC BY
17
циального и интегрального исчислений). В этом случае интерполирующая функция будет иметь следующий вид:
00
Причем в качестве второй производной интерполирующей функции должен быть квадрат алгебраического полинома определенной степени с неизвестными коэффициентами. Из дифференциальной геометрии известно, что если вторая производная полиномиально-степенной функции не меняет знак, то кривая не будет иметь точек перегиба. Знаки (+) и (-) перед уравнением второй производной позволяют выбирать выпуклую или вогнутую кривую. Например, если в исходных данных имеются значения координат узлов обвода, первые, вторые и третьи производные, то используется алгебраический полином пятой степени. Далее, дифференцируя и интегрируя интерполирующую функцию и подставляя заданные значения в узлах дуг выпуклого или вогнутого обвода, получим систему из восьми нелинейных по отношению к коэффициентам уравнений.
Ввиду того, что рассматриваемая функция имеет нелинейную зависимость между коэффициентами, возникает необходимость в ее исследовании и решении вопроса по определению числовых значений коэффициентов. Каждое нелинейное уравнение системы можно классифицировать с помощью теории квадратичных форм и их метрических инвариантов как квадрики в п-мерном евклидовом векторном пространстве коэффициентов, для изучения линейных операций в котором необходимо воспользоваться теорией матриц.
При помощи характеристических квадратичных форм неизвестных коэффициентов, соответствующих каждая своему нелинейному уравнению, исследованы свойства квадрик, в частности, невырожденная квадрика оказывается действительным эллипсоидом, мнимым эллипсоидом или гиперболоидом в пространстве своих коэффициентов, в зависимости от того, будет ли квадратичная форма соответственно положительно определенной, отрицательно определенной или неопределенной, что устанавливается по корням их характеристических уравнений, которые являются собственными значениями симметрических матриц квадратичных форм.
ЭДК 681.586;681.335.2 Захарова Н.В. Омский государственный технический университет
Индукционные датчики скорости, предназначенные для определения энергии удара в испытательных устройствах и механизмах ударного действия, позволяют получить линейные градуировочные характеристики с большими углами наклона. Высокая чувствительность датчиков, предлагаемых к использованию, определяется их принципом действия, обеспечивающим измерение скорости в момент разрыва магнитной цепи датчика, когда наведенная в измерительной обмотке ЭДС достигает максимального значения. Это обстоятельство позволяет рассматривать задачу оптимизации магнитной системы датчиков не по критерию оптимальности, соответствующему максимуму чувстви-
При подсчете метрических инвариантов квадратичных форм было установлено, что интерполирующей функции и ее первой производной соответствуют центральные невырожденные квадрики действительных эллипсоидов. Для уравнения второй производной интерполирующей функции квадратичная форма является нецентральной вырожденной квадрикой, соответствующей либо парам параллельных плоскостей, либо парам параллельных совпавших плоскостей, либо парам мнимых параллельных плоскостей. Для квадратичных форм, соответствующих уравнению третьей производной получаются следующие не вырожденные квадрики, а именно, однополостный гиперболоид, дву-полостный гиперболоид и вырожденная квадрика - поверхность конуса. Подсчитывались также метрические инварианты для уравнений четвертой, пятой и т.д. производных, по которым установлены неопределенные квадрики.
Система нелинейных уравнений будет полностью разрешима, если геометрические эквиваленты квадрик имеют общие точки пересечения. Координатами каждой точки пересечения квадрик являются неизвестные коэффициенты интерполирующей функции. Действительных решений может быть много, поэтому для выбора наилучшего из полученных кривых выбирается такая, у которой имеется наиболее монотонное изменение графика вторых производных.
На основе решения системы нелинейных уравнений, представленной в виде квадратичных форм от неизвестных коэффициентов, созданы надежные алгоритмы аналитического вычисления этих коэффициентов. Применение предложенной интерполирующей функции эффективно при сопряжении динамических поверхностей, заданных различными методами. Весторно-парамегрическое уравнение сопрягающей кинематической поверхности, у которой направляющими линиями являются рациональные кривые, а все постоянные параметры образующих заданы от параметра поверхности (Ц, будет иметь следующий вид:
ЗИНЧЕНКО Юрий Валентинович - кандидат технических наук, доцент кафедры начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики.
15.11.99 г
тельности датчика, а по другому критерию, имеющему не менее важное значение, - максимуму массы активных материалов, идущих на изготовление датчика.
Решение задачи оптимизации по выбранному критерию оптимальности основывается на уравнениях, полученных из расчета магнитной цепи датчика и устанавливающих связь конструктивных параметров и обмоточных данных с чувствительностью датчика при заданных свойствах используемых магнитных материалов с учетом характеристики размагничивания постоянного магнита.
Для определения положения рабочей точки постоянного магнита представим кривую размагничивания в аналити-
РАСЧЕТ ОПТИМАЛЬНЫХ ПО МАССЕ КОНСТРУКЦИЙ ИНДУКЦИОННЫХ ДАТЧИКОВ СКОРОСТИ В ПРИБОРАХ КОНТРОЛЯ ПАРАМЕТРОВ МАШИН И МЕХАНИЗМОВ УДАРНОГО ДЕЙСТВИЯ
ПРЕДЛАГАЕТСЯ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ДЛЯ ОТЫСКАНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ПО МАССЕ КОНСТРУКЦИЙ ДАТЧИКОВ СКОРОСТИ В МАШИНАХ И МЕХАНИЗМАХ УДАРНОГО ДЕЙСТВИЯ.
ческой форме [1]. Хорошее приближение к реальным кривым магнитотвердых материалов дает равнобокая гипербола (рис. 1), уравнение которой в относительных единицах имеет вид.
В*=(1-Н*)/(1-аН*),
(1)
где В* =В/В( и Н*= H/H с - соответственно относительная индукция и напряженность матитного поля, вычисляемые по значениям остаточной индукции Вг и коэрцитивной силы Н постоянного магнита
Bj -ls-Hi
(3)
Я, = Вв- цвН1 где А5 = ¡л0 ■ ((Яс /(Вг - <5 ))- относительная магнитная проводимость рабочего зазора, 1и - длина магнита, <5 - рабочий зазор, /л0- магнитная постоянная.
Рис. 1. Кривая размагничивания в относительных единицах.
Из решения системы уравнений (3) индукция в нейтральном сечении магнита в относительных единицах запишется
в;=В'в1{\ + Вг-8 (\-а)1{^ Нс1м)] (4) Для магнитов из редкоземельных металлов и магнитотвердых ферритов Вв = Вг ■ С учетом выражения (4) по-токосцепление измерительной катушки равно
BBSMW
(5)
-апроксимирующий коэффициент, у - коэффициент формы кривой размагничивания, равный для магнитов из редкоземельных металлов 0.25 (линия возврата совпадает с исходной кривой размагничивания и представляет собой прямую) и 0.5 -0.8 для магнитов из металлокерамичес-ких сплавов типа апьнико (у =0.5 характеристика размагничивания представляет собой окружность).
Линия возврата определяется точками пересечения с осями В* и Н* и описывается уравнениями прямой линии ЛВ (рис. 1).
В' = В'в-/лв- Я*
где В*в=Вв1 Вг1Л цв= (АВ/ЛЯ)-(Нс!Вг) = \-а
выраженные в относительных единицах соответственно остаточная индукция возврата и магнитная проницаемость возврата.
Рабочая точка постоянного магнита определяется пересечением луча, соответствующего относительной проводимости воздушного зазора Д,* > и линии возврата.
О
Вследствие наличия воздушного зазора насыщением магнитной цепи можно пренебречь. Координаты рабочей точки можно найти аналитически из решения системы двух уравнений:
где Бм - площадь нейтрального сечения магнита, V/ -число витков измерительной обмотки.
ЭДС в измерительной обмотке при размыкании магнитной цепи будет равно
w BBSMW^(\Hu)-v
е = -
dt
(1
(6)
где^ =Вг (}-а)/ Ц0 -Нс,о = е18/& - скорость
движения бойка.
Величина, служащая коэффициентом пропорциональности между индуктируемой в измерительной обмотке ЭДС и скоростью бойка, представляет в выражении (6) коэффициент чувствительности индукционного датчика скорости
h_BB.su-w.^.{1//J (1
(7)
Соотношение показывает, что чувствительность датчика зависит от рабочего зазора. Увеличение зазора в конструкции датчика ведет к снижению его чувствительности. Однако если в процессе работы датчика сохранять рабочий зазор неизменным, таким, чтобы выполнялось условие б / 1М « 1, то чувствительность датчика можно принять величиной постоянной и при оптимизации магнитной системы датчика воздушный зазор не учитывать. Это упрощение позволяет упростить выражение (7). Принимая во внимание соотношения
nd2
W =
ч"р 4
получим
(8)
к = Вв ■ с • к3. (<* / йщ } • В, • (1 - а) / ^• Нс (9)
Где (1-диаметр магнита, с - ширина катушечного окна, и и соответственно площадь поперечного сечения и диаметр обмоточного провода, к, - коэффициент заполнения сечения катушечного окна медным проводом.
Определение чувствительности индукционного датчика расчетом его магнитной цепи позволяет перейти к решению задачи оптимизации магнитной системы датчика по критерию минимума массы активных материалов. Используя следующие исходные данные:
- чувствительность индукционного датчика скорости к, Вб/м,
- остаточную индукцию В ,Тл, коэрцитивную силуЯе, А/м,
- остаточную индукцию возврата Вв ,Тл, коэффициент формы кривой размагничивания У,
- индукцию в сердечнике датчика Вс ,Тл,
- массу магнита тм, кг, диаметр обмоточного провода с!п|), м, коэффициент заполнения к,,
удельные веса медного провода у^, стали у^ магнита ум, ю/м3, -выражение (9) преобразуем к виду
к П V - т"
л ' »--
4 п__
(10)
где
аа=Ввк,Вг
1 -а
т.
Но нс
Ум1мП<1г
_ /мм
Из (10) оптимальное соотношение сторон катушечного окна в конструкции датчика будет
I. 4
"от, = — = — • тл
С К
В соответствии с расчетной схемой магнитной цели датчика скорости масса используемых активных материалов для его изготовления выражается; через компоненты
тд =тм +ТП*р +тс
(12)
яр
где -тм =Би1м Ум. масса магнита,
-масса обмоточного провода
- тс = Ус ■ ' + 1и + 2 • (с + масса маг нитопровода,
- Ь = Вв-й! 4Ве - толщина стенки датчика.
Соотношения, 1и = Пт .С = ^абм/пам
й = ^4 • 8и / Я позволяют выразить массу индукционного датчика скорости через одну переменную, полагая Э^^сопз! и Э11=сог181 Тогда оптимальное соотношение сторон катушечного окна из условия минимума массы активных материалов для изготовления датчика ^/с1птг=0 запишется
П«ш =
1 + *.-
обм
^ ГГ V Л
Я /,
пр
2 Ус
2Ус
(Ум+Ус)
(13)
Принимая во внимание, что
обм _
5..
/ с
Ру
_ _ М I м
тм/(1мУм) тм-пмт
(1*)
уравнение (13) с учетом (14) и найденным пт представляет собой условие для отыскания 1и магнитной системы датчика
/
2 ус
\ ( ~ \ 2 тм"штУу
Л Упр-К-Ум
(15)
Из соотношения (15)
ll.it .„ * П 3 0
При этом конструкция датчика скорости является реализуемой в соответствии с расчетами по формуле (15), если выполняется нерввенство.
(16)
По известным значениям удельных весов стали и магнита (плотности материалов ус = 7800 кг/м3,
ум = 7500 кг/м9 для РЭМ и альнико сплавов и Ум = 4750 кг/м3 для феррита бария) из (16) следует, что оптимизируемые конструкции датчиков скорости должны иметь лт > 1.3, т.е. сечение катушечного окна датчиков является не квадратным, а прямоугольным, причем 1и >с.
По вычисленным значениям 1и и п^ находятся основные размеры магнитной системы датчиков скорости и обмоточные данные
п
с =
обм
, =
т.
(Ум-1мУ
о=(1+г с+г ъ, (17)
4 в.
н=1.+гь,
£
Ввти к3 Ум П<тт 'Ь
число витков измерительной обмотки
У- 4'Ч*'
V *<
(16)
Оптимизация магнитной системы индукционных датчиков скорости по полученным расчетным соотношениям (11) - (1В) может служить инженерной методикой расчета основных размеров датчиков скорости, удовлетворяющих критерию оптимальности минимума массы используемых активных материалов. Эта методика позволяет на стадии проектирования датчиков скорости решать различные исследовательские задачи по учету влияния отдельных факторов на массогабаритные показатели оптимизируемых конструкций датчиков скорости, их чувствительность и другие параметры.
Оптимизация магнитной системы индукционных датчиков скорости по полученным расчетным соотношениям (11) - (18) может служить инженерной методикой расчета основных размеров датчиков скорости, удовлетворяющих критерию оптимальности минимума массы используемых активных материалов. Эта методика позволяет на стадии проектирования датчиков скорости решать различные исследовательские задачи по учету влияния отдельных факторов на масоогабаркгные показатели оптимизируемых конструкций датчиков скорости, их чувствительность и другие
Ч. параметры.
Для исследования надежности расчетов по предлагаемой методика оптимизации были поставлены следующие численные эксперименты. Оптимизации по минимуму массы активных материалов подлежали датчики скорости с магнитами, изготовленными из различных материалов. Кривые ртнапигпивпм rmrmniniiinr мвпттпв ■данпим! ai« литтвеки, а именно для сплава типа альнию (ЮН15ДК24)
Вг= 1.15 Тл, Не= 52 103 А/м, у =0.7,
а = 0.962. Вв = 0.9Тл;дпясовдинвнийна основе РЭМ
(КС 37) Вг = 0.77Тл. Не — 540 • 103 А/м; для магни-
тотвердых ферритов (7БИЭ00) Вг = 0.2 Тл,
Нс = 140 • 10э A/m. Y - 0.25 В качества исходных данных использовались следующие параметры: к • 0 5 В 6 / м , nt = 1.5 -10~3 к г. к3 =0.6 . d^- 0.2 • 10"3 вс-1.0 Тл. ГЪзульгаты расчета прнведе-ны в таблица-
Из таблицы водно, что материал магнита существенно на созывается на массе датчика, а влияет только на массы его составных частей. Это позволяет при изготовлении датчиков скорости использовать постоянные магниты из магнитотвардых ферритов, имеющих низкую стоимость по сравнению со сплавами альнико и соединений на
ТАБЛИЦА
Ивпнпмыв системы датчик» скорости на дапиутп чувствительность при d^- const
Мвтериал магнита Размеры датчика ч» ID М-1ШВ "Я5" мир про- Мю>а> ma m-ч«в
1 ж W им mf,r mB,r (»V '
ЮН1ЗДК24 КС 37 7БИЗОО 5.1 5.1 5.1 4.5 7.1 7.1 9.5 3.4 3.4 3.0 16 1.4 0.5 106 75 142 as 042 0.2 035 0.42 0.2 1.5 11.5 11.3 15.8
основе РЭМ, в также далает датчики скорости дешевыми и доступными для применения не практике Расчетные данные хорошо согласуются с опытом конструирования образцов индукционных датчиков скорости, что подтверждает надежность производимых расчетов датчиков скорости по
литвмж
1. Буль Б.К. Основы теории расчета магнитных цепей. -М.: Энергия, 1964. - 464с.
ЗАХАРОВА Наталья Васильевна - кандидат технических наук, доцвнт кафедры деталей машин.
29.11.90 г
ИНФОРУАУИЯ
АКАДЕМИЧЕСКИЙ ЧИТАЛЬНЫЙ ЗАЛ ОМСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ
ОБЛАСТНОЙ НАУЧНОЙ БИБЛИОТЕКИ ИМ. A.C. ПУШКИНА
науки саши все дела человеческие гжшщятнл
u.a. ломоносов
Для сотрудников научно-исследовательских институтов, преподавателей, аспирантов, студентов старших курсов ВУЗов и специалистов предприятий а академическом читальном зале ОГОНБ им. A.C. Пушкина открыты две большие выставки.
В зала представлено более 300 работ ученых Омского Научною Центра (X)FVkH. Сегодня ОН Ц СО FAH-это шесть научных подразделений: институт сенсорной микроэлектроники; омский филиел института катализа им. Г. К. Боре скова; конструкторско-твхнологический институт технического углерода; омский филиал объединенного института истории, филологии и философии; омский филиал института математики им. С.Л. Соболева; омская экономическая лаборатория института организации производства.
Фотостенд под названием "О времени и о сабе' расскакат о деятельности всех подразделений ОНЦ СО РАН. Вы познакомитесь с книгами, статьями, патентами и дипломами сотрудников институтов, продукцией конструкторско-технопогического института углерода.
Дайджесты пресс-группы СО РАН дадут вам информацию по всему региону по следующим раз-далам: наука, образование, СО РАН, природные ресурсы, экология.
Новая выставка - 'Из фондов ГПНТБ СО РАН" в академическом зале ужа пятая. Вашему вниманию предложено более 600 книг и журналов на русском и иностранных языках по всем отраслям знаний.
В академическом зале вве ожидают богатые подборки литературы по экономике, праву, образованию, технике.
Большую помощь в организации работы академического зала оказывает и. о. председателя ОНЦ СО РАН, директор института сенсорной микроэлектроники, доктор физико-математических наук Болотов В.В. Также им переданы в дар залу журналы на иностранных языках по физика и техника.
Выставки работают до конца марта. Приглашаем посетить вкадамический зал ОГОНБ им. A.C. Пушкина (ауд. 229, тел. 24-84-97).
