CC BY
13
Поскольку исходную винтовую поверхность мшено представить как однопа ре метрическое множество цилиндрически! винтовых линий, сучвтом сказанного выше, вспомогательная поверхность может быть названа квазивин-тотой или наклонной винтовой поверхностью.
Стением квазивинтовой поверхности плоскостью
г - т будет кривая к, повернутая нв угол ср
Любое плоское сечение кваэивинтовой поверхности имеет прообразом в преобразовании (5) плоское сечение исходной винпмой поверхности. Осевое сечение исщциой винтовой поверхности перейдет в осевое сечение кваэивинтовой поверхности.
Уравнение плоскости, касательной к вспомогательной поверхности в точке М(х, у, г), записывается так [ 2 ]:
= 0.
где X, X 7. - координаты произвольной тенки касательной плоскости; у | х^ у^ - частные производные
функций из системы уравнений (2) по параметрам (и ф , соответственно
Нормаль к поверхности в той же точке перпендикулярна двум векторам г и г(. Вектор М[г(.г|
определяет направление нормали, его проекции имеют вид
/ / И = (х1/ ятф-уи совф) р, / /
Ыу= (XI/ С(Кф-у1/ ЯПф) р, т
iii i
№ = XI х)/ + у1 у 1/ +Я(-Х1Г апф + уи са>ф),
Х-х Y-y Z-z
i /
X У, z<
1 i 1 У Z '» V
/ /
гдех1/, у ir частные производные функций, определяющих профиль детели по параметру t.
Поскольку профиль рейки является ортогональной проекцией вспомогательной поверхности, в точках контуре касательная плоскость перпендикулярна координатной плоскости Оху [3] и в них же N, > 0 или из (9)
ill / xixu + yiyir + R(-xi/ sin ф + у 1/ cos ф)= 0. ■ (Ю)
Зависимость (10) дает связь параметров ф, t и совместно с (2) позволяет найти контур на вспомогательной поверхности и его проекцию на плоскость Оху, т. в. огибающую семейства кривых (1). Эту же кривую мокно получить, проецируя контур исходной винтовой поверхности на ту же плоскость Оху в направлении вектора a(R, 0, -р). Тек как рассматриваемая кинематическая схема является не только самостоятельной, но и промежуточной, данные результаты применимы для различных типов обкаточного инструмента.
ЛИТЕЯМУМ
1. Постников М. М. Аналитическая геометрия. - М.: Наука. 1973.-750 с.
2. Рашевсиий П. К. Курс дифференциальной геометрии. - М.: Госгахиздат, 1956. -420 с.
3. Ляшноа А. А. Об одном семействе линий. /Сучасн! про&теми гаометричного модепювания, Части на 1.36, МвС УкраЫи, 1998, Укра1нсыюю та РосМскою мовами, с. 127130.
i - кандидат технических наук, доцвнг.
КУЛИКОВ Леонид Константинович - кандидат технических наук, доцвнг кафодры начертательной геометрии, тмвнериой и компьютерной графики.
18.10.99 г
Ю.1
технический университет
^5152 МСДРИКВАНС АЭРОДОАЮМВСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ СОПРЯЖЕНИЯ С УЧЕТОМ НАПЕРЕД ЗАДАННЫХ ГРАНИЧНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ УСЛОВИЙ
статья посвящви геометрическому моделированию сложных аэродинамических поверхности сопряжения в процессе мо/щрнизлфи я создания новых изделий, связанному с разравоткой истодов получения урав-нвшй кривых линий по заданным граничным дифференциальногеомет-рическим условиям. указанным направленной кривизны и высоким по-рядкош гладкости.
Процесс проектирования сложных аэродинамических поверхностей связан с многочисленными модернизациями и конструктивными изменениями изделий. Повышенные аэродинамические требования предъявляются к сопрягающим поверхностям типа "зализ". Такие поверхности характеризуются тем, что имеют отрицательную полную кривизну во всех своих точках и накопятся в области интерференции, при этом выдерживают большие инерционные негруэки и вибрации.
Чтобы обеспечить аэродинамичность сопрягающей поверхности типа "зализ", необходимо обеспснитъ высокий порядок гладкости неосциллирующих образующих, выходящих на теоретические Обводы сопрягаемых поверхностей. Поэтому при модернизации изделия и решении локальных задач внутренней компоновки часто возникает
необходимость в изменении части дуги обвода кинематической поверхности. Для решения этой задачи необходимо иметь уравнение такой функции, которое обеспечивало бы отсутствие нежелательных осцилляций и высокий порядок гладкости в заданных узлах обвода, т.е., функция должна достаточное число раз дифференцироваться и обеспечивать возможность локальной модификации кривой на нормированных участках с сохранением в опорных узлах заданных дифференциально-геометрических условий.
При решении поставленной задачи необходимо, чтобы каждая дуга обвода была задана фиксированными числовыми значениями функции и ее первых, вторых, третьих и т.д. производных. Для аналитического описания неосцити-рующей выпуклой или вогнутой дут обвода воспользуемся теоремой Ньютона-Лейбница (основная теорема дифферен-
циального и интегрального исчислений). В этом случае интерполирующая функция будет иметь следующий вид:
00
Причем в качестве второй производной интерполирующей функции должен быть квадрат алгебраического полинома определенной степени с неизвестными коэффициентами. Из дифференциальной геометрии известно, что если вторая производная полиномиально-степенной функции не меняет знак, то кривая не будет иметь точек перегиба. Знаки (+) и (-) перед уравнением второй производной позволяют выбирать выпуклую или вогнутую кривую. Например, если в исходных данных имеются значения координат узлов обвода, первые, вторые и третьи производные, то используется алгебраический полином пятой степени. Далее, дифференцируя и интегрируя интерполирующую функцию и подставляя заданные значения в узлах дуг выпуклого или вогнутого обвода, получим систему из восьми нелинейных по отношению к коэффициентам уравнений.
Ввиду того, что рассматриваемая функция имеет нелинейную зависимость между коэффициентами, возникает необходимость в ее исследовании и решении вопроса по определению числовых значений коэффициентов. Каждое нелинейное уравнение системы можно классифицировать с помощью теории квадратичных форм и их метрических инвариантов как квадрики в п-мерном евклидовом векторном пространстве коэффициентов, для изучения линейных операций в котором необходимо воспользоваться теорией матриц.
При помощи характеристических квадратичных форм неизвестных коэффициентов, соответствующих каждая своему нелинейному уравнению, исследованы свойства квадрик, в частности, невырожденная квадрика оказывается действительным эллипсоидом, мнимым эллипсоидом или гиперболоидом в пространстве своих коэффициентов, в зависимости от того, будет ли квадратичная форма соответственно положительно определенной, отрицательно определенной или неопределенной, что устанавливается по корням их характеристических уравнений, которые являются собственными значениями симметрических матриц квадратичных форм.
ЭДК 681.586;681.335.2 Захарова Н.В. Омский государственный технический университет
Индукционные датчики скорости, предназначенные для определения энергии удара в испытательных устройствах и механизмах ударного действия, позволяют получить линейные градуировочные характеристики с большими углами наклона. Высокая чувствительность датчиков, предлагаемых к использованию, определяется их принципом действия, обеспечивающим измерение скорости в момент разрыва магнитной цепи датчика, когда наведенная в измерительной обмотке ЭДС достигает максимального значения. Это обстоятельство позволяет рассматривать задачу оптимизации магнитной системы датчиков не по критерию оптимальности, соответствующему максимуму чувстви-
При подсчете метрических инвариантов квадратичных форм было установлено, что интерполирующей функции и ее первой производной соответствуют центральные невырожденные квадрики действительных эллипсоидов. Для уравнения второй производной интерполирующей функции квадратичная форма является нецентральной вырожденной квадрикой, соответствующей либо парам параллельных плоскостей, либо парам параллельных совпавших плоскостей, либо парам мнимых параллельных плоскостей. Для квадратичных форм, соответствующих уравнению третьей производной получаются следующие не вырожденные квадрики, а именно, однополостный гиперболоид, дву-полостный гиперболоид и вырожденная квадрика - поверхность конуса. Подсчитывались также метрические инварианты для уравнений четвертой, пятой и т.д. производных, по которым установлены неопределенные квадрики.
Система нелинейных уравнений будет полностью разрешима, если геометрические эквиваленты квадрик имеют общие точки пересечения. Координатами каждой точки пересечения квадрик являются неизвестные коэффициенты интерполирующей функции. Действительных решений может быть много, поэтому для выбора наилучшего из полученных кривых выбирается такая, у которой имеется наиболее монотонное изменение графика вторых производных.
На основе решения системы нелинейных уравнений, представленной в виде квадратичных форм от неизвестных коэффициентов, созданы надежные алгоритмы аналитического вычисления этих коэффициентов. Применение предложенной интерполирующей функции эффективно при сопряжении динамических поверхностей, заданных различными методами. Весторно-парамегрическое уравнение сопрягающей кинематической поверхности, у которой направляющими линиями являются рациональные кривые, а все постоянные параметры образующих заданы от параметра поверхности (Ц, будет иметь следующий вид:
ЗИНЧЕНКО Юрий Валентинович - кандидат технических наук, доцент кафедры начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики.
15.11.99 г
тельности датчика, а по другому критерию, имеющему не менее важное значение, - максимуму массы активных материалов, идущих на изготовление датчика.
Решение задачи оптимизации по выбранному критерию оптимальности основывается на уравнениях, полученных из расчета магнитной цепи датчика и устанавливающих связь конструктивных параметров и обмоточных данных с чувствительностью датчика при заданных свойствах используемых магнитных материалов с учетом характеристики размагничивания постоянного магнита.
Для определения положения рабочей точки постоянного магнита представим кривую размагничивания в аналити-
РАСЧЕТ ОПТИМАЛЬНЫХ ПО МАССЕ КОНСТРУКЦИЙ ИНДУКЦИОННЫХ ДАТЧИКОВ СКОРОСТИ В ПРИБОРАХ КОНТРОЛЯ ПАРАМЕТРОВ МАШИН И МЕХАНИЗМОВ УДАРНОГО ДЕЙСТВИЯ
предлагается математический аппарат для отыскания оптимальных по массе конструкций датчиков скорости в машинах и механизмах ударного действия.
