CC BY
47
Интернет-журнал «Науковедение» ISSN 2223-5167 http ://naukovedenie.ru/ Том 7, №2 (2015) http ://naukovedenie. ru/index.php?p=vol7-2 URL статьи: http://naukovedenie.ru/PDF/140TVN215.pdf DOI: 10.15862/140TVN215 (http://dx.doi.org/10.15862/140TVN215)
УДК 629.7.025.73
Денискин Юрий Иванович
ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)»
Россия, Москва1 Профессор Доктор технических наук E-mail: Yury.Deniskin@mai.ru РИНЦ: http://elibrary.ru/author_profile.asp?id=310177
Ерохин Александр Павлович
ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)»
Россия, Москва Ассистент E-mail: A-Erokhin@yandex.ru
Сглаживание участка аэродинамического обвода, имеющего нерегламентированную вогнутость, с ограничением отклонения от исходных координат обвода
1 125993, Волоколамское шоссе, д.4, г. Москва, А-80, ГСП-3, факультет №9 «Прикладная механика», кафедра 904.
Аннотация. Статья посвящена сглаживанию обводов аэродинамических профилей, представляемых в виде дискретного точечного базиса. Погрешности определения координат точек профиля, получаемых путем замера экспериментальной модели, в ряде случаев обусловливают необходимость сглаживания обвода путем отклонения от некоторых заданных точек. В работе выявлены ограничения применимости известного метода сглаживающих кубических сплайнов, приведен пример обвода, не сглаживаемого при использовании данного метода.
Рассмотрены вопросы обеспечения постоянства знака кривизны обвода при сглаживании. Выявлена необходимость определения более точных, чем использованный в методе кубических сплайнов, критериев гладкости обвода, а также необходимость разработки соответствующих алгоритмов сглаживания.
Предложены критерии гладкости, получаемые из необходимых и достаточных условий существования полинома восьмой степени. Данные условия описаны в методе нахождения уравнения базовой интегральной кривой. Описан способ вычисления значений первой и второй производных аппроксимирующей функции в узлах обвода, необходимых для проверки выполнения критериев гладкости.
Рассматривается сглаживание участка обвода, на котором его кривизна имеет знак, противоположный требуемому, и её график монотонно убывает на всем протяжении участка. Сглаживание по разработанной процедуре осуществляется с учетом заданного ограничения отклонения от исходных значений координат точек обвода. Описан разработанный алгоритм приведения координат сглаживаемого обвода в соответствие с предложенными критериями гладкости.
Приведены результаты сглаживания обвода, подтверждающие обоснованность выбранных критериев гладкости обвода и эффективность разработанного алгоритма для обеспечения постоянства знака кривизны сглаживаемого обвода при соблюдении ограничений отклонения от исходных координат.
Ключевые слова: аэродинамический профиль; крыло; сетка; сплайн; интерполяция; сглаживание; кривизна.
Ссылка для цитирования этой статьи:
Денискин Ю.И., Ерохин А.П. Сглаживание участка аэродинамического обвода, имеющего нерегламентированную вогнутость, с ограничением отклонения от исходных координат обвода // Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ» Том 7, №2 (2015) http://naukovedenie.ru/PDF/140TVN215.pdf (доступ свободный). Загл. с экрана. Яз. рус., англ. DOI: 10.15862/140TVN215
Введение
Сокращение сроков проектирования авиационной техники неразрывно связано с повышением производительности труда инженера при подготовке конструкторской документации. Одним из самых мощных средств снижения трудоемкости проектирования с использованием систем геометрического моделирования (СГМ) является параметрическое моделирование. В работе [4] описаны проведенные авторами исследования применения параметрических геометрических моделей для снижения трудоемкости конструирования деталей, выходящих на теоретический контур несущих поверхностей летательного аппарата (ЛА). Дальнейшие исследования показали особую значимость качества используемой поверхности для эффективности параметрического моделирования.
В процессе конструирования несущие поверхности представляются в виде сетки из направляющих, расположенных по потоку, и образующих линий, расположенных по размаху агрегата (крыла, горизонтального или вертикального оперения). Направляющими линиями для несущих поверхностей являются аэродинамические профили. Образующими, как правило, являются процентные линии, для которых профили являются параметроносителями.
Таким образом, аэродинамический профиль является исходной информацией при проектировании крыла летательного аппарата, и требование выдерживания его формы в процессе конструирования и изготовления крыла выдвигается на первый план по сравнению с требованиями компоновки, технологичности и т.д.
В настоящее время информация об обводах профилей обычно представляется в виде упорядоченного дискретного точечного базиса. Основным средством описания точечно заданных кривых, используемым при конструировании продольных и поперечных линий каркаса несущих поверхностей в системах геометрического моделирования, в настоящее время являются сплайн-функции, принадлежащие классу С2, уравнения которых описывают поведение гибкой рейки.
При задании аэродинамического профиля в виде дискретного точечного базиса координаты точек получают путем замера экспериментальной модели. При этом возможны погрешности, обусловленные как точностью изготовления модели, так и точностью измерений. При относительно больших погрешностях исходных данных, сплайн, интерполирующий обвод профиля, а также графики его производных имеют резко выраженные осцилляции. В этих случаях возникает необходимость сглаживания обвода путем отклонения от некоторых заданных точек. Вопросы сглаживания дискретно заданных обводов рассмотрены в работах [5, 9, 10].
Для решения данной задачи весьма эффективен разработанный А.Д. Тузовым метод интерполяции со сглаживанием, основанный на использовании параметрических сплайнов [8]. Особенностью метода является то, что в нем предложен четкий итерационный процесс сглаживания и доказано, что этот процесс является сходящимся. Преимуществом данного метода сглаживания является то, что в процессе сглаживания можно закрепить определенные точки.
Погрешность задания / -й точки обвода в данном методе определяются как половина величины отклонения рейки в точке / при ее освобождении с одновременной фиксацией остальной части контура.
Постановка задачи
Как показали проведенные исследования, в некоторых случаях применение сглаживания кубическими сплайнами не позволяет устранить имеющиеся нерегламентированные (непредусмотренные) изменения знака кривизны в узлах сплайна.
Пример такого обвода показан на рис. 1. На рисунке представлена верхняя половина симметричного выпуклого профиля вертикального оперения среднемагистрального пассажирского самолета. У данного профиля можно выделить два участка с разным характером нерегламентированных изменений знака кривизны.
Участок «А» составляют несколько точек хвостовой части, на которых имеет место вогнутость обвода.
Участок «Б» образован множеством точек средней части обвода, на которых он имеет осцилляции.
В данной работе рассматривается сглаживание участка «А». Как видно из рис. 1, кривизна обвода на данном участке имеет знак, противоположный требуемому, и её график монотонно убывает на всем протяжении участка. Проведенные расчеты показали невозможность устранения имеющейся вогнутости по методу А.Д. Тузова вследствие весьма малых (10-8.. ,10-6 мм) значений погрешности задания точек участка.
Рис. 1. График кривизны участков профиля, не сглаживаемых методом кубических сплайнов
Таким образом, используемая в методе А.Д. Тузова погрешность ^, геометрически интерпретируемая как половина величины отклонения упругой рейки в точке / при ее освобождении, в данном случае является недостаточно эффективным критерием гладкости обвода.
Для разработки методики сглаживания рассматриваемого типа обводов требуется:
1. Определить более эффективные критерии гладкости, чем предложенный в методе сглаживающих сплайнов;
2. Разработать алгоритм приведения координат сглаживаемого обвода в соответствие с найденными критериями гладкости.
1. Определение критериев гладкости обвода
Для нахождения более точных критериев гладкости кривой авторами был рассмотрен разработанный Э.В. Егоровым метод нахождения уравнения базовой интегральной кривой для описания линий-параметроносителей поверхностей самолетов, описанный в [6]. Отличительной особенностью метода является то, что уравнение кривой ищется исходя из условия её выпуклости.
Данный метод позволяет находить уравнение выпуклой кривой Б(х) ЕС2, проходящей через две точки а и Ъ, имеющие второй порядок фиксации, т.е. если в этих точках определены значения функции, её первые и вторые производные (рис. 2). Метод разработан для описания кривых линий каркаса поверхностей самолетов, имеющих постоянный знак кривизны на определенных участках числовой оси, поэтому для их описания выбрана функция с постоянным знаком второй производной на всем отрезке (поскольку рассматриваются выпуклые кривые, то Би(х) < 0).
Уравнение базовой интегральной кривой представляет собой полином 8-й степени
вида:
Б(х) — а8х8 + а7х7 + —+ а2х2 + а1х + а0. (1)
Ввиду четной степени используемого полинома кривые линии такого типа при определённых краевых условиях не всегда существуют. Поэтому, помимо методики определения коэффициентов уравнения (1) в данном методе определены необходимые и достаточные условия существования базовой интегральной кривой, используемые для проверки и изменения координат исходных точек.
Ввиду особых требований, предъявляемых к координатам точек, служащих исходными данными для построения базовой интегральной кривой, предположим, что краевые условия её существования могут быть использованы в качестве эффективных критериев сглаживания, обеспечивающих постоянство знака кривизны сглаживаемого обвода.
Рис. 2. Исходные данные для построения базовой интегральной кривой
Для нахождения уравнения кривой Б(х), удовлетворяющей заданным условиям, проводится аффинное преобразование отрезка [ха,хъ]. Начало координат помещается в точку ха, Б(ха), при этом коэффициенты масштабирования по осям равны:
кх — , — 1. хЬ—ха
Граничные условия преобразуются к виду:
ха — 0; хъ — 1; S(0) — 0; 5(1) — Б(хь) - Б(ха); Б1(0) — 5'(ха)(хъ - ха); Б1(1) — 51(хь)(хъ - ха); Б»(0) — Б"(ха)(хь - ха)2; Б»(1) — Б»(хь)(хь - ха)2.
Для нахождения коэффициентов а0,а1,^,а8 уравнения (1) решается следующая система уравнений:
Бп(х) = —(а0х3 + Ь0х2+с0х + й0)2;
= 1
В = I хБ11(х)йх;
о
(2)
1
А = — I Б11(х)йх. о
Здесь выражение
Б(х) = -(а0х3 + Ъ0х2+с0х + й0)2
(3)
- это, согласно принятому допущению, уравнение второй производной искомой аппроксимирующей функции, из которого, приняв х = 0 можно найти коэффициент й0 =
Уравнения
в =1
0
и
1
А = — I Би(х)йх, 0
в которых
В =_5(1)—5(0)—5'(1), А = Б'(1) — Б'(0),
получены при условии Б!1(х) <0 из следующих выражений:
5(1) =5(0) + Б'(0) +
1
'(0) +1(1 —
х)5"(х)йх;
(4)
(5)
(6)
*1(1)=*1(0) + 1^.
(7)
Данные соотношения выведены в теоретических основах нахождения базовой интегральной кривой [6] из энергетического обоснования её существования.
1.1 Необходимые условия существования базовой интегральной кривой
Необходимые условия существования базовой интегральной кривой определяются свойствами полиномов четных степеней и особенностями предложенного для решения системы уравнений (2) геометрического способа.
1
0
1
0
1.1.1 Необходимые условия существования базовой интегральной кривой, определяемые
свойствами полинома четной степени
Для существования полинома четной степени, проходящего через две точки, необходимо чтобы вторые производные аппроксимируемой функции в обеих точках имели одинаковый знак. С учетом условия выпуклости аппроксимируемой функции получаем следующие необходимые условия существования базовой интегральной кривой:
иг — Б"(0) < 0; (8)
и2 — 5П(1) < 0. (9)
1.1.2 Геометрическое представление системы уравнений для определения коэффициентов базовой интегральной кривой
Рассмотрение уравнения (3), а также уравнений (4) и (5) после подстановки в них (3), показывает, что все три уравнения относительно неизвестных коэффициентов а0, Ь0 и с0 представляют собой уравнения поверхностей второго порядка (квадрик).
Уравнение (3) представляет собой уравнение пары действительных параллельных плоскостей. При этом, плоскости будут не совпавшими при 5П(1) Ф 0 и совпавшими при 5П(1) — 0.
Уравнение (4) представляет собой трехосный эллипсоид при условии:
Б(1)-Б(0)-Б'(1) > 0.
Уравнение (5) представляет собой трехосный эллипсоид при условии:
5"(0) > 15,93975903(5'(1) - Б1 (0)).
Таким образом, еще два необходимых условия существования базовой интегральной кривой представляют собой неравенства, при выполнении которых уравнения (4) и (5) определяют поверхности действительных трехосных эллипсоидов. Запишем эти неравенства в следующем виде:
и3—5(1)-Б(0)-5'(1)>0; (10)
и4 — Бп(0) - 15,93975903(5'(1) - Б'(0)) > 0. (11)
При выполнении условий (10) и (11) решение системы уравнений (2) с геометрической точки зрения представляет собой нахождение общих точек, принадлежащих поверхностям эллипсоидов и двум параллельным плоскостям (рис. 3).
Рис. 3. Геометрическое решение системы алгебраических уравнений
Поскольку плоскость пересекает трехосный эллипсоид по эллипсу, решение системы сводится к нахождению точек пересечения двух эллипсов полученных при сечении двух эллипсоидов первой плоскостью, и двух других эллипсов, полученных при сечении эллипсоидов второй плоскостью.
Выполнение условий (10) и (11) является необходимым для существования действительных поверхностей второго порядка, но не дает ответа на вопрос о возможности их пересечения, т.е. получения действительного решения системы (2).
1.2 Достаточные условия существования базовой интегральной кривой
Достаточные условия существования решений системы уравнений определяются условиями существования действительных эллипсов, получаемых при сечении эллипсоидов параллельными плоскостями. В [6] показано, что достаточным условием существования базовой интегральной кривой является одновременное выполнение хотя бы одной из двух пар неравенств:
Т1 = {—4,725"(1) + 1,95/5" (0)5" (1) + 0,485"(0) — 85,03(5(1) — 5(0) — 5'(1))} < 0, (12) Т2 = {—25"(1) + VБ"(0)5"(1) — 25"(0) + 30(Б'(1) — 5'(0))| < 0; (13)
или
Т3 = {—4,725"(1) — 1,95/5" (0)5" (1) — 0,485"(0) — 85,03(5(1) — 5(0) — 5'(1))} < 0, (14) Т4 = {—25"(1) — /^Щ^ЙХ) — 25"(0) + 30(5'(1) — 5'(0))| < 0. (15)
В самом общем случае количество решений системы уравнений (3) — (5) равно восьми (рис. 4).
Рис. 4. Точки пересечения эллипсов, соответствующие решениям системы уравнений
Если исходные данные удовлетворяют неравенствам (12) и (13), то совместное решение уравнений эллипсов, полученных от сечения эллипсоидов первой плоскостью, может дать от одного до четырех решений, определяющих коэффициенты уравнения (3).
Совместное решение уравнений эллипсов, полученных от пересечения эллипсоидов второй параллельной плоскостью, при условии удовлетворения исходных данных неравенствам (14) и (15), даёт еще от одного до четырёх решений.
Методика решения системы уравнений и нахождения коэффициентов а0, ...,а8, а также методика выбора оптимального из полученных уравнений базовой интегральной кривой подробно описана в [6].
1.3 Критерии гладкости обвода
Авторами предложены критерии гладкости кривой, проходящей через какие-либо две точки а и Ъ, основанные на использовании рассмотренных выше необходимых и достаточных условий существования базовой интегральной кривой [6].
Для проверки точек на соответствие критериям гладкости требуется:
1. Ввести аппроксимирующую сглаживаемый обвод функцию 5(х). Принять:
— Уа,^(ХЬ) — уь.
2. Для обеспечения второго порядка фиксации точек а и Ъ рассчитать по какому-либо методу значения первой и второй производных аппроксимирующей функции в этих точках:
Б1(ха),51(хь),511(ха),511(хь).
3. Провести нормирование отрезка [ха,хь], т. е. привести исходные данные к виду:
ха — 0; хъ — 1; 5(0) — 0; 5(1) — 5(хь) - Б(ха); Б1(0) — 51(ха)(хь - ха); Б1 (1) — 51(хь)(хь - ха); Бп(0) — Б11(ха)(хь - ха)2; Бп(1) — Б"(хь)(хь - ха)2.
4. Проверить выполнение неравенств:
— 5"(0) <0; и2 — Б11 (1) < 0;
и3 —5(1)-5(0)-Б'(1) > 0;
и4 — 5"(0) - 15,93975903(5'(1) - Б1 (0)) > 0.
При выполнении всех неравенств точки а и Ъ удовлетворяют необходимым условиям существования базовой интегральной кривой.
Назовем выполнение данных неравенств необходимыми критериями гладкости.
5. Проверить выполнение пар неравенств:
Тх — {-4,725й(1) + 1,95/5"(0)5и(1) + 0,485"(0) - 85,03(5(1) - 5(0) - 5'(1))} < 0, Т2 — {-25"(1) + V5"(0)5"(1) - 25"(0) + 30(5'(1) - 5'(0))| < 0;
и
Т3 — {-4,725"(1) - 1,95/5" (0)5" (1) - 0,485"(0) - 85,03(5(1) - 5(0) - 5'(1))} < 0,
Т4 — {-25"(1) - /^Щ^ЙХ) - 25"(0) + 30(5'(1) - 5'(0))| < 0.
При выполнении хотя бы одной из двух пар, точки а и Ъ удовлетворяют достаточным условиям существования базовой интегральной кривой.
Назовем выполнение данных неравенств достаточными критериями гладкости.
Таким образом, перечисленные критерии гладкости можно использовать для проверки и уточнения ординат точек сглаживаемого обвода с целью обеспечения постоянства знака второй производной функции, аппроксимирующей обвод, на заданном отрезке числовой оси.
При применении данных критериев для сглаживания обводов в зависимости от выпуклости или вогнутости рассматриваемого участка обвода, надо каждой точке поставить в соответствие параметр р, который может принимать следующие значения:
р — -1, если в окрестности данной точки кривая вогнутая;
р — 0, если в точке вторая производная равна 0;
р — 1, если в окрестности данной точки кривая выпуклая.
2. Разработка алгоритма сглаживания
Рассмотрим сглаживание участка «А» (рис. 5).
Рис. 5. График кривизны участка «А» сглаживаемого обвода
Введем индексацию точек сглаживаемого обвода:
{хоУ^Л = 0,1,2,..., п.
Поскольку для проверки выполнения критериев гладкости обвода точки а и Ъ должны иметь второй порядок фиксации, требуется определить значения первой и второй производных аппроксимирующей функции в этих точках.
Для вычисления первой и второй производных в точках исследуемого обвода авторами использован упрощенный способ моделирования выпуклых кривых, предлагаемый в [6] для расчета исходных данных при нахождении уравнения базовой интегральной кривой.
2.1 Применение упрощенного способа моделирования выпуклых кривых для определения первой и второй производных аппроксимирующей функции
Способ заключается в принятии значений первой и второй производных аппроксимирующей функции Б(х) в / -й точке равными, соответственно, первой и второй производным квадратной параболы вида
у(х) = к2х2 + к1х + к0, (16)
проведенной через точки 1 — 1, ¿, / + 1.
Это возможно при допущении, что в любой достаточно близкой окрестности / -й точки отыскиваемая кривая Б(х) и парабола У(х) удовлетворяют условиям:
5(хд = У(хд, №) — У1(х1)1 < 81, ^"(хд — Уи(х) < £2,
где е1, е2 - наперед заданные бесконечно малые числа, причем £1, е2 ^ 0 при х —
Х1±0 ^ 0. Предположение о справедливости сделанного допущения для кривых,
описывающих обводы в самолетостроении, обосновывается в [6] с помощью экспериментальных данных.
С учетом введенного допущения первая и вторая производные аппроксимирующей функции рассчитываются в следующей последовательности. Сначала по координатам точек 1 — 1, /, / + 1 находятся коэффициенты к2 и к1 уравнения (16) (коэффициент к0 для расчета производных не требуется):
„ Ъ+1(У1 — У—) + х{у1-1 — Х1-1У1 У1+1---
к2 =-7-1-^ТТ-' (17)
х1+1(х1+1 х1-1 х1) + Х1-1Х1
Х1 Х1-1
После это определяются значения первой и второй производной аппроксимирующей функции в точке с координатами (х^у^) по формулам соответствующих производных параболы (16):
Б1(хд = У1(хд = 2к2Х1+к1, (19)
Б11^) = У11(х1) = 2к2. (20)
Результаты расчета первой и второй производных в точках участка «А» и нескольких соседних с ним точках приведены в табл. 1.
Таблица 1
г Хг Уг
22 1534 63,12 -0,075338983 -4,30911х10-6
23 1652 54,2 -0,075889831 -5,02729х10-6
24 1770 45,21 -0,07631 -2,2х10-6
25 1888 36,19 -0,07661 -2,9х10-6
26 2006 27,13 -0,07674 7,18х10-7
27 2124 18,08 -0,07665 7,18х10-7
28 2242 9,04 -0,07449 3,59х10-5
2.2 Процедура сглаживания
Разработанная авторами процедура сглаживания участка «А» заключается в проверке выполнения критериев гладкости обвода на отрезке [ха, хь] и изменении значения уь при их невыполнении. Чтобы обеспечить выполнение условия и1 < 0, в качестве точки а выбирается такая точка с индексом ш, лежащая в носовой части обвода (не принадлежащая участку «Б»), в которой кривая, описывающая обвод, достаточно сильно выпуклая, т.е. значение второй производной аппроксимирующей функции существенно меньше нуля:
а = [хт,ут},0 <ш< п,511(хт) << 0.
В качестве точки Ъ последовательно подставляются точки сглаживаемого участка. В рассматриваемом примере это будут точки п — 1, п — 2, ...,за исключением п.
В точках а и Ъ по формулам (19) и (20) рассчитываются первая и вторая производные аппроксимирующей функции, и проверяется выполнение критериев гладкости обвода. При
невыполнении критериев производится корректировка у^ до значения, при котором они будут выполняться.
Изменение значений ординат каждой из точек оказывает влияние на значения вторых производных в соседних точках, поэтому следует в качестве точки Ъ рассматривать не только точки, принадлежащие сглаживаемому участку, а все точки обвода, лежащие между а (точкой с индексом т) и п - последней точкой обвода. Таким образом, последовательность точек, выбираемых в качестве точки Ъ, будет иметь следующий вид:
ЬI = {х1,у[}; / = п — 1,п — 2,...,т + 1; } = 1,2,...,п — (т + 1).
Коррекция ординаты точки может так изменить значение второй производной в точке Ьу, что критерии гладкости в Ьу перестанут выполняться. Тогда потребуется повторное изменение ординаты точки Ьу. Следовательно, разработанный процесс коррекции значений ординат будет итерационным, а последовательность точек Ьу будет выглядеть следующим образом:
Ъ},1 = 1,2,.,
где I - номер итерации.
В соответствии с определениями необходимых и достаточных критериев гладкости можно определить необходимые и достаточные условием завершения итераций. Необходимые условием завершения итераций будет выполнение необходимых критериев гладкости без коррекции ординат во всех точках Ьу:
Щ(Ь}) < 0, и3(а, Ц) > 0, и4(а, Ь}) > 0, ] = 1,2, ...,п — (т + 1).
Соответственно, достаточным условием завершения итераций будет такое же выпол-
•I
Т1(а,Ь]) < 0,Т2(а,Ц) < 0,
нение достаточных критериев гладкости во всех точках Ы:
Т3(а,Ь}) < 0,Т4(а,Ц) < 0, ] = 1,2, ...,п — (т + 1).
Алгоритм сглаживания обводов, имеющих участки с протяженной нерегламентирован-ной вогнутостью, без ограничений на отклонение от исходных координат описан в [3]. Результаты проведенного сглаживания показали отклонение ординаты одной из точек от исходного значения на достаточно большую величину, ~5%. Большие отклонения от исходных координат точек профиля могут отрицательно сказаться на аэродинамических свойствах сглаживаемого обвода. В инженерной практике считается допустимым отклонение в пределах 3% от значения координат исходного профиля.
Таким образом, во избежание возможного ухудшения аэродинамических свойств сглаживаемого обвода в процедуру сглаживания включена проверка условия выдерживания заданной величины отклонения от исходных координат. Для величины отклонения равной 3% это условие имеет вид:
у^—У(0)
<0,03, (21)
где у(0 - исходное значение ординаты / -й точки сглаживаемого обвода, у^ - значение ординаты / -й точки на к -й итерации процедуры сглаживания.
При невыполнении критериев гладкости на отрезке [а, Ьу], достижение отрицательности значения второй производной кривой, описывающей обвод, в точке Ьу = {х^, у{} возможно двумя способами:
1. Увеличением у± на величину шага V,
2. Уменьшением ординаты точки, через которую проходит какая либо из ветвей квадратной параболы, проведенной через точки / — 1, /, 1 + 1, например у^-1, на величину шага t (рис. 6).
Рис. 6
Пока выполняется условие (21), при невыполнении критериев гладкости производится
•I
увеличение ординаты точки Ьу:
Если данное условие перестает выполняться, ординате точки Ьу возвращается
уГ1 = У? + ^
предыдущее значение:
У1
к+1
У? — и
а алгоритм сглаживания меняется: при невыполнении критериев гладкости производится уменьшение ординаты 'у^-1:
у—1 = у?-1 — г,
до значения, при котором они будут выполняться.
Таким образом, для сглаживания участка «А» рассматриваемого обвода с соблюдением заданной величины отклонения от исходного профиля авторами разработан описанный далее алгоритм.
2.3 Алгоритм сглаживания участка обвода с протяженной нерегламентированной вогнутостью с заданным ограничением отклонения от исходных координат
1. Выбрать в качестве точки а какой либо узел с индексом т, лежащий в носовой части обвода на участке, не требующем сглаживания, такой, чтобы:
а = {хт,ут}, 0 < т < п,5п(хт) < 0.
Принять:
ха хт, $(ха) ут.
2. По координатам точек т — 1, т, т + 1 рассчитать значения коэффициентов к2т и к1т проходящей через них параболы:
.. _ хт+1(ут — ут-1) + хтут-1 — хт-1ут ут+1
к =
хт+1(хт+1 хт-1 хт) + хт-1хт
к =ут— ут-1 к )
к1™ = .. .. к2т (хт-1 + хт).
3. Определить значения первой и второй производных аппроксимирующей функции в точке т:
$1(ха) = У1(хт) = 2к2тх1 + к1т,
$П(ха) = УП(хт) = 2к2т.
4. Задать t - шаг корректировки значения ординаты точки Ь.
5. Положить 1 = 1.
6. Положить } = 1.
7. Определить точку Ь/:
Принять:
Ь/ = {х^у^}; I = п — 1,п — 2,...,т + 1; } = 1,2,...,п — (т + 1).
хь1=х1,Б(хь1)=у1.
8. По координатам точек 1 — 1, ¿, I + 1 рассчитать значения коэффициентов к2 и к1 проходящей через них параболы:
х1+1(у1 — у1-1) + ху-1 — х{-1у{ к = __х{ — х{-1_
1 х1+1(х1+1 — х1-1 — + х1-1х1 ки = у — у к21(х1-1 + хд.
9. Определить значения первой и второй производных аппроксимирующей функции в точке :
Б' (хь1) = ¥'(х1) = 2к21х1 + к1.,
хь)
Б" (хь1) = ¥11(х1) = 2к2Г
10. Выполнить нормирование отрезка [ а,Ьу]. Преобразовать граничные условия к виду:
*а = 0; ХЬ1 = 1; 5(0) = 0; 5(1) = Б (х^) — Б(ха); Б1(0) = Б'(Ха) (хь1 — Ха); Б1(1) = Б1 (хь^) (хь1 — х„);
Би(0) = 5и(Ха) (хь1 — Ха)2 ; Бп(1) = Б11 (хь1) (хь1 — Ха)2. 11. Проверить выполнение необходимых критериев гладкости:
и1 = 5"(0) <0; и2= Б" (1) < 0; и3 =5(1)—Б(0)—Б1(1) > 0; и4 = 5"(0) — 15,93975903(5'(1) — Б1 (0)) > 0.
11.1. При выполнении всех неравенств перейти к шагу 12.
11.2. При невыполнении какого либо из неравенств положить
У^1 = У* +
11.2.1. Проверить выполнение условия
1 — У0
< 0,03.
уГ — У0
у0
11.2.1.1. При выполнении условия перейти к шагу 7.
11.2.1.2. При невыполнении условия положить
у^1 =У? — 1
и перейти к шагу 18. 12. Проверить выполнение достаточных критериев гладкости:
Т1 = {—4,725"(1) + 1,95/У1 (0)У1 (1) + 0,485"(0) — 85,03(5(1) — 5(0) — 5'(1))} < 0,
Т2 = {—25"(1) + VБ11(0)5"(1) — 25"(0) + 30(5'(1) — 5'(0))| < 0; Т3 = {—4,725"(1) — 1,95/5"(0)5"(1) — 0,485"(0) — 85,03(5(1) — 5(0) — 5'(1))} < 0,
Т4 = {—25"(1) — VБ11(0)5"(1) — 25"(0) + 30(5'(1) — 5'(0))| < 0.
12.1. При одновременном выполнении неравенств Т1 < 0 и Т2 < 0 или Т3 < 0 и Т4 < 0, перейти к шагу 13.
12.2. При одновременном невыполнении неравенств Т1 < 0 и Т2 < 0 или Т3 < 0 и Т4 < 0, положить
уГ1 = У? +
12.2.1. Проверить выполнение условия
у1к+1 — у0
< 0,03.
у0
12.2.1.1. При выполнении условия перейти к шагу 7.
12.2.1.2. При невыполнении условия положить
ук + 1 =уЬ—£
и перейти к шагу 18.
13. Положить ] = ] + 1.
14. Проверить выполнение условия
] < п — (т+ 1).
14.1. При выполнении условия перейти к шагу 7.
14.2. При невыполнении условия перейти к шагу 15.
15. Проверить необходимое условие завершения итераций - выполнение необходимых критериев гладкости без коррекции ординат во всех точках Ь):
и2(Ь]) < 0, и3(а, Ь) > 0, и4(а, Ь)) > 0.) = 1,2, ...,п — (т+ 1).
15.1. При выполнении условия перейти к шагу 16.
15.2. При невыполнении условия положить
1 = 1 + 1
и перейти к шагу 6.
16. Проверить достаточное условие завершения итераций - выполнение достаточных критериев гладкости без коррекции ординат во всех точках Ь):
Т1(а,Ь)) < 0,Т2(а,Ь}) < 0,Т3(а,Ь}) < 0,Т4(а,Ь}) < 0,
] = 1,2,...,п — (т + 1).
16.1. При одновременном невыполнении неравенств Т1(а,Ь)-) < 0 и Т2(а,Ь)) < 0 или Т3(а, Ь)) < 0 и Т4(а, Ь)) < 0 при каком либо значении], положить
1 = 1 + 1
и перейти к шагу 6.
16.2. При одновременном выполнении неравенств Т1(а,Ь^)) < 0 и Т2(а,Ь)) < 0 или Т3(а, Ь)) < 0 и Т4(а, Ь)) < 0 при всех значениях }, расчет окончен.
17. Положить = 1.
18. Определить точку Ь):
Ь) = {х1,у1}; I = п — 1,п — 2,...,т + 1; } = 1,2,...,п — (т + 1).
Принять:
хь1=х1,5(хь1)=у1.
19. По координатам точек 1 — 1, 1 + 1 рассчитать значения коэффициентов к2 и к1 проходящей через них параболы:
Ъ+1(У1 — У1-1) + х{у1-1 — Х1-1У1
к =у+_х^ — Х1-1_
1 х1+1(х1+1 — Х1-1 — Х0 + Х1-1Х1
ки = У — У к2^Х1-1 + Хд.
20. Определить значения первой и второй производных аппроксимирующей функции в точке /:
Б1 (хьу) = У'(Х1) = 2к2Х + ки, Б" (хь1) = ¥11(х1) = 2к2Г
21. Выполнить нормирование отрезка [ а,Ь^. Преобразовать граничные условия к виду:
= хь) = 1; s(°) = 0; s(1) = s (хь1) - s(xo);
sI(°) = s'(xa) (xbi - xa) ; sI(1) = s1 (xbi) (xbi - xa) ;
SU(°) = sU(xa) (xbi - xa)2 ; sU(1) = s11 (xbi) (xbi - xa)2.
22. Проверить выполнение необходимых критериев гладкости:
U1 = s"(°) <0; U2 = s"(1) < 0; U3 =s(1)-s(°)-sI(1) > 0; U4 = s"(°) - 15,93975903(s'(1) - s'(°)) > 0.
22.1. При выполнении всех неравенств перейти к шагу 23.
22.2. При невыполнении какого либо из неравенств положить
У?-!1 = У?-! - t
и перейти к шагу 18.
23. Проверить выполнение достаточных критериев гладкости:
Т1 = {-4,72s11 (1) + 1,95^s"(°)s"(1) + 0,48s"(0) - 85,03(s(1) - s(0) - s'(1))} < 0,
T2 = {-2s"(1) + Js"(°)s"(1) - 2s"(0) + 3°(s'(1) - s/(°))| < T3 = {-4,72s11 (1) - 1,95^s"(°)s"(1) - °,48s"(°) - 85,03(s(1) - s(0) - s'(1))} < 0, T4 = {-2s11 (1) - Js"(°)s"(1) - 2s11 (0) + 3°(s'(1) - s/(°))| < T4 = {-2s"(1) - Js"(°)s"(1) - 2s"(0) + 3°(s'(1) - s/(°))| < °.
23.1. При одновременном выполнении неравенств T1 < 0 и Т2 < 0 или Т3 < 0 и Т4 < 0, перейти к шагу 25.
23.2. При одновременном невыполнении неравенств Т1 < 0 и Т2 < 0 или Т3 < 0 и Т4 < 0, положить
уг
к+1
уг
24.
и перейти к шагу 18. Положить = + 1.
25. Проверить выполнение условия
] < п — (т+ 1).
25.1. При выполнении условия перейти к шагу 18.
25.2. При невыполнении условия перейти к шагу 26.
26. Проверить необходимое условие завершения итераций - выполнение необходимых критериев гладкости без коррекции ординат во всех точках Ь):
и2(Ц) < 0, и3(а, Ц) > 0, и4(а, Ц) > 0.) = 1,2, ...,п — (т+ 1).
26.1. При выполнении условия перейти к шагу 27.
26.2. При невыполнении условия положить
1 = 1 + 1
и перейти к шагу 17.
27. Проверить достаточное условие завершения итераций - выполнение достаточных критериев гладкости без коррекции ординат во всех точках Ь):
Т1(а, Ь)) < 0,Т2(а,Ь}) < 0,Т3(а,Ь}) < 0,Т4(а,Ь}) < 0,
] = 1,2,...,п — (т + 1).
27.1. При одновременном невыполнении неравенств Т1(а,Ь)-) < 0 и Т2(а,Ь)) < 0 или Т3(а, Ь)) < 0 и Т4(а, Ь)) < 0 при каком либо значении], положить
1 = 1 + 1
и перейти к шагу 17.
27.2. При одновременном выполнении неравенств Т1(а,Ь)) < 0 и Т2(а,Ь)) < 0 или Т3(а, Ь)) < 0 и Т4(а, Ь)) < 0 при всех значениях }, расчет окончен.
3. Сглаживание участка «А» по разработанному алгоритму
В табл. 2 приведены координаты точек обвода, сглаженного по разработанному алгоритму, а также значения первой и второй производных аппроксимирующей функции в этих точках. На рис. 7 показан обвод и графиком его кривизны, полученный средствами СГМ. Отклонения координат сглаженного обвода от исходных приведены в табл. 3.
Таблица 2
г X Уг $
11 295 85,59
12 354 91,14 0,086497 -0,0002566
13 472 99,56 0,056737 -0,0002478
14 590 104,53 0,023898 -0,0003088
15 708 105,2 0,002331 -5,674х10-5
16 826 105,08 -0,01479 -0,0002334
17 944 101,71 -0,03716 -0,0001458
18 1062 96,31 -0,05936 -0,0002305
19 1180 87,7 -0,07305 -1,436х10-6
20 1298 79,07 -0,07322 -1,436х10-6
21 1416 70,42 -0,07339 -1,436х10-6
22 1534 61,75 -0,07356 -1,436х10-6
23 1652 53,06 -0,07373 -1,436х10-6
24 1770 44,35 -0,0739 -1,436х10-6
25 1888 35,62 -0,07407 -1,436х10-6
26 2006 26,87 -0,07424 -1,436х10-6
27 2124 18,1 -0,07441 -1,436х10-6
28 2242 9,31 -0,07458 -1,436х10-6
29 2360 0,5
Таблица 3
/ хг (о) уг Ьуабс ^уотн
11 295 85,59 85,59 0 0,00%
12 354 91,14 91,14 0 0,00%
13 472 99,56 99,56 0 0,00%
14 590 104,53 104,53 0 0,00%
15 708 105,2 105,2 0 0,00%
16 826 105,08 105,08 0 0,00%
17 944 101,71 101,71 0 0,00%
18 1062 96,78 96,31 -0,47 -0,49%
19 1180 88,98 87,7 -1,28 -1,44%
20 1298 80,71 79,07 -1,64 -2,03%
21 1416 71,98 70,42 -1,56 -2,17%
22 1534 63,12 61,75 -1,37 -2,17%
23 1652 54,2 53,06 -1,14 -2,10%
24 1770 45,21 44,35 -0,86 -1,90%
25 1888 36,19 35,62 -0,57 -1,58%
26 2006 27,13 26,87 -0,26 -0,96%
27 2124 18,08 18,1 0,02 0,11%
28 2242 9,04 9,31 0,27 2,99%
29 2360 0,5 0,5 0 0,00%
Рис. 7. График кривизны участка «А », сглаженного по разработанному алгоритму
Заключение
Применение разработанного алгоритма, как видно из графика кривизны сглаженного обвода, позволило устранить имевшуюся нерегламентированную вогнутость обвода. Таким образом, проведенные исследования подтверждают обоснованность предложенных критериев гладкости обвода, а также эффективность применения разработанного алгоритма для сглаживания обводов, имеющих участки с протяженной нерегламентированной вогнутостью, при соблюдении заданных ограничений на отклонение от исходных координат.
ЛИТЕРАТУРА
1. Давыдов Ю.В., Злыгарев В.А. Геометрия крыла. М.: Машиностроение, 1987. 136 с.
2. Егоров Э.В. Интерполяция дискретно заданной кривой полиномами четных степеней // Начертательная геометрия и машинная графика в практике решения инженерных задач. Омск: Омпи, 1987. С. 81-83.
3. Егоров Э.В., Ерохин А.П. Сглаживание участка аэродинамического обвода, имеющего нерегламентированную вогнутость // Полет. 2014. №10. С. 54-60.
4. Ерохин А.П., Денискин Ю.И. Методика и алгоритмы мультипликации по теоретическому контуру параметрических моделей авиационных конструкций // Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ» 2013. №4 http://naukovedenie.ru/PDF/32tvn413.pdf (доступ свободный). Загл. с экрана. Яз. рус.
5. Ешеева И.Р. Об одной задаче оптимизации базы данных при автоматизированном проектировании аэродинамических обводов летательных аппаратов // Вестник БГУ, серия 9 «Физика и техника». 2006 Вып. №5. Улан-Удэ: БГУ. С. 159-166.
6. Прикладная геометрия. Научные основания и применение в технике / Ю.И. Денискин, Э.В. Егоров, Л.Г. Нартова, М.Ю. Куприков; Под ред. Л.Г. Нартовой и Э.В. Егорова. М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2010. 388 с.: ил.
7. Тузов А.Д. Конструирование сложных поверхностей самолета с использованием сплайн-функций: дисс. ... канд. техн. наук. М., 1978.
8. Тузов А.Д. Сглаживание функций, заданных таблицами // Методы сплайн функций. Вычислительные системы. Вып. №68. Новосибирск: 1976. С. 61 -66.
9. Тузов А.Д., Давыдов Ю.В, Кил Ин Гю. Автоматизированное проектирование пространственной компоновки ЛА на базе ортогональных структур // Авиационная промышленность. 2009. №4. С. 8-11.
10. Тузов А.Д., Кил Ин Гю. Методика автоматизированного проектирования контуров сложных поверхностей ЛА с использованием сетки плоских сечений // Прикладная геометрия: электронный журнал 2009. Вып. 11, №22. С. 127-142. http://www.mai.ru/~apg/Volume11/Number22/tuzv1122.pdf (доступ свободный). Загл. с экрана. Яз. рус.
Рецензент: Тузов Александр Дмитриевич, главный специалист Центра технологий автоматизированного конструирования и дизайна, доктор технических наук, профессор, ПАО «Туполев».
Deniskin Yury Ivanovich
Moscow Aviation Institute (National Research University)
Russia, Moscow Yury.Deniskin@mai.ru
Erokhin Alexander Pavlovich
Moscow Aviation Institute (National Research University)
Russia, Moscow A-Erokhin@yandex.ru
Smoothing of the aerodynamic contour area having unregulated concavity with a restriction of deviation from the reference coordinates of contour
Abstract. The article is devoted to smoothing of the airfoil contours described in the form of the discrete point basis. In some cases the errors when determining the coordinates of profile points obtained by measuring experimental model stipulate necessity of the contour smoothing by deviation from some of the given points. The carried out work made it possible to reveal the usability restrictions of the known method of smoothing cubic splines and present an example of contour, not smoothable in using this method.
The issues of constancy maintenance for a curvature sign of contour when smoothing are considered in this article. The necessity of definition of the contour smoothness criteria more precise than those used in the method of cubic splines, as well as a development need of the appropriate smoothing algorithms were established.
We propose the smoothness criteria derived from the necessary and sufficient conditions for the existence of octic polynomial. These conditions are described in the method for finding equation of the base accumulation curve. It is described a method for calculating values of the first and second derivatives of the approximating function in the contour knots necessary to control compliance with the smoothness criteria.
We considered smoothing of contour area where its curvature has a sign opposite to the required one, and its schedule is monotonically decreasing all over the area. Smoothing is performed according to the developed procedure taking into account the given restriction of deviation from the reference values of coordinates for points of contour. The developed algorithm used to adjust coordinates of smoothable contour in accordance with the proposed smoothness criteria are described in this article.
We adduce the results of the contour smoothing that confirm the validity of the selected criteria of contour smoothness and efficiency of the developed algorithm to ensure the constancy of a curvature sign for the smoothable contour under restrictions of deviation from the reference coordinates.
Keywords: aerodynamic profile; wing; grid; spline; interpolation; smoothing; curvature.
REFERENCES
1. Davydov Yu.V., Zlygarev V.A. Geometriya kryla. M.: Mashinostroenie, 1987. 136 s.
2. Egorov E.V. Interpolyatsiya diskretno zadannoy krivoy polinomami chetnykh stepeney // Nachertatel'naya geometriya i mashinnaya grafika v praktike resheniya inzhenernykh zadach. Omsk: Ompi, 1987. S. 81-83.
3. Egorov E.V., Erokhin A.P. Sglazhivanie uchastka aerodinamicheskogo obvoda, imeyushchego nereglamentirovannuyu vognutost' // Polet. 2014. №10. S. 54-60.
4. Erokhin A.P., Deniskin Yu.I. Metodika i algoritmy mul'tiplikatsii po teoreticheskomu konturu parametricheskikh modeley aviatsionnykh konstruktsiy // Internet-zhurnal «NAUKOVEDENIE» 2013. №4 http://naukovedenie.ru/PDF/32tvn413.pdf (dostup svobodnyy). Zagl. s ekrana. Yaz. rus.
5. Esheeva I.R. Ob odnoy zadache optimizatsii bazy dannykh pri avtomatizirovannom proektirovanii aerodinamicheskikh obvodov letatel'nykh apparatov // Vestnik BGU, seriya 9 «Fizika i tekhnika». 2006 Vyp. №5. Ulan-Ude: BGU. S. 159-166.
6. Prikladnaya geometriya. Nauchnye osnovaniya i primenenie v tekhnike / Yu.I. Deniskin, E.V. Egorov, L.G. Nartova, M.Yu. Kuprikov; Pod red. L.G. Nartovoy i E.V. Egorova. M.: Izd-vo MAI-PRINT, 2010. 388 s.: il.
7. Tuzov A.D. Konstruirovanie slozhnykh poverkhnostey samoleta s ispol'zovaniem splayn-funktsiy: diss. ... kand. tekhn. nauk. M., 1978.
8. Tuzov A.D. Sglazhivanie funktsiy, zadannykh tablitsami // Metody splayn funktsiy. Vychislitel'nye sistemy. Vyp. №68. Novosibirsk: 1976. S. 61-66.
9. Tuzov A.D., Davydov Yu.V, Kil In Gyu. Avtomatizirovannoe proektirovanie prostranstvennoy komponovki LA na baze ortogonal'nykh struktur // Aviatsionnaya promyshlennost'. 2009. №4. S. 8-11.
10. Tuzov A.D., Kil In Gyu. Metodika avtomatizirovannogo proektirovaniya konturov slozhnykh poverkhnostey LA s ispol'zovaniem setki ploskikh secheniy // Prikladnaya geometriya: elektronnyy zhurnal 2009. Vyp. 11, №22. S. 127-142. http://www.mai.ru/~apg/Volume11/Number22/tuzv1122.pdf (dostup svobodnyy). Zagl. s ekrana. Yaz. rus.
