Расчет околозвукового обтекания профиля в трубе с перфорированными стенками Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XXI 1990

№ 1

УДК 533.6.071.088

РАСЧЕТ ОКОЛОЗВУКОВОГО ОБТЕКАНИЯ ПРОФИЛЯ В ТРУБЕ С ПЕРФОРИРОВАННЫМИ СТЕНКАМИ

В. М. Нейланд

По аналогии с работой [1] создан метод быстрого интегрирования системы уравнений Эйлера применительно к обтеканию профиля в аэродинамической трубе с перфорированными стенками. Отличительной особенностью метода является его быстродействие (в среднем на два порядка быстрее, чем у существующих методов) и малый необходимый объем оперативной памяти ЭВМ при сохранении достаточной точности расчетов. Это позволяет использовать его, например, для управления адаптивными стенками аэродинамической трубы в темпе эксперимента. Приводятся результаты расчета 10% параболического профиля в сравнении с экспериментом и расчетами другими методами.

1. Рассмотрим симметричное обтекание профиля в канале конечной длины с проницаемыми стенками (рис. 1). Невязкое нетеплопроводное течение в таком канале описывается следующей системой уравнений:

±ря + А(рв, = 0; (1)

(2)

дх ду р дх

ди , ду др

“^7 + ^ = ~*Г; (3)

^ =С± . (4)

где индексы « + » и «—» соответствуют параметрам потока перед скачком и за ним соответственно.

Граничные условия имеют вид

(5)

(6)

Рис. 1

Условие (6) есть закон Дарси, К — параметр проницаемости, рк — давление в камере за перфорацией, у — показатель адиабаты.

В системе (1) — (6) все параметры потока обезразмерены отнесением к соответствующим величинам в набегающем невозмущенном потоке, длины — к хорде профиля.

Асимптотический анализ, проведенный в работе [1], показывает, что при Моо-^1 и ширине канала Н порядка хорды профиля течение в первом приближении близко к одномерному, т. е. изменение параметров течения в поперечном направлении много меньше соответствующих продольных изменений. Если еще предположить, что за скачком уплотнения, замыкающем на профиле местную сверхзвуковую зону, завихренность не меняется поперек потока, то решение системы (1) — (6) можно искать в виде:

где первые слагаемые в (7) — (9) есть одномерное решение, полученное в канале с проницаемой верхней и непроницаемой нижней границей, а вторые слагаемые—малые добавки, учитывающие слабую переменность по у всего решения. Таким образом, (7) — (9) есть первые члены разложения решения в ряд Тейлора. Линия ус — условная линия (например, центральная линия канала), которой приписывается одномерное решение.

Условие (10) представляет собой линейную интерполяцию между двумя граничными условиями: на теле (индекс «до») и на стенке (индекс «/г»).

Прежде чем подставить разложения (7) — (10) в систему (1) — (4), преобразуем уравнение расходов, проинтегрировав его поперек канала:

и = ис(х) + — (X) (у - ус); дУ

др

Р^=Рс (X) 4- (х) (у - уе);

д р

Р = Рс(х) 4-др- (Х)(у-уе);

<7>

(9)

(8)

(10)

'ртм„ = 0.

ах

Но в силу граничного условия июут' — vw=0, поэтому

Подставим в полученное уравнение разложения (7) — (9) и отбросим члены второго порядка малости:

/- [рс^с (А —] + (рV)* — о .

ах

После интегрирования по х получим:

х ■

рс ис (А - У л- / (Р ©)* йх — Н .

— 00

Аналогично предыдущему надо преобразовать уравнение продольного* импульса и адиабаты. Всюду, кроме сечения, где расположен скачок,, можно написать

дх

(Я=0’ <П!>

поэтому в дальнейшем будем различать области до и после скачка, заметив, что в каждой из них справедливо соотношение

д I и? т р \ ди

дх\Т + т^ТТ/ + Ю~ду== ’ ^ ^

полученное из (2) с учетом (11).

Интегрирование (12) вдоль линии ус(х) с учетом безвихренносга течения всюду, кроме плоскости расположения скачка, дает:

_±Ы + Л_*=,с... (13),

2 т-1 к ’

Подстановка разложений (8), (9) в уравнение (4) дает с точностью1 до принятого предположения о постоянстве завихренности поперек потока за скачком:

Рс

Ц- = С±. (14)

РI

Система соотношений (12) — (14) решает задачу отыскания первого одномерного приближения при известных ис И (ру)л- Эти две величины берутся с предыдущей итерации, о чем будет сказано ниже_ Для отыскания второго приближения, учитывающего зависимость решения от у, воспользуемся уравнением (3), отбросив члены второго* порядка малости

др ди,

ду ~ 'р*и* дх ’

а также соотношениями (13) и (14), продифференцировав их по у'

д р рс др

С

Таким образом, найдено решение в виде (7) — (9). Теперь можно уточнить граничные условия (5) и (6), подставив в них новое значение давления и плотности на верхней границе:

р1у=й=ре + (*)(А— Ус); (18)

Р\у=п = рс(х) + ~ (х){Г1 — ус) (19)

и продольной скорости на нижней границе:

и\у=,у9 = ие(х) + ~- (х) (у, - ус). (20)

Подстановка (19), (20) в условия (5), (6) дает новые граничные значения для поперечной скорости V, а комбинация соотношений (18) и (6) — новое значение расхода через проницаемую верхнюю границу.

Таким образом, для численного интегрирования системы (1) — (6) предлагается следующая итерационная схема (рис. 2). Расчет начинается с некоторого начального приближения, задающего значения вертикальной скорости на верхней и нижней границах расчетной области и значения плотности вдоль верхней границы. Соотношение (10) позволяет найти скорость Vс вдоль центральной линии канала. Этих данных достаточно, чтобы рассчитать по формулам (12) — (14) одномерное течение в канале при известном расходе (ри)л через его верхнюю границу. (Экономичный метод нахождения такого решения описан в работе {1]). Найденное первое приближение ис(х), рс(х), рс(*) позволяет определить градиенты параметров течения в поперечном направлении [формулы (15) — (17)] и тем самым отыскать все решение в виде (7) — (9). Подстановка найденного решения в граничное условие (5) — (6) и соотношение (10) дают выражение для поперечной составляющей скорости и завершают итерацию. В итерационном процессе использована стандартная релаксационная процедура для скорости vc.

В описанную схему не укладываются области, TJl,eдv/дx~дp/дy^>^ (угловые точки и скачок уплотнений). Эти области требуют отдельного рассмотрения. Предположение постоянства завихренности за скачком поперек потока означает, что скачок считается прямым, перпендикулярным к оси х. Это приводит к погрешностям из-за неправильного наклона скачка на профиле и верхней границе области, которые могут быть уточнены в дальнейшем. Пока в данной работе непрерывность скорости Vc при переходе через скачок обеспечивается принудительным сглаживанием величины, полученной линейной интерполяцией двух разрывных на скачке функций и ин. Аналогично до разработки более точного описания течения в окрестности угловых точек было принято сглаживание ис и в этих областях.

2. Для расчетов был выбран 10%-ный параболический профиль Ую(х)= 0,2х(1—х)\ |х[<:1, в трубе с полушириной /г = 0,667 и длиной 10 (рис. 3). Длина перфорированного участка равнялась 8,5. Давление в камере выбиралось таким, чтобы обеспечить на входе в рабочую часть заданное число Моо. Пример расчета распределения давления вдоль нижней границы области для М(Ю = 0,824 и коэффициента перфорации / = 3,2% представлен на рис. 3. Сравнение с экспериментом, проведенным при полном геометрическом подобии модели и трубы, показывает хорошее соответствие как на модели, так и на оси симметрии

Геометрия прощиля и трубы

X

Начальное приближение

Рн Щ

Распад через перфорацию

Производные по у_________

I приближение (одномерное)

Ус Рс.Рс

др_

ду

ди др ду' ду

II приближение и(х.у) , Р(х,у) , Р(х,у)

PhVPh.Hu

Граничные услобия на стенке __________и профиля ____________

Ри.Ч

Ун і

Релаксации, сглаживание, проберка точности

Окончание

итерации

Рис. 2

Рис. 4

вдали от нее. Следует отметить, что при расчетах были взяты параметры проницаемости #4,2 граничного условия из работы [2].

Характерной чертой приведенного примера расчета является конечный отрицательный суммарный расход через внешнюю границу области (втекло газа больше, чем вытекло). Этот факт вместе с потерями полного давления на скачке приводит к неодинаковости чисел М в набегающем и уходящем потоках. В эксперименте этот постоянный отрицательный расход поддерживается за счет забрасывания в камеру давления части низконапорного газа из области вблизи уступа в конце рабочей части. В расчетах этот параметр задавался принудительно (расширение потока и вязкое взаимодействие в конце рабочей части не моделировалось).

На рис. 4 приводится сравнение расчета обтекания того же профиля при другом значении коэффициента перфорации стенок / = 7% и

с экспериментом и расчетом по методу установления Годунова С. К. Подробности этого метода расчета применительно к условиям перфорированной рабочей части трубы изложены в работе [3]. Сравнение двух методов расчета, не учитывающих вязко-невязкое взаимодействие пограничного слоя со скачком уплотнения, показывает их примерную равноценность и достаточную точность. Однако метод установления считает в 80 раз медленнее (примерно такое же быстродействие и у других численных методов, работающих с системой уравнений Эйлера).

ЛИТЕРАТУРА

1. Нейланд В. М. Новый быстрый метод интегрирования уравнений Эйлера для плоских трансзвуковых течений. — Ученые записки ЦАГИ,

1988, т. 19, № 3.

2. Иванов А. И. Экспериментальное исследование течения газа вблизи перфорированных стенок трансзвуковой аэродинамической трубы.— Ученые записки ЦАГИ, 1987, т. 18, № 3.

3. Иванова В. М., Тагиров Р. К. Расчет трансзвукового обтекания осесимметричных и плоских тел с учетом влияния перфорированной стенки аэродинамической трубы и хвостовой державки,—

Ученые записки ЦАГИ, 1978, т. 9, № 6.

Рукопись поступила 5/1 1989 г.