Асимптотическая трансзвуковая теория и оптимальная проницаемость cтeнoк аэродинамической трубы при m > 1 Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И

Том XXI

19 90

№ 3

УДК 533.6.071.088

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТРАНСЗВУКОВАЯ ТЕОРИЯ И ОПТИМАЛЬНАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ СТЕНОК АЭРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТРУБЫ ПРИ М^ 1

В. М. Нейланд

Метод асимптотического анализа широко применяется при решении задач трансзвуковой аэродинамики (см. например, [1]). С его помощью было получено обоснование установленных экспериментально закона околозвуковой стабилизации и правила площадей, исследовано поведение околозвукового потока вдали от тела в зависимости от разности М»,—1 И т. д.

В данной статье изложен новый подход к выводу уравнений трансзвуковой теории тонкого профиля, который позволяет получить алгоритм построения любого приближения. Найдены системы I и II приближений, уравнения характеристик и соотношения на них. Дано сравнение с некоторыми известными точными решениями.

Результаты теоретических исследований использованы для определения оптимальной проницаемости перфорированных стенок аэродинамической трубы, минимизирующей отражение возмущений при малых сверхзвуковых скоростях. Приводится сравнение с экспериментальными данными, полученными автором статьи и другими исследователями.

1. Рассмотрим обтекание тонкого профиля неограниченным трансзвуковым потоком. При толщине профиля т возмущенные величины продольной составляющей скорости А«, давления Ар и плотности Ар связаны соотношениями [2]:

В силу условия непротекания и~т. Размеры возмущенных зон в продольном и поперечном направлениях имеют соответственно порядок с и ст~1/3, где с — хорда профиля. Параметр трансзвукового подобия

Учитывая вышеизложенное решение задачи ищем в виде ряда:

Ди Ар ДР ,2/з и

и — — = 1 + т2/3 «, -(- т4/3 и2 + ... ;

иоо

р=-£-= i 13 Pi +t4l3Pi + •••;

Р оо

р = -f- = 1 -И2/3 Pi + "t473 p2 + •••;

Poo

V = — = X Vx + x5''3 + ... .

uoo

Подставим эти разложения в систему уравнений Эйлера, дополненную уравнением Бернулли:

д(ри) , d(ov) г. --да . — да 1 др

~ ■ 0; pu — + pv — =— г-£ ■

дх ду дх дУ 7 Моо дх

— dv , — dv 1 др

" — + Р ® — =-----------------------------~г >

дх ду 1 ду

Мт.+ Р® ..„2

о

1__ ^ , И2 +1>3_ 1 ,_____1

_____________-I______________ ____

(7—1) р 2 2 (т-ОМ*,

После введения безразмерных координат х = х/с, у=у/сх~1!3 и задания = 1 + /С х2/3 можно получить систему I приближения:

р14-и, = 0; (1.1)

р1 + '! «!=*0; (1.2)

Р\ ?1 + (Т 1) «1 = 0 ; (1.3)

^+Т^ = 0. (1.4)

ду дх

Первые три уравнения системы можно рассматривать независимо от последнего. Полученная линейная однородная система трех уравнений с тремя неизвестными вырождена. Для отыскания единственного решения этой системы необходимы дополнительные условия. Попробуем искать их во II приближении. Система II приближения имеет вид:*

р2 -1- и2—— р1и1 — | <£х\ (1.5)

Р2 + т «2 = к р\; (1 -6)

Р1

Рг — Р2 + (т— 0 «2 = 0 — т)«1 (а: + -у-] ; (1-7)

^+т^ = /<^. (1.8)

ду дх ду

По-прежнему первые три уравнения можно решать независимо от по-

следнего. Определитель системы (1.5—1.7) II приближения совпадает с определителем системы (1.1—1.3) I приближения и также равен О Условие разрешимости системы (1.5—1.7) дает:

Кр^'^г р\-И \^dx = 0.

Ь J ду

После дифференцирования по х получим искомое условие

dvy 1 + 1 dpi dPl

7 = —----— К -= . (1-9)

ду 2f дх дх

* При интегрировании по х произвольная функция g^y) была принята равной, тождественно нулю в силу отсутствия возмущений на бесконечности.

Это соотношение вместе с уравнением (1.4) решает задачу отыскания

I приближения. Для отыскания II приближения надо аналогичным образом обратиться к системе III приближения.

Нетрудно видеть, что уравнение (1.4) есть не что иное, как условие безвихренности течения. Действительно, из (1.2) р1= —ущ, тогда вместо (1.4) имеем ди1/дх = ди1/ду. Если ввести в силу безвихренности потенциал ф, условие (1.9) превратится в хорошо известное трансзвуковое уравнение Кармана:

[ К + (т + 1) 9$ Чщ ~ = 0 ■

Для понимания картины течения удобнее работать с физическими переменными, поэтому вернемся к системе, определяющей решение для I приближения:

(1.10)

При сверхзвуковых скоростях система (1.10) имеет характеристики. Уравнение характеристик и соотношение на них можно найти по стандартной методике (см., например, [3]):

dy___________,_____________________I

dx if f + 1

V к - Pi т т

(1.11)

Видно, что при /С->0 (Мао—>-1) характеристики действительны только при Рі<0, что соответствует местным сверхзвуковым скоростям. Кроме того, в этом случае в силу малости наклон характеристик неограниченно растет, т. е. они идут почти поперек потока-На характеристиках выполняется условие:

(!+_> (1.12)

dp1 dx \ f

Интегрирование (1.12) вдоль характеристик первого семейства (знак « + » уравнения (1.11) дает:

*-ТГ (К ~ — рТ = л== const • (1ЛЗ)

3(ї + 1) V 7 1

Вдоль характеристик второго семейства:

з (7 + 1) \ 1

Полученные соотношения описывают, например, волну Прандтля — Майера. Действительно, пусть звуковой поток Моо=1 обтекает тупой угол я/2 + у (рис. 1). Из угловой точки по нормали к потоку выходит характеристика первого

семейства (ее наклон йу!с1х= 1/|/"— '' —

= оо). Все характеристики II семейства пересе- ^

кают эту первую характеристику I семейства, вдоль которой pl = v^ = 0. Значит, в уравнении (1.14) {3 = 0. Таким образом, вдоль каждой характеристики II семейства Рис. 1

Газодинамические формулы связывают рх с той сверхзвуковой скоростью, до которой звуковой поток разогнался при развороте:

.£_ = 1 + *2/з р =

Р*

2

При М~ 1 после разложения в ряд получим

7 М2 — 1 /1 I

А —1—^2Тз • <1Л6>

Если ВСПОМНИТЬ, ЧТО В силу условия непротекания У= —у/и0о, то в I приближении с>1= (у/иоо)т=—у/т, после чего вместо (1.15) получаем:

2 (М2—I)3/2. (1.17)

3(7 + 1)

Нетрудно убедиться, что приближенное соотношение (1.17) при М~1 совпадает с точным, приведенным, например, в [4].

До сих пор рассматривались непрерывные течения. Наличие в трансзвуковом потоке скачков уплотнения требует аналогичного асимптотического исследования соотношений на разрывах. Запишем для прямого скачка уравнения баланса расхода, импульса и энергии:

(р и)+ = (р и)- ;

(р + ри2)+ - (р + ри*)- ;

р и2 \ _( 7 Р “2

л ~Т о I . V ~ I ’ « "Г О

7 — 1 р 2 /+ \7 — 1 Р 2

(1.18)

Знак « + » соответствует параметрам до скачка, «—»— за скачком. Будем по-прежнему искать решение системы (1.18) разложением в ряд:

и = -р- = 1 + т2/э их + т4'3 «2 + ... ;

“+

Р = “ = 1 + *2/3Р1 + т=4/3р* + ;

Р = ~ = 1 + р^ + ^13р2 -Г ...

Р +

при условии /С = (Л1^—1)/*2,3~1.

После подстановки разложений в (1.18) и приравнивания членов одного порядка малости получаем для I приближения линейную однородную систему, полностью идентичную системе (1.1) — (1.3). Поэтому

абсолютно аналогично условие однозначной разрешимости этой системы надо искать во II приближении:

I

р2 + М2 = " />2 + ТГ«2

' Рі ий ■ Крх\

Р2-Р2+ (т— 1)м2 = (1— Т)“і(^+ ?і)-

(1.19)

Нетрудно убедиться, что эти уравнения идентичны с (1.5—1.7) при vl~0 (скачок прямой, нормальной к оси х). Условие существования единственного решения системы (1.19) дает

2К

«і — т + і > после чего из (1.1) и (1.2) легко находим

2 чК .

7+1’

2 К .

(1.20)

Р і

Рі =

7+1

Р-

Р+

27

= 1+Хвдрі = і + _!_(М* -1)

(1.21)

(1.22)

(1.23)

Легко убедиться, что (1.23) совпадает с точным соотношением для прямого скачка (см., например, [4]).

Рассмотрим теперь соотношение на косом скачке уплотнения при М+->-1. Пусть п/2—в есть угол наклона скачка с осью х (рис. 2). Необходимо связать поворот вектора скорости за скачком с углом в и М+. Ранее были получены соотношения, которые справедливы для компонент скорости, нормальных к скачку:

2(М2+п-1)

!!» - і

4

7+1

(1.24)

В силу неразрывности тангенциальной составляющей скорости можно записать

и'п (

tg(e + ?) = Ч: =

тп

Подставим (1.24) в последнее равенство:

{о; (6 + ф)=-----------------

, 2(М+я~'> ’

7 + 1

Учитывая малость углов 0 и ф, находим ф = 6-(М+"~1) . (1-25)

Нетрудно убедиться, что при малых в и Ф и М+п^-1. (1.25) совпадает с соответствующим точным решением из [4].

2. Рассмотрим обтекание модели, установленной в трубе с проницаемыми стенками, трансзвуковым потоком газа. Пусть граничное условие на стенке имеет вид

Рис. 2

R^tl + v = 0,

(2.1)

где Я — параметр проницаемости — кусочно-постоянная функция, меняющая значения вместе со знаком и; А и, V —-возмущенные составляющие скорости в продольном и поперечном направлениях соответственно.

В неограниченном потоке при Моо-»-1 имеют место оценки:

Чтобы наличие стенок не исказило обтекания модели, эти оценки должны иметь место и в аэродинамической трубе. Тогда из (2.1) получим:

По такому закону вблизи Моо=1 должна меняться проницаемость стенок, чтобы не влиять на обтекание модели.

Коэффициент пропорциональности в (2.2) зависит, вообще говоря, от формы модели и относительных размеров трубы и модели. В общем случае эта зависимость может быть определена лишь в эксперименте с адаптивной настройкой локальной проницаемости границ. Однако в ряде случаев, когда размеры модели много меньше размеров трубы *, для выбора оптимальной проницаемости можно использовать решения, полученные в предыдущем разделе. Поскольку при малых сверхзвуковых скоростях устранение индукции границ состоит, главным образом, в гашении с помощью перфорации скачков уплотнения и волн разрежения, рассмотрим эти два течения. Найденные из такого рассмотрения Яопт могут служить начальным приближением для выбора оптимальной локальной проницаемости стенок в адаптивном режиме.

Пусть на пути волны Прандтля—Майера, идущей от модели, стоит перфорированная стенка.

Соотношение (1.17) дает связь вертикальной скорости потока с местным числом М:

Аналогично находится оптимальная проницаемость для гашения косого скачка.

Ранее было получено отклонение вектора скорости в косом скачке:

Ди~т2/з~М2 — 1;

00 ’

|м*,-1

(2.2)

При этом в силу (1.16) и (1.2)

Подставляя в граничное условие (2.1) получим

^?ОПТ 1 ---- 3 ^/" М2 — 1 '

(2.3)

(2.4)

* Это соответствует К — —------------> 1.

т2/3

Для модели точечного размера вблизи стенок трубы наклон косого скачка близок к наклону характеристик, поэтому из (1.11) можно получить 0 = — 1. Приращение давления в косом скачке при этом в

первом приближении совпадает с приращением в прямом скачке, поэтому из (1.20) и (1.21) следует

Да

2(М2+„-1)

7 + 1

(2-5)

подставляя (2.4) и (2.5) в граничное условие (2.1), находим

Яопт2 = /М^-1. (2.6)

Соотношения (2.3) и (2.6) дают значения локальной проницаемости границ потока, при которых не происходит отражения волн разрежения и скачков уплотнения от любой пористой поверхности, подчиняющейся граничному условию Дарси. Отметим, что формулу (2.6) получил А. А. Никольский |[5] по линейной сверхзвуковой теории для скачков уплотнений и волн разрежений, взаимодействующих с поперечными щелями.

Следует иметь в виду, что для гашения скачка необходимо выпустить через перфорацию заданный расход газа. Гашение волны разрежения происходит при втекании в поток нужного расхода газа. Известно, что проницаемости перфорации на втекание и вытекание газа из потока могут отличаться [6]. Это еще больше раздвинет границы между оптимумами для скачков и волн разрежений и ухудшит индукционные свойства стенок трубы с постоянной по длине проницаемостью. При значительной интенсивности возмущений, приходящих на стенку,

1.0

105

1.0

1,05

1,0

К ~А -д /\- Г \ л /\ Л / / \/ V \/ V / х А \ Л 84 / А / \ Л \ § / / \ / \ / \ / \ / > ю1 V \/ V \

Г" "Л / М‘1.05^,»л'ф \ / • « • \ \ 0

/=в% 1 • • » • • , • ■ ' ” • • »

Я=1,051 I X*/ • • •

I • • • > 1 Г

м=т* 1 ’ \ —I £=2,5% 1 к. 1 1 1 ’:»• § 1 1 Г | § 1 1 Г ! ,

х/К

Рис. 3

II

выход видится лишь в адаптивной подстройке проницаемости Я(х, у, г) в темпе эксперимента.

Для моделей стандартных размеров уровень возмущений, достигающих стенок, невелик, поэтому в (2.3) и (2,6) можно приближенно принять М=Мао. Выбрав далее проницаемость стенок, промежуточную между ее значениями для гашения скачков и волн разрежения, можно надеяться на получение универсальной зависимости /?0пт(Моо), ослабляющей отражение от стенок любых возмущений при Мое 1.

3. Для экспериментального исследования взаимодействия возмущений от модели с перфорированными стенками были проведены испытания тонкой конус-цилиндрической модели- Угол конуса модели составлял 10°, длина конуса была 5,7 с?, на расстоянии около 12 (I от носика начинался дренаж приемниками статического давления с шагом 1,175^. Модель закреплялась на оси рабочей части прямоугольного сечения с 4-х сторонней изменяемой проницаемостью стенок. Описание установки и условий испытаний дано в [6] (труба Г-3). Цель эксперимента состояла в измерении уровня возмущений, созданных конической частью модели и отраженных стенками трубы, при различной перфорации стенок /. Положение носика модели было выбрано таким образом, чтобы обеспечить попадание за пределы зоны возмущений, создаваемых разгонным участком перфорированных границ.

Типичное распределение чисел М по модели при различных / представлено на рис. 3. Видно, что наибольшее возмущение наблюдается

в том месте, где на модель приходит первое отражение головной волны разрежения. Амплитуда этого возмущения зависит от коэффициента перфорации и достигает минимума при некотором значении /.

На рис. 4 представлена величина максимальной неравномерности поля чисел М на модели в зависимости от /. Видно наличие минимумов, обеспечивающих уровень ДМ ~ ~ 1,2%: Эти значения f были приняты за оптимум.

г—| данная работа, эксперимент —АЕЛС Ч-РТ [7] л МЭР С ТЫТ1Ч1 [7]

Соотношение(2.6,

Сравнение /опт с расчетами по соотношению (2.6) и данными [7] показано на рис. 5. При этом в качестве зависимости R(f) было принято соотношение R/f = 0,12, найденное по методу работы [6] для вытекания газа из рабочей части при Моо=1,0. Таким образом данная расчетная кривая соответствует оптимуму для гашения скачков уплотнения. Аналогичная кривая для волн разрежения должна располагаться ниже как в силу соотношения (2.3), так и в силу большего наклона Rif при втекании газа в поток [6]- Однако здесь эта кривая не приводится из-за недостаточной точности определения зависимости R(f). Сравнение с экспериментальными данными работы (7], полученными на конус-цилиндрических моделях с углом конуса 20°, показывает хорошее согласование, несмотря на то, что наклон перфорационных отверстий в указанных трубах составлял 60° (в отличие от 90° в рассматриваемой установке). Видимо, при столь малых проницаемых играет роль не столько форма перфорационного канала, сколько площадь просвета отверстий.

Конический скачок и коническая волна разрежения от модели в месте пересечения со стенками трубы ведут себя как локально плоские. Поэтому соотношения (2.3) и (2.6), полученные для плоских течений, справедлины и для пространственных моделей, что и подтверждают результаты эксперимента.

ЛИТЕРАТУРА

1. Методы расчета обтекания элементов летательных аппаратов при трансзвуковых скоростях. — Обзор ОНТИ ЦАГИ № 585, 1980.

2. К а р м а н Т. Закон подобия для трансзвукового потока. Сб. Газовая динамика. — М.: Изд. иностр. лит. 1950.

3. Ку р а н т Р., Гильберт Д. Методы математической физики.

М.—Л.: ГИТТЛ, 1951.

4. Equations, Tables and Charts for compressible Flow. — NACA Report 1135, 1948.

5. Гродзовский Г. Л., Никольский А. А., Свищев Г. П., Таганов Г. И. Сверхзвуковые течения газа в перфорированных границах.— М.: Машиностроение, 1967.

6. Н е й л а н д В. М. Проницаемость перфорированных стенок аэродинамической трубы при околозвуковых скоростях. — Ученые записки ЦАГИ, 1988, т. 19, № 4.

7. Davis J. W. An empirical technique for optimization of variable porosity transonic wind tunnel flows. — Dissertation. Ann Arbor. Michigan.

USA, 1972.

Рукопись поступила 5jl 1989 г.