Расчет несущей способности внецентренно сжатых железобетонных элементов при различных значениях экцентриситетов приложения продольных сил Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Расчет строительных конструкций

РАСЧЕТ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ ВНЕЦЕНТРЕННО СЖАТЫХ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ЭКЦЕНТРИСИТЕТОВ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ

И.Н. СТАРИШКО, канд. техн. наук, доцент, кафедра Автомобильные дороги, Вологодский государственный университет, 160000, Вологда, ул. Ленина, 15

Приводится теория расчета внецентренно сжатых железобетонных элементов в предельном состоянии по несущей способности, с учетом всех возможных напряжений в продольной арматуре от до Я5С, вызванных различными значениями эксцентриситета е продольной силы. Методика расчета основана на совместном решении уравнений равновесия продольных сил и внутренних усилий с уравнениями равновесия изгибающих моментов. Совместное решение указанных, а также дополнительных уравнений, отражающих напряжённо-деформированное предельное состояние элементов, даёт возможность получить более высокую сходимость расчётной несущей способности с опытной, а также повысить долговечность и надёжность в их эксплуатации.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: внецентренно-сжатые элементы, уравнения равновесия, несущая способность.

Расчет внецентренно сжатых железобетонных элементов в предельном состоянии по прочности нормальных сечений, заложенный в нормативных документах [1] и [2], действующих на территории России и некоторых других стран, включает два случая напряжений в продольной арматуре площадью А$, расположенной с противоположной стороны от линии действия нагрузки (рис.1): случай 1 - случай больших эксцентриситетов, при котором арматура с площадью А$ к моменту разрушения элемента окажется растянутой, и напряжение в ней о5 достигает предельных значений равных

случай 2 - случай малых эксцентриситетов, при котором напряжение в арматуре площадью А$ не достигает предельных значений.

Одним из существенных недостатков указанной методики расчета является то, что при определении высоты сжатой зоны бетона х из уравнения равновесия продольных сил и внутренних усилий, влияние эксцентриситета продольных сил не учитывается и это же значение х используется при проверке несущей способности элементов. Это приводит к тому, что при известной площади продольной арматуры А8 и А'8 высота сжатой зоны бетона х определяемая из уравнения равновесия продольных сил и внутренних усилий N < Мсеч) часто значительно отличается от высоты сжатой зоны бетона х определяемой из уравнения равновесия изгибающих моментов N • е < Мсеч) (см. ниже пример расчёта 1).

В некоторых случаях может оказаться, что при определении значения х из уравне-

е.

1

I/

тт

N 5=ри А Е (М =.= овА

N.

N ь- ьЬ д:

= К рА V

ш

Рис.1 Расчетная схема внецентренно сжатых элементов

прямоугольного сечения.

ния равновесия продольных сил и внутренних усилий рассматриваемый элемент относится к расчетному случаю 2 внецентренно сжатых железобетонных элементов (случай малых эксцентриситетов), а при определении х из уравнения равновесия изгибающих моментов этот же элемент относится к расчетному случаю 1 (случай больших эксцентриситетов) (см. пример расчётов в (3)).

В действующих нормативных документах, при проверке условия N < Ысеч, значение Nсеч не есть несущая способность элемента, так как значение х, для определения Nсеч определяется в зависимости от известной внешней нагрузки N. Поэтому, по существующей в нормативных документах методике расчета, проверяя условие N < Nсеч, можно только сделать заключение - выдержит ли колонна заданную нагрузку, или не выдержит.

Однако, при этом неизвестно какую же максимальную нагрузку выдержит колонна, так как при другом значении внешней нагрузки N получим и другое значение х и, соответственно, другое значение Nеч.

Несущая же способность колонны - это предельная нагрузка Nmаг, которую колонна может выдержать неограниченно долгое время без разрушения.

Если при решении задач по определению несущей способности внецентренно сжатых железобетонных элементов использовать формулы (36, 38 и 39) [1], где вместо фактической нагрузки N использовать предельную нагрузку Д^, т. е. несущую способность элемента, которой будет соответствовать и значение х, в предельном его состоянии, а не какое-то мнимое значение х, зависящее от N (как изложено в действующих нормативных документах), то в указанных уравнениях окажутся следующие неизвестные значения: х, < , ^ах, а также значение ]] (определяемое по формуле 19 [1]), но зависящее от N„0^ и Ncrc. Для определения указанных неизвестных необходимо решать кубическое уравнение при неизвестном значении х или N„0^. После этого необходимо выполнять проверку обеспечения несущей способности элемента (N < Nmax).

Решение кубического уравнения вместо квадратного вызвано тем, что в нижеприведенных формулах используется неизвестное значение несущей способности N„0^ вместо известной нагрузки N как в [1] и [2].

Предлагаемый в статье метод расчета носит конкретный характер, а не расчет методом проверок условий прочности, как в действующих нормативных документах, где по результатам расчета, как отмечено выше, неизвестно какую же предельную нагрузку может выдержать внецентренно сжатый элемент. Таким образом, более точное определение влияния основных факторов на несущую способность внецентренно сжатых элементов может быть получено из совместного решения ряда уравнений, отражающих их напряжено- деформированное предельное состояние.

Изложенные выше исследования явились основанием для разработки методики расчёта несущей способности внецентренно сжатых элементов состоящей из 2-х вариантов возникновения возможных напряжений в продольной арматуре площадью Л$:

вариант 1 - когда арматура с площадью Л$ в предельном состоянии элемента окажется растянутой;

вариант 2 - когда арматура с площадью Л$ в предельном состоянии элемента окажется сжатой.

Первый вариант в свою очередь предусматривает два случая возможных напряжений растяжения в арматуре площадью Л5:

случай 1 - когда напряжение в указанной арматуре, определяемое по формуле (1), достигает предельных значений т.е. < > RS (случай больших эксцентриситетов). Здесь в расчётных формулах принимается только одно значение о5 = RS.

Случай 2 - когда растягивающее напряжение в арматуре находится в пределах 0 < <5 < RS (случай малых эксцентриситетов).

Второй вариант также предусматривает два случая возможных напряжений сжатия в арматуре площадью А,,.:

случай 3 - когда указанная арматура окажется сжатой и напряжение в ней определяемое по формуле (1) не достигает предельных значений, т.е. 0 <| | = <5С < RSC (случай малых эксцентриситетов);

Случай 4 - когда сжимающие напряжения в арматуре достигают предельных значений, т.е. | |= <5С > RSC (центрально-сжатые элементы со случайными эксцентриситетами). При этом в расчётных формулах принимается только одно значение | < |= <5С = RSC .

Напряжение в арматуре площадью Л5 определяется по формуле:

( 1 - Е Л

- 1Rs. (1)

1 - Е

1 ЬЯ у

Если относительная высота сжатой зоны бетона в предельном состоянии элемента равна:

Е = Ео = 0,5(1 + Ея ), (2)

то из формулы (1) значение <5 = 0. При этом на фактической криволинейной эпюре напряжений в бетоне сжатой зоны напряжение в бетоне на уровне центра тяжести арматуры площадью Л5 также равно нулю, то есть Еф = Хф/Н0 = 1. Из

формулы (2) высота сжатой зоны бетона при условной прямоугольной эпюре напряжений равна:

Х0 = 0,5^0 (1 + Ея ), (3)

или же из формулы (3) значение х0 = Е0^ .

Таким образом, если значение Е < Е0, где значение определяется по

формуле (2), или же если значение а. в арматуре с площадью Л5 в предельном состоянии элемента, определяемое по формуле (1), окажется положительным -указанная арматура перед разрушением элемента окажется растянутой, при этом имеем вариант 1 расчета внецентренно сжатых элементов. И наоборот, если значение Е > Е0, или же если по формуле (1) окажется, что <5 < 0 (отрицательное число) арматура с площадью Л, окажется сжатой, при этом имеем вариант 2 расчета внецентренно сжатых элементов.

В расчетных формулах внецентренно-сжатых элементов напряжение в продольной арматуре площадью Л, принимается не более расчетного сопротивления растяжению, т.е. <5 < Я5, а так же не более расчетного сопротивления сжатию

т.е. 1 <5 |= <С < Я5С .

При решении практических задач по определению несущей способности или по определению площади поперечного сечения продольной арматуры вне-центренно сжатых элементов, необходимо установить к какому расчетному варианту и случаю внецентренного сжатия относится решаемая задача.

В начале расчета для определения по формуле (1) значение £ неизвестно. Поэтому, на основании обработки значительного количества опытных результатов, расчетный вариант и случай ориентировочно, в первом приближении, устанавливается по значению эксцентриситета продольной силы е0ц, что будет уточняться в каждом примере по ходу его решения. При этом значение ц, также предварительно, определяем в зависимости от фактически приложенной нагрузки N и условной критической силы Ncr аналогично как в [1] или [2].

1.Если значение е0л > 0,3К0 - имеем случай расчета 1-случай больших эксцентриситетов, при этом в предельном состоянии элемента напряжение <У6 в арматуре площадью А6, определяемая по формуле (1), будет достигать предельных значений, то есть « > Rs;

2.Если значение 0,17К0 < е0л < 0,3К0 - имеем случай расчета 2-случай малых эксцентриситетов. При этом напряжение растяжения в арматуре площадью AS в предельном состоянии элемента будет находиться в пределах 0 < « < Rs;

3.Если значение 0,09h0 < е0л < 0,17h0 - имеем случай расчета 3-так же случай малых эксцентриситетов, но при этом, напряжение сжатия в арматуре площадью AS в предельном состоянии элемента будет находиться в пределах: - Rs < « < 0, то есть по абсолютной величине 0 <| <JS |= < Rsc.

4.Если значение е0л < 0,09h0 - имеем случай расчета 4-при этом расчет необходимо выполнять как для внецентренно сжатых элементов со случайными эксцентриситетами, принимая | <JS |= = Rsc.

Если условная критическая сила Ncr определяется в соответствии с [2 — Пособие к СП — 52 —101 — 2003], выше указанные в пунктах 1-4 границы для определения расчетного случая внецентренного сжатия элементов, рекомендуется несколько увеличить до значений приведенных в [4].

Вышеуказанные границы значений эксцентриситета продольных сил е0л, влияющие на границы возможных напряжений в продольной арматуре в предельном состоянии элементов зависят от многих факторов и могут незначительно изменяться, поэтому в дальнейших исследованиях возможно их уточнение.

Для определения высоты сжатой зоны бетона х в предельном состоянии внецентренно сжатых элементов прямоугольных сечений, как с симметричной, так и несимметричной арматурой, с учетом влияния основных факторов, в расчетах любых вариантов и случаев внецентренного сжатия, вначале используем уравнение равновесия изгибающих моментов от внешней нагрузки и внутренних усилий:

Nтах • е < Rъbx(к0 — 0,5х)+ RSCA^а (к0 — а'), (4) где е - эксцентриситет продольной силы относительно центра тяжести площади арматуры А5 с учетом коэффициента увеличения прогиба у в гибких внецентренно сжатых элементах, который определяется по формуле:

е = есЛ + - — а, (5)

а значение л =-1-. (6)

1 — N N

тах ! сг

Решая совместно уравнения (6), (5) и (4) получим:

N

Г Ncre0 h Л сг 0 +--а

тах N — N 2

V сг тах ^ у

Левую и правую части формулы (7) умножая на (Ncг — ^^), окончательно получим:

^тах • N^0 + ^ — а]^тах • — {^ — а^ — КЪКЫСГ • X + 0,5^^ • X2 + ^^Х —

— 0,5RъЪNmax X2 — RSCA, (К — а')^г + RSCA, (ho — а'^тах = 0. (8)

< RъЪx(ho — 0,5х) + RSCA(К — а'), (7)

1. Определение несущей способности внецентренно-сжатых элементов по варианту 1 - случай 1 (случай больших эксцентриситетов), когда арматура с площадью Л5 в предельном их состоянии растянута и выполняется условие Е < ЕЯ . При этом в дальнейших расчетах необходимо принимать = Я5 . Условие равновесия продольных сил и внутренних усилий имеет вид:

N_ _ Rb + RA' - RA .

(9)

Подставляя значение ^^ из формулы (9) в формулу (8), обозначив Я5СЛ*5 -Я5Л5 = Р и после преобразований получим:

x3 -

( N -P^ h+ cr

Rb

x2 -[Ncr(e0 + h -a)-(h-2a)P-hN - P) + (h -Oh2; x -2 Rb

h

h

-[NcrP(e0 + --a) - (--a)P2 -RœA', (h0 -a')(Ncr -P)]

2

2

2

r2 ь2

_ 0.

(10)

Уравнение (10) можно записать в виде:

x - bjx - b2x - b3 = 0.

(11)

После определения высоты сжатой зоны бетона х, несущую способность внецентренно-сжатого элемента по величине изгибающего момента можно определить по формуле (4), где для определения эксцентриситета е используем формулы (6) и (5).

Несущую способность элемента по величине нагрузки можно также определить, используя формулу (9), или из уравнения равновесия изгибающих моментов по формуле (7) после ее преобразования, где обозначим:

ЯьЬх(К - 0,5 х) + ЯсЛ'(К - «') = Мтах, (12)

а значение Н /2 - а = 0,5г., (см. рис. 1) получим:

N

Ncre0

\

V N - N

V cr m

■ + 0,5z„

< ИЛИ: N

(Ncre() +{Ncr -Nmax)• 0,5zs N„ - N_

< M„

Так как e0 + 0,5zs = e (см. рис. 1), то Nm

( Ne - 0,5Nz„ ^

V N - N ,

V cr max J

< M„

Раскрываем скобки и после преобразований в полученном уравнении, формула (7) окончательно будет иметь вид:

N„

.Mmax±N

0,5zc

N

M N

+__max cr _ 0 •

0,5zc

Решая приведенное квадратное уравнение, получим формулу для определения несущей способности внецентренно-сжатого элемента:

N _

max

M + Ne

M + N • e

MmaxlN 0,5z„

(13)

2. Определение несущей способности внецентренно сжатых элементов по варианту 1 - случай 2 (случай малых эксцентриситетов), когда арматура с площадью AS в предельном состоянии растянута и выполняется условие

Er < 4 < 0,5(1 + ER ).

При выполнении указанного условия напряжение в продольной арматуре, расположенной с противоположной стороны от линии действия нагрузки, находится в пределах 0 < <js < RS .При этом условие равновесия продольной силы и внутренних усилий в сечении элемента имеет вид:

Nmax < Rbbx + RScA's -< . (14)

25

2

2

Z

Z

s

s

Из формулы (14) определяем высоту сжатой зоны бетона х в предельном состоянии внецентренно сжатого элемента:

х = Nmax — КсА', +«А (15)

х = яъЪ ' (15)

где значение aS определяем по формуле (1)

Подставляя значение oS из формулы (1) в формулу (15), с учетом что £ = х / К0, получим:

^ — —ЯЛ. 2Я.Л.. 2R„A„x , ч

(16)

RъЪ RъЪ(1 — ) RbЪ(1 — ^ )К

2R A

В формуле (16) обозначим: -^^— = К , (17)

ЯъЪ(1 — )

(N — а —RsAs )К0 КК0

тогда: х = ^2^-^^-" 0 +-(18)

RЪЪ(h0 + К) К0 + К

В формуле (18) обозначим:

(^ + ^ = с, (19) = „ . (20)

RЪЪ(h0 + К) К0 + К

N К

Получим: х =---с + й. (21)

ЯъЪ(К + k)

К0

В формуле (21) обозначим: -= г. (22)

адк + к )

Тогда высота сжатой зоны бетона х внецентренно-сжатых элементов, но пока без учета эксцентриситета продольных сил, из формулы (21) равна:

х = Nтах • г — с + й . (23)

Из формулы (23) определяем значение продольной силы Nmax :

1Г х й — с ЛТ х + с — й ^^

Nmax =---, или Nmax = - . (24)

г г г

Для определения высоты сжатой зоны бетона внецентренно сжатых элементов, с учетом эксцентриситета е и коэффициента у, когда арматура с противоположной стороны от действия нагрузки N1^ растянута, подставим значение N1^ из формулы (24) в формулу (8) получим:

К ] (К ] й — с

х3 +

К — а )—--N„2 — 2К0 — й + с]х2 —

2 ) Rъbг сг 0 1

N^1 е0 +- — а | + 2| -— а !•

2 ) 12 ) г К ] (К ] (й—с)2 2

—ЯЪК (Ысг2+й—с)+Я^ХК — а')] R2ъX+[Л^сг(й +2 — —'я]"-^ +

2

+ Я^ (К — а'')^^? + й —с)]— = 0 . (25)

ЯъЪ

Окончательно формулу (25) можно записать в виде:

х3 +Ъ1 х2 — Ъ2 х + Ъ3 = 0, (26)

где Ъ1 - в см; Ъ2 - в см2; Ъ3 - в см3.

Подставляя полученное значение х из формулы (26) в формулу (24), можно определить несущую способность внецентренно сжатого элемента по величине нагрузки с учетом всех основных факторов, влияющих на напряженно- дефор-

мированное состояние элементов, когда напряжение в арматуре площадью AS находится в пределах 0 < (г: < Rs.

3. Определение несущей способности внецентренно сжатых элементов по варианту 2 - случай 3 (случай малых эксцентриситетов), когда арматура с площадью AS в предельном их состоянии сжата и выполняется условие

0,5(1 + ^)< ^ < 1.

При выполнении указанного условия напряжение в арматуре площадью А^ расположенной с противоположной стороны от линии действия нагрузки изменяется от нуля до - RS , т.е. до RSC .

Условие равновесия продольной силы и внутренних усилий в сечении элемента имеет вид:

(27)

(28)

Nтах = Rbbx + RSCA'S+ ахсАх:

Из формулы (27) получим:

- Я, А' -а А.

X = -

Rbb

где а^ определяется аналогично, как и аS по формуле (1)

Подставляя ас из формулы (1) в формулу (28), и выполнив преобразования аналогично, как и в пункте 2, получим:

К

где:

z =

яъЪ(К - к у

х = Д„„„ • z'-с'^'

(30)

с =

(я„А; - ял К

яъЪ(К - к)

(29) (31)

При симметричной продольной арматуре, когда А: = А\, в формуле (31) значение С = 0,

d' =

КК

К - К

(32)

Из формулы (29) можно определить несущую способность внецентренно-сжатых элементов по величине нагрузки, когда арматура площадью AS сжата:

-г х + с'+d' /„„ч N =-. (33)

тах . V /

Для определения высоты сжатой зоны бетона внецентренно-сжатых элементов, с учетом эксцентриситета е и коэффициента у, подставим значение Дтах из формулы (33) в формулу (8) и выполнив преобразования аналогично, как и в пункте 2, окончательно получим:

X3 +

'К Л — а Л ,

2

яъьг

- Дсгг'-2К0 + ^+с']х2 -

К

'К Л ^+с'

- ЯъЪК, (Д^'-с')+ЯсА'ХК - а')] я2ъ х - N (с1 ^ + | - а) - (| - а]

^ + 2 - Т - а/ , 'К а\ |+с')2

2 I г'

Г1

-ЯсА:К -аО^г'-с'-^)]— = 0

ЯъЪ

(34)

(35)

Формулу (34) можно записать в виде:

х3 + Ъ х2 - Ъ2 х - Ъ3 = 0,

где ЪI - в см; Ъ2 - в см2; Ъ3 - в см3.

Подставляя полученное значение х из формулы (35) в формулу (33) можно определить несущую способность внецентренно сжатого элемента по величине нагрузки, с учетом эксцентриситета е и коэффициента п, а так же с учетом вели-

чины напряжения в продольной арматуре с площадью AS равного а2С в случае, когда эта арматура в предельном состоянии элемента работает на сжатие.

4. Определение несущей способности внецентренно сжатых элементов по варианту 2 - случай 4 (центрально сжатые элементы со случайными эксцентриситетами) когда арматура с площадью AS в предельном их состоянии сжата и выполняется условие £ > 1, что по формуле (1) соответствует напряжению в арматуре | ( |>| RS |, при этом в расчетных формулах необходимо принимать ( = Ко.

Дальнейший расчет выполняется с учетом влияния случайных эксцентриситетов.

Пример №1. Колонна с симметричной продольной арматурой. В данном примере рассматривается вариант расчета 1 - случай 1 внецентренного сжатия колонны, когда арматура площадью А2 в предельном состоянии элемента растянута, и напряжение в ней достигает предельных значений, т.е. = Rs (случай больших эксцентриситетов).

Данные для расчета приняты из примера 22 [2] с целью сравнения результатов, полученных по методике, изложенной в СП 52-101-2003 и по предлагаемой автором методике.

Дано: колонна среднего этажа рамного каркаса с сечением размерами Ь х h = 40 х 50см , а = а' = 4см ; бетон класса В25 (Еь = 300000МПа , Rb = 14,5МПа); арматура класса А-400 (Rs = Rsо = 355МПа); площадь сечения Ах = А = 12,32см2 (2028); продольная сила и изгибающие моменты в опорном сечении: от вертикальных нагрузок: всех = 650кН, Му = 140кНм, постоянных и длительных = 620кН, Мг = 130кНм; от ветровых нагрузок = 50кН , М ь = 73кНм; высота этажа / = 6м . Требуется определить несущую способность опорного сечения колонны. Решение.

Для решения поставленной задачи необходимо определить общие расчетные характеристики. Рабочая высота сечения колонны равна Ь0 = h — а = 50 — 4 = 46см . Расчет ведем с учетом влияния прогиба согласно п. 3.53 [2]. Поскольку рассматриваемое сечение опорное и колонна у этой опоры имеет податливую заделку, принимаем = 1,0.

Для вычисления коэффициента А2 Т]ь принимаем согласно п. 3.56, б расчетную длину

/ 7 2

колонны равной 10 = 1,2/ = 1,2 • 6 = 7,2м . При этом — = —= 14,4 > 4, т.е. учет про-

h 0,5

гиба обязателен.

Усилия от всех нагрузок равны М = Му + Мь = 140 + 73 = 213кНм ,

М 213 h

N = Nv + Nh = 650 + 50 = 700кН . При этом е0 = — =-= 0,304м > е = —,

V ь 0 N 700 а 30

т.е. согласно п. 3.49 [2] значение момента М не корректируем.

Значения Nоr, ^ и в соответствии с примером (22) [2] равны: Nоr = 5181кН ,

^ = 1,0, Пь = 1,156.

Расчет в соответствии с требованиями СП 52-101-2003. Первый вариант расчета.

Первый вариант расчета изложен в примере (22) [2], где высота сжатой зоны бетона

X определена через ап из уравнения равновесия продольных сил и внутренних усилий,

которое для элементов с симметричной арматурой имеет вид: N < RьЬx, откуда:

N 700000

х =-=-= 12,05см .

RЬЬ 14,5(100)40

355(100)12,32 — -

(46 — 4) = 31607000Нсм.

Несущая способность колонны определена из условия прочности по величине изгибающего момента относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения, которое имеет вид:

х N 12 05

М < Мсеч = RьЬx(ho — -) + '— —)(Ь0 — а') = 14,5(100)40 • 12,05(46--'—) +

700000" 2

Так как условие М = 224,4кНм < Мсеч = 316,07кНм выполняется, несущая способность сечения обеспечена, где М - изгибающий момент от внешних нагрузок относительно центра тяжести сечения, определяемый в примере (22) [2], с учетом прогиба элемента, который равен:

М = М„щ + Мкгь = 140 • 1,0 + 73 • 1,156 = 224,4кНм , где момент от вертикальных нагрузок Mv с коэффициентом r|v = 1,0 составляет 62,39% от полного момента М , а момент от горизонтальных нагрузок М ь с коэффициентом Гь = 1,156 составляет 37,61% от полного момента.

При этом величина эксцентриситета продольной силы относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения колонны для Nv равна:

^ = е{)гУ = 30,4 • 1,0 = 30,4см ; для Nh равна еь = е0гь = 30,4 • 1,156 = 35,1424см .

Несущая способность по величине нагрузки равна:

Мсеч 0,6239М сеч 0,376Мсеч 19720000 11887000

Nсеч = —— =-— +-— =-+-= 986936Н =

е еу еь 30,4 35,1424

= 987кН > N = 700кН т.е. несущая способность колонны обеспечена.

При этом отношение изгибающих моментов составляет

Мсеч 316,07 ^еч 987

-=-= 1,41, отношение продольных сил-=-= 1,41.

М 224,4 N 700

Второй вариант расчета

Определяем высоту сжатой зоны бетона из уравнения равновесия изгибающих моментов, формула (3.91) [2].

М < ^Ьх(К — X1 + ГRSCA•S — ](Ь0 — а').

Подставим значения:

22440000 < 14,5(100)40 • 46х — 0,5 • 14,5(100)40х2 +

355(100)12,32—700000"

(46 — 4);

22440000 < 2668000х — 29000х2 + 3669120; х2 — 92х + 645,89 = 0 ; х12 = 46 ±72116 — 645,89; ; х = 7,62см..

Так как высота сжатой зоны бетона X определена из уравнения равновесия изгибающих моментов, следовательно, несущую способность необходимо определить из уравнения равновесия продольной силы и внутренних усилий, т.е. для элементов с симметричной продольной арматурой:

N^4 = RЬЬx = 14,5(100)40 • 7,62 = 441960Н < N = 700000Н , следовательно, несущая способность колонны не обеспечена.

Таким образом, при решении одного и того же примера по определению несущей способности колонны двумя путями, используя одни и те же формулы, оказалось, что несущая ее способность обеспечена (1-й вариант расчета), а при решении этого же примера по 2-му варианту, оказалось, что несущая способность колонны не обеспечена.

Следовательно, в расчетах внецентренно сжатых элементов при определении их несущей способности, или при определении площади продольной арматуры, необходимо

использовать совместное решение уравнения равновесия изгибающих моментов, уравнения равновесия продольных сил и внутренних усилий, а также дополнительных уравнений отражающих напряженно- деформированное предельное их состояние.

Расчет по предлагаемой автором методике.

Расчетный момент от действия внешних нагрузок с учетом прогиба элемента принят из примера 22 [2], который равен:

М = М] + М]И = 140 -1,0 + 73 -1,156 = 224,4кНм. В дальнейшем расчете для упрощения расчетных формул принимаем одно значение Т для Му и М И , полученное по интерполяции в зависимости от М]у и МИ]И. Для этого составим уравнение вида: М = М]+ М] = 224,4кНм, откуда 224

Т = Г40—73 = 1,052. Из формулы 3.86 [2] по ] определяем значение условной критической силы, которая равна:

Ыт 700 -1,052

Ыгг =-'- =---= 14162 кН.

сг ] -1 1,052 -1

В соответствии, с п. 6.4.4 при выполнении условия:

е0] = 30,4 -1,052 = 31,98см > 0,35И0 = 0,35 - 46 = 16,1см, необходимо расчет выполнять по варианту 1 - случай 1 (случай больших эксцентриситетов), когда арматура с площадью AS в предельном состоянии элемента растянута и напряжение в ней достигает предельных значений, т. е. их = .

Определяем значения коэффициентов Ь1 и Ь2 при неизвестном значении х в кубическом уравнении (11), а также свободный член уравнения Ь3:

1. „ Ысг -,сп 14162000- 0Ч

Ь = (И + —-) = (50 +-) = 294,172см;

ЯЬ - Ь 14,5(100)40

где Р = Я^А - = 0 (при симметричной арматуре в колонне),

Ысг ^ е 0 + 2 - в ^ (И - 2 а) Р - И 0( N сг - Р) + К!СА5'( И 0 - а')

14162000 ^30,4 + 50 - 4)- (50 - 2 - 4)0 - 46(14162000 - 0) + 35500 -12,32(46 - 4)

2 2 2 - - = (727926800 - 0 - 651452000 +18369120)-= 3270,48см2;

14,5(100)40 14,5(100)40

ИИ 2

Ь = [ЫсгР(е0 + - - а) - (- - а)Р2 - (И - а')(Ысг - Р)]

2 2 " ^ " Я^Ь2

= 14162000 - 0(30,4 + 50 - 4) - (-50 - 4)02 - 35500 -12,32(46 - 4)(14162000 - 0)] х

2 2 3 х---- = (0 - 0 - 260143477400000)-= -154663,185см3.

(14,5 -100)2 - 402 14502402

Для определения высоты сжатой зоны бетона х в предельном состоянии элемента используем кубическое уравнение (11), то есть:

х3 - Ь1 х 2 - Ь2 х - Ь3 = 0. Подставляя значения Ь1, Ь2 и Ь3 в формулу (11) полечим:

х3 - 294,172х2 - 3270,48х +154663,185 = 0. Из решения приведенного кубического уравнения высота сжатой зоны бетона х равна: х = 18,485см. Т. к. относительная высота сжатой зоны бетона

£ = х/И0 = 21,521/46 = 0,468 < = 0,531, сечение элемента действительно оказалось не переармированным.

По формуле (1) определяем напряжение в арматуре площадью А2 в предельном со-

стоянии элемента:

1 — С 1 — 0 468

( = (2" """ — 1) Я* = (2 1 0,468 — 1) Rs = 1,268Rs.

1 — Ся

1 — 0,531

Так как, напряжение в арматуре площадью А2 достигает предельных значений, т. е. (( = , следовательно, вариант расчета 1 - случай 1 (случай больших эксцентриситетов) принят изначально в данном примере расчета правильно.

Определяем несущую способность колонны из уравнения равновесия продольной силы Nmax и внутренних усилий в сечении элемента по формуле (9), которая при симметричной продольной арматуре будет иметь вид:

Nтах = ЯЬЬх = 14,5(100)40 • 18,485 = 1072130Н = 1072,1кН > N = 700кН,

следовательно, несущая способность колоны обеспечена.

Для проверки полученного результата несущей способности колонны воспользуемся решением уравнения (13):

М + N е

N = тах ог

тах _ гу

2 е

[ М + N е ^2 М N

тах ог тах ог

0,5г<

где по формуле (12)

г

Nтах = ^Ьх(К — 0,5х) + (К0 — а') = = 14,5(100)40 • 18,485(46 — 0,5 • 18,485) + 355(100)12,32(46 — 4) =

= 39408818 +18369120 = 57777938Нсм,

7 = К0 — а = 46 — 4 = 42см, е = е0 + 0,526, = 30,4 + 0,5 • 42 = 51,4см.

При этом:

N.

57777938 +14162000 • 51,4 42

1

57777938 + 14162000 • 51,4

57777938•14162000

42 1 0,5 • 42

= 18707256 ± V349961427049000 — 38964340855000 = = 18707256 ±л/310977086194000 = 18707256 ± 17635109, N тах = 1072147Н = 1072,1кН.

Для подтверждения надежности предлагаемой методики расчета несущую способность колонны по величине нагрузки определяем 3-й раз через предельный изгибающий момент, воспринимаемый сечением Мтах (см. выше). При этом, для определения эксцентриситета е продольной силы Жтах относительно центра тяжести поперечного сечения арматуры площадью А2, необходимо уточнить значение коэффициента п в зависимости от полученного выше значения Жтах,

Г =

1

1

1 — N N

тах / ог

1 — 1072 ,1/14162

= 1,0819

ь

50

е = е0г + —— а = 30,4 • 1,0819 +--4 = 53,89см.

Несущая способность колонны равна:

N = Мтах : 57777938

2

= 1072146 Н = 1072 ,1кН.

е 53,89

Выводы:

1.Методика расчета внецентренно сжатых железобетонных элементов, заложенная в действующих нормативных документах по случаю 2 внецентренного

2

сжатия, когда < включает 2 вида напряженно - деформированного состояния элементов, когда арматура площадью А8 в предельном состоянии элементов растянута, а также когда она окажется сжатой при напряжениях в ней аяс < Д^. Для решения задач по случаю 2 внецентренного сжатия, когда С > Ся, в соответствии с действующими нормативными документами относительную высоту сжатой зоны бетона допускается принимать равной ¿Д, при этом = Д. Это является недостатком существующей методики расчета по случаю 2, так как арматура площадью А8 в предельном состоянии элемента может оказаться сжатой, что иногда существенно повлияет на его несущую способность.

2. Как показывают опыты, высота сжатой зоны бетона х существенно зависит от величины эксцентриситета приложения продольных сил е0, что не учитывается при использовании уравнения равновесия продольных сил и внутренних усилий, как предлагается в нормативных документах [1] и [2].

Особенно опасным фактором является неточность монтажа внецентренно сжатых элементов в производственных условиях, что приводит к увеличению эксцентриситета продольных сил, а соответственно и снижению их несущей способности, а иногда и к разрушению элементов (рис. 2).

3. В действующих нормативных документах высота сжатой зоны бетона х, в предельном состоянии элемента, определяется из уравнения равновесия продольных сил и внутренних усилий, где значение N есть фактически приложенная нагрузка, однако, эпюра напряжений в бетоне сжатой зоны при этом принимается прямоугольной напряжение в бетоне принимается равным его предельному значению ДЬ, что соответствует значению Ытах. При изменении нагрузки от N до Ытах вид (очертание) и площадь эпюры напряжений, а также высота сжатой зоны бетона могут существенно изменяться. От сюда следует, что для проверки условия N < Ысеч или М < Мсеч высоту сжатой зоны бетона х необходимо определять в зависимости от Ысеч = Ытах, а не в зависимости от фактически приложенной нагрузки Ы, как приводиться в нормативных документах.

4.Теоритические исследования, приведенные в данной статье, с их обоснованием на конкретных примерах, в т.ч. примеры 2 и 3 опубликованные в источнике [5], также показали, что при уменьшении эксцентриситета продольной силы N в предельном состоянии внецентренно сжатых железобетонных элементов высота сжатой зоны бетона х возрастает, напряжение в продольной арматуре площадью А8 плавно переходит из состояния растяжения в состояние сжатия, а несущая способность элементов при этом повышается (см. примеры расчетов в [5]), что также подтверждается и опытными результатами.

5. Разработанные автором статьи расчеты внецентренно сжатых железобетонных элементов для 4-х случаев внецентренного сжатия, вместо 2-х - как изложено в нормативных документах [1] и [2], полностью охватывают весь спектр возможных случаев напряженно - деформированного предельного состояния элементов в зависимости от величины эксцентриситета е0 продольной силы Ытах,

Рис. 2. Разрушение колонны в связи с неточностью монтажа, вызвавшего увеличение эксцентриситета продольных сил в плоскости изгиба и в перпендикулярной к ней плоскости

когда напряжение в продольной арматуре площадью AS в предельном состоянии элемента может иметь различные значения-от предельных напряжений растяжения равных RS до предельных напряжений сжатия равных RSC, что соответствует требованиям Европейских норм по железобетону, в частности Еврокода 2 (2003) [6].

Л и т е р а т у р а

1. СНиП 2.03.01-84*. Бетонные и железобетонные конструкции. - М.,2002.

2. Пособие по проектированию бетонных и железобетонных конструкций из тяжелого бетона без предварительного напряжения арматуры (к СП 52-101-2003) / ЦНИИ-Промзданий, НИИЖБ. - М.: ЦНИИПромзданий, 2005. - 214 с.

3. Старишко И.Н. Совершенствование теории расчетов внецентренно сжатых железобетонных элементов путем совместного решения уравнений, отражающих их напряженно-деформированное состояние [текст] / И.Н. Старишко // Вестник гражданских инженеров. - 2012. - №Б (34). - С. 72-81.

4. Старишко И.Н. Варианты и случаи, предлагаемые для расчетов внецентренно сжатых элементов // Бетон и железобетон. - 2012. - №3. - С. 14-20.

5. Старишко И.Н. Особенности предлагаемой методики расчета внецентренносжа-тых железобетонных элементов с практическим решением задач // Бетон и железобетон. - 2012. - № 4. - С. 9-14.

6. Еврокод 2: Проектирование железобетонных конструкций-Часть 1-1: Общие правила и правила для зданий / Европейский комитет по стандартизации, 2002 / 226р.

R e f e г e n c e s

1. SNiP 2.03.01—84*. Betonnye i zhelezobetonnye konstruktsii [Construction Norms and Regulations 2.03.01—84*. Concrete and Reinforced Concrete Structures]. Moscow, 2002, 76 p.

2. SP 52-101—2003. Betonnye i zhelezobetonnye konstruktsii bezpredvaritel'nogo napryazheniya armatury [Regulations 52-101—2003. Concrete and Reinforced Concrete Structures without Prestress of the Reinforcement]. Moscow, 2004, 53 p.

3. Starishko, I.N. (2012). Sovershenstvovanie teorii raschetov vnetsentrenno szhatykh zhe-lezobetonnykh elementov putem sovmestnogo resheniya uravneniy, otrazhayushchikh ikh napryazhenno-deformirovannoe sostoyanie [Improving Theory of Eccentrically Compressed Concrete Elements Calculations by Solving the Equations that Refect their Stress-strain State]. Vestnik Grazhdanskikh Inzhenerov [Proceedings of Civil Engineers], no. 5(34), pp. 72-81.

4. Starishko, I.N. (2012). Varianty i sluchai, predlagaemye dlya raschetov vnetsentrenno szhatykh elementov [Variants and Cases Offered for the Calculations of the Eccentric Compressed Elements]. Beton i Zhelezobeton [Concrete and Reinforced Concrete], no. 3, pp. 14-20.

5. Starishko, I.N. (2012). Osobennosti predlagaemoy metodiki rascheta vnetsentrenno szhatykh zhelezobetonnykh elementov s prakticheskim resheniem zadach [Features of the Offered Method for Calculating Reinforced Concrete Beam Columns with the Practical Tasks Solution]. Beton i Zhelezobeton [Concrete and Reinforced Concrete], no. 4, pp. 9-14.

6. Eurocode 2: Design of concrete structures-Part 1-1: general rules and rules for buildings/European Committee for Standardization, 2002/226р.

ANALYSIS OF CARRYING CAPACITY OF ECCENTRIC COMPRESSED REINFORCED CONCRETE BLOCKS UNDER DIFFERENT VALUES OF ECCENTRICITIES OF LONGITUDINAL FORCES

I.N. Starishko Vologda State University, Vologda

The paper presents a theory for calculating eccentrically compressed concrete elements in the ultimate limit state of bearing capacity, taking into account all the possible stresses in the longitudinal reinforcement from RS to RSC, caused by different values of the eccentricity e of the longitudinal force N. Method of calculation is based on the simultaneous solution of the equilibrium equations of longitudinal forces and internal forces with equilibrium equations of bending moments. The joint solution of the above as well as additional equations that reflect the stress-strain limit state elements makes it possible to obtain a higher convergence of the calculated bearing capacity with an experienced, as well as to enhance the durability and reliability in their operation.

KEYWORDS: eccentrically-compressed elements, the equilibrium equations, load-bearing capacity.