CC BY
40
Вестник науки и образования Северо-Запада России
http://vestnik-nauki.ru/ -------
~~^ --2015, Том.1, №1
УДК 624.012.3
МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ СЖАТЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
А.Л. Кришан, Е.А. Трошкина
METHOD FOR DETERMINATION THE BEARING CAPACITY OF COMPRESSED ELEMENTS
A.L. Krishan, E.A. Troshkina
Аннотация. В статье предложен универсальный метод определения несущей способности сжатых стержневых элементов, который может быть использован для расчета конструкций из различных материалов, в том числе композитных, а также нелинейно и неравновесно деформируемых. Метод построен на базе деформационной модели и позволяет с единых позиций осуществлять учет гибкости в расчетах прочности и определять возможную потерю устойчивости. При практическом применении данного метода отпадает необходимость в отдельной формуле для определения критической силы.
Ключевые слова: несущая способность; сжатые элементы; гибкость; устойчивость; критическая сила.
Abstract. The universal method for determination the bearing capacity of compressed bar elements is offered. It can be used for calculation of structures made of various materials including composite materials and nonlinear and nonequilibrium deforming materials. The calculation procedure is based on the nonlinear deformation model of reinforced concrete. It allows to carry out the calculation of bearing capacity of columns with regard to their flexibility and loss of stability. There is no need in the formula for determination the critical load in the practical application of the calculation procedure.
Keywords: bearing capacity; compressed elements; flexibility; stability; critical load.
Введение
Расчет несущей способности сжатых стержневых элементов сплошного сечения, изготовленных из современных конструкционных материалов (металлов, железобетона, камня, дерева, композитов) имеет специфическую особенность. По мере роста расчетной длины элементов предельная нагрузка, действующая с заданным эксцентриситетом, все в большей степени зависит не только от прочности этих материалов, размеров и формы поперечного сечения, но и от гибкости рассчитываемых конструкций. Продольный изгиб сжатого элемента снижает его несущую способность.
Задача прочности сжатого элемента, когда внутренние усилия в нем вычисляются на основе недеформированной схемы, может быть реализована только для коротких стержней. Для длинных стержней, когда внешняя сжимающая нагрузка вызывает деформацию, увеличивающую ее эффект, может произойти нарушение равновесия между внешними и внутренними силами без достижения материалами предельных напряжений, т.е. потеря устойчивости.
Строительная механика рассматривает два вида потери устойчивости сжатых элементов - первого рода или второго рода.
Для расчета упругих центрально сжатых стержневых элементов обычно принимается потеря устойчивости первого рода, когда до определенного уровня нагрузки продольная ось элемента остается идеально прямой. Вначале загружения материал стержня равномерно укорачивается. При достижении сжимающей силы N критической нагрузки Ncr прямолинейная форма равновесия стержня оказывается неустойчивой и появляется
http://vestnik-nauki.ru/
Вестник науки и образования Северо-Запада России
2015, Том.1, №1
продольный изгиб. Таким образом, потеря устойчивости первого рода происходит с появлением и значительным развитием совершенно новых форм деформации.
Аналитическое решение задачи с учетом возможности существования двух форм равновесия при одном и том же значении силы впервые предложил академик Петербургской Академии наук Л. Эйлер еще в 1774 г. Впоследствии, многочисленные исследования Ф.С. Ясинского [1] и других ученых показали, что в области упругопластических деформаций формула Эйлера не применима. Поэтому на практике ее используют только при гибкостях Я превышающих некоторую критическую величину Ясг, когда связь между напряжениями и
деформациями во всех материалах конструкции можно считать пропорциональной. Это характерно для металлических конструкций. В области неупругих деформаций, когда гибкость Я<ЯСГ, но достаточно велика, ее учет на несущую способность производится с
помощью эмпирических формул.
На работу реальных строительных конструкций кроме осевых нагрузок заметное влияние оказывают еще изгибающие (или искривляющие) факторы, например эксцентриситеты, в том числе обусловленные неточностью монтажа, начальное искривление продольной оси, случайные поперечные нагрузки и т.д. Эти факторы задолго до возрастания нагрузки до критического значения вызывают деформации стержня, типичные для потери его устойчивости. Увеличение осевых нагрузок до критической величины приводит к очень существенному росту деформаций - потере устойчивости второго рода.
Таким образом, практически для всех гибких строительных элементов, работающих на внецентренное сжатие, характерна потеря устойчивости второго рода. Она характеризуется следующими основными признаками:
- с началом роста сжимающей нагрузки стержень получает продольный изгиб. При этом он имеет единообразную криволинейную форму равновесия, а численные параметры кривой деформирования изменяются с изменением нагрузки и во времени;
- при определенном поперечном прогибе сжимающая нагрузка достигает предельной величины, после чего происходит нарушение равновесия, которое приводит к снижению нагрузки при дальнейшем росте прогиба (рис. 1).
Рисунок 1 - Зависимость сжимающей силы от прогиба
Согласно нормам РФ по проектированию железобетонных конструкций для расчета их несущей способности следует учитывать как минимум случайный эксцентриситет. Поэтому при определении предельной сопротивляемости гибких железобетонных конструкций, работающих на сжатие, необходимо учитывать потерю устойчивости второго рода. Действующий СП 63.13330.2012 в этом смысле предлагают не совсем корректный подход. С одной стороны, учет гибкости производят за счет увеличения начального эксцентриситета, умножая его на соответствующий коэффициент. С другой стороны, для
http://vestnik-nauki.ru/
Вестник науки и образования Северо-Запада России
2015, Том.1, №1
определения этого коэффициента предлагают использовать откорректированную формулу Эйлера. Корректировка выполнена с помощью эмпирических коэффициентов, учитывающих нелинейность деформирования железобетонных конструкций, величину начального эксцентриситета сжимающей нагрузки и длительность ее действия. Но следует помнить, что любые эмпирические зависимости имеют ограниченную область применения и в определенных условиях могут приводить к большим погрешностям в расчетах.
Для расчета стальных, каменных или деревянных конструкций гибкость учитывают с помощью коэффициента продольного изгиба р, т.е. используется другой подход. Однако, как показано выше, физическая природа процессов, происходящих в сжатых конструкциях, изготовленных из разных материалов, одна и та же. Следовательно, и подход к расчету их несущей способности должен быть единым.
В данной работе предлагается в принципе отказаться от использования формулы Эйлера и ее модификаций. Рассматривается расчет несущей способности сжатого стержня с учетом влияния его продольного прогиба. В основу расчета положена деформационная модель. Подобный подход ранее предлагался [2,3], но только для расчета одноосно сжатых железобетонных конструкций.
Фактически стержень может быть изготовлен из разных материалов (в том числе композитных), использующихся для изготовления сжатых конструкций. Эти материалы могут находиться в сложном напряженно-деформированном состоянии. Современное состояние механики твердого тела [4] позволяет осуществлять такие расчеты.
Предлагаемый метод расчета стержневых сжатых элементов базируется на ряде допущений. Приведем основные, имеющие непосредственное отношение к данному исследованию:
- расчет ведется на основе теории малых перемещений;
- деформациями сдвига по сравнению с деформациями изгиба оси стержня пренебрегают;
- распределение деформаций по поперечному сечению соответствует гипотезе плоских сечений;
- все элементы рассматриваются как внецентренно сжатые (для любых конструкций начальный эксцентриситет должен быть принят не менее случайного).
Относительно последнего допущения нелишне еще раз дать пояснение. Анализ многочисленных экспериментальных данных говорит о том, что случайные эксцентриситеты следует учитывать не только при расчетах железобетонных конструкций, для которых вследствие существенной неоднородности бетона и возможных смещений рабочей арматуры они могут принимать относительно большие значения. Для конструкций, изготовленных из более однородных материалов, эти значения будут заметно меньшими. Но вероятное наличие геометрических несовершенств (даже небольшие отклонения от вертикали, прямолинейности, плоскопараллельности, не идеальная пригонка в стыках и т. п.) и в них неизбежно приводит к появлению случайных эксцентриситетов.
К настоящему времени специалисты еще не пришли к общему мнению по необходимости учета этих эксцентриситетов. Так, нормы РФ (СП 16.13330.2011) для расчета стальных конструкций не предусматривают учет случайных эксцентриситетов. В европейском стандарте (БК 1993-1-1: 2005) методика расчета сжатых элементов допускает использование случайных эксцентриситетов, значения которых принимают, в основном, в зависимости от их расчетной длины.
Для расчета по предлагаемому методу, если для конструкций из конкретных материалов величина случайного эксцентриситета не определена никакими нормами, ее следует установить из условия наилучшего соответствия расчетных значений несущей способности опытным данным.
Укрупненный алгоритм определения несущей способности внецентренно загруженного сжатого элемента можно рассмотреть на конкретном примере. Для расчета
http://vestnik-nauki.ru/
Вестник науки и образования Северо-Запада России
2015, Том.1, №1
взята сталебетонная колонна квадратного сечения, загруженная продольной силой Nz с эксцентриситетом e0 (рис. 2). Бетонное ядро колонны с прочностью Rb и площадью поперечного сечения A имеет продольное армирование с общей площадью сечения As. Площадь поперечного сечения стальной трубы Ap, ее предел текучести - (у.
Рисунок 2 - К расчету несущей способности сталебетонного элемента
В основу расчета положена нелинейная деформационная модель, предусматривающая использование диаграмм деформирования материалов в направлении оси «2». Точность этих расчетов зависит от достоверности принятых диаграмм деформирования для бетона и стали. Причем особое внимание следует уделять обеспечению наибольшего соответствия принимаемой в расчете диаграммы деформирования бетона его реальной диаграмме, которая имеет ярко выраженный криволинейный характер.
В действующих нормах проектирования железобетонных конструкций предложены диаграммы деформирования для бетона и стали, работающих в условиях одноосного сжатия или растяжения. В рассматриваемом примере бетон и сталь находятся в условиях объемного напряженного состояния. Поэтому расчет предлагается выполнять в два этапа.
На первом этапе строятся диаграммы деформирования для осевого направления объемно-напряженного бетонного ядра и стальной оболочки. Для этого выполняется расчет прочности нормального сечения короткой центрально сжатой сталебетонной колонны. Координаты вершины диаграммы деформирования бетона можно определить по формулам, полученным теоретическим путем [5]:
- максимальное сжимающее напряжение
(Ъzu - КЬ
1 + ■
- (-2
0,25( +—-+ .
4
2
\2
"Л
4
(
+
Ъ
/
(1)
- относительная деформация укорочения
Вестник науки и образования Северо-Запада России
http://vestnik-nauki.ru/ -------
~~^ --2015, Том.1, №1
8Ы =8Ь0 (1 + 0,35р°'5)
* (2)
В формулах (1) и (2):
с - относительная величина бокового давления со стороны стальной оболочки на бетонное ядро в предельном состоянии, определяемая по формуле
с = 0,48е "(а+с р08, (3)
где а и с - коэффициенты материала [4]; р - конструктивный коэффициент трубобетона
мр
р=«ьт ; (4)
£ - коэффициент, учитывающий влияние стальной оболочки с шириной сечения Ь и толщиной сечения 5 на прирост прочности бетонного ядра
¿ = (1 - 0,01 Ь/5> 0. (5)
ур = 0,75 - коэффициент, учитывающий влияние изгиба стальной оболочки колонны квадратного сечения на величину растягивающих напряжений в этой оболочке (для холодногнутых профилей он может быть увеличен на 10 %); 8Ь0 - относительная деформация
укорочения в вершине диаграммы деформирования при осевом сжатии.
Диаграмма работы стальной оболочки может быть приняты по форме, предложенной Прандтлем. При этом в зоне «сжатие-растяжение-сжатие» максимальные напряжения сгр2и определяются по формуле
сри = КЬ~А
Л„ П 2 .-2 -
р -3с -с
(6)
Реализация второго этапа производится с использованием полученных расчетным путем диаграмм деформирования материалов, работающих в условиях сложного напряженного состояния. Каждое сечение условно разбивают на малые участки с площадями бетона А, стальной оболочки Лрк и стержневой арматуры Лх/. Далее процесс расчета
выполняется в следующей последовательности.
Пошагово (начиная с нуля) наращивается деформация наиболее сжатого волокна бетонного ядра £Ьтах среднего по высоте стержня сечения. На каждом шаге определяется
относительная деформация наименее сжатого (растянутого) волокна £Ьтп, соответствующая условиям равновесия этого сечения. Условия равновесия записываются в следующем виде
N = (ЕЛ) £о; (7)
N ( + / ) = (В1) 1. (8)
Вестник науки и образования Северо-Запада России
http://vestnik-nauki.ru/ -------
~~^ --2015, Том.1, №1
В этих уравнениях: N и е0 - продольная сжимающая сила и ее эксцентриситет;
(ЕЛ)
е? и
(Е1)
е?- жесткостные характеристики сечения, определенные относительно его центра тяжести; £0 - относительная деформация волокна, расположенного по центру тяжести рассчитываемого сечения; / - прогиб в месте действия максимального изгибающего момента; 1/г - кривизна продольной оси в рассматриваемом поперечном сечении, определяемая при размере сечения бетонного ядра dь по формуле
1 Е — Е
_ _ b max_b min
r db
(9)
Эксцентриситет e0 в формуле (8) первоначально принимается относительно
геометрического центра сечения, а после нахождения его центра тяжести уточняется. Жесткостные характеристики сечения находят по следующим формулам:
(EA) eff ~ 2 Vb,EbAb, + 2 V4EsAv + 2 VpkEs,pApk ; (10)
i j k
(EI)eff+2 +2 VA AZk, (ii)
i j k
где vbi,vsj,vpk- коэффициенты упругости для выделенных участков бетонного ядра,
продольной арматуры и стальной оболочки (по результатам построения диаграмм деформирования материалов каждому значению относительной деформации материалов соответствует определенное значение коэффициента упругости); Zbi, Zsj, Zpk — расстояния от
центра тяжести поперечного сечения до геометрического центра i-го участка бетона, j-го стержня продольной арматуры, p-го участка стальной оболочки.
Важным моментом предлагаемого метода расчета является обязательный учет изменения жесткости по длине железобетонного стержня.
Для возможности учета продольного изгиба сжатого стержня на каждом шаге расчета следует определять величину прогиба f. Каждому принятому значению относительной
деформации наиболее сжатого волокна бетонного ядра Ebmax соответствует определенное значение f. Причем сначала определяется приближенная величина прогиба f, а затем она пошагово уточняется с учетом переменной жесткости стержня по его длине.
Процедура расчетов может повторяться до тех пор, пока Ebmax не достигнет предельно допустимого значения для принятого бетона, находящегося в условиях объемного сжатия. За несущую способность принимается максимальное значение продольной силы N, воспринимаемой стержнем.
Заключение
Предложен универсальный метод определения несущей способности сжатых стержневых элементов сплошного сечения, изготовленных из современных конструкционных материалов. Данный метод на базе деформационной модели позволяет осуществлять объединенный расчет прочности с учетом гибкости и возможной потери устойчивости. Метод учитывает важную особенность расчета нелинейно и неравновесно деформируемых конструкций - взаимозависимость внутренних усилий и жесткости. Для конструкций, изготовленных из нелинейно деформируемых материалов (типа бетона, железобетона, каменной кладки) это дает возможность получать более достоверные расчетные данные без использования эмпирических формул.
Вестник науки и образования Северо-Запада России
http://vestnik-nauki.ru/ -------
~~^ --2015, Том.1, №1
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Ясинский Ф.С. Избранные работы по устойчивости сжатых стержней. М.: Гостехиздат, 1952. 428 с.
2. Гвоздев А.А. Расчет железобетонных стержневых конструкций по деформируемой схеме // Строительная механика и расчет сооружений, 1971. № 4. С. 25-26.
3. Козачек В.Г., Пецольд Т.М., Лапчинский А.С. Расчет гибких сжато-изгибаемых железобетонных стоек по деформированной схеме // Строительные конструкции. Минск, 1977. С. 56-68.
4. Карпенко Н.И. Общие модели механики железобетона. М.: Стройиздат, 1996. 416
с.
5. Krishan A.L., Krishan M.A., Strength of axially loaded concrete-filled steel tubular columns with circular cross-section // Electronic magazine «Advances of Environmental Biology». Vol. 8, № 6, May 2014, pp. 1991-1994, http:// www.aensiweb.com/aeb online.html
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Кришан Анатолий Леонидович ФГБОУ ВПО «Магнитогорский государственный технический университет», г.Магнитогорск, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой проектирования зданий и строительных конструкций E-mail: kris_al@mail.ru
Krishan Anatoly Leonidovich FSEI HPE «Magnitogorsk State Technical University», Magnitogorsk, Doctor of Technical Sciences, Professor, head of Department of design of buildings and building structures E-mail: kris_al@mail.ru
Трошкина Евгения Анатольевна ФГБОУ ВПО «Магнитогорский государственный технический университет», г.Магнитогорск, кандидат технических наук, доцент кафедры строительных материалов и изделий
E-mail: skyjanny@mail.ru
Troshkina Evgeniya Anatolievna FSEI HPE «Magnitogorsk State Technical University», Magnitogorsk, Master of Technical Sciences, lecturer of Department of building materials and products E-mail: skyjanny@mail.ru
