Расчет неравномерного движения воды в непризматическом русле Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 625.745.3

РАСЧЕТ НЕРАВНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ ВОДЫ В НЕПРИЗМАТИЧЕСКОМ РУСЛЕ

Е.И. Романенко, доцент, к.т.н., Я.Н. Жуванов, студент, ХНАДУ

Аннотация. Приведена методика построения кривых свободной поверхности потока в непризматическом русле прямоугольного сечения.

Ключевые слова: поток, непризматическое русло, кривые свободной поверхности потока.

Введение

Основным вопросом расчета неравномерного движения воды в открытом непризматическом русле является установление значений глубин в каждом из его сечений. Следовательно, расчет, по сути, сводится к построению кривой свободной поверхности потока.

Анализ публикаций

Энергетическое уравнение неравномерного потока в непризматическом русле имеет вид [1, 2]

ОЭ

а!

■ = г _

г/.

(1)

Это уравнение связывает изменения удельной энергии сечения Э по длине I потока с уклоном его дна г и уклоном трения г/.

Запишем уравнение (1) в конечных разностях для двух сечений потока, расположенных на расстоянии I одно от другого

Ьп +

2 ( а п ип

2 Я

Ьп

^о«^ _ /у!, (2)

2Я )

где Ьп и Нп+1- глубины потока соответственно в сечениях п и п + 1; ип и ип+1 - средние скорости в тех же сечениях; ап и ап+1- коэффициенты Кориолиса, которые в дальнейшем принимаются а = ап = ап+1; г - уклон дна русла; г/ср - средний уклон трения на участке между сечениями п и п +1.

Намечается начальное сечение п, в котором известна глубина. Задача: по известной глубине Ьп в сечении п необходимо установить значение Нп+1 глубины в сечении п+1. Для этого подсчитываются для сечения п значения: ширина русла по дну Ьп, площадь живого сечения щп, смоченный периметр % , гидравлический радиус Яп, коэффициент Шези Сп, средняя скорость ип, удельная

энергия сечения Эп = /

а-ии

2Я

Задаемся значением глубины Ьп+1 в сечении п+1, расположенном на расстоянии I от сечения п, и подсчитаем для этого значения глубины следующие значения: Ьп+1, ш„+1, Xп+1,

Яп+1, С п+1 , и п+1 , Эп

Находим

г/ср :

п+1 •

2

Цср

С2 • Л

ср с

Если глубина Ьп+1 задана правильно, то удельная энергия сечения Э п+1 в сечении п+1 должна равняться Э п+1=Эп +

+(г _ г/ср) • I.

Если равенства не наблюдается, то нужно задаваться новым значением Ь'п+1 и расчет повторять до тех пор, пока не будет достигнуто необходимое равенство. Затем переходят к следующему сечению и т.д.

Решение достигается длительным методом подбора.

Цель и постановка задачи

Так как

Ь' = 0, то y = u„+i-

Разработка методики гидравлического расчета непризматического русла прямоугольного профиля в системе дорожного водоотвода, лишенной процесса итерации.

Результаты исследований

Рассмотрим непризматическое русло прямоугольного сечения. В этом случае уравнение для удельной энергии сечения может быть записано в таком виде

Q

а -иП+i

Ь„+1 • ии+1 2g

= Э

n+1 '

(3)

Значит

и n+1 + 3 f и n+1 + 2q = 0.

Полученное уравнение решается обычным путем.

Действительные положительные решения имеют место тогда, когда

f3+q2 * о.

(10)

Комплексные числа при решении кубического уравнения представляем в тригонометрической форме. Тогда, если

где Ьп+1 - ширина русла в сечении n+1; Q -расход жидкости.

cos0 = 4-< 1,

(11)

Неизвестным в уравнении является скорость потока и„+1.

Перепишем уравнение (3) в следующем виде

а • Ьп+1 • иП+1- 2 § • Э„+1 • Ьп+1 • и„+1 +

+2g • Q = 0.

(4)

Уравнение (4) представляет собой записанное в канонической форме кубическое уравнение.

Здесь: а' = а^Ьп+1 Ь' = 0; с ' = -2 § ^Эп+1 -Ьп+ь ^' = 2 § • б.

Перейдем к уравнению вида

y + 3 fy + 2q = 0.

(5)

то получаем два действительных положительных корня

и 'n+1 = 2r • cos(60°-|); (12)

и ' 'n+1 = 2r • cos(60°+—). (13)

3'

Здесь

r = ±

ЛЛ .

Искомый корень выбирается в зависимости от формы кривой свободной поверхности потока в рассматриваемом русле.

В случае, если cos 0 = 1, то имеет место один действительный положительный корень

и n+1 = 2r • cos60°

(14)

Для этого разделим уравнение (3) на а' и введем новую переменную

Ь'

У = U n+1 +V7. 3a

Тогда в уравнении (5)

2Ь '3 Ь ' c' , d' = 2g^ Q

2q =

27a'3 3a'2 a' аЬ

n+1

(6)

(7)

Разберем теперь более подробно, что представляет собой предел действительных положительных решений с гидравлической точки зрения.

Раскрывая значения коэффициентов в выражении (10), получаем

3 a-Q2

Эп+1 " 2 •3 g • Ь2+1

(15)

3f =

3a С ' - Ь'2 = -2 g^ Эп 3a'2

a

(8)

или

Эп+1 — 2 ^кр.п+1 .

(16)

Анализируя указанные зависимости, можно установить следующее положение. Когда соблюдается условие (10), т.е. до тех пор, пока значение удельной энергии сечения больше или равно ее минимальному значению, при построении кривых свободной поверхности потока имеют место действительные положительные решения. Если в сечении удельная энергия сечения минимальна, то в нем должна наблюдаться критическая глубина.

Рекомендуемая методика построения кривых свободной поверхности потока

Ниже приводится методика построения кривых свободной поверхности потока в непризматическом русле прямоугольного сечения, выполненная на конкретном примере.

Пример

Построить кривую свободной поверхности потока на подводящем русле быстротока прямоугольного сечения. На участке длиной 2 м русло имеет прямолинейно-сужающуюся

1 Ф Л <■>/ Ф

форму со степенью сужения 18 = 0,3("^ =

= 17°). Расход Q = 1,95 м3/с; продольный уклон дна русла /01= 0,0012; коэффициент шероховатости п = 0,014.

Наметим в русле шесть сечений (рис. 1). Ширина русла в сечении 1-1 Ь = 0,8 м. Непризматический участок находится между сечениями 1-1 и 4-4. За исходное принимаем сечение 1-1, глубину в котором можно установить.

Рис. 1. Кривая спада типа Ь1

Решение

1. Устанавливаем исходную глубину в сечении 1-1. Такой глубиной будет критическая глубина Ък = 0,87 м.

2. Гидравлические элементы в сечении 1-1 ш1 = 0,70м2; хх = 2,54м; Я1 = 0,27м;

С1 = 57,37 м0,5 /с; и1 = 2,78 м/с.

3. Уклон трения / = 0,0087.

4. Удельная энергия сечения при глубине

К

Э2 = Э1 - (101 -1/1) • /1-2 = 1,307 м.

5. Значения вспомогательных коэффициентов: а = 7,77; q = 15,8; г = 2,79.

Ширина лотка Ь2 в сечении 2-2 Ь2 = Ь + 218 ФФ / = 0,8 + 2 • 0,3 • 0,5 = 1,1 м.

6. Значение косинуса 0 со80 = 0,73; 0 = 43°.

7. Средняя скорость в сечении 2-2 и'2 = 3,91 м/с; и>2 = 1,51 м/с.

8. Глубина потока в сечении 2-2 к'2 = 0,45 м; й" = 1,17 м.

Так как в русле будет наблюдаться кривая спада типа Ь1, то принимаем большее значение глубины К = К'' = 1,17 м.

9. Для сечения глубиной К2 гидравлические элементы:

ш2 = 1,29 м2; х2 = 3,44 м; Д2 = 0,375 м; С2 = 60,46 м05/с; и2 = 1,51 м/с; ¡г2 = 0,0017.

10. Удельная энергия сечения при глубине К Э2 = 1,298 м.

11. Значения вспомогательных коэффициентов: а = 7,72; q = 12,42; г = 2,78.

Ширина русла Ь3 в сечении 3-3 Ь3 = Ь1 + 218 ФФ / = 0,8 + 2 • 0,3-1,0 = 1,4 м.

12. Значение косинуса 0080 = 0,58; 9 = 54°30'.

13. Средняя скорость в сечении 3-3

и3 = 4,14 м/с; и = 1,14 м/с.

14. Глубина в сечении 3-3

И3 = 0,34 м; И1 = 1,22 м.

Поскольку в лотке установится кривая спада типа Ъх, то принимаем большее значение глубины ^з = И3 = 1,22 м.

В дальнейшем расчете получаем

И4 = к5 = к6 = 1,27 м.

По вычисленным значениям глубин в различных сечениях строится кривая свободной поверхности (рис. 1).

Выводы

Предложенная методика построения кривых свободной поверхности потока в непризматических руслах прямоугольного сечения значительно сокращает время расчета по сравнению с традиционной.

Литература

1. Константинов Н.М., Петров Н.А., Высоц-

кий Л.И. Гидравлика, гидрология, гидрометрия. Ч. 1. Общие законы. - М.: Высшая школа, 1987. - 304 с.:

2. Большаков В.А., Курганович АА. Гидро-

логические и гидравлические расчеты малых дорожных сооружений. - К.: Вища школа. Головное изд-во, 1983. -280 с..

Рецензент: В.П. Кожушко, профессор, д.т.н., ХНАДУ.

Статья поступила в редакцию 27 января 2009 г.