Расчет колебательной скорости и излучаемой мощности элементов конечных размеров в условиях различных резонансов Текст научной статьи по специальности «Физика»

Научно-технический и производственный журнал

-------ЖИЛИЩНОЕ ---

СТРОИТЕЛЬСТВО

Reports of the VII Academic reading "Actual issues of building physics"

УДК 534.833

А.А. КОЧКИН1, д-р техн. наук (vol.nikit@inbox.ru);

И.Л. ШУБИН2, д-р техн. наук, Н.А.КОЧКИН2, аспирант

1 Вологодский государственный университет (160000, г. Вологда, ул. Ленина, 15) 2 Научно-исследовательский институт строительной физики РААСН (127238, г. Москва, Локомотивный пр., 21)

Расчет колебательной скорости и излучаемой мощности элементов конечных размеров в условиях различных резонансов

Рассмотрены теоретические основы прохождения и излучения звука в слоистых, вибродемпфированных элементах, конечных размеров с шарнирным опиранием по контуру в проеме акустически жесткого бесконечного экрана. На основе теории о самосогласовании звукового поля пространства и вибрационного поля элемента исследован процесс прохождения звука в наиболее практически важных частотных областях: полных пространственных резонансов (ППР), неполных пространственных. резонансов (НПР), простых пространственных резонансов (ПрПР). Получено выражение собственной функции трехслойного шарнирно опертого элемента с промежуточным вибродемпфирующим слоем. Анализируется выражение для амплитуды вынужденных колебаний элемента в различных частотных областях. Исследованы условия прохождения звука через элемент с учетом его конечных размеров в областях ППР, НПР и ПрПР. Определена величина излучаемой акустической мощности согласно соотношению, связывающему величину колебательной скорости элемента и давление прошедших звуковых волн по всей площади элемента для различных расчетных областей. Полученные в работе выражения для колебательных скоростей и излучаемой акустической мощности позволяют рассчитать звукоизоляцию слоистых вибродемпфированных элементов в различных частотных областях.

Ключевые слова: колебательная скорость, излучаемая мощность, звукоизоляция, слоистый вибродемпфированный элемент.

A.A. KOCHKIN1, Doctor of Sciences (Engineering) (vol.nikit@inbox.ru); I.L. SHUBIN2, Doctor of Sciences (Engineering), N.A. KOCHKIN2, Post-graduate

1 Vologda State University (15 Lenina Street, 160000, Vologda, Russian Federation) 2 Scientific-Research Institute of Building Physics of the Russian Academy architecture and construction sciences (RAACS) (21, Lokomotivniy Driveway, Moscow,127238, Russian Federation)

Calculation of Vibration Speed and Emitted Power of Elements of Finite Sizes under Conditions

of Various Resonances

Theoretical bases of sound transmission and radiation in layered vibro-damping elements of finite sizes with hinge support along the contour in the opening of the acoustically hard endless screen re considered. On the basis of the theory of self-consistency of the acoustic field of the space and the vibration field of the element, the process of sound transmission in the most practically important frequency fields - complete spatial resonances (CSR), incomplete spatial resonances (ISR), simple spatial resonances (SSR) - has been investigated. An expression for the own function of the three-layer hinge supported element with a vibro-damping interlayer has been obtained. An expression for the amplitude of forced vibrations of the element in various frequency domains are analyzed, Conditions of the sound transmission through the element with due regard for its finite sizes in the fields of CSR, ISR, and SSR have been studied. A value of emitted acoustic power according to the ratio connecting the value of vibration speed of the element and the pressure of sound waves passed over the entire area of the element for various computational regions has been determined. Expressions for vibration speeds and emitted acoustic power obtained in this work make it possible to calculate the sound insulation of layered vibro-damping elements in various frequency domains.

Keywords: vibration speed, emitted power, sound insulation, layered vibro-damping element.

Величина излучаемой акустической мощности, связывающая величину колебательной скорости элемента и давление прошедших звуковых волн по всей площади элемента для различных частотных диапазонов, в значительной мере определяет звукоизоляцию слоистых элементов конечных размеров [1-7].

При гармонических колебаниях колебательная скорость связана со смещением известным соотношением V= icol;.

Поскольку для разных частотных диапазонов значения собственной функции отличаются друг от друга, рассмотрим расчетные значения колебательной скорости отдельно для каждой резонансной области частот.

Для области пространственных резонансов зависимость отклика элемента на mn-й форме ее собственных колебаний будет иметь вид:

£2 = Ьтп

■2

POnrn

a?

(1)

Определим далее квадрат колебательной скорости элемента на тп-м резонансе в каждом единичном интервале частот. В этом случае имеем [5]:

7 (в1с1а)

}, , .. „ ц2> (2)

V2 =

' тп

=2 Pílmn

где Рош, - квадрат давления в падающих звуковых волнах, относящихся к выбранному частотному интервалу; Дттп - частотный интервал, в котором определяющий вклад в результирующее движение элемента принадлежит тп-му резонансу.

Учитывая ортогональность собственных функций, запишем выражение усредненного квадрата колебательной

7'2016

15

Доклады VII Академических чтений «Актуальные вопросы строительной физики»

ц м .1

Научно-технический и производственный журнал

скорости элемента с возбуждением последней звуковыми волнами диффузного поля в интервале частот Дю:

=2

Vmn =

1

'—"»в "—"в ^ w

X ^ Рвтп J?

G?d(Q

¿\ ' ' ' ' 1 vmn i г -

ß Да т=тн п=щ, о Ш

-го

-coL

м2'

(3)

где тип,, - низшии номер резонанса в интервале; щ,пе - высший номер резонанса в том же интервале.

После интегрирования зависимость (3) запишется в виде:

=2 т=тв п=пд

С целью дальнейшего упрощения подсчета усредненной колебательной скорости элемента (4) освободимся в этом выражении от знаков суммы, считая, что в частном интервале Аса имеется Щ„„ резонансов:

V2=--

31

2 ц2а^Асог]'

(5)

где р1=р1ш,Щпп, Отп - среднегеометрическая величина между круговыми частотами низшего и высшего резонансов в том же интервале.

Квадрат звукового давления р2 представляет сумму квадратов звуковых давлений в падающих на элемент волнах в пределах телесного угла между двумя конусами, образующие которых составляют с нормалью к элементу углы в„ и в,. При этом меньший угол в, соответствует случаю, когда одно из условий существования пространственного резонанса удовлетворяется при высшей частоте интервала Да, а угол вн - случаю, когда это условие удовлетворяется при низшей частоте того же частотного интервала. Отсюда, если обозначить звуковое давление, соответствующее диффузному падению звука в пределах от 0 до п/2, через р, следует:

р1=р21^со&в&твёв. (6)

%

Для области неполных пространственных резонансов (т=т'\ пФп') наибольшее значение смещения элемента с учетом диссипации энергии будет выражаться формулой:

W =У

"тп0 Zw

•2" sin П'^Ж

"=° («Ii1 + ÍT>)-аЛя{п2- П'[

(7)

или, ограничиваясь наибольшим значением амплитуды, имеем:

\ Р._„' -2л

W„

тпо

n=o/i[a2 (l + irj)U(n2-n¡

,2 у (и™о 2'2'")'

тп0/

(8)

В другом случае при тФт'\ п=п' наибольшее значение смещения элемента будет равно:

г _Y_femn ^m_. , _J_. (Q)

^-¿^им-.ч) 1 *(9)

Считая амплитуду звукового давления в волне величии

ной постоянной, вынесем в зависимостях (8) и (9) Рвт'п за знак суммы. Тогда можно записать:

_1 з 1/г

"2'2

.3 [т2—т'2) 2'2

Л 16 '

(10)

^2 Реп

,'п_7 а?с1<о (ц)

где: Д^Ц, - интервал частот между соседними резонансами отдельно для т = 1 во всем интервале До, затем для т = 2 в этом же частотном интервале и т. д. до т = т. Можно также записать:

а?<1со

-2

Рвт'п

тдп

"i

(12)

Если элемент находится под воздействием диффузного звукового поля в интервале частот Дю, то с учетом вклада каждого резонанса с т = 1, 2, ..., тв квадрат колебательной скорости элемента можно записать:

V2

'тп0

=х

Ж Ртп'^Щпп,

(13)

-8 цАаатпг]

Считая, что в интервале частот Аео имеется ДЛи,0 неполных пространственных резонансов, выражение усредненного квадрата амплитуды колебательной скорости будет иметь вид:

V2

=2

Рвтп'

8 М2Асотт

Здесь Рвтп'-Ртп' Д^ио, или

=2

Рвтп

= p¡- 2

(14)

(15)

Принимая в„=я12, что соответствует частоте из соотношения (15), получаем:

PLn'=P\{ 1-Sin4)

/

Учитывая, что sin20e=-#-, имеем:

в г- ~

fcp

7е

I2 - „2

Pmrl-P\

(16)

Для второго случая соотношения индексов тФт'\ п=г( квадрат колебательной скорости элемента будет иметь вид:

у2 Рвтп

2

где Pdn-Pi

(17)

(18)

Тогда усредненное значение квадрата колебательной скорости в области неполных пространственных резонан-сов будет равно:

72=Jv2 v2 =-

' \r mn0 ' nm0 o

1-1^

M&(oe»mn 7][

(19)

С учетом этого квадрат амплитуды колебательной скорости элемента в каждом единичном частотном интервале запишется как:

где р = р=р2. Следует заметить, что для третьоктавных по-

12 Г/ Т

лос величина 1-Рр-1 = 0,2, а для октавных полос 0,48.

Для области простых резонансов амплитуда колебаний определится по формуле:

- -А з - - 4ти вш т'„к вш п'л е «»»_"т>_"кп (20)

т=0

Проводя суммирование, усредняя звуковое давление в интервале и относя полученные средние значения к среднегеометрическому резонансу, имеем:

Научно-технический и производственный журнал

Reports of the VII Academic reading "Actual issues of building physics"

V2 = JL.

n2 ,, Parin

(21)

лучим:

32L fe ata^ ц'

(22)

= Mxdy,

О О С"' 2)

(23)

D -V D , ,sin—sm^e'4*"""'^

m'= 0 n'=0

(24)

V(x,y,tr

m= 1 »=1

(25)

Отсюда следует, что:

(26)

Амплитудное значение звукового давления каждого чле на ряда определим из граничных условий на поверхности:

Г др(х,у,г)

I dz

_ h=io)p0V(x,y,i). 2

(27)

(гг. тжх . тжх . пжу , , . Ра со yi voo )

Vo

я

. 2т лх . 2пжу

dxdyKz,

(28)

В случае пространственных резонансов, когда т=т'; п=п', последнюю зависимость можно представить как:

о

32 ц*Аеш^т] Суммируя энергию в падающих звуковых волнах, по-

цг _ РрС0 j72ae_Ki

2тп « ' тп I * г

2 Н-т-т

Отсюда коэффициент излучения:

5 =

Кп

1

.2 COSÖ„

(29)

(30)

Для расчета излучаемой мощности элементов конечных размеров в условиях различных резонансов рассмотрим процесс излучения звука трехслойным прямоугольным элементом площадью ахв с шарнирным опиранием по контуру. Выберем прямоугольную систему координат так, чтобы ее начало совместилось с левой нижней вершиной пластины. Ось ох направим вдоль стороны а, а ось оу - вдоль стороны в.

Акустическую мощность, излучаемую элементом в полупространство г<0, определим из известного выражения:

Определим количественную характеристику излучения для области неполных пространственных резонансов. Рассмотрим случай, когда т'=т; п^п'. Тогда выражение излучаемой акустической мощности в одном из направлений, заданном падающей звуковой волной, примет вид:

W1 ,=РосЬу2

"2тп 9 птг

(31)

где - максимальное во времени звуковое давление в

плоскости элемента; У^ - комплексно сопряженное значение колебательной скорости элемента в каждой точке х, у.

Звуковое давление в волне, излученной вынужденной изгибной волной, запишем как:

Колебательную скорость элемента представим в свою очередь в виде разложения в ряд по собственным функциям:

где V, = VrnJ4 - амплитудное значение колебательной скорости элемента при распространении изгибной волны в одном направлении.

Поскольку волновой процесс распространяется по трем координатам (х, у, г), то волновое уравнение в рассматриваемом случае будет:

У2р(х, у, г) + К2р(х, у,г) = 0,

2 д2 э2 д2

где V = + + - оператор Лапласа. ох ду дг

Тогда выражение акустической мощности запишется в виде:

\2

где ^„=^/4.

После интегрирования получаем значения коэффициента звукоизлучения для каждых т, п, т', и':

"2 ' (32)

^ ,=±_гг__

тп ж2 (и2 -и'2)2 '

1

COS0„

Коэффициент излучения (32) имеет наибольшие значения при т =1/2; 3/2; 5/2;.....

Принимая во внимание излучаемую энергию в четырех направлениях, соответствующих углам падения четырех звуковых волн; учитывая, что суммарная излучаемая мощность согласно [5] определяется соотношением Тогда из (31) имеем:

W,

2т'п~

_Росо

Для случая, когда т'Ф т; п'=п:

где Sm'n=—J

ш , = Росо у-

"2 тп 2 1

m„na^m'w

ж2 (т -т ) cosöm.„

(33)

(34)

(35)

с максимумами для т' =1/2; 3/2; 5/2;.....

Аналогично предыдущему рассмотрим излучение для случая простых резонансов, когда т'Фт; п'Фп.

Выражение акустической мощности, излучаемой четырьмя вынужденными изгибными волнами, будет иметь вид:

ш ,, = Росо у-"2 тп 2

т0п0 abSm'n

(36)

Коэффициент звукоизлучения в этом случае равен:

16

^т'п 4 , 2 ,2\2/ 2 <2\2

я (т -т ) (п -п )

sinm Ä'sinп ж

1

cosd.'

(37)

и имеет наибольшее значение, если т' =1/2; 3/2; ....; л' =1/2; 3/2;.....

Рассмотрим далее излучение в условиях диффузного падения звука на элемент. Для этого будем использовать подход, рассмотренный в работе [5].

Так, для области полных пространственных резонансов излучаемую мощность представим в виде:

т=т. п=п.

Щ=1 ХЩтп,

т=т,. п=пн

(38)

где тн, пн, тв, пв - номера форм собственных колебаний элемента, соответствующих частотам /в и Черта над знаком мощности обозначает усреднение в интервале А/тп.

72016

17

Доклады VII Академических чтений «Актуальные вопросы строительной физики»

ц м .1

Научно-технический и производственный журнал

С учетом формулы (29) зависимость (38) запишется как:

Кг,

^ 1

т=тн п=пн

2 _

тп

I

Котп'Жотп

(39)

где ¥тп - усредненное значение квадрата колебательной скорости элемента в интервале частот А/тп; АК0щП1~К0т2П1, Копцщ, К-0т2пг - волновые числа среды, соответствующие крайним частотам /т я , /т п , на которых вклад резонанса остается решающим.

В итоге усреднений по входящим параметрам последнее выражение (39) будет иметь вид:

где

~ т=тв п=пв т=тн п=пн

(40)

(41)

(42)

Для области неполных пространственных резонансов, принимая во внимание, что вклад простых резонансов в результирующее движение элемента в рассматриваемом диапазоне частот пренебрежимо мал, будем считать суммарную излучаемую мощность по формуле:

т=тяп =п.

=т„ т =т„

^2 = 1 1^2 Ил'+Х I Щш п >

(43)

о 1а^Утпот<1, 2 '2\2 м "(Л

2 (Пср~Пср) Утссро

2

_ „ СО$в„ _ —

/т1л0СОЕ'^т1л0/ 1 ■ т0

п-' Мпй в

тср ) ^'«¥>„ Х (/л2 т0СО8 )_/»1)я01С08^л1 т„) >

(44)

где ^ ^т(л); ''(Ж

т=тн п=Лн

Число п в первом слагаемом относится к резонансу с числом тш=^тп-те; т„=1 и частотой /'ср=^/т,/10/щ. Число тср соответствует резонансу с числом пнв=л/ини„; ия=1 и частотой /^=-у//йнто/йвт0. Числа относятся к расчетным резонансам соответственно с частотами Гср и /<£.

В силу последнего появляется возможность освободиться

от знаков сумм ^ , £ путем введения множителей тв и пв.

С целью дальнейшего упрощения формулы (44) проведем усреднение в интервале А/=/„-/„. При этом примем:

Учитывая, что для /и^, и^, угол 9,~л/2, соотношение (40) запишется:

АЯо ав 4 г-2 . п% рг л

Здесь угол в„, определяемый из соотношений

. Я.

■ Усе

штат-г2- = агевт- .

Кр и

Тогда коэффициент звукоизлучения равен:

, 2

ср

- + п.

т,

ср

Г]- (46)

^ А/ 1 в(<-<)2 ЧК-О Можно показать, что в случае определения звукоизолирующей и звукоизлучающей способности в третьоктавной полосе частот множитель /,соав,/^ равен «2,3. В случае же использования октавной полосы множитель равен 1,4.

С учетом полученных соотношений зависимость (46) можно переписать для третьоктавных полос как:

1=0,933к /СР ,22+пв <], (47)

(пср ~пср) \тср-тср)

а для октавных полос как:

5= 0,568 [те

п„

-+п„

т„

I 2 '2\2 " / 2 г2 \2

С"ср-Пср) О™ -тср)

]• (48)

где Ж2т„' и Ж2т-„ - излучаемые на каждой частоте акустические мощности в области неполных пространственных резо-нансов. Черта над знаком мощности означает усреднение по углам излучения в пределах каждого резонансного пика.

П=Пе

Сумма X, означает наличие числа вкладов в изучае-

Л = Л н

мую мощность на резонансах с каждым т = 1, 2, ..., тв в соответствии с числом п' =1/2; 3/2; ...., п'е. Аналогично этому

т=тв

знак X представляет сумму вкладов мощности для каждых п = 1, 2, ..., пв по числу т =1/2; 3/2; ...., т'. Индексы н, в означают, как и выше, принадлежность соответствующих чисел к крайним частотам интервала А/

Усредняя величины, формирующие факторы излучения, запишем:

"ср "ср / \ "ср "ср /

В области простых резонансов излучаемую элементом мощность представим в виде:

ТП —ТП я ТП — Ш„

(49)

т=ти т'=1/2 п=п" л'=1/2

Здесь Жгт'п' представляет усредненное значение мощности в интервале А/йоИо. После подстановки соответствующих значений имеем:

2 2 т п

_ 1/- т—то т —т

2 - п _4 2ш1 У(т)(п) Ь >2\2

т=Шц п=пн

АКп

К0Щ2Щ)2 /

и'=1/2[т -Я» и'=1/2

^Отощ)

I 2 I

(п -п

>2\2

(50)

—2

где ^т0„0 - усредненное значение квадрата колебательной скорости элемента в интервале частот А/то„о; т' =1/2; 3/2; ....; п' =1/2; 3/2;.....

п=пв

т=тв__^ _

Считая, что X ущп^щпа, заменим т на тср=^тктв

и п на пср=^пепн. Учитывая далее, что в частотном интервале А/"т0л0 имеется АN резонансов, освободимся от знака

т =тв п=п'.

суммы

В результате проведенного усреднения и инте-

т'=\12

грирования зависимости (50) будем иметь:

И??

ав—Ш_

" 2 'Ч'Юав 4Л/У / 2 1 я (иср

•ср

т,

ср

/2\2 / 2 '2 \2 -«от) (Щр-Щр)

1

с/; ср / 0»>ОИО1)

(51)

4/)лоло

Исходя из физического понимания чисел т', и' следует, что для и п'Ср угол &т0„01=п/2. Тогда коэффициент излучения будет определяться:

Научно-технический и производственный журнал

Reports of the VII Academic reading "Actual issues of building physics"

inl

ncpmcpfe cos6e

-n%)2(mL -ml)2Afe

. . (52)

"ср~"ср> У'"ср ~ '"ср > Л*

Здесь множитель /вД£/со80„, как и для области неполных резонансов, равен 2,3 для третьоктавной полосы и 1,4 - для полосы шириной в октаву. Число резонансов в полосе А/=/„-/„ находится из зависимости, приведенной в [5]:

(53)

Суммарная мощность, излучаемая слоистым элементом, складывается из собственных волн колебания и излучения чисто вынужденных волн. Вынужденные колебания и излучаемая при этом звуковая энергия определенным образом связаны с законом массы. Изменения излучаемой мощности за счет излучения при вынужденных колебаниях учтены в методе расчета путем введения понятия эффективного коэффициента потерь.

Полученные выше выражения для колебательных скоростей и излучаемой акустической мощности позволяют определить звукоизоляцию слоистого элемента в различных частотных диапазонах [8].

Список литературы

1. Бобылев В.Н., Монич Д.В., Тишков В.А., Гребнев П.А. Резервы повышения звукоизоляции однослойных ограждающих конструкций: Монография. Н. Новгород: ННГАСУ, 2014. 118 с.

2. Гребнев П.А., Монич Д.В. Исследование звукоизолирующих свойств бескаркасных ограждающих конструкций из сэндвич-панелей // Приволжский научный журнал. 2014. № 3 (31). С. 53-58.

3. Антонов А.И., Жоголева О.А., Леденев В.И., Шубин И.Л. Метод расчета шума в квартирах с ячейковыми системами планировки // Жилищное строительство. 2013. № 7. С. 33-35.

4. Антонов А.И., Жоголева О.А., Леденев В.И. Метод расчета шумового режима в зданиях с коридорными системами планировки // Строительство и реконструкция. 2013. № 3 (47). С. 28-32.

5. Осипов Л.Г., Бобылев В.Н., Борисов Л.А. Звукоизоляция и звукопоглощение. М.: Издательство АСТ, 2004. 450 с.

6. Кочкин А.А. Легкие звукоизолирующие ограждающие конструкции из элементов с вибропоглощающими слоями // Известия Юго-Западного государственного университета. 2011. № 5 (38). Ч. 2. С. 152-156.

7. Кочкин А.А. Звукоизоляция слоистых вибродемпфирован-ных элементов светопрозрачных ограждающих конструкций // Строительные материалы. 2012. № 6. С. 40-41.

8. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011610940. Расчет звукоизоляции трехслойных панелей с промежуточным вибродемпфи-рующим слоем / А.А. Кочкин. Заявка № 2010617526. Дата поступл. 30.11.2010. Зарег. 25.01.2011.

References

1. Bobylev V.N., Monich D.V., Tishkov V.A., Grebnev P.A. Rezervy povysheniya zvukoizolyatsii odnosloinykh ograzhdayushchikh konstruktsiy. Monografiya. [Reserves of increase of sound insulation of the single-layer protecting

5.

designs. Monograph]. N. Novgorod. NNGASU. 2014. 118 p. (In Russian).

Grebnev P.A., Monich D.V Research of the soundproofing properties the frameless of the protecting designs from a sandwich panels. Privolzhskii nauchnyi zhurnal. 2014. No. 3 (31). pp. 53-58. (In Russian). Antonov A.I., Zhogoleva O.A., Ledenev V.I., Shubin I.L. Method of calculation of noise in apartments with cell systems of planning. Zhilishchnoe Stroitel'stvo [Housing Construction]. 2013. No. 7, pp. 33-35. (In Russian). Antonov A.I., Zhogoleva O.A., Ledenev V.I. Method of calculation of the noise mode in buildings with corridor systems of planning. Stroitel'stvo i rekonstruktsiya. 2013. No. 3 (47), pp. 28-32. (In Russian).

Osipov L.G., Bobylev V.N., Borisov L.A. Zvukoizolyatsiya i zvukopogloshchenie [Sound insulation and sound absorption]. M.: AST Publishing house. 2004. 450 p. (In Russian). Kochkin A.A. The easy soundproofing protecting designs from elements with vibration-absorbing layers. Izvestiya Yugo-Zapadnogo gosudarstvennogo universiteta. 2011. No. 5 (38). Part 2, pp. 152-156. (In Russian). Kochkin A.A. Sound insulation of laminated vibrodamped elements of translucent enclosing structures. Stroitefnye Materialy [Construction Materials]. 2012. No. 6, pp. 40-41. (In Russian).

Certificate of state registration of the computer program № 2011610940. Calculation of sound insulation of three-layer panels with the intermediate vibrodamping layer. A.A. Kochkin. Application No. 2010617526. Declared. 30.11.2010; Published 25.01.2011.

7'2016

19