РАСЧЕТ КОЛЕБАНИЙ ДЛЯ РАЗВЕТВЛЕННЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды МАИ. Выпуск № 116 УДК 531.391

http://trudymai. ru/ DOI: 10.34759/trd-2021-116-01

Расчет колебаний для разветвленных механических систем в поле

комплексных чисел

Аннотация

Рассмотрены параллельно- последовательное и последовательно-параллельное соединения потребителей механической мощности при вынужденных гармонических колебаниях. Параллельное соединение характеризуется такими параметрами как механические реактанс (инертный и упругий), резистанс и импеданс. Последовательное соединение характеризуется такими параметрами как механические сассептанс (инертный и упругий), кондактанс и адмитанс. Показано, что импеданс и адмитанс являются взаимно обратными величинами. Найдены соотношения, связывающие реактанс и резистанс с кондактансом и сассептансом. Определен адмитанс сложной механической системы как суперпозиция адмитансов ее фрагментов. Определен импеданс сложной механической системы как суперпозиция импедансов ее фрагментов. Особое значение учет колебаний приобретает в ракетной отрасли. В авиации борьба с виброперегрузками несущего винта и изгибными аэроупругими колебаниями крыла самолета являются жизненно важными мероприятиями.

Попов И.П.

Курганский государственный университет, КГУ, ул. Советская, 63/4, Курган, 640020, Россия, е-mail: ip.popow@yandex. ru

Статья поступила 25.10.2020

Труды МАИ. Выпуск № 116 Ьир://1гиёута1. ги/

Ключевые слова: потребители механической мощности, вынужденные колебания,

параллельное, последовательное соединение, резонанс сил, резонанс скоростей.

Введение

Ранее определены следующие величины.

Инертный и упругий реактансы в комплексном изображении -

п

1—

хш = юше 2 = 1юш, хк =--е 2 = — е 2 = -1—.

к 12 к -12 к —е 2 =— е 2 = -1 — ю ю ю

Резистанс в комплексном изображении - г = г.

/ 7, Л

Импеданс в комплексном изображении - ^ = г + х = г +

к

шю--

V юу

е 2,

Инертный и упругий сассептансы в комплексном изображении -

7 1 -1п 1 1 7 ю 1п ю 1

Ъш =-е 2 =-1-= —, Ък =-е 2 = 1- = —.

юш юш хш к к Хк

Кондактанс в комплексном изображении - g = g = —

- г

ю 1

к юш

Адмитанс в комплексном изображении - у = g + Ь = g + Очевидны выражения

Г = 2_У = 2Уе11ф, (1)

• • ■ п .( П)

У = у г = Уе1фРе 2 = УРе Ф+ 2 . (2)

Труды МАИ. Выпуск № 116 Ьир://1гиёута1. ги/

Целью исследования является значительное упрощение вычислений путем

замены необходимости решения дифференциальных уравнений на алгебраические методы.

Актуальность работы обусловлена тем, что механические колебания широко распространены в разнообразных технологических процессах [1-14]. Особое значение учет колебаний приобретает в ракетной отрасли [15, 16]. В авиации борьба с виброперегрузками несущего винта и изгибными аэроупругими колебаниями крыла самолета являются жизненно важными мероприятиями [17-19].

Используется комплексное представление гармонических и связанных с ними величин. Подобный подход широко используется в электротехнике.

Связь между механическими величинами

Теорема 1. Имеет место выражение: у — — .

— 2

Доказательство. С учетом (1) 2 = —.

V

V 1

С учетом (2) у — — — —.

" Ь 2

Теорема доказана.

Следствие. При г — 0 Ь_ — 1/х, т.к. при этом у — Ь_, 2 = х.

Теорема 2. Для обратных эквивалентных величин имеют место выражения:

Г X — — 2 Ь

__ А*!» __л 2 ____ т**^ __/9 2

2 2 ' — _ 2 2 ' 2 ?2'— _ 2 7 2

г + х г + х 2 + Ь 2 + Ь

g* —_ Ь* —_е 2 г* —_—_ х* —_е

2 2 ' — 2 2^ ■> ' 2 т2'— 2 , 2 С

г +:

Доказательство

2 = г + х = г + 1Х .

1 1 г - 1х г - 1х

х

-1-

2 г + 1х г - 1х г2 + х2 г2 + х2 г2 + х2

= g * +Ь*,

у = g + Ъ = g + 1Ъ,

1 1 g - 1Ъ g - 1Ь g Ь . 2 = — =---= Л-- = „6 ~ 1—-- = г * + х *

у g + 1Ъ g - 1Ъ g2 + Ъ2 g2 + Ъ2 g2 + Ъ2

Теорема доказана.

Теорема 3. Для схемы последовательного соединении механических систем имеет место выражение:

у=1 у

}=1

Доказательство. Сила Г является общей величиной. Для любой из механических систем с учетом (2) можно записать

V = у,Р.

В соответствии с принципом суперпозиции

п • п

У = 1У = 1 = г IЪ = ру •

}=1 }=1 }=1

Теорема доказана.

Следствие 1.

1 п 1

1 = 12 М 2

Следствие 2.

П

}=1

1П *

к=1 ]=1 ] *к

2

Следствие 3. Импеданс любой из составляющих механических систем больше

эквивалентного импеданса

г *

Следствие 4. Если 2 — 2 —... — 2 —... — г — г *, то г — ■=—.

—1 —2 —1 —п — ? —

п

Следствие 5. Нш 2 —

П

1—2

21^" «и

1П

к—21—2 1 * к

Теорема 4. Для схемы параллельного соединении механических систем имеет место выражение:

2 — I 2

1

1—1

Доказательство. Скорость V является общей величиной. Для любой из

• •

составляющих механических систем с учетом (1) можно записать — ^^. В соответствии с принципом суперпозиции

п • п

Ь — IЬ — I ^ — V1— V 2.

1—1 1—1 1—1

Теорема доказана.

1 п 1

Следствие 1. — — I—

у 1—1У1

П у

Следствие 2. у — 1—1

1П ъ

к—1 1—1 1 *к

Труды МАИ. Выпуск № 116 Ьйр://1хиёуша1. ги/

Следствие 3. Адмитанс любой из составляющих механических систем больше

эквивалентного адмитанс а

Следствие 4. Если у1 = у2 =... = у1 =... = уп = у *, то у =

у:

п

Следствие 5.

П у

Кш у = ■ ]

у1

п п

1П у

к=2 ]=2 ] * к

Схема параллельно-последовательного соединения (рис. 1.)

г2

ш2

Рис. 1. - Схема параллельно-последовательного соединения

С учетом теоремы 1 * = 1/у2.

С учетом теоремы 4 2 = * + 22.

С учетом (1) У = Г/*.

Труды МАИ. Выпуск № 116 Ьир://1гиёуша1. ги/

Пример 1. Ь — 100е10 (Н), ю — 2рад/с, т —10кг, к — 20 (кг• с"2), г — 7 (кг• с"1).

Определить все остальные параметры.

22 — 1/у2 —1/(15,135•Ю-2ег 19,29°)»6,607е"119,29° (кг• с-1),

2 — 2 + 22 — 12,207е155° + 6,607е"119,29° — 15,372ег30,57° (кг • с-1),

V — ¿Д — 100/{153372в130,57°) — 6,505е"130,57° (м • с-1),

¿1 — Хт1 V — 20е'90° • 6,505е_130,57° —130,1е'59,43° (Н),

1 — хк1 V — 10е-190° • 6,505е"130,57° — 65,05е"1120,57° (Н),

Ьг1 — г1 V — 7е10 • 6,505е"130,57° — 45,535е"130,57° (Н),

Ь2 — 22 V — 6,607е"119,29° • 6,505е-130,57° — 42,979е"149,86° (Н),

К2 — Ь2 Ь2 — 5 • 10-2 е-190° • 42,979е-149,86° — 2,149е"1139,86° (м • с-1),

К2 — Ь2 Ь2 —10 • 10-2е90° • 42,979е4Я86° — 4,298е140Д4° (м • с-1),

V2 — g2 Ь2 —14,286 • 10-2 • 42,979е-49,86° — 6,14е"149,86° (м • с-1). На рисунке 2 изображены все расчетные параметры.

Рис. 2. - Параллельно-последовательное соединение

Пример 2. Для параллельно-последовательного (двойного) резонанса [20].

Отличие от примера 1 состоит в том, что к = 40 (кг • с 2)

£ = £ = г = 1е,0° (кг • с"1), г = 2 + £ = 2г = 14ег 0 (кг • с-1

V = г = 100/(14ег0°) = 1,143ег0° (м • с-1),

^ = ^ V = 20ег90° • 1,143ег0° = 142,851ег90° (Н),

, 0°

А 90°

^к1 = Хк1 V = 20е-,90° • 1,143ег0° = 142,851е"190° (Н),

г 0°

-,90°

Рг1 = ^ = г1 V = 1ег0 • 1,143ег0° = 50ег0° (Н)

г 0 ° сг\ Л 0 °

= г2 V = 1ег0° • 1,143ег0° = 50ег0° (Н)

,0° ГЛ Л0°

Vm2 = Ьт2 = 5 • 10-2е-г90° • 50ег0° = 2,5е"г90° (м • с-1)

- г 90° / -Ь

V2 = к2= 5•Ю-2е190° • 50ег0° = 2,5ег90° (м• с-1),

8

V2 = &2 к = 14,286 • 10-2 • 50ег0° = 1,143ег0° (м • с-1). На рисунке 3 изображены все расчетные параметры.

к 2

к

т1

к = к = к

V = V

' г 2 '

к

к

к1

Рис. 3. -Параллельно-последовательный (двойной) резонанс

Схема последовательно-параллельного соединения (рис. 4.)

Рис. 4. - Схема последовательно-параллельного соединения С учетом теоремы 1 у2 = 1/^ .

С учетом теоремы 3 у = у1 + у2.

• •

С учетом (2) скорость штока V = у Г.

Пример 3. Значения всех величин такие же как в примере 1.

у2 = 1/^ = 1/(12,207ег55°) = 8,192 • 10-2е"г55° (кг• с), у = у1 + у2 = 15,135•Ю-2ег19,29° + 8,192•Ю-2е"г55° = 19,061 •Ю-2е"г5Д26° (кг"1 • с),

у = Г у = 100 • 19,061 •Ю-2 е_г5,126° = 19,061 е"г5,126° (м • с_1),

-V, + V = 15,135ег19,29° + 8,192е-55°=19,061е"'5Д26° (м • с-1) = V.

с

V = Гу2 = 100 • 8,192 •10-2е_г55° = 8,192е"г55° (м • с_1).

■2 -¿55°

На рисунке 5 изображены все расчетные параметры.

Рис. 5. - Последовательно-параллельное соединение

Пример 4. Для последовательно-параллельного (двойного) резонанса Отличие от примера 2 состоит в том, что элементы соединены последовательно-параллельно.

Л = 1/а = а = У 2 = У*2 = £2 = 1/(12,201е155°) = 14,286 • 10-2е,0° (кг-1 • с), у = У1 + у2 = 2• 14,286• 10-2ег0° = 28,511 •Ю-2ег0° (кг• с),

у = к у = 100 • 28,511 •Ю-2 ег0° = 28,511ег0° (м • с_1),

V = -Vl + V,

— V = - к у = V = к у2 = 100 • 14,286 • 10-2ег0° = 14,286ег0° (м • с_1), - ¿1 = 4,1 к = 5 • 10-2 е" 190° • 100ег0° = 5е"г90° (м • с-1),

- V1 = 4 1 к = 5 • 10-2 е190° • 100ег0° = 5ег90° (м • с-1),

11

Труды МАИ. Выпуск № 116 Ьйр://1хиёуша1. ги/

= -g1Г = 14,286•Ю-2 •100в1'0° = 14,286в'0° (м• с-1),

Гт2 = хт2 V = 20в190° • 14,286в'0° = 285,714в'90° (Н),

Г2 = X2У2 = 20в"190° • 14,286в'0° = 285,714в"190° (Н),

Г2 = Г2 = Г = г2V = 7в10 • 14,28660° = 100в0° (Н). Данным примера 4 соответствует векторная диаграмма на рисунке 6.

V=у,1

т1

к = кг 2 »

Т+

к1

к

к 2

V

Рис. 6. - Последовательно-параллельный (двойной) резонанс

Характер реактивности импеданса

к = ке10, 13

X

-Ф

2 2 гагс^- .

2 = Г + Хт = \/Г + X в г = 2в1ф

—т »»

• Г Гв0 Г то V = — = —— = — в"1ф.

2 2в1ф 2

Пример 5. При тех же количественных значений, что и выше,

__хт __20

Г^ 2 1агс1§"Т" /-7 оп2 1агс1^"7 ! о 170,71 V -1\

2 = \г + хтв г = -\/7 + 20 в 7 « 21,19в (кг • с ).

Г = Г = 100в'7°071° - 4,719в-170,71° (м• с"1). 2 21,19в170,71

На рисунке 7 изображены расчетные параметры.

Г

V

Рис. 7. - «Инертный» импеданс

2 2 1агС®—

х;в г = 2в1ф.

Пусть теперь 2 = г + х = >/Т2 + Пример 6. При тех же количественных значений, что и выше,

2 = у]г2 + хл2в г =у172 +102в 7 «12,207в~155° (кг• с"1),

• Г 100в10 р1П^ ^ -1

V = —=-гтгт« 8,192в (м • с ).

2 12,207в"155

На рисунке 8 изображены расчетные параметры.

к

Рис. 8. - «Упругий» импеданс

Из примеров 5 и 6 вытекает доказанная этими примерами

Теорема 5. При диссипативной (резистивной) нагрузке сила и скорость изменяются синфазно. При реактивной - их фазы не совпадают. Сдвиг по фазе положительный при «инертном» импедансе и отрицательный при «упругом».

Замечание. При х = хт + х и хт< х^ импеданс «упругий». При хт> х^ импеданс «инертный».

Теорема 6. Если х^Ф хк, то реактивный характер импеданса изменяется на противоположный при замене схемы соединения элементов (с последовательного на параллельное или наоборот).

Доказательство. Если хт> х и соединение параллельное, то

С учетом замечания к теореме 5 импеданс является «инертным», при этом фаза / П 2 > 0.

Если эти же элементы соединить последовательно, то

ют у 15

Труды МАИ. Выпуск № 116

С учетом следствия из теоремы 1

х =

1 km

Ь ют- к/ ю

Фаза поменяла знак (—л/2 < 0). Другими словами, импеданс стал «упругим». Очевидно, что при хт< х дело обстоит точно так же. Теорема доказана.

Расчет комбинированных механизмов традиционными методами представляет собой сложную и трудоемкую задачу.

Использование символического (комплексного) описания механических процессов и систем позволяет применять вместо этого простые и компактные алгебраические методы, трудоемкость которых меньше в десятки раз.

Векторные диаграммы, не являясь необходимой составляющей исследования механических систем, имеют существенное методическое значение, поскольку показывают количественные и фазные соотношения между параметрами систем.

1. Popov I.P. Free harmonic oscillations in systems with homogeneous elements // Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 2012, vol. 76, no. 4, pp. 393 - 395. DOI: 10.1016/j .j appmathmech.2012.09.005

2. Popov I.P. Theory of a Multi-Inert Oscillator // Journal of Machinery Manufacture and Reliability, 2020, vol. 49, no. 8, pp. 16 - 20. DOI: 10.3103/S1052618820080105

Заключение

Библиографический список

Труды МАИ. Выпуск № 116 http://trudymai. ru/

3. Добрышкин А.Ю. Колебания стержня, несущего малую присоединенную

массу // Труды МАИ. 2020. № 110. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=112820. DOI: 10.34759/trd-2020-110-2

4. Быкова Т.В., Могилевич Л.И., Попов В.С., Попова А.А., Черненко А.В. Радиальные и изгибные колебания круглой трехслойной пластины, взаимодействующей с пульсирующим слоем вязкой жидкости // Труды МАИ. 2020. № 110. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=112836. DOI: 10.34759/trd-2020-110-6

5. Добрышкин А.Ю., Сысоев О.Е., Сысоев Е.О. Эффективные испытательные стенды для исследования собственных колебаний разомкнутых цилиндрических оболочек и пластин // Труды МАИ. 2020. № 113. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID= 117957. DOI: 10.34759/trd-2020-113-01

6. Сысоев О.Е., Добрышкин А.Ю., Нейн С.Н. Аналитическое и экспериментальное исследование свободных колебаний разомкнутых оболочек из сплава Д19, несущих систему присоединенных масс // Труды МАИ. 2018. № 98. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=90079

7. Алероева Х.Т., Алероев Т.С. Дробные дифференциальные уравнения и ядра, и малые колебания механических систем // Труды МАИ. 2017. № 94. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=80904

8. Алероева Х.Т. Дробное исчисление и малые колебания механических систем // Труды МАИ. 2017. № 92. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=76821

Труды МАИ. Выпуск № 116 http://trudymai. ru/

9. Мухаметзянова А.А. Раскачивание и стабилизация равновесия двухмассового

маятника ограниченным параметрическим управлением // Труды МАИ. 2015. № 84. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=62975

10. Добрышкин А.Ю., Сысоев О.Е., Сысоев Е.О. Экспериментальная проверка математической модели вынужденных колебаний разомкнутой тонкостенной оболочки с малой присоединенной массой и жестко защемленными краями // Труды МАИ. 2019. № 109. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=111349. DOI: 10.34759/trd-2019-109-4

11. Петрухин В.А., Мельников В.Е. Маятниковый построитель вертикали с релейным управлением // Труды МАИ. 2017. № 93. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=80344

12. Грушенкова Е.Д., Могилевич Л.И., Попов В.С., Попова А.А. Продольные и изгибные колебания трехслойной пластины со сжимаемым заполнителем, контактирующей со слоем вязкой жидкости // Труды МАИ. 2019. № 106. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID= 105618

13. Семенов М.Е., Соловьев А.М., Попов М.А. Стабилизация неустойчивых объектов: связанные осцилляторы // Труды МАИ. 2017. № 93. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=80231

14. Холостова О.В., Сафонов А.И. О бифуркациях положений равновесия гамильтоновой системы в случаях двойного комбинационного резонанса третьего порядка // Труды МАИ. 2018. № 100. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=93297

Труды МАИ. Выпуск № 116 http://trudymai. ru/

15. Бардин Б.С., Савин А.А. Исследование орбитальной устойчивости плоских

колебаний симметричного намагниченного спутника на круговой орбите // Труды МАИ. 2016. № 85. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=65212

16. Благодырёва О.В. Применение метода Ритца и метода конечных элементов к расчёту аэроупругих колебаний крылатой ракеты // Труды МАИ. 2017. № 95. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=84426

17. Загордан А.А., Загордан Н.Л. О применении специальных обобщенных координат для исследования совместных изгибных колебаний лопастей несущего винта, закрепленного на упругодемпфирующей опоре // Труды МАИ. 2019. № 108. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID= 109383. DOI: 10.34759/trd-2019-108-4

18. Рыбников С.И., Нгуен Т.Ш. Аналитическое конструирование системы демпфирования изгибных аэроупругих колебаний крыла самолета // Труды МАИ. 2017. № 95. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=84572

19. Анимица В.А., Борисов Е.А., Крицкий Б.С., Миргазов Р.М. Расчетные исследования виброперегрузок несущего винта, вызванных пульсацией силы тяги, на базе вихревой теории // Труды МАИ. 2016. № 87. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=69626

20. Попов И.П. Резонансы сил и скоростей // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2019. № 4 (47). С. 62 - 66. DOI: 10.17072/1993-0550-2019-4-62-66

Vibrations computing for ramified mechanical systems in the field of

complex numbers

Popov I.P.

Kurgan State University, 63/4, Sovetskaya str., Kurgan, 640020, Russia e-mail: ip.popow@yandex. ru

Abstract

The article considers both parallel-series and series-parallel connection of consumers of mechanical power. The purpose of the work consists in developing compact algebraic methods for ramified mechanical systems computing at forced vibrations in the steady-state modes. Speeds of mechanical systems' elements and forces applied to them are being determined algebraically through the known systems parameters and disturbing harmonic impact. A complex representation of harmonic and related mechanical quantities is used. This approach is widely used in electrical engineering. The main research methods within the framework of this work are methods of mathematical modeling and analysis. It is not the physical object itself herewith, which is being studied, but its mathematical model, namely the object "equivalent" reflecting its major properties, i.e. the laws it follows, connections peculiar to its constituent parts etc. As for the considered ramified mechanical systems, classical methods based on solving the second order differential equations are being multiply complicated and require solving the systems of equations, which are being reduced to the systems of higher orders. Symbolic (complex) description employing for the mechanical processes and systems allows apply instead simple and compact algebraic methods, which labor intensity is tenfold less.

A relation between mechanical values for various types of elements connection of mechanical systems was established. Being an unnecessary component of mechanical systems studying, vector diagrams are of great methodological value, since they demonstrate quantitative and phase relationships between systems' parameters.

Keywords: consumers of mechanical power, forced vibrations, parallel, series connection, resonance of forces, resonance of speeds.

References

1. Popov I.P. Free harmonic oscillations in systems with homogeneous elements, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 2012, vol. 76, no. 4, pp. 393 - 395. DOI: 10.1016/i.iappmathmech.2012.09.005

2. Popov I.P. Theory of a Multi-Inert Oscillator, Journal of Machinery Manufacture and Reliability, 2020, vol. 49, no. 8, pp. 16 - 20. DOI: 10.3103/S1052618820080105

3. Dobryshkin A.Yu. Trudy MAI, 2020, no. 110. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID= 112820. DOI: 10.34759/trd-2020-110-2

4. Bykova T.V., Mogilevich L.I., Popov V.S., Popova A.A., Chernenko A.V. Trudy MAI, 2020, no. 110. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=12836. DOI: 10.34759/trd-2020-110-6

5. Dobryshkin A.Yu., Sysoev O.E., Sysoev E.O. Trudy MAI, 2020, no. 113. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID= 117957. DOI: 10.34759/trd-2020-113-01

6. Sysoev O.E., Dobryshkin A.Yu., Nein S.N. Trudy MAI, 2018, no. 98, URL: http: //trudymai. ru/eng/published.php?ID=90079

7. Aleroeva Kh.T., Aleroev T.S. Trudy MAI, 2017, no. 94. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=80904

8. Aleroeva Kh.T. Trudy MAI, 2017, no. 92. URL: http: //trudymai. ru/eng/published.php?ID=76821

9. Mukhametzyanova A.A. Trudy MAI, 2015, no. 84. URL: http: //trudymai. ru/eng/publi shed.php? I D=62975

10. Dobryshkin A.Yu., Sysoev O.E., Sysoev E.O. Trudy MAI, 2019, no. 109. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID= 111349. DOI: 10.34759/trd-2019-109-4

11. Petrukhin V.A., Mel'nikov V.E. Trudy MAI, 2017, no 93. URL: http: //trudymai. ru/eng/published.php?ID=80344

12. Grushenkova E.D., Mogilevich L.I., Popov V.S., Popova A.A. Trudy MAI, 2019, no. 106. URL: http://trudymai.ru/eng/published. php?ID= 105618

13. Semenov M.E., Solov'ev A.M., Popov M.A. Trudy MAI, 2017, no. 93. URL: http: //trudymai. ru/eng/published.php?ID=80231

14. Kholostova O.V., Safonov A.I. Trudy MAI, 2018, no. 100. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=93297

15. Bardin B.S., Savin A.A. Trudy MAI, 2016, no. 85. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=65212

16. Blagodyreva O.V. Trudy MAI, 2017, no 95. URL: http: //trudymai. ru/eng/published.php?ID=84426

17. Zagordan A.A., Zagordan N.L. Trudy MAI, 2019, no. 108. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID= 109383. DOI: 10.34759/trd-2019-108-4

18. Rybnikov S.I., Nguen T.Sh. Trudy MAI, 2017, no. 95. URL: http: //trudymai. ru/eng/published.php?ID=84572

19. Animitsa V.A., Borisov E.A., Kritskii B.S., Mirgazov R.M. Trudy MAI, 2016, no. 87. URL: http: //trudymai. ru/eng/published.php?ID=69626

20. Popov I.P. VestnikPermskogo universiteta. Matematika. Mekhanika. Informatika, 2019, no. 4 (47), pp. 62 - 66. DOI: 10.17072/1993-0550-2019-4-62-66