РАСЧЕТ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ В ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Труды МАИ. Выпуск № 115 УДК 531.391

http://trudymai.ru/ DOI: 10.34759/trd-2020-115-01

Расчет механических колебаний в поле комплексных чисел

Попов И.П.

Курганский государственный университет, КГУ, ул. Советская, 63/4, Курган, 640020, Россия, е-mail: ip.popow@yandex. ru

Статья поступила 25.10.2020

Аннотация

Рассмотрены параллельное и последовательное соединения потребителей механической мощности. По известным параметрам систем и возмущающему гармоническому воздействию алгебраически определяются скорости элементов механических систем и приложенные к ним силы. Использование символического (комплексного) описания механических систем при вынужденных гармонических колебаниях (в установившемся режиме) позволило отказаться от чрезвычайно громоздкого и трудоемкого алгоритма расчета, связанного с решением дифференциальных уравнений и заменить его простыми и наглядными алгебраическими операциями. Благодаря этому время расчетов уменьшается в разы. Векторные диаграммы, не являясь необходимой составляющей исследования механических систем, имеют существенное методическое значение, поскольку показывают количественные и фазные соотношения между параметрами систем. Ключевые слова: потребители механической мощности, вынужденные колебания, параллельное, последовательное соединение, резонанс сил, резонанс скоростей.

Труды МАИ. Выпуск № 115 http://trudymai.ru/

Введение

Традиционный расчет механизмов при вынужденных колебаниях зачастую представляет собой непростую задачу [1-5].

Чаще всего расчетчиков интересуют установившиеся режимы колебаний [611].

Целью исследования является значительное упрощение вычислений путем замены необходимости решения дифференциальных уравнений на алгебраические методы.

Актуальность работы обусловлена тем, что механические колебания широко распространены в разнообразных технологических процессах [12-14]. Особое значение учет колебаний приобретает в ракетной отрасли [15, 16]. В авиации борьба с виброперегрузками несущего винта и изгибными аэроупругими колебаниями крыла самолета являются жизненно важными мероприятиями [17-19].

Используется комплексное представление гармонических и связанных с ними величин. Подобный подход широко используется в электротехнике.

Схема параллельного соединения

Скорость элементов механической системы одинаковая (рис. 1)

v = V sin Ш . (1)

Рис. 1 - Схема параллельного соединения

При этом силы отличаются

dv

fm = m— = mroV cos rot, dt

f = -кх = к [ vdt =--V cos rot,

f = rv = rV sin rot.

Результирующая сила:

f = fm + f + f = V mro-— cos rot + r sin rot

(3)

(4)

f к Л

mro- —

V ro )

= V^ ( mro- к/ ro)

2 2 + r

mro - к / ro

■sj( mro- к/ ro)

2 9

+ r

7 cos rot +

■sj( mro- к/ ro)2 +,

^sin rot

Удобно ввести обозначение

ф = arctg

mro - к/ ro

(5)

При этом

f = V^J (mro - к ro)2 + r2 (sin ф cos rot + cos фsin rot ) =

= V^ (mro - к/ ro)2 + r2 sin(rot + ф) = F sin(rot + ф). (6)

Это классическое выражение (результат решения дифференциального уравнения).

В рассматриваемом случае необходимость в дифференциальном уравнении не

возникает.

Амплитуда результирующей силы:

F = Vz, 3

r

Труды МАИ. Выпуск № 115 http://trudymai.ru/

z = ий-к/ш)2 + r2 (кг• с"1). (8)

Первая (максвелловская) система механо-электрических аналогий имеет вид:

- V ^ I (скорость ^ ток),

- F ^ U (сила ^ напряжение),

- m ^ L (масса ^ индуктивность),

- к ^ 1/С (коэффициент упругости ^ величина обратная емкости),

- r ^ R (коэффициент вязкого сопротивления ^ сопротивление). Американский физик Вебстер дополнил эти аналогии:

- ют ^ &L (инертный реактанс ^ индуктивное сопротивление),

- к/1/(шС) (упругий реактанс ^ емкостное сопротивление).

Учитывая приведенные механо-электрические аналогии, формула (7) является аналогом известного закона Ома

U = IZ.

здесь Z = ^j[&L - 1/(шС)]2 + R2 - сопротивление. Таким образом, формула (8) - это

механический импеданс (impedance).

Соответственно этому механический реактанс (reactance):

к

x = тш--.

ш

Если x = 0, то ш = у1 к/т - классическое выражение, полученное значительно

проще классического решения. При этом происходит резонанс сил [20]. При r = 0, z = 0. Механизм не препятствует источнику колебаний.

Труды МАИ. Выпуск № 115 http://trudymai.ru/

По аналогии с электротехникой r -механический резистанс (resistance).

Комплексное описание для параллельной схемы соединения

Синусоидальная величина имеет следующую форму записи:

a = Asin(®t + ф) = Im [ Ae1 (ш/+ф) ],

Здесь Ae1 (ш+ф) - комплексный вектор.

Такие векторы, как правило, записывают для момента t = 0. В соответствии с

этим

Ae1 (ш0+ф) = Ае1ф = A принято считать комплексной амплитудой.

Формула (1), таким образом, имеет следующий вариант записи:

v = V sin&t = Im(Ve1(0t),

V = Ve10.

Из выражения (2) следует, что v отстает по фазе от f на л/2 .Таким образом,

F = тш Ve 2 = x V .

W> ПА '

Л

1—

^ = юте 2 = /ют . (9)

Это инертный реактанс в комплексной записи.

Несинусоидальные величины в комплексном представлении подчеркивают (синусоидальные отмечают точкой).

Амплитуда инертной силы (в комплексном изображении) имеет вид:

-Л Л

* г— .„ г —

Р = юте 2¥е1 = ют¥е 2.

Труды МАИ. Выпуск № 115

Точно также, имея в виду (3) и (4),

http://trudymai.ru/

• к • < - •

^ =--Уе2 = х,У.

ю

к 1- к -- . к — е 2 = — е 2 = -г — ю ю ю

Это упругий реактанс в комплексной записи.

• •

К=гУ=гУ.

г = г.

Это резистанс в комплексной записи.

В соответствии с этим амплитуды упругой и резистивной сил (в комплексном изображении) имеют вид:

• к -1- к -1-К = —е 2Уе'0 = кУе 2.

ю

ю

К = гУ = ге 0уе0.

Комплексные представления механических реактанса и импеданса:

Х = Хт + Хк =

( к Л

тю--

V ю)

е 2,

2 = Г + X = Г +

к

тю--

V ю)

е 2.

Абсолютная величина последнего совпадает с (8)

7

1

г2 +

' к тю--

V ю)

Фаза импеданса определяется формулой (5). поэтому

Труды МАИ. Выпуск № 115 http://trudymai.ru/

г = 2егф.

Сила внешнего источника имеет вид:

К = 2_У = 2Ке/ф. (11)

Это подтверждается формулой (6).

*

Пример 1. К = 100ег 0 (Н), ю = 2 рад/с, т = 10 кг, к = 20(кг • с"2), г = 7 (кг • с"1). Определить все остальные параметры.

= ютег90° = 20ег90° (кг • с"1),

X = ке~'90° = 10е"г90° (кг • с-1) . ю

2 = у[гГ+(х~^У = д/72 +(20 -10)2 = 12,207 (кг • с"1).

х -х 20-10

ф = arctg—-- = arctg-= 55°,

г 7

г = 2е'ф = 12,207ег55° (кг • с"1).

*

* К 100ег 0

V = - =-— « 8,192е"г55° (м • с-1), (12)

г 12,207ег 55

К = XV = 20е • 8,192е = 163,846ег35 (Н),

т —т ? ? \ / 5

Д = х К = 10е"г90° • 8,192е"/55° = 81,923е"г145° (Н), К = гУ = 7е/0 • 8,192е"/55° = 57,344е"/55° (Н).

Как и следовало ожидать,

* * *

К + К + К = 163,846е/35° + 81,923е_/145° + 57,344е"/55° = 100е/0 (Н) = К.

Труды МАИ. Выпуск № 115 http://trudymai.ru/

Расчет с применением дифференциальных уравнений занял бы несколько

страниц.

Данным примера 1 соответствует векторная диаграмма на рисунке 2.

V

Рис. 2 - Параллельное соединение

Пример 2. Для резонанса сил. Отличие от примера 1 состоит в том, что

к = 40 (кг • с"2).

X = 20е~т" (кг • с"1),

z = r = 7e'0° (кг • с~')

V = F = ^^ «14,286ei0° (м • с-1),

z 7е

i 0°

F = xV = 20ei90° • 14,286ei0° = 285,72ei90° (Н)

m —m ? ? V /

i0°

¿90°

F = &V = 20e_i90° • 14,286ei0° = 285,72e"i90° (Н)

i0°

-i90°

Труды МАИ. Выпуск № 115 http://trudymai.ru/

К = гУ = 7е10 • 14,286ег0° = 100ег0° (Н).

Как и следовало ожидать,

• • •

К + К + К = 285,72е190° + 285,72е-90° + 100ег0° = 100ег0 (Н) = К = К

т к г ^ •> У/г

-190°

0°

0

••

Данным примера 2 соответствует векторная диаграмма на рисунке 3.

К

К

К

V

• (

К,

К,

К

Рис. 3 - Резонанс сил

Труды МАИ. Выпуск № 115 http://trudymai.ru/

Схема последовательного соединения

Сила на элементах механической системы одинаковая (рис. 4)

f = F cos © t.

m

Рис. 4 - Схема последовательного соединения При этом скорости отличаются

^ = - Г fdt

m

F

-sin ©t

©m

L dx 1 df ©F .

vk = — k— = —— =--sin ©t

k dt k dt k

f F vr = — = — cos ©t. r r

Результирующая скорость:

v = vm + v, + v = F

m k r

M ©v 1

sin ©t + -cos ©t r

V

©m k

[l/(©m) -©/ k 2 + (V r )2

1/(©m) -©/ k

V r

^/[V(©m) -©/ k ]2 + (1 r )2

^/[V(©m) -©/ k ]2 + (V r )2

r cos © t

r sin ©t +

(13)

(14)

(15)

Труды МАИ. Выпуск № 115 http://trudymai.ru/

1/(шт) -ш/ к ф = arctg —----—.

1/ r

v = Fyj[1/ (шт) - ш/к]2 + (1/ r)2 (sin фsin ®t + cos фcosшt) =

= F^[1/ (шт) - ш/к]2 + (1/ r)2 cos(шt - ф) = К cos(шt - ф).

Это выражение синусоидальной скорости для схемы последовательного соединения элементов механической системы. Амплитуда результирующе скорости:

К = Fy,

y = ^/[1/(шт) -Шк]2 + (1/ r)2 . (16)

Из условия 1/(ют) -ш/к = 0 следует классическое выражение ш = ^/к/т,

полученное значительно проще классического решения. При этом происходит резонанс скоростей [20]. При 1/r = 0, y = 0. Механизм препятствует (абсолютно) источнику колебаний.

Комплексное описание для последовательной схемы соединения Алгоритм рассмотрения такой же, как и при параллельном соединении.

f = F cos ш? = Re(Fe'rot),

F = Fe 2.

Из выражения (13) следует, что f опережает по фазе ут на л/2 .Таким образом,

. i . ^ i . .

К =--Fe2 = — F = bF.

m —т

ют xm

—m

1 1

Ъ =-e 2 = -i

-

—i— 2

©m ©m x

—m

Это инертный сассептанс (susceptance) в комплексной записи.

Амплитуда инертной скорости (в комплексном изображении) имеет вид:

* 1 1 о

V = — в 2Ее2 = — Ее10.

т

ют ют

Точно также, имея в виду (14) и (15),

* © • i- 1 • •

V =© F e2 = - F = kF.

k Xjc

- 1 7 © i - © 1

Ъ =~ e = f— = —

k k x Это упругий сассептанс в комплексной записи.

В соответствии с этим амплитуды упругой и резистивной скоростей (в комплексном изображении) имеют вид:

* © i i ©

V =© e2 Fe2 =© Fei-. k k k

* 1 * * i-

Vr = - F = gF = gFe 2. r

1

g = g = -- r

Это кондактанс (conductance) в комплексной записи.

Комплексные представления механических сассептанса и адмитанса (admittance):

/ 1 л -/ © 1 Л •

Ъ = Ъ + L

V k ©m у 12

г—

e2.

У = g + Ъ = g +

ю 1

к ют

\ ^ е 2.

у

Абсолютная величина последнего совпадает с (16)

у Ч g2 +(ъ - ът )2 =

V

1 Гю_ X12

V к ют у

7+

4. Ък - Ьт + Ю к - у (ют)

Ф = агС£——т = агС£—-—-- = агС£

g

g

(тю- к/ ю)

тк

у = Уегф.

Скорость штока внешнего источника имеет вид:

• • . £ ¿(ф+^) V = у Г = УегфГе 2 = УГе 2,

(17)

Пример 3. Отличие от примера 1 состоит в том, что элементы соединены

последовательно.

Ъ = х-1 = 5 -10-2 е-90° (кг-1 • с)

—т —т V /

—т —т

Ъ = х-1 = 10 •ю-2 е90° (кг-1 • с),

-2 „¿90° /„-1

g = г-1 = 14,286 • 10-2 (кг- • с).

-2 -1

У = ^(14,286^10-2)2 +(10•Ю- -5-Ю-)2 = 15,135• 10 ^ (кг> • с)

+ Ьк - Ът + 10 -10~2 - 5 -10-2 10000 Ф = аг^—-т = аг^-^— = 19,29°,

g

14,286 • 10

-2

у = Уегф = 15,135•Ю-2е 19,29° (кг-1 • с)

V = у Г = 15,135 •Ю-2 е 19,29° • 100 = 15,135ег 19,29° (м • с-1)

г 19,29°

,-Ь

Vm = ьт¥ = 5•Ю-2е-90° • 100 = 5е-90° (м• с-1),

-г 90°

V = = 10• 10-2ег90 • 100 = 10ег90° (м• с-1),

г90° ,

V = gF = 14,286 • 10"2 • 100 = 14,286 (м • с"1).

Как и следовало ожидать,

* * *

V, + V + V = 5е"г90° + 10е190° + 14,286=15,135е11929" (м • с-1) = V

119,29° / , -1*

Расчет с применением дифференциальных уравнений занял бы несколько

страниц.

Данным примера 3 соответствует векторная диаграмма на рисунке 5.

Рис. 5 - Последовательное соединение

Пример 4. Для резонанса скоростей. Отличие от примера 2 состоит в том, что элементы соединены последовательно.

Ь = 5•Ю-2е190° (кг-1 • с), Г = g = 14,286•Ю-2 (кг 1 • с), 14

ф = 0 °,

у = Ув1ф = 14,286 • 10"2ё0° (кг• с),

у = уЬ = 14,286 • 10"2 • 100 = 14,286ею° (м • с"1),

ук= = 5• 10"2е90° • 100 = 5е'90° (м• с"1). Как и следовало ожидать,

• • •

• •

V + V + V = 5е + 5ег90 + 14,286=14,286ег0 (м • с"1) = V = V Данным примера 4 соответствует векторная диаграмма на рисунке 6.

к • V -►

-►

г Уг

V-

Рис. 6 - Резонанс скоростей

Заключение

Использование символического (комплексного) описания механических систем при вынужденных гармонических колебаниях (в установившемся режиме) позволило отказаться от чрезвычайно громоздкого и трудоемкого алгоритма расчета, связанного с решением дифференциальных уравнений и заменить его простыми и

Труды МАИ. Выпуск № 115 http://trudymai.ru/

наглядными алгебраическими операциями. Благодаря этому время расчетов

уменьшается в разы.

Векторные диаграммы, не являясь необходимой составляющей исследования

механических систем, имеют существенное методическое значение, поскольку

показывают количественные и фазные соотношения между параметрами систем.

Библиографический список

1. Добрышкин А.Ю. Колебания стержня, несущего малую присоединенную массу // Труды МАИ. 2020. № 110. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=112820. DOI: 10.34759/trd-2020-110-2

2. Алероева Х.Т., Алероев Т.С. Дробные дифференциальные уравнения и ядра, и малые колебания механических систем // Труды МАИ. 2017. № 94. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=80904

3. Алероева Х.Т. Дробное исчисление и малые колебания механических систем // Труды МАИ. 2017. № 92. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=76821

4. Мухаметзянова А.А. Раскачивание и стабилизация равновесия двухмассового маятника ограниченным параметрическим управлением // Труды МАИ. 2015. № 84. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=62975

5.Холостова О.В., Сафонов А.И. О бифуркациях положений равновесия гамильтоновой системы в случаях двойного комбинационного резонанса третьего порядка // Труды МАИ. 2018. № 100. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=93297

Труды МАИ. Выпуск № 115 http://trudymai.ru/

6. Добрышкин А.Ю., Сысоев О.Е., Сысоев Е.О. Эффективные испытательные

стенды для исследования собственных колебаний разомкнутых цилиндрических оболочек и пластин // Труды МАИ. 2020. № 113. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=117957. DOI: 10.34759/trd-2020-113-01

7. Сысоев О.Е., Добрышкин А.Ю., Нейн С.Н. Аналитическое и экспериментальное исследование свободных колебаний разомкнутых оболочек из сплава Д19, несущих систему присоединенных масс // Труды МАИ. 2018. № 98. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=90079

8. Семенов М.Е., Соловьев А.М., Попов М.А. Стабилизация неустойчивых объектов: связанные осцилляторы // Труды МАИ. 2017. № 93. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=80231

9. Быкова Т.В., Могилевич Л.И., Попов В.С., Попова А.А., Черненко А.В. Радиальные и изгибные колебания круглой трехслойной пластины, взаимодействующей с пульсирующим слоем вязкой жидкости // Труды МАИ. 2020. № 110. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=112836. DOI: 10.34759/trd-2020-110-6

10. Popov I.P. Free harmonic oscillations in systems with homogeneous elements // Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 2012, vol. 76, no. 4, pp. 393 - 395. DOI: 10.1016/j.jappmathmech.2012.09.005

11. Popov I.P. Theory of a Multi-Inert Oscillator // Journal of Machinery Manufacture and Reliability, 2020, vol. 49, no. 8, pp. 16 - 20. DOI: 10.3103/S1052618820080105

Труды МАИ. Выпуск № 115 http://trudymai.ru/

12. Петрухин В.А., Мельников В.Е. Маятниковый построитель вертикали с

релейным управлением // Труды МАИ. 2017. № 93. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=80344

13. Добрышкин А.Ю., Сысоев О.Е., Сысоев Е.О. Экспериментальная проверка математической модели вынужденных колебаний разомкнутой тонкостенной оболочки с малой присоединенной массой и жестко защемленными краями // Труды МАИ. 2019. № 109. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=111349. DOI: 10.34759/trd-2019-109-4

14. Грушенкова Е.Д., Могилевич Л.И., Попов В.С., Попова А.А. Продольные и изгибные колебания трехслойной пластины со сжимаемым заполнителем, контактирующей со слоем вязкой жидкости // Труды МАИ. 2019. № 106. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=105618

15. Бардин Б.С., Савин А.А. Исследование орбитальной устойчивости плоских колебаний симметричного намагниченного спутника на круговой орбите // Труды МАИ. 2016. № 85. URL: http ://trudymai.ru/published.php?ID=65212

16. Благодырёва О.В. Применение метода Ритца и метода конечных элементов к расчёту аэроупругих колебаний крылатой ракеты // Труды МАИ. 2017. № 95. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=84426

17. Анимица В.А., Борисов Е.А., Крицкий Б.С., Миргазов Р.М. Расчетные исследования виброперегрузок несущего винта, вызванных пульсацией силы тяги, на базе вихревой теории // Труды МАИ. 2016. № 87. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=69626

Труды МАИ. Выпуск № 115 http://trudymai.ru/

18. Рыбников С.И., Нгуен Т.Ш. Аналитическое конструирование системы

демпфирования изгибных аэроупругих колебаний крыла самолета // Труды МАИ. 2017. № 95. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=84572

19. Загордан А.А., Загордан Н.Л. О применении специальных обобщенных координат для исследования совместных изгибных колебаний лопастей несущего винта, закрепленного на упругодемпфирующей опоре // Труды МАИ. 2019. № 108. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=109383. DOI: 10.34759/trd-2019-108-4

20. Попов И.П. Резонансы сил и скоростей // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2019. № 4 (47). С. 62 - 66. DOI: 10.17072/1993-0550-2019-4-62-66

Труды МАИ. Выпуск № 115 http://trudymai.ru/

Calculation of mechanical oscillations in the field of complex numbers

Popov I.P.

Kurgan State University, 63/4, Sovetskaya str., Kurgan, 640020, Russia e-mail: ip.popow@yandex. ru

Abstract

It was noted that traditional calculation of complex mechanical devices at forced sinusoidal oscillations is, as a rule, a rather difficult task. Most often, calculators, designers and technologists are interested in steady-state oscillation modes. The goal of this study consists in significant calculations simplifying by replacing the need to solve differential equations with simpler algebraic methods. The author employs complex representation of harmonic values and the values associated with them. Such approach is widely used in theoretical electrical engineering. The main research methods within the framework of this work are methods of mathematical modeling and analysis. With this, a mathematical model, i.e. the object "equivalent", reflecting its bas ic properties, namely the laws it obeys, bonds peculiar to its constituent parts, etc., is being studied, rather than the physical object itself. The article considers the scheme of parallel connection, in which the speeds of all mechanical system elements iare equal, while the forces are different, as well as the scheme of series connection, in the forces applied to the mechanical system elements are equal, while speeds differ. Application of symbolic (complex) description of mechanical systems at forced harmonic oscillations (in the steady-state mode) allowed abnegate the extremely cumbersome and laborious computational algorithm, associated with differential equations solving, and replace it by the much simpler algebraic operations.

Труды МАИ. Выпуск № 115 http://trudymai.ru/

Due to this fact, the computation time was reduced manifold. Being an unnecessary

component of the mechanical systems studying at harmonic impact, vector diagrams are of

significant methodological meaning, since they demonstrate quantitative and phase

relationships between the system parameters.

Keywords: consumers of mechanical power, forced oscillations, parallel, series connection, resonance of forces, resonance of speeds.

References

1. Dobryshkin A.Yu. Trudy MAI, 2020, no. 110. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=112820. DOI: 10.34759/trd-2020-110-2

2. Aleroeva Kh.T., Aleroev T.S. Trudy MAI, 2017, no. 94, URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=80904

3. Aleroeva Kh.T. Trudy MAI, 2017, no. 92. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=76821

4. Mukhametzyanova A.A. Trudy MAI, 2015, no. 84. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=62975

5. Kholostova O.V., Safonov A.I. Trudy MAI, 2018, no. 100. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=93297

6. Dobryshkin A.Yu., Sysoev O.E., Sysoev E.O. Trudy MAI, 2020, no. 113. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=117957. DOI: 10.34759/trd-2020-113-01

Труды МАИ. Выпуск № 115 http://trudymai.ru/

7. Sysoev O.E., Dobryshkin A.Yu., Nein S.N. Trudy MAI, 2018, no. 98. URL:

http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=90079

8. Semenov M.E., Solov'ev A.M., Popov M.A. Trudy MAI, 2017, no. 93. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=80231

9. Bykova T.V., Mogilevich L.I., Popov V.S., Popova A.A., Chernenko A.V. Trudy MAI, 2020, no. 110. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID= 112836. DOI: 10.34759/trd-2020-110-6

10. Popov I.P. Free harmonic oscillations in systems with homogeneous elements, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 2012, vol. 76, no. 4, pp. 393 - 395. DOI: 10.1016/i.iappmathmech.2012.09.005

11. Popov I.P. Theory of a Multi-Inert Oscillator, Journal of Machinery Manufacture and Reliability, 2020, vol. 49, no. 8, pp. 16 - 20. DOI: 10.3103/S1052618820080105

12. Petrukhin V.A., Mel'nikov V.E. Trudy MAI, 2017, no. 93. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=80344

13. Dobryshkin A.Yu., Sysoev O.E., Sysoev E.O. Trudy MAI, 2019, no. 109. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=111349. DOI: 10.34759/trd-2019-109-4

14. Grushenkova E.D., Mogilevich L.I., Popov V.S., Popova A.A. Trudy MAI, 2019, no. 106. URL: http ://trudymai.ru/eng/published.php?ID= 105618

15. Bardin B.S., Savin A.A. Trudy MAI, 2016, no. 85. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=65212

16. Blagodyreva O.V. Trudy MAI, 2017, no. 95. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=84426

Труды МАИ. Выпуск № 115 http://trudymai.ru/

17. Animitsa V.A., Borisov E.A., Kritskii B.S., Mirgazov R.M. Trudy MAI, 2016, no. 87.

URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=69626

18. Rybnikov S.I., Nguen T.Sh. Trudy MAI, 2017, no. 95. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=84572

19. Zagordan A.A., Zagordan N.L. Trudy MAI, 2019, no. 108. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=109383. DOI: 10.34759/trd-2019-108-4

20. Popov I.P. Vestnik Permskogo universiteta. Matematika. Mekhanika. Informatika, 2019, no. 4 (47), pp. 62 - 66. DOI: 10.17072/1993-0550-2019-4-62-66