ВЛИЯНИЕ ЗАЗОРА В РОЛИКОВЫХ ПОДШИПНИКАХ НА СИЛОВОЙ КОНТАКТ МЕЖДУ ЕГО ЭЛЕМЕНТАМИ Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Труды МАИ. Выпуск № 115 УДК 621.822

http://trudymai.ru/ DOI: 10.34759/trd-2020-115-04

Влияние зазора в роликовых подшипниках на силовой контакт

между его элементами

Нахатакян Ф.Г.

Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН, ИМАШ РАН, Малый Харитоньевский пер., 4, Москва, 101000, Россия

e-mail: _filnahal 7@mail. ru

Аннотация

Предложен метод и на его основе аналитически решена задача о контактном взаимодействии между кольцами роликовых подшипников и телами качения. Исследовано влияние радиального зазора в подшипнике на параметры силового контакта между элементами подшипника и определены параметры нагруженности при различных схемах нагружения, когда внешняя сила проходит по центру максимально нагруженного ролика и, когда - между ними. Получены функции зависимости параметров нагруженности подшипника от величины радиального зазора.

Ключевые слова: роликовый подшипник, зазор в подшипнике, жесткость подшипника, упругая податливость подшипника, количество нагруженных роликов.

Статья поступила 05.12.2020

При решении задач динамики роторных систем большое значение имеет точность расчета жесткостных характеристик опор ротора. Одним из самых распространенных элементов опор является роликовый подшипник, моделирование которого связано с

Труды МАИ. Выпуск № 115 http://trudymai.ru/

необходимостью учета контактных взаимодействий между телами качения и

кольцами [1].

Задача в работе [2] решена на основе контактной теории Герца [3], однако полученная зависимость между перемещением и внешней силой неудобна для использования в практических расчетах. В работе [4] эта же зависимость описывается с помощью эмпирически полученной формулы Пальмгрена [5].

Как показали результаты исследований и опыт эксплуатации подшипников качения, на их износ и работоспособность оказывает большое влияние величина радиального зазора [5, 6]. Недостаточный зазор ведет к тому, что при каждом совпадении максимальных овальностей колец и тел качения происходит их жесткое заклинивание и резкое увеличение местных деформаций. Большой зазор исключает возможность защемления, но увеличивает напряжение в зоне максимального нагружения и ухудшает динамику подшипника, что также снижает его работоспособность.

Поэтому, при прочностных расчетах важное значение имеет правильное определение параметров нагруженности в опорах качения [5-7].

Вопросу влияния радиального зазора в подшипниках качения на их характеристики уделяется большое внимание [8-15]. В работе [8] проведено аналитическое исследование и установлено, что отрицательный зазор (преднатяг) уменьшает шум и увеличивает их жесткость. Также здесь проведено исследование влияния зазора на срок службы подшипника. В работе [9] показано, что отрицательный зазор улучшает распределение нагрузки между телами качения и может увеличить срок службы подшипника. Подшипники качения исследованы

Труды МАИ. Выпуск № 115 http://trudymai.ru/

также в работах [16- 19], например, в работе [19] исследованы подшипники из

керамики.

Однако в существующих исследованиях не получено аналитических формул, устанавливающих связь между максимальной нагрузкой, количеством воспринимающих нагрузку роликов и зазором при различных схемах нагружения, когда внешняя сила проходит по центру максимально нагруженного ролика и, когда она проходит между ними, что очень важно для исследования изменения жесткости во время вращения подшипника.

Для решения проблемы достаточно рассмотреть два характерных случая расположения тел качения относительно линии действия внешней нагрузки на подшипник, когда она проходит по центру максимально нагруженного ролика - схема 1 и, когда она проходит между максимально нагруженными роликами - схема 2 (рис.1). При этом обе схемы нагружения необходимо исследовать как при отсутствии радиального зазора, так и при его наличии.

Приближенное решение задачи по схеме 1 приведено в работах [20, 21]. В данной работе рассмотрены обе схемы нагружения и приведено уточненное аналитическое решение задачи. Несложно увидеть, что жесткости подшипников этих схем разные, и этот факт является источником, в том числе, колебаний в роторных системах.

В расчетных методиках [22], в основном применяются полуэмпирические зависимости, например, в роликовом подшипнике, работающем под радиальной нагрузкой, максимальная сила определяется как Р0=кГ^, где к - коэффициент; ^ -радиальная сила в подшипнике; 2 - количество роликов в нем. При 2 = 10^20, коэффициент к=4,0, если зазор в подшипнике равен нулю, и к=4,6 при

Рис.1а. Расположение роликов с Рис.1б. Расположение роликов с одним (схема 1) максимально двумя (схема 2) наиболее нагруженными

нагруженным роликом роликами

зазоре больше нуля [22]. Очевидно, что чем больше зазор, тем больше неравномерность распределения нагрузки между телами качения.

Рассмотрим случай расположения роликов, когда внешняя радиальная сила проходит по центру максимально нагруженного ролика, схема 1 (рис.1а).

В настоящей работе предлагается иной подход, для аналитического решения, которое сводится к решению системы уравнений: совместности деформаций, зазоров и перемещений

Wi= а - Si, i=0, 1, 2, ... N, (1)

где Wi, ai, Si - упругая деформация, перемещение и зазор на i - ом элементе;

N = (N -1)/ 2, (2)

N - количество воспринимающих нагрузку тел качения, и уравнения равновесия (рис.2) ,

Po + 2ZP cosYl = Fr, (3)

i=0

где Pi, Fr - нагрузка на i - ом элементе и внешняя сила на подшипник

Без зазора

соответственно; у;- угол I - го подшипника относительно вертикали.

Упругая деформация I - го элемента в роликовом подшипнике в формуле (1) определяется

Ж = 5 Рь I =0, 1, 2, ...Ы, (4)

где 5- податливость с одним роликом (рис.3), согласно работе [23] определяется как

3 = 4в\п(3,393Есп /д),

А +Еу где в =--т, здесь постоянные Ламе к и ^ определяются А = ■

^ ^^ ^ ? О/Д,^ V и 1 1 1 1 11 1 и1 ЧУ ^ 1 Сг1У1 V/ П р, 1 рЧ^МЧ^^ 1/11V/ I /и - ^ ^^ ^ ^

Е

^ = -^; из последних выражений следует, в частности,

Рис.3 Ролик между кольцами подшипника

1 -V2

в =-; Е ,у - модуль упругости и коэффициент Пуассона материалов; q -

лЕ

распределенное по длине ролика усилие; сп = ^с1с2 - обобщенная толщина колец.

Силовой контакт при начальном касании упругих тел по линии подробно исследован в работах [24 -27].

При отсутствии зазоров &=0, формула (1) упрощается

т = «и I =0, 1, 2, ... , N (5)

где ai определяется как

ai= aocosYi , i =0, 1, 2, ... N (6)

. 2л

здесь для рассматриваемой схемы у1 = I — .

Из формул (3), (4), (5), (6) для максимальной силы на ролик получено соотношение

Ро = ^, (7)

к

где

- N

к = 1 + 2 Z cos2 iy, (8)

i=1

2л

здесь y = —. Z

Следует отметить, что конечная сумма в формуле (8) существует и определяется

N 2. N 1sin(2^N / Z) , /ЛГ .... Z cos2 y = - + - Л. . J cos(2^(N +1)/ Z). i=1 2 2 sm(2^ / Z)

Таким образом для коэффициента в (8) получаем выражение

к = 1 + N + N1, (9)

где N1 = sin(2^/ Z) х cos(2^(N +1)/ Z). sin(2^ / Z)

При отсутствии зазора в подшипнике зависимость (9) упрощается N1 « -1/2 и к « Z /4. Следовательно, максимальная нагрузка в этом случае будет

__F . F

o

P0 =-= , (10)

1 + N + N1 Z что согласуется с известными данными.

Максимальное смещение a0 определяется из формул (4), (5), (6) в виде

а0 = P0S =-= 4S F-,

0 0 1 + N + N1 Z

а распределение нагрузки по телам качения определяется как

n n Fr AFr (. 2лЛ

P = Pn cosy =-r _ cosy = 4—- cos 1— .

i 0 1 + N + N1 Z У Z )

Жесткость С всего подшипника определяется из соотношения Fr = Са0, с

учетом формулы (7) получаем

1 + N + N1 2

С =

3

43

http://trudymai.ru/ (11)

Входящий в последние формулы для определения величин Р0, Ръ а0 и С -параметр Ы, определяется по (2).

Далее рассмотрим эту же схему при наличии радиального зазора 2е (рис.4) в подшипнике. Сначала установим связь между е и & в (1). В работе [6] из геометрических соотношений для величины зазора & между роликом и кольцом получена зависимость

£ = {[(г2 - г3)ео8^- е]2 + [(г2 - г3)8т^]2] - г1 - г3,(12) где г1, г2, г3 - радиусы внутреннего и наружного колец и роликов

Рис.4. Схема нагружения роликового подшипника при наличии радиального зазора

подшипника. При условии е / г22<<1 и ег3 / г22<<1, соотношение (12) существенно упрощается. Действительно, при этих условиях из (1 2) получаем

Л/2

£ = Г

гз ~ е

1 - 2— - 2 — еоБ^

г2 г2

- Г1 - г3 ,

или, с учетом соотношения

r2 - 2r3 - r1 = e ,

получаем

S = e - e cos у .

Следовательно, зависимость между радиальным зазором е в подшипнике и зазором Si в его i- ом элементе будет

Si = e(1 - cosy,). (13)

Таким образом, при наличии зазора в подшипнике задача сводится к решению системы уравнений (1), (3), (4) и (13). Из формулы (1) с учетом (6) и (13) имеем:

Wi = а0 cosy, - e(l - cosy-), i =0, 1, 2, ... N,

а из условия WN=0, (когда N-й элемент только вошел в контакт, но нагрузку еще не воспринимает), получаем

e = а0 N3, (14)

лт2ж — cos(2^N / Z)

где yN = N — ; N 3--^-

2 ' 1 - соб(2^/ 2)'

Для установления связи е-Ы в аналитическом виде, поступим следующим образом. Перепишем систему уравнений упругой деформации (4) в виде

Р = 1К0

3

2 со б ур = 21соБу1Ж1 3

2СОБу2 Р2 = 21 СОБ У2^2 (15)

3

Труды МАИ. Выпуск № 115 http://trudymai.ru/

2

2 cosynPN =~ cos УNWN , О

а систему уравнений совместности (1) в виде

W = а0 cos yi - Si, i =0, 1, 2, ... N, (16)

тогда подставляя (16) в (15) и суммируя полученную систему, получаем

N N

F-О = а0 + 2а0 Z cos2 y - 2Z S cos y. (17)

i=1 i=1

Подставляя в (17) значения зазоров Si из (13), получаем

(2 + N + N1 - N2 )= 1 + N + N1, (18)

а0 а0

— ~sin(^(N +1)/ Z) / ЛГ/Г7ч

где N 2 = 2—-^—lcos(nN / Z).

sin(^ / Z)

Из формул (4) и (5) следует, что а0 = W0 =SP0, следовательно, из (18) получаем величину максимальной нагрузки в долях внешней силы в виде

1 + — (N 2 - 2 - N - N1) P F О

PI =--=-. (19)

Fr 1 + N + N1

Из (14) следует, что

e = О• P0 N 3,

отсюда для максимальной нагрузки в безразмерном виде получаем

P0 - e 1 (20)

¥г Гг3 Nз

Для получения зависимости в-Ы, из формул (19) и (20), необходимо приравнять их правые части.

е = ^3-=-1-. (21)

1 + N + N1 _ лг — —

-=-+ 2 + N + N1 - N 2

N з

Следует отметить, что формула (21) служит для определения зависимости количества воспринимающих нагрузку роликов Ы0 от радиального зазора е в подшипнике (е - N0).

Распределение нагрузки по телам качения Рх можно найти из системы уравнений (1), (4), (6) и (13):

р=рособу, - е(1 - соб у-).

Максимальное смещение определяется из (7) и (19)

1 + — (N 2 - 2 - N - N1) ^ 3

ао = Ро3 = ¥г3-г-=-. (22)

0 0 г 1 + N + N1

Жесткость подшипника для рассматриваемого случая с учетом (22) определяется

как

„ 1 1 + N + N i

C = —

5 1 + — (n 2 - 2 - N - N1)

F 5v ;

При определении величин Po, Pi, ао, С, параметр N определяется по формуле (2). Рассмотрим случай расположения роликов по второй схеме (рис1б), когда внешняя радиальная сила проходит между максимально нагруженными роликами. В этом случае уравнение равновесия видоизменяется, принимая вид

N

2!Pt cosy- = Fr, (23)

i=1

где

у =(2/ - 1)Л, и N = Ыо / 2, (24)

Ы0 - количество воспринимающих внешнюю нагрузку роликов.

Рассмотрим случай, когда зазор в подшипнике отсутствует. Тогда из уравнения (6) получаем смещение под максимально нагруженный ролик по направлению действия силы Р1 в виде

а1 =аo•cosYl, (25)

откуда максимальное смещение будет

/ Р1д 8Гг

ао =а1 / С0Бу1 = —1— = =—-—. (26)

соБу N 4 + N

С помощью изложенного выше подхода определена максимальная сила на первом ролике подшипника

= сОБ(л / г) (27)

N + N 4

где

2л

sin — (N +1)

2л z z

N 4 =-^-cos—(N -1)-cos—

sin —

z

Так как для этой схемы нагружения N = No /2 , то можно показать, что при отсутствии зазора в подшипнике N4 = 0, тогда формулу (27) для максимальной нагрузки можно переписать в виде

4 F л

P = —— cos^. (28)

z z

Труды МАИ. Выпуск № 115 http://trudymai.ru/

Определены также жесткость всего подшипника, которая в рассматриваемом случае

вычисляется из соотношения Рг =С а0 с учетом зависимостей (26) и (27)

-

С =

а

—

-3 3

1

N + N4 1 2 _ __

- ^^--

3 3 4

(29)

N + N 4

и распределение нагрузки между роликами, что определяется по формулам (4), (5), (6), (23), (27) как

р

—

-=— соб

N + N 4

V 2

(2- -1)

4—

соб

2

V 2

(2- -1)1, I =1, 2, ... N.

Аналогичным образом, с помощью данного метода, можно также решить задачу при наличии радиального зазора в подшипнике. Получены результаты: - максимальная сила на ролике

1+—(2 N 7 - N - N 6)

Р 17 -3 _ Р1 = -г-^-=Л-соб- ,

N + N6 ) 2

где обозначены

N 6 = зт[2_( N +1)/2 ] со8[2_( м - 2 ]-соб2_ / 2

бш 2_ / 2

— бш[_(# +1)/2 ] г п, ! .

N7 =——--—-соб[_(N - 1)/ 2]- соб_ / 2 ,

бш _ / 2

зависимость Ы- е

-3

N + N 611 + =—1

N5 • СОБ(_ / 2)

- 2 N 7

где

1

е

N 5

соб(о(2n -1))/ 7

соб(о / 7)(1 - соб[о(2n -1) / 7])

распределение нагрузки между роликами при наличии зазора

Р6 = -^• ШБу -е(1 -ШБу), СОБу

смещение а0 кольца подшипника

«о =

5РХ

СОБ^ СОБО / 7

= - 6

1 + — (2 N 7 - N - N 6)

жесткость подшипника определяется как

-

С = —

(N + N 6)

о

6

^ _

1 + — (2 N 7

V -6

(2 N 7 - N - N 6)

Ниже на рис.5., по полученным в работе формулам, построены зависимости относительных величин (в долях аналогичных величин при отсутствии зазора в подшипнике) подшипника при наличии зазора: жесткости - • , максимальной силы на ролик - ▲ , перемещения колец - ■ (рис.5а- при первой схеме нагружения) для рассмотренных схем нагружения от радиального зазора е мм при —г6 = 0,03261 мм; 2=18.

Анализ полученных зависимостей показал, что жесткость подшипника для указанных схем при отсутствии радиального зазора практически постоянна, что вытекает из формул (13) и (39). Из рис.5б следует, что при наличии радиального зазора жесткость подшипника при второй схеме нагружения меньше, что может стать

причиной колебаний роторных систем.

а) относительная жесткость-^ б) отношение жесткости первой

А и

максимальная сила на ролик- ▲ схемы нагружения к второй

перемещения колец-■

Рис.5. Зависимости относительных величин подшипника от радиального зазора e, мм при

#¿=0,03261, мм и Z =18

Таким образом, определены все параметры роликовых подшипников и влияние на них радиального зазора, которые могут быть использованы в авиационных роторных системах при расчете их прочности, нагруженности и долговечности.

Библиографический список

1. Пинегин С.В., Фролов К.В. Вибрации и шум подшипников качения // Машиноведение. 1966. № 2. С. 36 - 45.

2. Lundberg G., Sjovall H. Stress and deformation in elastic Contacts, Pub. 4, Division of Solid Mechanics, Chalmers University of Technology, Gothenburg, Sweden, 1958, 47 p.

3. Hertz H. Uber die Berührung fester elastischer Körper und über die Härte. Verha ndlungen des Vereine zur Beforderung des Geverbefleisses, Berlin, 1882, pp. 49.

4. Harris T.A. Rolling bearing analysis, 5-th edition, Wiley-Interscience Publication, USA, 2006, 258 p.

Труды МАИ. Выпуск № 115 http://trudymai.ru/

5. Пальмгрен А. Шариковые и роликовые подшипники. - М.: Машиностроение, 1969.

- 632 с.

6. Орлов А.В. Влияние износа на работоспособность подшипников опор качения // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2007. № 5. С. 71 - 79.

7. Нахатакян Ф.Г. Напряженно-деформированное состояние упругих элементов зубчатых механизмов и сооружений при их линейном и кромочном контакте. Дисс... докт. техн. наук. - М: ИМАШ РАН, 2014. - 213 с.

8. Elmidany T. et al. Optimal Interference in Radial Cylindrical Roller Bearings // Journal Engineering Applied Science, 2007, vol. 54, no. 2, pp. 189 - 204.

9. Harris T.A., Kotzalas M.N. Rolling Bearing Analysis. Vol. 1, CRC Press, Boca Raton, FL, 2007, 360 p.

10. ANSI/ABMA-9:1990 (R2000). Load Ratings and Fatigue Life for Ball Bearings. American Bearing Manufacturers Association, Washington, DC, 2000. URL: https://webstore.ansi.org/standards/abma/ansiabma1990r2000

11. Sadeghi F. et al. A Review of Rolling Contact Fatigue, Journal Tribology, 2009, vol. 131, no. 4. URL: https://doi.org/10.1115/1.3209132

12. Houpert L. An Engineering Approach to Hertzian Contact Elasticity—Part I // Journal Tribology, 2001, vol. 123, pp. 582 - 588. DOI: 10.1115/1.1308043

13. Poplawski J.V. et al. Advanced Analysis Package for High Speed Multibearing Shaft Systems: COBRA-AHS. Final report, NASA Contract NAS3-00018, 2002.

14. Timken Aerospace Design Guide for Precision Metric Ball and Cylindrical Roller Bearings, 2011. URL: http://www.timken.com/en-us/products/bearings/productlist/ aerospace/Documents/aerospace product design guide.pdf Accessed

Труды МАИ. Выпуск № 115 http://trudymai.ru/

15. Oswald F.B., Zaretsky E.V., Poplawski J.V. Interference Fit Life Factors for Ball

Bearings // Tribology Transactions, 2011, vol. 54, no. 1, pp. 1 - 20. DOI: 10.1080/10402004.2010.512428

16. Сорокин Ф.Д., Чжан Х., Попов В.В., Иванников В.В. Экспериментальная верификация энергетической модели роликового подшипника для моделирования опорных узлов авиационных двигателей. Часть 1. Нагружение подшипника радиальной силой и поперечным моментом на специальном стенде, предотвращающем изгиб колец // Труды МАИ. 2018. № 103. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=100582

17. Сорокин Ф.Д., Чжан Х., Попов В.В., Иванников В.В. Экспериментальная верификация энергетической модели роликового подшипника для моделирования опорных узлов авиационных двигателей. Часть 2. Исследование влияния изгиба колец на нагрузочную характеристику в случае не закрепленного в обойме подшипника // Труды МАИ. 2019. № 104. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID= 102114

18. Хаустов А.И., Шашкин И.Н., Мальгичев В.А., Невзоров А.М. Конструктивные особенности проектирования подшипниковых узлов для осевых насосов систем терморегуляции летательных аппаратов // Труды МАИ. 2012. № 50. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=28697

19. Зубко А.И., Донцов С.Н. Исследование условий работоспособности и разработка диагностики керамических подшипников нового поколения // Труды МАИ. 2014. № 74. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=49296

20. Нахатакян Ф.Г. Контактное взаимодействие в роликовых опорах качения с учетом геометрии сопряжения // Вестник машиностроения. 2016. № 10. С. 21 - 24.

Труды МАИ. Выпуск № 115 http://trudymai.ru/

21. Нахатакян Ф.Г. Нагруженность роликовых подшипников при наличии зазоров //

Проблемы машиностроения и автоматизации. 2017. № 4. С. 87 - 91.

22. Решетов Д.Н. Детали машин. - М.: Машиностроение, 1989. - 496 с.

23. Нахатакян Ф.Г. Расчетное определение упругой податливости роликовых подшипников на основе теории Герца // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2011. № 1. C. 28 - 32.

24. Нахатакян Ф.Г. Сближение упругих тел конечных размеров при начальном касании по линии // Вестник машиностроения. 2014. № 2. C. 24 - 27.

25. Нахатакян Ф.Г. Решение плоской контактной задачи теории упругости с помощью модели упругого полупространства // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2011. № 5. C. 63 - 67.

26. Матлин М.М., Мозгунова А.И., Сотникова А.И., Костюков В.А. Жесткость первоначально линейного контакта деталей машин // Известия Волгоградского государственного технического университета. 2015. № 12 (175). С. 80 - 83.

27. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. - М.: Мир, 1989. - 510 с.

Труды МАИ. Выпуск № 115 http://trudymai.ru/

The impact of clearance in roller bearings on the power contact between

its elements

Nakhatakyan F.G.

Mechanical Engineering Research Institute of the Russian Academy of Sciences, 4, M. Kharitonyevskiyper., Moscow, 101990, Russia e-mail: filnahat7@mail. ru

Abstract

The presented work studied thoroughly the problem of radial clearance impact on a number of roller bearing loading parameters. It is indicated herewith that the source of the clearance is of no importance. It forms as the result of wearing, or it is a preliminary, i.e. deliberate clearance from technical considerations. The problem was solved analytically, based on the proposed method, employing herewith the author's technique for determining the pliancy of a "bearing" with a single rolling body.

Two characteristic schemes for a bearing loading with a radial force were considered. The first scheme describes an option, in which the radial force passes through the center of the maximally loaded roller, and the second one touches upon the case when the radial force passes between such rollers.

The problem has been solved with both absence of a radial clearance and its presence. The following parameters were determined: the bearing stiffness (pliancy); the number of load-bearing rollers; the maximum load on the roller, as well as the functions of these parameters on the radial clearance.

The main results of the work are as follows:

Труды МАИ. Выпуск № 115 http://trudymai.ru/

- bearing stiffness in the absence of radial clearance in both loading schemes is almost

constant;

- with the clearance increase, the stiffness in the second loading scheme decreases more rapidly than in the first scheme, which can cause fluctuations in the rotor systems.

The obtained results can be employed while solving a number of problems, for example, when designing and studying the dynamics of the aircraft turbine mechanisms, or when evaluating the wear and performance of rolling bearings, as well as their durability.

Keywords: roller bearing, bearing clearance, bearing stiffness, elastic compliance of the bearing, number of loaded rollers.

References

1. Pinegin S.V., Frolov K.V. Mashinovedenie, 1966, no. 2, pp. 36 - 45.

2. Lundberg G., Sjovall H. Stress and deformation in elastic Contacts, Pub. 4, Division of Solid Mechanics, Chalmers University of Technology, Gothenburg, Sweden, 1958, 47 p.

3. Hertz H. Uber die Berührung fester elastischer Körper und über die Härte. Verhandlungen des Vereine zur Beforderung des Geverbefleisses, Berlin, 1882, pp. 49.

4. Harris T.A. Rolling bearing analysis, 5-th edition, Wiley-Interscience Publication, USA, 2006, 258 p.

5. Pal'mgren A. Sharikovye i rolikovye podshipniki (Ball and roller bearings), Moscow, Mashinostroenie, 1969, 632 p.

6. Orlov A.V. Problemy mashinostroeniya i nadezhnosti mashin, 2007, no. 5, pp. 71 - 79.

Труды МАИ. Выпуск № 115 http://trudymai.ru/

7. Nakhatakyan F.G. Napryazhenno-deformirovannoe sostoyanie uprugikh elementov

zubchatykh mekhanizmov i sooruzhenii pri ikh lineinom i kromochnom kontakte (Stressstrain state of elastic elements of gear mechanisms and structures at their linear and edge contact), Doctor's thesis, Moscow, IMASh RAN, 2014, 213 p.

8. Elmidany T. et al. Optimal Interference in Radial Cylindrical Roller Bearings, Journal Engineering Applied Science, 2007, vol. 54, no. 2, pp. 189 - 204.

9. Harris T.A., Kotzalas M.N. Rolling Bearing Analysis. Vol. 1, CRC Press, Boca Raton, FL, 2007, 360 p.

10. ANSI/ABMA-9:1990 (R2000). Load Ratings and Fatigue Life for Ball Bearings. American Bearing Manufacturers Association, Washington, DC, 2000. URL: https://webstore.ansi.org/standards/abma/ansiabma1990r2000

11. Sadeghi F. et al. A Review of Rolling Contact Fatigue, Journal Tribology, 2009, vol. 131, no. 4. URL: https://doi.org/10.1115/L3209132

12. Houpert L. An Engineering Approach to Hertzian Contact Elasticity—Part I, Journal Tribology, 2001, vol. 123, pp. 582 - 588. DOI: 10.1115/1.1308043

13. Poplawski J.V. et al. Advanced Analysis Package for High Speed Multibearing Shaft Systems: COBRA-AHS. Final report, NASA Contract NAS3-00018, 2002.

14. Timken Aerospace Design Guide for Precision Metric Ball and Cylindrical Roller Bearings, 2011. URL: http://www.timken.com/en-us/products/bearings/productlist/ aerospace/Documents/aerospace product design guide.pdf Accessed

15. Oswald F.B., Zaretsky E.V., Poplawski J.V. Interference Fit Life Factors for Ball Bearings // Tribology Transactions, 2011, vol. 54, no. 1, pp. 1-20. DOI: 10.1080/10402004.2010.512428

Труды МАИ. Выпуск № 115 http://trudymai.ru/

16. Sorokin F.D., Chzhan Kh., Popov V.V., Ivannikov V.V. Trudy MAI, 2018, no. 103.

URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=100582

17. Sorokin F.D., Chzhan Kh., Popov V.V., Ivannikov V.V. Trudy MAI, 2019, no. 104. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=102114

18. Khaustov A.I., Shashkin I.N., Mal'gichev V.A., Nevzorov A.M. Trudy MAI, 2012, no. 50. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=28697

19. Zubko A.I., Dontsov S.N. Trudy MAI, 2014, no. 74. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=49296

20. Nakhatakyan F.G. Vestnik mashinostroeniya, 2016, no. 10, pp. 21 - 24.

21. Nakhatakyan F.G. Problemy mashinostroeniya i avtomatizatsii, 2017, no. 4, pp. 87 - 91.

22. Reshetov D.N. Detali mashin (Machine Parts), Moscow, Mashinostroenie, 1989, 496 p.

23. Nakhatakyan F.G. Problemy mashinostroeniya i nadezhnosti mashin, 2011, no. 1, pp. 28 - 32.

24. Nakhatakyan F.G. Vestnik mashinostroeniya, 2014, no. 2, pp. 24 - 27.

25. Nakhatakyan F.G. Problemy mashinostroeniya i nadezhnosti mashin, 2011, no. 5, pp. 63 - 67.

26. Matlin M.M., Mozgunova A.I., Sotnikova A.I., Kostyukov V.A. Izvestiya volgogradskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta, 2015, no. 12 (175), pp. 80

27. Dzhonson K. Mekhanika kontaktnogo vzaimodeistviya (Mechanics of contact interaction), Moscow, Mir, 1989, 510 p.