Расчет коэффициентов усиления пространственной волны Толлмина Шлихтинга в пограничном слое несжимаемой жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XIII

19 8 2

№ I

УДК 532.526.013.4

РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ УСИЛЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ВОЛНЫ ТОЛЛМИНА - ШЛИХТИНГА В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Рассматривается развитие пространственной волны Толлмина — Шлихтинга в несжимаемом пограничном слое на плоской пластине с учетом слабой неоднородности основного течения. Приводятся результаты численного расчета коэффициентов усиления.

В течение последних лет был проведен ряд исследований по изучению влияния слабой непараллельности течения в пограничном слое на его устойчивость. Интерес к данной проблеме был обусловлен, прежде всего, тем, что слабая неоднородность / течения оказывается существенной при рассмотрении развития в нем малых возмущений. Зависимость профиля скорости основного течения от координаты вниз по потоку приводит к деформации профиля ско--рости возмущения [1, 2], что становится принципиальным при интерпретации экспериментальных данных. Кроме того, сравнение коэффициентов усиления волн Толлмина — Шлихтинга [2], рассчитанных с учетом слабой неоднородности течения в пограничном слое, показало, что они могут в несколько раз превосходить значения коэффициентов усиления, вычисленные по квазипараллельному приближению. Расчеты, выполненные в работе [3], для плоских волн Толлмина— Шлихтинга показали, что линейная теория гидродинамической устойчивости с учетом слабой неоднородности основного.течения позволяет хорошо описать значительную часть области развития возмущений. Настоящая статья посвящена развитию метода учета влияния слабой неоднородности течения в пограничном слое на случай возмущений, распространяющихся под углом к основному течению и расчету коэффициентов усиления на примере течения в пограничном слое на плоской пластине.

Выберем в качестве системы координат х — расстояние вниз по потоку от передней кромки пластины, у—расстояние от поверхности пластины, ось Отбудет направлена вдоль поверхности пластины и перпендикулярно к направлению основного течения. Выберем в качестве характерного масштаба скорости и0—скорость набегающего потока и перейдем в линеаризованных уравнениях Навье —Стокса к переменным пограничпого слоя:

А. М. Ту мин, В. Е. Шепелев

где хо—координата некоторого фиксированного сечения, V — кинематический коэффициент вязкости.

Мы будем искать возмущения вида

Я («, 0 = <7 & *]) ехр і Я112 | Ьг - ш*

где о (£) = аг (£) +10.1 (6) — комплексная функция £; о> — действительная частота возмущения; Ь—действительное число, определяющее пространственную периодичность по координате г отыскиваемого решения. Появление в (1) множителя Я1/2 соответствует тому, что функция а (£) у нас является компонентом волно-вого числа в направлении основного течения, измеряемой в единицах VУаЬх, Тогда получившаяся система уравнений будет иметь следующую структуру:

где ¿1, 12 ~ линейные операторы; ф — (“» да, р) — вектор-функция, содержащая в качестве элементов возмущения компонента скорости и давления. Естественно искать решение полученной системы уравнений в виде разложения в ряд

по степеням Я_1/2: ф = фо+ 1/2 + • • • • При этом в главном приближении, чтобы удовлетворить всем граничным условиям, мы должны сохранить в операторе вязкие члены, содержащие старшие производные от величин и, V, да. Из условия разрешимости задачи в главном приближении, как обычно в теории гидродинамической устойчивости, при заданных значениях /?£, со, Ь определяется функция а (£), которая зависит от $ как от параметра. Кроме того, в силу линейности задачи главное приближение будет определено с точностью до множителя-функции от £. Возникает вопрос о правильном выборе нормировки амплитуды и фазы главного приближения на каждом шаге по 5. В следующем ■ >■

приближении для ф, получается уже неоднородное уравнение, в правую часть которого будет входить фо(£> *»]), и из условия его разрешимости можно однозначно решить вопрос о выборе нормировки <Ьо(£, ■*))•

Для получения удобных расчетных формул, которые были бы близки к найденным ранее в [4] для плоских возмущений, введем функцию Ф:

и будем искать решения в виде рядов <7 = <?0 + ^ (Штрих в (2) и

далее будет означать дифференцирование по ■»)).

Представим искомые функции главного приближепия в виде

где щ, ь0, да0, р0, Ф0 определяются с произвольной нормировкой на каждом шаге по 5, и из условия разрешимости следующего приближения по может

быть определена неизвестная ^функция Л(£), что позволяет завершить построение главного приближения. Тогда после весьма громоздких преобразований получим в главном приближении (онускаем над искомыми функциями):

(2)

«о = Л($)а0, г;0=/1(|)г70, да0 = Л (£) да0. р0 = А (£) ро, Ф0 = Л(£) Ф0,

Ц Фп = і оа./' - Р) (ф; - «2 *о> - *’*/'" фо - ^1/2^172- К* - 2“2 фо + “4 фо) =0,

?)= 0, Ф0 = Фо = 0,

7) -> со, Ф0, Ф0 -»• 0;

. іаФ0 = ---- ---. ■ . ■■■ *

(3)

(4)

(5)

1 *

I (а/' — ?) Но + vQff' + шр0 — 1,’2 г 1/2 (ао “ я2 йо) = 0;

к] = 0, м0 = О,

Т] -> ОО, «о» Ро 0.

В следующем приближении с необходимой степенью точности получим для Фх:

НА

¿0^1 = — л (с) /=о (5, К)) — />, (I, 1))

7] = О, = О,

Ч ^ со, Ф„ Ф* -► 0;

&о (?, ч) = (2аР - 2в*/' - /'" - аз /') ^ дФ"

дФ0

дЬ

(7)

фо) +

+ /'

+ (е

¿а а 2

Ч * »* .»

ТФо-Фо

+ 1)/* к - £1/2 «¿) - & ф0 ч/я + '] (? ~ За/') ф0 — “ [(/" + 7)/"0 (2^2 «о - Ф0) +

+ (/-1/')(Фо-а2ф^;

(8)

Л (I, 1)) = (2а? - 2а* Г - Г ~ *3 Л Ф0+/' С ]

?(

6)-^!/2!1/2.-/цц* I1/2,

//2

К2(е)=й2 (|)+62(^ 6у/?1/2 |1/2

(9)

Ь(6) =

¿/о

В случае плоского возбуждения 6 = 0, а = а, «0=Ф^/|1/2, и выражения для /=0 и Т7! совпадают с найденными ранее в [4]. Неоднородное уравнение Орра — Зоммерфельда разрешимо нри условии ортогональности правой части к решению сопряженной задачи:

Ч“Г - Р) (X" - «» X) + 2ш/" х' - ~ЖШ (X,У - 2«5 X” + “4 х).

%Ц2 £1/2 ч = о* х = г' = о»

7| -*■ ОО, X» X' ** °-

(10)

Тогда мы получим дифференциальное уравнение для нахождения неизвестной функции Л(?):

0„Л(;) + 0,-^-=0,

(11)

В рассматриваемом случае, в отличие от случая плоских возмущений [4], в выражение для Яо входит функция а0(£, /]). Поэтому схема построения решения будет следующей: 1) из условия разрешимости (3) находятся а(£) и затем вычисляется Фо(5, 4); 2) определяется г>о(£> ■*)) нз (4); 3) из (5) определяется

/?о(£» ч); 4) из уравнения (6) нахо-^ЙС' 1 дится и0) 5) вычисляются Fq и Ft;

6) из (i0) находится /_(£, •»}) и вычисляются функции G0(s), ¿М?), и затем решается уравнение (11) для А (£). Вычислительная программа для расчета развития пространственной волны Толлмина—Шлихтинга была создана на основе разработанной ранее для плоских возмущений [3]. Помимо контрольных расчетов, использовавшихся в [3], для данного случая дополнительно проверялась правильность интегрирования уравнения (6) на основе соотношения и0=Ф^1/2 при b — 0. Интегрирование уравнений (3), (6), (10) выполнялось с использованием вариантов детерминантного метода и метода дифференциальной прогонки [5].

На рис. 1, 2 представлены результаты расчетов коэффициентов усиления для двух безразмерных частотных параметров = 88* 10 ^ и 104-Ю~е соответственно. Коэффициенты усиления Ки определялись но максимуму в нрофиле возмущения х — компонента скорости. Следует иметь в виду, что в данной задаче г — компонент волнового числа b — const, в то время как .х — компонент аУUqI^x — медленно меняющаяся функция координаты вниз по нотоку. Это связано со слабой неоднородностью течения, что приводит к развороту началь-

ной волны, так как tgb=b ^ j а —медленно меняющаяся функция.

В яриведенных расчетах указаны значения углов для начального сечения, в котором Ки = Ь Поскольку протяженность расчетной области была невелика, вариация углов составляла менее одного градуса. Значения коэффициентов усиления рассчитывались здесь для достаточно высокочастотных значений параметра из соображения удобства экспериментальной проверки в малотурбулент-ных аэродинамических трубах. При этом в начале области развития, представленной на графиках, коэффициенты усиления при различных углах 0 совнадают с точностью графического изображения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Bouthier М. Stability linear des ecouleraent presque parallels. Partie II. La couche liroite de Blasius. J. de Mecanique, vol. 12, N 1, 1973.

2. Saric W. S., Nayfeh A. H. Nonparallels stability of layers with pressure gradients and suction. AGARD — symposium „Laminar — turbulent transition', Copenhagen, Denmark, 1977, N 6.

3. Ту мин А. М., Шенелев В. Е. Численный анализ развития возмущений в несжимаемом нограничном слое на плоской пластине. В сб. .Численные методы механики сплошных сред", ВЦ СО АН СССР, Новосибирск, т. И, № 3, 1980.

4. Gaster М. On the effect of boundary-layer growth on flow stability. „J. Fluid Mech.“, vol. 66, N 3, 1974.

5. Лутовинов В. М. Численное решение задач гидродинамической устойчивости. Труды ЦАГИ, вып. 1654, 1975.

?■—Ученые записки № 1

Рукопись поступала 25jVI 1980 г.