РАСЧЕТ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ КОНТУРНО ПОДКРЕПЛЕННОЙ КОМПОЗИТНОЙ ПАНЕЛИ, НАГРУЖЕННОЙ ПОПЕРЕЧНОЙ СИЛОЙ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 50

www.mai.ru/science/trudy/

УДК 629.7.024

Расчет и проектирование контурно подкрепленной композитной панели,

нагруженной поперечной силой

А.А. Дудченко, Ле Ким Кыонг, С.А. Лурье

В статье рассматривается расчет и проектирование контурно подкрепленной композитной панели, нагруженной поперечной нагрузкой. Решение строится в аналитической форме с использованием вариационного метода В.З. Власова в рядах по перемещениям в плоскости конструкции. Панель может быть нагружена произвольной поперечной силой и иметь произвольные условия закрепления. Полученное решение является основой для удовлетворения условия прочности в задаче проектирования. Приведены примеры решения задачи.

Ключевые слова:

контурно подкрепленная панель, композитный материал, поперечная нагрузка, метод В.З.Власова.

Расчет и проектирование авиационных конструкций из полимерных композиционных материалов (ПКМ) на начальном этапе создания изделий с помощью МКЭ является необоснованным и не корректным. В настоящее время разработано достаточно большое количество методов расчета и проектирования - математических и численных, но все они громоздки и не позволяют оперативно и с достаточной степенью точности проводить нахождение искомых параметров для реальных силовых конструкций из многослойных волокнистых композиционных материалов на стадии эскизного проектирования в элементах планера самолета. Знание рациональной структуры элементов конструкции с учетом всех прочностных, жесткостных, конструктивно-технологических и эксплуатационных требований является необходимым условием создания планера современного самолета минимальной массы. Проектирование заключается в определении большого количества конструктивных, геометрических, технологических параметров. Предлагаемый подход позволяет, используя особенности многослойной структуры композиционного материала (КМ), существенно упростить технологию расчета и проектирования.

Рассмотрим практический подход к расчету и проектированию контурно подкрепленной панели, нагруженной поперечной силой, с использованием условия равнопрочности. Для многослойной структуры материала, состоящего из однонаправлено ориентированных слоев или слоев ткани с ортогонально ориентированной структурой волокон, предельное состояние определяется пределом прочности при растяжении-сжатии в каждом направлении слоя и сдвиге в его плоскости. Подкрепленные панели являются часто используемыми несущими элементами силовых конструкций типа лонжеронов и нервюр, поэтому необходимо для определения напряженно-деформированного состояния

(НДС) корректно строить аналитические расчетные модели с последующим использованием решения в ограничении по прочности. Построение общего подхода к решению произвольной задачи часто приводит к необоснованным осложнениям. Панели могут иметь различные граничные условия закрепления, различные способы нагружения в ее плоскости как сосредоточенными, так и распределенными силами. Так как задачи решаются в линейной постановке, то любую сложную проблему можно разложить на простые составляющие задачи, решать каждую из них отдельно и затем использовать принцип суперпозиции. Аналитические решения имеют преимущество перед современными разностными методами, так как позволяют получить прямую аналитическую связь между искомыми параметрами. Это преимущество удобно использовать в задачах проектирования, если аналитическое решение достаточно просто, но обладает необходимой степенью точности.

Сначала построим решение поставленной задачи. Для определения напряженно-деформированного состояния в элементах панели, которое позволит оценить их прочность, используется вариационный метод В.З. Власова [1]. Решение проводится в перемещениях, которые в соответствии с этим методом определяются с учетом условий нагружения и закрепления панелей. Такой подход к решению задач позволяет учесть способ и место приложения сил, определить концентрацию напряжений и область их расположения. Это особенно важно для определения ресурса работы конструкции, когда в ней идет накопление повреждений и происходит изменение механических характеристик материала.

Рассмотрим панель, нагруженную поперечными силами (рис.1).

Н±

Рис. 1.

В соответствии с методом В.З. Власова функции перемещений и вдоль оси х и V вдоль оси у ищем в виде следующих рядов:

и

т п

= ТРг (х М (у); V = (X (У) .

(1)

I=1

к=1

Здесь функции М (У) и (у), называемые аппроксимирующими, выбираются с учетом условий нагружения и закрепления панели, а функции Uj (х) и V (х) подлежат определению в процессе решения задачи. Так как задача решается в перемещениях, то

выбираемые функции должны быть непрерывными и должны удовлетворять геометрическим граничным условиям, если таковые имеются. Примем физические уравнения в следующем виде: для ортотропной пластины

ды - ду

<х = Впех + В12£у = Вп ды + Вп

дх ду

у 21 х

Г

Тху = В33Уху = В33

< = В £ + В = Ви--+ В

V

ды ду

--1--

ду дх

22 у

\ у

дх

12

ду

(2)

для подкрепляющих элементов

ды ( Ус )

Р = <с Е = Е Е£ = Ес Е^

дх

Здесь В - средние значения упругих констант пластины, вычисление которых

приведено в [2]; Е и Е - модуль упругости и площадь поперечного сечения

подкрепляющих элементов.

Учтем, что усилия и жесткости В в пластине имеют вид

РЧ

^ = <хк; Ny = <ук; ^ = тхук; Врд

ВрЧк,

(3)

где

| dz = к

- толщина многослойной пластины.

Подставляя в (2) и (3) формулы для перемещений (1) и полученные выражения в полную энергию Э = и — А плоской подкрепленной панели, запишем составляющие энергии:

и = 1Ш <х£х + <у£у + Тхууху ) ^у^ + Х<с ;

2 К г 1

(4)

I н2

+

+

Я,

А = 11 (Ры + Чv)dxdy

0 н1

X Рр (х = 0,1) ы( х = 0,1; ур) + X Рч (х = 0,1) V (х = 0,1; у^ ) + (5)

Р Ч

/2 Н 2

+1 [ Рхы( х =0)+Руу( х =0)]^—XI[ Рб,л(х)+ад(х )]dУ,

Н1 I Н1

где <х, ау - средние постоянные по толщине пластины нормальные и т касательное напряжения, а £х, £ , у - соответствующие деформации в панели; <, £с, Ес -

напряжение, деформация и площадь поперечных сечений в продольных подкрепляющих элементах панели; р(х, у) и ч(х, у) - поверхностные силы в обшивке, параллельные

осям х и у соответственно; Р и р - сосредоточенные силы; Р и Ч - номера сил,

прикладываемые в точках с соответствующими координатами х, у; ы и V - функции

перемещений вдоль координат х и у соответственно; Рх и Ру - внешние

распределенные силы, приложенные на поперечной границе панели; рб( и - реакции изгиба и удлинения поперечных балок; ^ - номер балки.

Тогда усилия в пластине будут равны Ых = <УХк; = <у к; = Т^к, где | dz = к -толщина многослойной пластины.

Интегрируя выражение полной энергии по координате у, так как функции р. (У) и у/к (у) известны, то полная энергия Э превратится в функционал вида

Э = |ф(Х,и] ,и1Ук ,^к)dx. Минимум этого функционала в соответствии с принципом

о

Лагранжа даст соответственно уравнения равновесия и статические граничные условия :

X(и: а, -иь)-XV С -dkJ) + р, = о (, = 1,2,...т);

1=1

к=1

X(и: (Ск -dл) + Х V Гк - У^к) + дь = о (к = 1,2,....п),

1=1 к=1

где коэффициенты уравнений равновесия имеют вид

Н/2 К Н/2

а

У

Н / 2

(6) (7)

(8)

Н/2

= | ВпфгФ,Щ + ХЕс¥М(ус)Р, (усX ьи = I Веерку;

-Н/2 Г=1 -н/2

Н/2 Н/2

С, = | ^крму; Ск =| ВззР&кыу; dкJ = | Вп^'кР,Му; р, = | рРЛУ;

-Н/2 -Н/2 -Н/2 -Н/2

Н/2 Н/2 Н/2 Н/2

Лк = | ВхШкЫу; Гкк = | В3зУкУьЫу; ЧЬ = | В22УкУкЫу; Чк = | Ч^Л

-Н/2 -Н/2 -Н/2 -Н/2

и учитывают все плоские формы деформации обшивки. Здесь Н = Н + Н2 - полная высота панели, продольная ось х делит панель пополам (Н = Н2), а естественные граничные условия для свободных границ запишутся как

Н2 М

I (<хпк-Рх-рб)р/у-XррР,(ур)

- Н

' Н.

Р=1

N

8и.

= 0;

(9)

0-

(10)

| (Тхупк - Ру - Чб )¥ьЛу - Xр^к (уч )

-Н1 Ч=1

где рб и Ч - реакция поперечного силового элемента от действующих на него сил; п -

нормаль к поверхности на рассматриваемой границе. Принимая, что продольные подкрепления работают только на растяжение, а поперечные на растяжение и изгиб, выражая напряжения в (9) и (10) через перемещения и раскрывая реакцию балок в виде

рб = Еб1 б |тт = Еб7бХир и Чб = = ЕбЕб, запишем статические

ду 1=1 ЛУ к=1

граничные условия в окончательной форме

н ( Л (Л

| Еб/б|хи р; ф—ЕсЕсIXи;<р, I- н

н V I у V ' у

| ВпХир+В12р^у = | РрР^у+хРрр3 (ур); (11)

н +

н-

+

1=1 к=1

Н2

-Н,

| ЕбЕб I х^к^; к^у + | В33(хим+Хукк У*му=

- V к у _ ^ V /=1 к=1 у

Н2

= | рукЛ+х Рк (у9) •

—н ч

Здесь функции р и кк учитывают балочную часть перемещений и депланацию поперечного сечения. Балочные функции определяют поворот поперечного сечения функцией р = у и вертикальное смещение вдоль оси у функцией к\ = 1. Остальные функции учитывают депланацию сечения с учетом геометрических условий точечного закрепления по координате у и отвечают смыслу задачи. Например, начальные

первообразные функции р и к к для задачи изгиба можно выбрать в полиномиальном виде: р2 = у — 4у3/н2; р3= у —16 у5 / н4 и т.д. и к = 1 — 4у2/ н2; к = у — 16у5 / н4 и т.д. Здесь принято, что функция р1 = у учитывает только продольное перемещение в подкрепляющих элементах при значении у = +н /2, а функция к\ = 1 справедлива для

всего сечения, включая и продольные элементы. Для решения задачи необходимо провести ортогонализацию выбранных функций между собой, чтобы коэффициенты #г.. = 0 и ГкЬ = 0 уравнений (6) и (7) при I Ф ] и к Ф к обращались в нуль.

На закрепленном краю граничные условия должны удовлетворять условиям точечного закрепления и свободной границе между этими точками (рис. 1). Тогда с учетом проведенной ортогонализации функции перемещений запишутся в форме

и=[и+схи2+(с+сс )и ]р + и2 р+ и (р+ср р); (12)

V = [V + dy2 + (^ + d1dз V]к +У2к + V(к + dъЩ) • (13)

Так как функции р2 , р, к 2 и к уже удовлетворяют условия закрепления, то из (12) и (13) следует

и + си + (С + СС )и = 0; V + dlV + (^ + d]dъ V = 0 • (14)

На свободной границе между точками закрепления ставим статические условия (11) при отсутствии внешних нагрузок с использованием функций р2 , рз, к2 и кз •

Проведя ортогонализацию заданных функций, разрешающую систему задачи (6) и (7) запишем с учетом вида выбранных функций и значений коэффициентов в виде:

апи:- Ьии - Ь21и2 - ЬзХиз - ЬХХУХ(с21 - Л2Х )У + Лу = 0-

-Ь12и1 + а22и2 - Ь22и2 - Ь32и3 - Ь12У1' - (С22 - Л22 )У2 - (С32 - Л32 )У3 = 0 -Ь13и1 - Ь23и2 + а22и3 - Ь33и3 - Ь13У1' + Л32У2 - (С33 - Л33 )У3 =

Ьххи[ + ЬХ2и: + Ьи + ЬХХУХ := 0;

(С21 - Л21 )и1 + (С22 - Л22 ) и2 + (С23 - Л23 )и3 + Г22У2 - 822У2 - 832У3 = 0; (С13 - Л13 )и1 + (С23 - Л23 )и2 + (С33 - Л33 ^)и3 + Г33У3 - 823У2 - 833У3 = 0.

Здесь учтено, что = Лп = Л12 = Л2Х = Лхъ = Лъх = 8П = 812 = 821 = 813 = 831 = 0;

С21 = С12 = 0; с31 = С13 = 0 в результате ортогональности функций в этих выражениях, а между коэффициентами существует связь Ьп = Сп = Гп; Ь12 = Ь21 = С12 = с21; С21 = С12;

Л21 = Л12 ; Ь13 = Ь31 = С13 = С31; С31 = С13 ; Л31 = Л13 .

Проинтегрировав четвертое уравнение системы (15) и учтя условие на границе х = 0, оно принимает вид с учетом связи между коэффициентами

Ьпи + Ь2хи2 + + гУ' - р = 0. (16)

Учитывая связь между балочными функциями уравнения (16) и первым уравнением системы (15), его можно переписать в виде

апих: + Л2у: = р

или, проинтегрировав один раз и удовлетворив статическое граничное условие М(х = 0) = 0, переписать в виде

аххи[ + Л2ХУ2 = Рх. (17)

Тогда разрешающая система будет содержать второе, третье, пятое и шестое уравнения системы (15) и уравнения (16) и (17).

Для выбора вида и количества задаваемых функций рассмотрим и проанализируем точность решения 8-ми комбинаций функций р, р, р, у^, ¥2 и ¥з в следующей

последовательности: Р1, ¥1, ¥2; Р1, ¥1, ¥2 и ¥3; Р1, Р2, ¥1; Р1, Р2, ¥1, ¥2; Р1,

Р2 , , ¥2 и ¥3 ; р , Р2 , Р3 , V ; р , Р2 , Р3 , V , ¥2 ; р , Р2 , Р3 , ¥1, ¥2 и У3 .

Решения были проведены при следующих механических значениях материала и геометрических размерах подкрепленной панели. Расчетные параметры панели: длина панели ь = 1,2 м, высота панели н = 0,8м, площади поперечных сечений контурных балок для продольных стержней и поперечных балок равны 0,5 см2, момент инерции поперечных балок Уб = 0,02 см4, модуль упругости балки стержня принят

Е = 120 ГПа. Для пластины панели берем композитную однонаправленную ленту со следующими характеристиками: модуль упругости вдоль направления волокон

Е1 = 144 ГПа, поперек - Е2 = 7,5 ГПа, модуль сдвига G12 = 6,5 ГПа, коэффициент

Пуассона Ц2Х= 0,28, углы укладки р = 0; р2=-р=п/4; р4=л/2 и толщины

слоев к = 0; к = к = 0,2 мм; к = 0,2 мм. Поперечная сила Р = 10000 кг.

Сравнение вариантов решения приведены для перемещений и и V, усилия Ых и силы в поясе панели N по координате х при значении координаты у = н /2 . На рис.2 дано перемещение и , на рис.3 - перемещение V, на рис.4 - усилие в стенке панели Их, на рис.5 - изменение силы Ыс в поясе по длине панели.

Как видно из представленного решения последний вариант с тремя функциями р и тремя функциями к к дает наиболее точное и правильное решение задачи.

Рассмотрим задачу проектирования панели, используя ограничение равнопрочности. Считаем, что панель в рамках заданной геометрии имеет постоянные геометрические и значения параметров по длине. Методика проектирования часто зависит от конструктивно-технологических ограничений, габаритов конструкции, характера изменения нагрузки и др. Поэтому, практически, никогда не удается спроектировать действительно конструкцию минимальной массы, а можно говорить только о рационально спроектированной. Рассмотрим один из возможных подходов к процессу определения параметров панели в следующей последовательности.

Рис 2. Перемещение ы по рассмотренным вариантам

График перемещения V по вариантами

СИ

-0,01-

-0,02-

-0,03-

0 200 400 600 300 1000 1200

_х_

-при У(РЫ1,Р311,Р312)

-при У(РЫ1,РЫ2,Р511,Р512)

-при У(РЫ1,РЫ2,Рз11)

-при 'У(РЫ1,Рз11,Рз12,Рз13)

-при 'У(РЫ1,РЫ2,Рз11,Рз12,Рз13)

-при У(РЫ1,РЫ2,РЫЗ,Рз11,Рз12,Рз13)

-при У(РЫ1,РЫ2,РЫЗ,Р511,Р512)

Рис.3. Перемещения V по рассмотренным вариантам

усилия Нх

0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01

0 ' 200 ' 400 ' 600 ' 800 ' 1000 ' 1200 _х_

-при Ых(РЫ1,Рг11,Рз12)

-при Ык(РЫ1,РЫ2,Рз11,Рз12)

-при №<РЫ1,РЫ2,Рз11)

-при Ых(РЫ1,РзП,Рз12,Рз13)

-при Ых(РЫ1,РЫ2,РзН,Рз12,Ре13)

•> при Ых(РЫ1,РЫ2,РЫЗ,Рз11,Рг12,Рз13) при Мх(РЫ1,РЫ2,РЫЗ,Рз11,Р812)

Рис.4. Распределение усилия N по расчетным вариантам

Рис.5. Изменение величины силы Ыс по длине пояса

1. Из решения задачи находим область в стенке, где усилие N достигает максимального значения. Эта область расположена при значениях координат X = 840 мм и у = 400 мм. В этой точке усилие N у достигает максимальной величины, а N ~ 0, но

максимума N достигает при значении у = 0. Расчетным сечением для поясов будут

точки закрепления X = I, где в стенке Ых = 0 .

2. После определения расчетных усилий в стенке найдем толщины слоев композитной структуры стенки. Структура стенки панели, работающая в основном на сдвиг, обычно состоит из трех слоев с углами укладки (2 = —( = 7 / 4 и (4 = 7/2 по отношению к оси X. Задача определения усилий N в слоях трехслойного пакета в

направлении волокон проводится без учета влияния связующего и является статически определимой, и эти усилия находятся из статических соотношений в точке

4 4 4

Nx = X N СОБ(г ; Ыу = X N ътф^ ; Ыху = X N $№(>1 С0Б( , которые имеют вид

г=2 г=2 г=2

N2 = Мх + ^; К3 = К — мху ; ^ =—-^х. Учитывав что N = , где с —

напряжение в г - м слое;

ху

Иг — толщина этого слоя, и принимая, что напряжения в слоях достигают предела прочности С7Ь\, определяем толщины каждого слоя И = N / сг^.

Для четырехслойного пакета толщины слоев с углами укладки ( = 0; (2 = —( = 7/4 и (=7/2 без учета влияния связующего соответствующие толщины определяются с помощью формулы

И к+1

с

ы

ИЕЪ

1 / 2 , соъф7) ,т

(соб2ф — ц Бт2фф)N + -—г> , +

ЕН

О к

1

ЕИ

(8т2 ф ыъ2 ф)Я,

(к)

1

где к - номер приближения. Знаки числителя и знаменателя должны быть одинаковыми, так как толщины есть положительные величины. Для ортотропной структуры слоев с

Ж

углами укладки р2 3 = + — необходимо, чтобы h2 = h3, но из самих формул получается,

что h Ф h из-за действия усилия Nx. Так как h2 и h получаются неодинаковыми, то для ортотропной структуры мы должны принять, что h = h = hmsK (из этих двух

значений выбираем максимальное). Процесс расчета продолжается до тех пор, пока два последних приближения вычисления толщин не будут отличаться друг от друга на заданную величину. Для найденных толщин определяем с учетом связующего напряжения СТц, <J2i и г12г и сравниваем их с предельными значениями. Если во всех слоях

выполняется условие < < Ст; C2i < СБ2; Т12. < Т12, то на этом определение толщин

считаем законченным. Чаще всего не выполняется условие <2- < св2, т.е. не выполняется

условие прочности по связующему. Поэтому рационально проводить проектирование без учета связующего, а затем, если поверочный расчет показывает разрушение связующего, увеличивать толщину всех слоев пропорционально одному коэффициенту, пока во всех слоях все напряжения будут меньше разрушающих значений.

3. После определения структуры стенки и распределения в сечении x = 840 мм усилий Nx, Ny и Nxy можно найти силы ^ = max в поясах и затем площадь

поперечного сечения, если задаться значением модуля упругости продольного элемента E при известной в этом сечении деформации £ . Тогда среднее напряжение в поясе

равно Сс = Ес£с, а площадь сечения будет Ес = Рс / Сс. Максимальное значение площади поперечного сечения поясов будет в точках закрепления панели и равно

Fmax = pi / Hcbc.

Все расчеты на прочность проводились с учетом постоянства параметров и характеристик материала панели по длине. Поэтому если принять площадь продольных подкреплений панели переменной по длине, то необходимо проверить прочность панели численным методом.

4. После определения всех параметров определяем масса панели Ы\.

В качестве примера рассмотрим прямоугольную панель, нагруженную поперечной силой (см. рис. 1). В данной задаче искомыми параметрами являются толщина стенки h и площадь подкрепления Fc. Искомые параметры должны обеспечивать минимум массы и удовлетворять ограничениям по прочности. Примем, что стенка имеет трехслойную структуру с углами укладки +45°, 90°. Материал имеет следующие характеристики:

модуль упругости вдоль и поперек волокон E1 = 120 ГПа, E2 = 7 ГПа, модуль сдвига G12 = 6,5 ГПа, коэффициент Пуассона f^2= 0,26, прочность материала вдоль направления волокон ст= 1000 МПа, поперек направления волокон св1= 60 МПа, прочность при сдвиге Т12 = 70 МПа. Изгибающая нагрузка Р = 10000 кг. Длина панели l = 2000 мм, высота панели H = 400 мм. Модуль подкрепляющего элемента E = 90 ГПа.

Расчетные величины толщин стенки панели равны ^ = h = 0,584 мм, h = 0,2685 мм (толщины даны без технологических ограничений). Также Ex = 113185 МПа, E = 163925МПа, G = 62200 МПа, модуль упругости стержня

2

E = 90000МПа, а F = 580 мм .

После этого была проведена проверка на прочность. Оказалось, что в слое с укладкой +45° напряжения <2 превышают предел прочности. Для удовлетворения условия прочности и не нарушения свойств рациональной структуры увеличиваем пропорционально толщины всех слоев до тех пор, пока во всех слоях не будут удовлетворены условия прочности. Оказалось, что это происходит при увеличении толщин на 10%. В этом случае панель имеет следующие параметры с учетом технологических ограничений h = h = h4 = 0,6 мм. Модуль упругости подкрепления

2

E = 90000 МПа, площадь подкрепления F = 580 мм и масса панели M = 3,8 кг.

Библиографический список

1. Дудченко А.А., Елпатьевский А.Н. Прочность композитных подкрепленных панелей, нагруженных в своей плоскости // Механика композитных материалов. 1993. Т.29. №1. -С. 84-92.

2. Анизотропные панели - плоская задача / А.А.Дудченко, А.Н. Елпатьевский, С.А. Лурье, В.В. Фирсанов.- М.: Изд-во МАИ, 1991. - 96 с.

Сведения об авторах

Дудченко Александр Александрович, профессор Московского авиационного института (национального исследовательского университета, д.т.н.,е-mail: a_dudchenko@mail.ru

Кыонг Ле Ким,аспирант Московского авиационного института (национального исследовательского университета),е-mail: lekimcuong150367@yahoo.com

Лурье Сергей Альбертович, главный научный сотрудник ИПРИМ РАН, д.т.н., профессор, е-mail: lurie@ccas.ru