CC BY
14
УДК 512.572
DOI 10.24147/1812-3996.2020.25(3).13-17
РАНГИ ПЛАНАРНОСТИ МНОГООБРАЗИЙ ПОЛУГРУПП, ЗАДАННЫХ ТОЖДЕСТВОМ x"*x Д. В. Соломатин
Омский государственный педагогический университет, г. Омск, Россия
Информация о статье Аннотация. Описываются ранги планарности многообразий полугрупп, заданных
Дата поступления тождеством xn = xдля любого натурального n > 1.
03.09.2020
Дата принятия в печать 08.09.2020
Дата онлайн-размещения 28.12.2020
Ключевые слова
Полугруппа, граф Кэли полугруппы, планарный граф, нетривиальное полугрупповое тождество
Автор выражает глубокую признательность профессору Л. М. Мартынову за постановку задачи, постоянное внимание к работе и полезные обсуждения результатов статьи
RANKS OF PLANARITY FOR THE VARIETY OF SEMIGROUPS DEFINED BY THE IDENTITY x"*x D. V. Solomatin
Omsk State Pedagogical University, Omsk, Russia
Article info Abstract. The ranks of planarity for the varieties of semigroups defined by the identities
Received xn ~ x (n > 1) are described.
03.09.2020
Accepted 08.09.2020
Available online 28.12.2020
Keywords
Semigroup, Cayley graph of a semigroup, planar graph, nontrivial semigroup identity
The author expresses his deep gratitude to Professor L. M. Martynov for posing the problems, constant attention to the work and results of the discussion
■ ISSN 1812-3996
Одной из наиболее значимых с прикладной точки зрения характеристик графа считается его пла-нарность. Собственно, что касается планарности графов Кэли, позволяющих буквально визуализировать абстрактные алгебраические объекты, то на сегодняшний день известно описание конечных групп, графы Кэли которых плоские [1], но исчерпывающего описания полугрупп с таким свойством до сих пор не получено. При этом известны коммутативно-свободные [2] и прямые [3] произведения конечных моногенных моноидов, полугрупп с нулем, допускающих планарный граф Кэли. В упомянутых выше пионерских работах [2] и [3] рассматривались полугруппы, заданные своими копредставлениями, перечислением множества образующих элементов и определяющих соотношений. Позднее вопросы планарности графов Кэли были перенесены на свободные полугруппы многообразий коммутативных моноидов [4] и многообразий полугрупп [5], планарных многообразий полугрупп [6], многообразий полугрупп идем-потентов и полугрупп с перестановочным тождеством [7], многообразий нильполугрупп [8], в которых изучалось понятие ранга планарности для многообразия полугрупп, предложенное Л.М. Мартыновым [9]. В [10] было доказано, что ранг планарности любого многообразия полугрупп либо бесконечен, либо может быть любым натуральным числом. Основной целью данной заметки является указание новой счетной серии многообразий полугрупп конечного ранга планарности. Принципиальная новизна этой серии заключается в том, что впервые поднимается вопрос о рангах планарности для многообразий клиффордовых полугрупп, т. е. являющихся объединением групп [11, с 33], причём соответствующие группы не обязательно являются абелевыми (рассматривались нами ранее). Дело в том, что в любом многообразии клиффордовых полугрупп выполнено тождество х" и х. В самом деле, любая свободная моногенная полугруппа должна быть конечной типа (г;") [11, с 53], но при г > 1 соответствующая полугруппа не является объединением групп. Следовательно, г = 1 и в многообразии выполнено тождество х" и х. Основным результатом настоящей заметки является описание рангов планарности многообразий всех полугрупп с тождеством х" и х, представленное в следующей теореме.
Теорема. Ранг планарности многообразия уэг{х" и х} при любом " > 3 равен 1, а при " = 2 равен 3.
Прежде чем осмыслить основной результат, напомним, что графом Кэли полугруппы 5 относительно множества образующих её элементов X мы
называем конечный ориентированный мультиграф Сау(5,X), состоящий из множества вершин 5 и множества помеченных дуг - всевозможных троек (а,х,Ь), где а,Ь е 5 , х е X и ах = Ь. Таким образом, для каждого элемента из 5 граф Кэли имеет соответствующую вершину и для всех элементов ае5, хеX имеются дуги от а до ах, помеченные элементом х.
Вышеупомянутое определение задает ориентированный мультиграф с помеченными ребрами, а так как вопросы планарности графов принято решать в классе обыкновенных графов, то бывает удобным использовать понятие основы графа как графа, полученного из исходного путём удаления петель, меток, направленности дуг и замены кратных ребер одним ребром, соединяющим те же вершины.
Приведём необходимое для понимания полученных результатов определение. В работе [4] начато изучение предложенного Л.М. Мартыновым следующего понятия ранга планарности многообразия полугрупп. Пусть V - произвольное многообразие полугрупп. Если существует такое натуральное число г, что все ^свободные полугруппы ранга <г допускают планарные графы Кэли (относительно множеств их свободных образующих), а ^свободная полугруппа ранга г +1 уже не допускает планар-ный граф Кэли, то рангом планарности многообразия Vназывается это число г = гл (V). Если для многообразия V такого натурального числа не существует, то говорят, что многообразие V имеет бесконечный ранг планарности, и пишут гл (V) = ж. Напомним и формулировку необходимого в дальнейшем критерия планарности обыкновенного графа Понтрягина -Куратовского (см., напр.: [12]): обыкновенный граф планарен тогда и только тогда, когда он не содержит подграфов, гомеоморфных полному пятиэле-ментному графу К5 или полному двудольному графу К3 3.
В формулировке предложения и теоремы под (нетривиальным) тождеством и и V понимается пара различных слов и и V из абсолютно свободной полугруппы ^ над бесконечным счётным алфавитом Х^ ={х, У, х1,х2,..., хт,...}. Условимся свободную т-порожденную полугруппу многообразия V полугрупп рассматривать над т-символьным алфавитом Хт = {х1,х2,...,хт} и обозначать
Обозначим через VI многообразие всех групп экспоненты ", в полугрупповой сигнатуре оно определяется тождествами |х"у и у; ух" и у|, которое
ISSN 1812-3996 -
можно записать как чаг{х" и1}, так как для любого х существует такой х 1, что выполнены равенства х • х 1 = х 1 • х = 1.
Предпошлём доказательству теоремы предложение, представляющее самостоятельный интерес.
Предложение. Ранг планарности многообразия VI = var{x" «1} при любом п > 3 равен 1.
Доказательство предложения. В графе Кэли 2-порожденного свободной полугруппы многообразия V1 при любом п > 3 обнаруживается изображенный на рис. 1 подграф, основа которого гомео-морфна графу К33, следовательно, не является пла-
нарной, а ранг гл(V1) = 1. При изображении легко восстановимых цепей графа на рис. 1 используется пунктирная штриховка и следующие обозначения:
U = (xT2 *l)"
U = (xr2 x¡r2 xГ2,
U5 = x-2 X2)"
I — X^ X^
Рис. 1. Подграф графа Cay (f2 (V¿), X2) при любом n> 3
Ключевым для обоснования существования присутствующих в графе на рис. 1 ребер является тот факт, что в многообразии V1 выполняются тождества хп и 1 и (ху)"-1 и у"-1 х"-1 (так как (ху)"-1 и И у" (ху)"-1 х" и у" (х(ух)"-2 у)х"
íy"-1yx(yx)"-2 yxx"-1
'-у" 1(ух)"х" 1 «у"1 х" 1), кроме того, для всякого
"(для дока-
к = 1 + (п -1) верно хКу"-КхК и (уКх"")" 2 у зательства последнего достаточно умножить левую часть доказываемого тождества на (укх"-к)" слева), а
(х"-2)"-1 И х2 .
Предложение доказано. □
Для дальнейшего развития логики изложения результатов данной серии заметим, что из тождества х" и 1 следует х"+1 и х, однако обратное неверно, тем сильнее оказывается основной результат данной работы, представленный теоремой.
Доказательство теоремы. Отметим, что согласно доказанному в [7] ранг планарности многообразия чаг{х2 их} равен 3. Для оценки рангов планарности многообразий чаг{х" их} при любом
" > 3 предварительно докажем, что в многообразии уаг{х3 и х} выполнено тождество хуухух и хухуух, равносильное тождеству уххуху и ухухху . Несмотря на то, что из х3 и х вытекает ху и ух, тождеством коммутативности при этом пользоваться не будем, так как осуществлённые ниже шаги предстоит выполнить для тождества х" и х, из которого не следует хуи ух при ">3.
1. Дано ххх и х .
2. Если умножить обе части тождества (1) на одно и то же у, то получим ху и ххху .
3. Заменили в (1) вхождение х на ху, получили хухуху и ху.
4. Заменили в (2) вхождение х на ху, у на г, получили хухухуг и хуг, равносильное тождеству ухухухг и ухг .
5. Заменили в (3) вхождение х на ху, у на г, получили хугхугхуг и хуг .
6. Заменили в (4) вхождение у на уг, г на и, получили хугхугхуги ихуги .
7. Заменили в (5) вхождение г на х, получили хуххуххух и хух, равносильное тождеству ухуухууху и уху.
8. Заменили в (4) вхождение г на ухууху, получили хухухуухууху и хуухууху.
9. Если применить (7) к формуле (8), то получим хухуху и хуухууху .
10. Если применить (3) к формуле (9), то получим ху и хуухууху .
11. Если умножить обе части тождества (10) на одно и то же г, то получим хуг и хуухуухуг .
12. Заменили в (6) вхождение х на ху, у на ху, г на х, и на у, получили хухуххухуххухуху и И хухуху.
13. Если применить (3) к формуле (12), то получим хухуххухухху ихухуху .
14. Если применить (3) к формуле (13), то получим хухуххухухху и ху, равносильное тождеству ухухуухухуух И ух.
15. Заменили в (11) вхождение г на хухг, получили хуухуухухухг и хухухг.
16. Если применить (4) к формуле (15), то получим ху ухуухги хухухг .
17. Заменили в (4) вхождение г на ухухуух, получили хухухуухухуух и хуухухуух.
18. Если применить (14) к формуле (17), то получим хух и хуухухуух.
19. Заменили в (16) вхождение г на ухуух , получили хуухуухухуух и хухухухуух .
u = x"-2 x2
u = x"-2 x2
1
3
■ ISSN 1812-3996
20. Если применить (18) к формуле (19), то получим хуухух и хухухухуух.
21. Заменили в (4) вхождение 1 на ух, получили хухухуух и хуух.
22. Если применить (21) к формуле (20), то получим искомое хуухух и хухуух.
Заменив в (22) вхождение х на х, у на х2, получим равенство щ = хгхгхгхгхгхг « хгхгхгхгхгхг. Более того, в многообразии уаг{х3 их} выполнено тождество хуххуху и хухухху, а следовательно, имеет место равенство щ = х^х^^х^ ~ и х^ х2 х^ х2 х^ х^ х2.
Далее докажем, что в многообразии уаг{х3 и х} выполнено тождество хууххух и хуххуух.
23. Заменили в (10) вхождение х на хх, получили ххууххуухху и хху .
24. Заменили в (2) вхождение у на ууххуухху, получили хххууххуухху и хууххуухху .
25. Если применить (23) к формуле (24), то получим ххху и хууххуухху.
26. Если применить (2) к формуле (25), то получим ху и хууххуухху, равносильное тождеству ух и уххууххуух .
27. Заменили в (6) вхождение у на х, 1 на у, и на уххуух, получили ххуххуххууххуух и ххууххуух.
28. Если применить (26) к формуле (27), то получим ххуххух и ххууххуух.
29. Если умножить обе части тождества (18) на одно и то же 1, то получим хух1 и хуухухуух1.
30. Заменили в (2) вхождение у на ууххуух, получили хххууххуух и хууххуух.
31. Если применить (28) к формуле (30), то получим хххуххух и хууххуух.
32. Заменили в (2) вхождение у на уххух, получили хххуххух и хуххух.
33. Если применить (32) к формуле (31), то получим хуххух и хууххуух.
34. Заменили в (29) вхождение 1 на хуух, получили хуухухууххуух и хуххуух.
35. Если применить (33) к формуле (34), то получим хуухухуххух и хуххуух.
36. Заменили в (4) вхождение 1 на уху , получили хухухууху и хууху , равносильное тождеству ухухуххух и уххух .
37. Если применить (36) к формуле (35), то получим искомое хууххух и хуххуух.
Если заменить в (37) вхождение x на x1, У на
Теперь у нас есть всё необходимое, чтобы убедиться в существовании изображенного на рис. 2 подграфа графа Cay(f2(varjx3 и x}),Х2), основа которого гомеоморфна графу К33. Таким образом, граф Кэли 2-порожденной свободной полугруппы многообразия var{x3 и x} не допускает плоской укладки, а ранг планарности этого многообразия равен 1.
Рис. 2. Подграф графа Cay(F2(var{x3 и x}),Х2) ,
где w = xxx , W = x^xíxxx, W = xxxí x\ x
Обобщим сказанное на произвольное многообразие var{x" и x} при любом n > 3 . Повторяя действия, аналогичные показанным выше, можно доказать, что в многообразии var{xn и x} при любом n >3 выполнено тождество w(n) = (x^x-,)n"2xxx и и ((xx)"1 x)"2x . Более того, имеет место тождество w(n) =xx(x2xx)n*2*i*2 и*,(((i)n 1 x)"~2x .
Далее оказывается, что в многообразии var{xn и x} при любом n > 3 выполнено и тождество w(n) = xxx (x^x-x)"~2 и
и xx ((xx )n_1 x )n3 x (xxx )n_2 x. Следовательно, в графе Кэли 2-порожденной свободной полугруппы многообразия var{xn и x} при любом n > 3 существует подграф, основа которого гомеоморфна графу К33, а ранг планарности каждого такого многообразия равен 1. Упомянутая основа графа восстанавливается на шести вершинах, соединенных между собой следующими девятью попарно непересекающимися маршрутами: (xxx2)2x -...-w(n) —...—x^xíx2 ; (x1x2) x1 — (x1x2) ; (x1x2) x1 —.— x1x2; xxx — x^x2xí — x^x2xí x2; x1x2x1 — (x1x2) ; xxx — x1x2; x^x2x^ —.—
w
(n) .
X2 X2 X^ X2 ; X2 X2 X^
-w.
(n) .
(Xi X2 ) ; Xi X2 Xi
X, то получим равенство
w^ — X*X2X* X* X2 X2X *
X^ X2 X2 X^ X^ X2 X^
Вестник Омского университета 2020. Т. 25, № 3. С. 13-17
ISSN 1812-3996-
х^х^-хх . Удостовериться в истинности технических фрагментов доказательства можно, задействовав машинные вычисления описанным в [13] способом. Таким образом, теорема доказана. □
В связи с результатами работы еще более актуальной становится поставленная Л.М. Мартыновым
проблема описания многообразий клиффордовых полугрупп конечного ранга планарности. Заметим, что не все такие многообразия имеют конечный ранг, например, встречающееся в [6] планарное многообразие полугрупп левых нулей уаг|х2 и х; ху и х| имеет бесконечный ранг планарности.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Maschke H. The representation of finite groups, especially of the rotation groups of the regular bodies of three- and four-dimensional space, by Cayley's color diagrams // Amer. J. Math. 1896. Vol. 18 (2). P. 156-194.
2. Соломатин Д. В. Конечные свободные коммутативные полугруппы с планарными графами Кэли // Математика и информатика: наука и образование : межвузовский сборник научных трудов : ежегодник. Омск : Изд-во ОмГПУ, 2003. Вып. 3. С. 32-38.
3. Соломатин Д. В. Прямые произведения циклических полугрупп, допускающие планарный граф Кэли // Сибирские Электронные Математические Известия. 2006. Т. 3. C. 238-252.
4. Соломатин Д. В. Ранги планарности многообразий коммутативных моноидов // Вестник Омского университета. 2012. № 4. С. 41-45.
5. Соломатин Д. В. Ранги планарности многообразий коммутативных полугрупп // Прикладная дискретная математика. 2016. № 4 (34). С. 50-64.
6. Соломатин Д. В. Планарные многообразия полугрупп // Сибирские Электронные Математические Известия. 2015. Т. 12. С. 232-247.
7. Соломатин Д. В. О рангах планарности многообразий полугрупп идемпотентов, нильполугрупп и полугрупп с перестановочным тождеством // Вестник Омского университета. 2017. № 4 (86). С. 11-21.
8. Соломатин Д. В. О рангах планарности многообразий нильполугрупп // Вестник Омского университета. 2019. № 2 (24). С. 17-22.
9. Новые проблемы алгебры и логики. Юбилейное 900-е заседание семинара // Омский алгебраический семинар, ОФ ИМ СОРАН, г. Омск, 12 ноября 2015 г. URL: http://www.mathnet.ru/php/seminars.phtml? presentid=12900.
10. Соломатин Д. В. Ранги планарности многообразий полугрупп // Вестник Омского университета. 2019. № 4 (24). С. 9-15.
11. ШевринЛ. Н. Полугруппы // Общая алгебра. Т. 2. М. : Наука, 1991. Гл. IV. С. 11-191.
12. Kuratowski K. Sur le problème des courbes gauches en topologie // Fund Math. 1930. Vol. 15. P. 271-283.
13. Arthan R., Oliva P. Studying Algebraic Structures using Prover9 and Mace4 // Proof Technology in Mathematics Research and Teaching / ed. by G. Hanna et al. Cham: Springer, 2019. P. 91-111.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ
Соломатин Денис Владимирович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и методики обучения математике, Омский государственный педагогический университет, 644099, Россия, г. Омск, наб. Тухачевского, 14; e-mail: [email protected]
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ
Соломатин Д. В. Ранги планарности многообразий полугрупп, заданных тождеством xn ~ x // Вестн. Ом. ун-та. 2020. Т. 25, № 3. С. 13-17. DOI: 10.24147/1812-3996.2020.25(3).13-17.
INFORMATION ABOUT AUTHOR
Solomatin Denis Vladimirovich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Docent of the Department of Mathematics and Methods of Teaching Mathematics, Omsk State Pedagogical University, 14, nab. Tukha-chevskogo, Omsk, 644099, Russia; e-mail: solomatin_ [email protected]
FOR GTATIONS
Solomatin D. V. Ranks of planarity for the variety of semigroups defined by the identity x" ~ x. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2020, vol. 25, no. 3, pp. 13-17. DOI: 10.24147/1812-3996.2020.25(3).13-17. (in Russ.).
