CC BY
13
УДК 512.572
DOI 10.25513/1812-3996.2017.4.11-21
О РАНГАХ ПЛАНАРНОСТИ МНОГООБРАЗИЙ ПОЛУГРУПП ИДЕМПОТЕНТОВ, НИЛЬПОЛУГРУПП И ПОЛУГРУПП С ПЕРЕСТАНОВОЧНЫМ ТОЖДЕСТВОМ
Д. В. Соломатин
Омский государственный педагогический университет, г. Омск, Россия
Информация о статье Аннотация. Доказано, что ранг планарности многообразия всех полугрупп идемпо-
Дата поступления тентов равен 3; ранг планарности многообразия var{xw = w, wx = w} нильполугрупп,
02.09.2017 при любом слове w, не содержащем переменную x, равен бесконечности; ранг пла-
нарности любого перестановочного многообразия полугрупп равен 1 или 2.
Дата принятия в печать 12.09.2017
Дата онлайн-размещения 15.12.2017
Ключевые слова
Граф Кэли полугруппы, ранг планарности многообразия полугрупп, перестановочные многообразия
Автор выражает глубокую признательность профессору Л. М. Мартынову за постановку задачи, постоянное внимание к работе и полезные обсуждения результатов, а также рецензенту за конструктивные замечания и предложения,
способствовавшие улучшению статьи.
ON RANKS OF THE PLANARITY OF VARIETIES OF ALL IDEMPOTENT SEMIGROUPS, NILSEMIGROUPS, AND SEMIGROUPS WITH THE PERMUTATION IDENTITY
D. V. Solomatin
Omsk State Pedagogical University, Omsk, Russia
Article info Abstract. We prove that the rank of the planarity of the variety of idempotent semigroups
Received is equal to 3; the rank of the planarity of the variety var{xw = w, wx = w} of nilsemigroups
02.09.2017 for any word w that does not contain the variable x is equal to infinity; the rank of planarity
of the permutation variety of semigroups is equal to 1 or 2.
Accepted 12.09.2017
Available online 15.12.2017
Keywords
Cayley graph of a semigroup, planarity rank for variety of semigroups, permutation varieties
- 11
Herald of Omsk University 2017, no. 4 (86), pp. 11-21
Вестник Омского университета 2017. № 4 (86). С. 11-21
-ISSN 1812-3996
Acknowledgements
The author expresses his deep gratitude to Professor L. M. Martynov for posing the problems, constant attention to the work and results of the discussion, and also author expresses his deep gratitude to the reviewers for the constructive comments and suggestions that contributed to the improvement of the article.
Статья продолжает цикл работ [1]-[4], посвященных предложенной Л. М. Мартыновым [5] проблеме изучения рангов планарности многообразий полугрупп.
Конструкция графов Кэли перенесена на полугруппы в 60-х гг. прошлого столетия [6]. Несколько позднее исследование графов полугрупп выделено в отдельное направление [7].
Напомним определения некоторых понятий, связанных с графами Кэли полугрупп. Пусть 5 - полугруппа, X - множество порождающих ее элементов. Через Сау(Б,X) обозначим граф Кэли полугруппы 5 относительно X . Граф Сау(Б,X) состоит из множества вершин 5 и множества помеченных дуг - всевозможных троек (а,х,Ь), где а,Ье Б, хе X и ах = Ь. Заметим, что в данном случае граф Кэли является ориентированным мультиграфом с помеченными дугами. Вершины графа обычно изображаются точками на плоскости, а дуга (а,х,Ь) - линией, направленной от а к Ь и помеченной элементом х . При изображениях графов Кэли мы будем опускать легковосстановимые метки дуг. Основой ориентированного мультиграфа называем граф, полученный из данного графа удалением петель и заменой всех дуг, которые соединяют две вершины одним ребром, соединяющим эти вершины. Ориентированный мультиграф называем планарным, если его основа является планарным графом. Будем говорить, что полугруппа 5 допускает планарный граф Кэли, если для некоторого множества X основа графа Сау(Б,X) является планарным графом.
Приведем определение важного понятия ранга планарности многообразий полугрупп, введенного Л. М. Мартыновым [5]. Пусть V - произвольное многообразие полугрупп. Если существует такое натуральное число г, что все ^свободные полугруппы ранга <г допускают планарные графы Кэли (относительно множеств их свободных образующих), а ^свободная полугруппа ранга г +1 уже не 12 -
допускает планарный граф Кэли, то рангом планарности V называется это число г = гл(V). Если для многообразия V такого натурального числа не существует, то говорят, что многообразие V имеет бесконечный ранг планарности и пишут гл(V) = да .
Многообразие = м,мх = w} нильполу-
групп, при любом слове м, не содержащем переменную х, будем обозначать N . Многообразие уэг{хх = х} всех полугрупп идемпотентов обозначим I.
Для перестановочного многообразия уаг{х1х2..,хп = х1ах2а..,хпа} полугрупп, где л>1 -натуральное число ист - нетривиальная перестановка множества {1,2,...,л}, будем использовать
обозначение Р'Щ. Порожденную п образующими свободную полугруппу многообразия V обозначим через Гп (V).
Основным результатом работы является
Теорема.
(1) Ранг планарности многообразия I равен 3;
(2) ранг планарности многообразия N при любом слове ж равен бесконечности;
(3) ранг планарности многообразия РП при любых п и ст равен 1 или 2.
Доказательство теоремы будет состоять из доказательства трех ее утверждений.
Доказательство (1). Для оценки нижней границы ранга планарности напомним (см.: [8, с. 149]), что ^(1)1 = 1, |Г2(1)| = 6 , |Гз(1)| = 159, |Г4(1)| = 332380,
(I) = 2 751884 514 765 .
При работе с элементами полугруппы Fn (I) будем использовать некоторые хорошо известные факты структурной теории полугрупп. Известно (см.: [8, с. 49]), что всякая полугруппа идемпотентов является полурешеткой прямоугольных полугрупп. Пря-
моугольные полугруппы, в свою очередь, представляют собой прямые произведения полугрупп правых и левых нулей; кроме того, они удовлетворяют тождеству хуг = хг . Таким образом, на основании пункта 9 (Ь) из работы [9, с. 174] для каждой прямоугольной компоненты полугруппы ^(I) имеет место
утверждение: если переменные x, у и z представляют собой слова из одинакового без учета кратности набора символов множества образующих X, в частности содержащие каждый символ из X хотя бы один раз, то выполняется тождество хуг = хг .
Легко проверить, что свободные полугруппы идемпотентов, порожденные одним и двумя образующими, допускают планарные графы Кэли. Кроме того, существует плоская укладка графа Кэли полугруппы (I). Основа графа Кэли полугруппы (I) представляет собой 3 попарно изоморфные связные компоненты, каждая из которых является объединением имеющего 5 невисячих вершин дерева Т, с попарно изоморфными плоскими графами С порядка 12 в количестве 4 штук, где 1 < / < 3, 1 < 7 < 3-4. Итого |Г3 (I) = 159 = (12-4 + 5)-3. На рис. 1 изобразим такое дерево Т, а на рис. 2 - пару таких графов в' и в", что все Т, при 1 </ < 3, и , при 1 < 7 < 12 , могут
быть получены из них заменой символов а, Р и у попарно различными символами из множества {а, Ь, с} образующих элементов полугруппы Ръ(I). Поскольку легковосстановимые ориентация и пометки ребер опущены, для полноты изложения покажем, например, почему вершины уаРуРаР и уаРу соединены ребром в графе в':
уаРуРаР - у = уаРуРаРу = = уаРуРа - аРу = уаР - уРа - аРу = уаР - аРу = уаРу.
Для завершения доказательства утверждения (1) теоремы достаточно показать, что полугруппа Г4(I) не допускает планарный граф Кэли. На рис. 3 изобразим подграф основы графа Кэли полугруппы Г4(I), гомеоморфный полному двудольному графу
К33. Так как основа графа Кэли полугруппы Г4(I) содержит изображенный на рис. 3 подграф, гомеоморфный графу К33, то по теореме Понтрягина - Ку-ратовского граф Кэли полугруппы Г4(I) не является планарным. Учитывая существование плоских укладок графов Кэли полугрупп идемпотентов с меньшим, чем 4, числом образующих, приходим к выводу, что ранг планарности многообразия I равен 3.
уау уа
'Р уВу
уауР уаР уРа уРуа Рис. 1. Граф Т, изоморфный подграфу основы графа Кэли полугруппы Г3(I)
У
уауР
уауРуауS руауРу
уауВару
уаРуРа
Рис. 2. Графы в' и в", изоморфные подграфу основы графа Кэли полугруппы Я(I)
abcd
abcda
abcdabc
\abcdb abcdac/
\щаЬссфаЬ abcdba\alx;dbaFd bcctyabda a&cdbaEdcuybbcdacb
abcdbac n. /abcdacbd
abcdacbda/ \ abcdbacd
/ abcdacbdab abcdbacda x.
abcdab
Рис. 3. Основа подграфа графа Кэли полугруппы Г4(I)
Доказательство (2). Так как в свободной полугруппе многообразия всех полугрупп выполняется лишь тривиальное тождество х = х, то основа графа Кэли свободной полугруппы многообразия всех полугрупп является лесом, ациклическим внешнепланарным графом в, относительно любого множества неразложимых образующих X полугруппы ^ ). Так как х не входит в ж, то приведенная в полугрупповой нотации система тождеств {хм = м, мх = м} эквивалентна равенству м = 0. Следовательно, основа графа Кэли свободной полугруппы с нулем многообразия N = уэг{хм = м, мх = м} относительно любого числа образующих, получаемая отождествлением вершин графа в, содержащих подслово м, с вершиной м = 0, имеет плоскую укладку. Таким образом, ранг планарности многообразия ^, при любом м, равен бесконечности.
Доказательство (3). Предварительно заметим, что единственным задаваемым тождеством из двух символов перестановочным многообразием полугрупп является многообразие всех коммутативных полугрупп с тождеством ху = ух. Все перестановочные тождества из трех символов исчерпываются следующими: 1) хуг = хгу; 2) хуг = гух; 3) хуг = ухг; 4) хуг = угх . Принцип их построения прост: к словам тождества их двух символов поочередно добавляется новый символ в начало, в середину, в конец и формируется циклический сдвиг. Аналогичным образом перечислим все перестановочные тождества из четырех символов:
1) xyzt = xytz; 2) xyzt = xzyt; 3) xyzt = xzty; 4) xyzt = xtzy; 5) xyzt = yxzt; 6) xyzt = yxtz ; 7) xyzt = yzxt; 8) xyzt = yztx; 9) xyzt = ytxz; 10) xyzt = ytzx; 11) xyzt = zyxt; 12) xyzt = zytx; 13) xyzt = tyzx.
Для перечисления всех возможных перестановок можно использовать любой из известных алгоритмов (например, среди перечисленных в работе [10]). Доказательство теоремы осуществим индукцией по длине перестановки. В минимально возможном случае при п = 2 получаем многообразие всех коммутативных полугрупп, ранг планарности которого известен (см.: [4]) и равен 2. Предположим, что доказываемая теорема верна при п < к -1, и докажем, что утверждение теоремы будет истинным при п = к . Для этого предстоит рассмотреть перестановки, когда переставляемые элементы отстоят друг от друга на разных минимально возможных расстояниях.
Такие перестановки редуцируют к 13 основным случаям: 1) xyzt = xytz; 2) xyzt = xzyt;
4) xyzt = xtzy; 5) xyzt = yxzt; 7) xyzt = yzxt; 8) xyzt = yztx; 10) xyzt = ytzx; 11) xyzt = zyxt; 12) xyzt = zytx; 13) xyzt = tyzx. Известно (см.: [11]), что каждую перестановку можно разложить в произведение независимых циклов. Вышеперечисленные перестановочные тождества соответствуют перестановкам, являющимся следующими произведениями простых циклов: (34), (23), (234), (24), (12), (12)(34), (123), (1234), (1342), (142), (13), (143), (14).
3) xyzt = xzty; 6) xyzt = yxtz; 9) xyzt = ytxz;
Как видим, тождества отличаются лишь длиной общей части или в начале составляющих их слов, или в конце, или количеством символов между переставляемыми элементами. Увеличение количества и длины простых циклов, входящих в разложение перестановки, позволит охватить все перестановочные тождества. В связи с этим остается обнаружить запрещенные конфигурации в графах Кэли свободных полугрупп перестановочных многообразий, имеющих достаточное количество образующих, задаваемых тождествами вида u^w = uv2w, где слова u и w возможно пустые, а в словах v и v переставляемые элементы либо являются соседними, либо находятся на расстоянии один и более символов друг от друга.
На свободную полугруппу перестановочного многообразия, заданного тождеством u = v, можно
смотреть как на фактор-полугруппу абсолютно свободной полугруппы, порожденную тождеством и = V, тогда в качестве вершин графов, изображенных на рис. 4-16, берутся представители классов этой конгруэнции. При этом, в случае совпадения начала (конца) слов и, V, вершины помечаются несовпадающими частями слова.
Свободная моногенная полугруппа произвольного перестановочного многообразия допускает планарный граф Кэли, плоская укладка которого совпадает с плоской укладкой графа Кэли любой моногенной полугруппы. Следовательно, нижняя граница оценки рангов планарности перестановочных многообразий полугрупп равна одному. Покажем, что верхняя граница этой оценки равна двум.
a2ba2
ab
ab
a2b2a2 a3b2a2 a3b2a a3b2
'a3b
Рис. 8. Подграф графа Кэли свободной 2-порожденной полугруппы многообразия, заданного тождеством
2
a
X1 ■ ■ ■XiXi+1Xi+2Xi+3 —xn ~ X1 ■■ ■Xi+1XiXi+2Xi+3 —xn
a3b
aba■
aba2
aba3b
aba3b2
aba2b2
aba2b
abab2
Рис. 9. Подграф графа Кэли свободной 2-порожденной полугруппы многообразия, заданного тождеством
X1 ■ "XiXi+1Xi+2Xi+3 ■■■Xn ~ X1■■ ■Xi+1XiXi+3Xi+2 ■ ■ ■Xn
ak+lba
b2ak+2
2„ k+3
akb
a b
b a
ak+2b2
ak+2b
Рис. 14. Подграф графа Кэли свободной 2-порожденной полугруппы многообразия, заданного тождеством
k
a
X1.. ■XiXi+1Xi+2Xi+3 —xn ~ X1 ■■ ■Xi+2Xi+1XiXi+3 —xn
ia4b2
''a4b3
азьз
Рис. 15. Подграф графа Кэли свободной 2-порожденной полугруппы многообразия, заданного тождеством
akb
ak+lb
ak+3b
ak+2b
Рис. 16. Подграф графа Кэли свободной 2-порожденной полугруппы многообразия, заданного тождеством
X1—XlXi+1Xl+2Xl+3—Xn ~ X1—Xl+2xi+ixi+3xi —xn
a
xi—xixi+ixi+2xi+3—xn ~ xi—xi+3xi+ixi+2xi —xn
В каждом из 13 основных случаев ограничено максимальное число образующих свободной полугруппы соответствующего многообразия, допускающей планарный граф Кэли. А именно ранг планарно-сти многообразия, заданного редуцирующимся к первому случаю тождеством х■■■х,х,+1х(+2х(+3--.хп = = х ■ ■■Х(.х(-+1х(.+3х(.+2, сверху ограничен числом 2, так как граф Кэли свободной 3-порожденной полугруппы этого многообразия не является планарным в силу теоремы Понтрягина - Куратовского потому, что содержит изображенный на рис. 4 подграф, основа которого гомеоморфна графу К .
Аналогичные утверждения о свободной 2-по-рожденной полугруппе соответствующего перестановочного многообразия справедливы для случая к, опирающегося на рисунок под номером к + 3, при всех натуральных к пробегающих значения от 2 до 13, с тем лишь отличием, что ранг планарности многообразия в этих случаях оказывается равен 1.
Утверждение (3) доказано, тем самым доказана теорема.
Отметим два важных следствия утверждения (2) теоремы, которое можно записать без использования полугрупповой нотации следующим образом:
(2' ) ранг планарности многообразия = 0} нильполугрупп при любом слове № равен бесконечности.
Следствие 1. Ранг планарности многообразия
чаг{х" = 0} всех нильполугрупп любого индекса п равен бесконечности.
Следствие 2. Ранг планарности многообразия чы{х1х2.. ,хп =0} всех нильпотентных полугрупп любой ступени нильпотентности п равен бесконечности.
В заключение - предложение, представляющее самостоятельный интерес.
Предложение. Основа графа Кэли свободной полугруппы Я (I) при п < 5 содержит подграф, го-меоморфный полному графу Кп.
Доказательство. При п = 1 и п = 2 это утверждение очевидно. Для п = 3 и п = 4 подграфы, го- 19
меоморфные полным графам К3 и К4, обнаруживаются на рис. 2 и рис. 3 соответственно. Покажем, что предложение верно и при п = 5 . Свободная полугруппа Г5(/) идемпотентов с образующими а, Ь, с, б, е не допускает планарного графа Кэли, так как основа графа Кэли этой полугруппы содержит подграф, гомеоморфный полному графу пятого порядка К . Так как всякая полугруппа идемпотентов является полурешеткой прямоугольных полугрупп [8, с. 49], а прямоугольные полугруппы, в свою очередь, представляют собой прямые произведения полугрупп правых и левых нулей; тогда, в силу пункта 9 (Ь) из работы [9, с. 174], если слова х, у и г содержат каждый из символов а, Ь, с, б, е хотя бы один раз, то они удовлетворяют тождеству хуг = хг
в Р5 (/), коль скоро мы работаем со словами из одной прямоугольной компоненты.
В таблице ниже по разным столбцам разнесены значения соответствующих слов, а в последнем столбце приведено итоговое слово в свободной от квадратов упрощенной форме.
Принимая во внимание вышесказанное, приходим к выводу, что имеют место следующие равенства: abcde в^Ьа cdeab=abcdeab; abcde becda deabc=abcdeabc; abcdea eacbd deabc=abcdeabc; abcdea adcbe eabcd=abcdeabcd; abcdeab abdce eabcd=abcdeabcd. Таким образом, в графе Кэли полугруппы идемпотентов, множество образующих которой содержит элементы {а, Ь, с, б, е}, найдется подграф, основа которого гомеоморфна графу К5. А именно
пять вершин {abcde, abcdea, abcdeab, abcdeabc, abcdeabcd} последовательно соединены циклом и попарно соединяются следующими непересекающимися маршрутами: (abcde, abcded, abcdedc, abcdedcb, abcdedcba, abcdedcbac, abcdedcbacd, abcdedcbacde, abcdedcbacdea, abcdeab), (abcde, abcdeb, abcdebe, abcdebec, abcdebecd, abcdebecda, abcdebecdad, abcdebecdade, abcdebecdadea, abcdebecdadeab, abcdeabc), (abcdea, abcdeac, abcdeacb, abcdeacbd, abcdeacbde, abcdeacbdea, abcdeacbdeab, abcdeabc), (abcdea, abcdead, abcdeadc, abcdeadcb, abcdeadcbe, abcdeadcbea, abcdeadcbeab, abcdeadcbeabc, abcdeabcd), (abcdeab, abcdeabd, abcdeabdc, abcdeabdce, abcdeabdcea, abcdeabdceab, abcdeabdceabc, abcdeabcd).
Следовательно, граф Кэли полугруппы Fs(I) по теореме Понтрягина - Куратовского не является пла-нарным, а ранг планарности многообразия I не превышает 4. Вместе с тем первое утверждение основной теоремы имеет точное значение ранга планарности многообразия I, равное 3. Ключом к доказательству этого факта оказался дополнительный непересекающийся маршрут в графе Кэли полугруппы F (I), соединяющий две вершины подразбиения в подграфе К4 основы графа Кэли полугруппы F(I), что привело к подграфу, гомеоморфному графу К33.
В связи с доказанным предложением возникает вопрос: верно ли, что основа графа Кэли свободной полугруппы F (I) содержит подграф, гомеоморфный полному графу , для любого натурального n ?
x y z xyz xz square-free(xz)
abcde edcba cdeab abcde■edcba■cdeab abcde■cdeab abcdeab
abcde becda deabc abcde■becda■deabc abcde■deabc abcdeabc
abcdea eacbd deabc abcdea■eacbd■deabc abcdea■deabc abcdeabc
abcdea adcbe eabcd abcdea■adcbe■eabcd abcdea■eabcd abcdeabcd
abcdeab abdce eabcd abcdeab•abdce■eabcd abcdeab■eabcd abcdeabcd
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Соломатин Д. В. Ранги планарности многообразий коммутативных моноидов // Вестн. Ом. ун-та. 2012. № 4. С. 41-45.
2. Соломатин Д. В. Планарные многообразия коммутативных полугрупп // Вестн. Ом. ун-та. 2015. № 2. С. 17-22.
3. Соломатин Д. В. Планарные многообразия полугрупп // Сиб. электрон. матем. изв. 2015. № 12. С. 232-247.
20 -
Herald of Omsk University 2017, no. 4 (86), pp. 11-21
4. СоломатинД. В. Ранги планарности многообразий коммутативных полугрупп // Прикладная дискретная математика. 2016. № 4 (34). С. 50-64.
5. Новые проблемы алгебры и логики. Юбилейное 900-е заседание семинара // Омский алгебраический семинар (ОФ ИМ СОРАН, г. Омск, 12 ноября 2015 г.). URL: http://www.mathnet.ru/php/seminars.phtml? presentid=12900 (дата обращения: 12.11.2015).
6. Miranda A. B. P. Topological representation of semigroups // General Topology and its Relations to Modern Analysis and Algebra: proc. of the Second Prague topological symposium, 1966. Praha : Academia Publishing House of the Czechoslovak Academy of Sciences, 1967. P. 276-282.
7. Zelinka B. Graphs of Semigroups // Casopis. Pest. Mat. 1981. Vol. 106. P. 407-408.
8. Артамонов В. А., Салий В. Н., Скорняков Л. А., Шеврин Л. Н., Шульгейфер Е. Г. Общая алгебра. Т. 2. М. : Наука ; Физматлит., 1991. 480 с. (Серия «Справочная математическая библиотека»).
9. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. Т. 1. М. : Мир, 1972. 286 с.
10. Кнут Д. Э. Искусство программирования. Т. 4, вып. 2. Генерация всех кортежей и перестановок. М. : Вильямс, 2008. 160 с.
11. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Ч. I. Основы алгебры : учебник для вузов. 3-е изд. М. : Физмат-лит, 2004. 272 с.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ
Соломатин Денис Владимирович - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и методики обучения математике, Омский государственный педагогический университет, 644099, Россия, г. Омск, наб. им. Тухачевского, 14; email: [email protected].
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ
Соломатин Д. В. О рангах планарности многообразий полугрупп идемпотентов, нильполугрупп и полугрупп с перестановочным тождеством // Вестн. Ом. ун-та. 2017. № 4 (86). С. 11-21. DOI: 10.25513/ 1812-3996.2017.4.11-21.
INFORMATION ABOUT THE AUTHOR
Solomatin Denis Vladimirovich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Docent, the Department of Mathematics and Methods of Teaching Mathematics, Omsk State Pedagogical University, 14, Naberezhnaya Tukchachevskogo, Omsk, 644099, Russia; solomatin_ [email protected].
FOR GTATIONS
Solomatin D.V. On ranks of the planarity of varieties of all idempotent semigroups, nilsemigroups, and semigroups with the permutation identity. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2017, no. 4 (86), pp. 11-21. DOI: 10.25513/18123996.2017.4.11-21. (In Russ.).
