CC BY
13
УДК 512.572
DOI 10.24147/1812-3996.2019.24(4).9-15
РАНГИ ПЛАНАРНОСТИ МНОГООБРАЗИЙ ПОЛУГРУПП Д. В. Соломатин
Омский государственный педагогический университет, г. Омск, Россия
Информация о статье Аннотация. Изучается свойство планарности графов Кэли для многообразий полу-
Дата поступления групп. Доказано, что ранг планарности любого многообразия полугрупп либо бесконе-
30.07.2019 чен, либо может быть любым натуральным числом. Тем самым решена проблема
Л. М. Мартынова (2015) описания рангов планарности многообразий полугрупп.
Дата принятия в печать 08.10.2019
Дата онлайн-размещения 25.12.2019
Ключевые слова
Полугруппа, граф Кэли полугруппы, многообразие полугрупп, ранг планарности многообразия полугрупп
Автор выражает глубокую признательность профессору Л. М. Мартынову за постановку задачи, постоянное внимание к работе и полезные обсуждения результатов.
THE RANKS OF PLANARITY OF SEMIGROUPS VARIETIES D. V. Solomatin
Omsk State Pedagogical University, Omsk, Russia
Article info Abstract. We study the planarity property of Cayley graphs for semigroup varieties. We
Received prove that the rank of planarity of any variety of semigroups is either infinite or it can be
30.07.2019 any natural number. Thereby the problem of L. M. Martynov (2015) is solved and the ranks
of planarity of semigroup varieties are described.
Accepted 08.10.2019
Available online 25.12.2019
Keywords
Semigroup, Cayley graph of a semigroup, semigroup variety, rank of planarity of a semigroup variety
The author expresses his deep gratitude to Professor L. M. Martynov for posing the problems, constant attention to the work and results of the discussion.
При изучении свойства планарности графов Кэли для многообразий полугрупп принципиальный характер имеет проблема описания рангов планарности многообразий полугрупп, сформулированная Л. М. Мартыновым в [1]. Прежде чем привести определение ключевого понятия ранга планарности многообразия полугрупп, напомним некоторые определения из [2].
Пусть 5 - полугруппа, X - множество порождающих её элементов. Через Сау(5, X) обозначим граф Кэли полугруппы 5 относительно X. Граф Сау(5, X) состоит из множества вершин 5 и множества помеченных дуг - всевозможных троек (а, х, Ь), где а, Ь 6 5, х 6 X и ах = Ь. Заметим, что в данном случае граф Кэли является ориентированным мультиграфом с помеченными дугами. Вершины графа обычно изображаются точками на плоскости, а дуга (а, х, Ь) - линией, направленной от а к Ь и помеченной элементом х. При изображениях графов Кэли мы будем опускать легковосстановимые метки дуг. Основой ориентированного мультиграфа называем граф, полученный из данного графа удалением петель и заменой всех дуг, соединяющих две вершины одним ребром, соединяющим эти вершины. Ориентированный мульти-граф называем [внешне]планарным, если его основа является [внешне]планарным графом. Будем говорить, что полугруппа 5 допускает [внешне]планар-ный граф Кэли, если для некоторого множества X образующих основа графа Сау(5, X) является [внешне]планарным графом. Граф называется внеш-непланарным, если внешняя грань его плоской укладки содержит все его вершины.
В работе [3] начато изучение предложенного Л. М. Мартыновым понятия ранга планарности многообразия полугрупп. Пусть V - произвольное многообразие полугрупп. Если существует такое натуральное число г, что все ^свободные полугруппы ранга < г допускают планарные графы Кэли (относительно множеств их свободных образующих), а ^свободная полугруппа ранга г + 1 уже не допускает планар-ный граф Кэли, то рангом планарности многообразия V называется это число г = гл (У). Если для многообразия V такого натурального числа не существует, то говорят, что многообразие V имеет бесконечный ранг планарности и пишут г (У) = ■» .
При изучении этого понятия постепенно стали известны многообразия полугрупп ранга планарности, равного 1, 2, 3, например в [4]; ранга 2, 3, 4, например в [5], а многообразия бесконечного ранга планарности среди прочих появлялись в каждой из
упомянутых статей и в [6]. Однако до настоящего времени не было известно ни одного многообразия полугрупп с конечным рангом планарности более чем 4. Тем неожиданнее оказалась справедливость основного результата настоящей заметки, из которого вытекает существование полугрупповых многообразий любого наперёд заданного конечного ранга планарности.
Теорема. Ранг планарности любого многообразия полугрупп либо бесконечен, либо может быть любым натуральным числом.
Доказательству теоремы предпошлем дополнительные сведения. Под (нетривиальным) тождеством и ~ V понимается пара различных слов и и V из абсолютно свободной полугруппы над бесконечным счётным алфавитом = {х, у, х1, хг, ..., хп, ...}. Для обозначения слов полугруппы будем использовать буквы и, V, ж. Условимся в дальнейшем свободную полугруппу счетного ранга многообразия V полугрупп рассматривать над алфавитом Х~ и обозначать
Отметим, что система двух полугрупповых тождеств юх ~ ж, хю ~ ж, где х- переменная, не входящая в запись слова ж, задает многообразие полугрупп с нулем 0, в котором выполняется тождество ж ~ 0. Напомним, что полугрупповые тождества вида ж ~ 0, при ж * 0, а также многообразия полугрупп с нулем 0, задаваемые системами тождеств такого вида, называются 0-приведенными. Такие многообразия обладают неприводимым базисом тождеств вида ж ~ 0, и их множество имеет мощность континуум.
Напомним формулировку необходимого в дальнейшем критерия планарности обыкновенного графа Понтрягина-Куратовского (см., например: [7, с. 160]): обыкновенный граф планарен тогда и только тогда, когда он не содержит подграфов, гомеоморф-ныхполному пятиэлементному графу К5 (рис. 1) или полному двудольному графу Кз,з (рис. 2).
1
Вестник Омского университета 2019. Т. 24, № 4. С. 9-15
ISSN 1812-3996-
Х1 Х^Х-^Хд... Х^Х0ХЛХ.
\
1Л9Л4А3'
к
4 5 6
Рис. 2. Полный двудольный граф К3,3
Доказательство теоремы.
Известны многообразия полугрупп рангов пла-нарности 1, 2, 3 (см., например: [4]); рангов 2, 3, 4 (см., например: [5]), а многообразия бесконечного ранга планарности среди прочих появлялись в каждой из упомянутых статей и в [6]. Оставшиеся ранги планарности многообразий полугрупп в теореме дают ранги планарности многообразий №Р(1,2) полугрупп, заданных системой тождеств { х2 и 0, хух и 0, Х1Х2Х3Х4...Хп и Х2Х1ХзХ4...Хп} при каждом п > 3. В этом случае ранг планарности многообразия Ы2РЦ,2) равен п - 1. В самом деле, плоская укладка основы графа Кэли свободной (п - 1)-порожденной полугруппы этого многообразия получается следующим образом: отправной точкой берется лес, как для всякого 0-приведенного многообразия из [8]; в силу внешне-планарности леса можно добавить к нему изолированную вершину - 0 и все остальные вершины леса соединить ребром с 0 так, чтобы планарность сохранилась. Теперь рассмотрим свободную п-порожден-ную полугруппу многообразия №Р(1,2) . При достаточном количестве образующих начинает работать тождество вида Х1Х2Х3Х4."Хп и Х2Х1ХзХ4...Хп, которое в случае (п - 1)-порожденной полугруппы вырождалось, поскольку в любой (п - 1)-порожденной полугруппе многообразия №Р(1,2) любое слово длины п равно 0. В результате образуется достаточно склеек слов длины п в свободной п-порожденной полугруппе
^ ) многообразия №Р(1,2) при п > 3, приводящих к появлению в основе графа Кэли этой полугруппы относительно множества образующих Хп = {Х1, Х2, ..., Хп} подграфа гомеоморфного полному двудольному графу Кз,з, изображенному на рис. 3. Вследствие этого нарушается планарность графа Кэли свободной п-порожденной полугруппы
,(1,2) ) относительно множества образующих Хп при п > 3 согласно теореме Понтрягина-Куратов-ского. Таким образом, ранг планарности многообразия №Р<1,2) равен п - 1.
X1X3X2Xi. X, X X,
X/iX^X-iX«.
9ЛЧЛ1 ■
и л,, л,
Рис. 3. Подграф графа Сау^п^Р1,,12 ), Хп), для любого п > 3
Тем самым показано существование полугрупповых многообразий наперёд заданного конечного ранга планарности.
Теорема доказана. □
Отметим, что многообразия ^Р{п1,2) при п > 3 не единственны в своём роде. Примеры иных серий полугрупповых многообразий конечного наперёд заданного ранга планарности получаются по аналогии добавлением к тождествам х2 ~ 0, хух ~ 0 других перестановочных тождеств фиксированного порядка п > 3 и их наборов. А именно, справедливо
Предложение. Для любого натурального числа п > 3 справедливы следующие утверждения:
1) ранг планарности многообразия ^Р^ полугрупп, заданного системой тождеств { х2 и 0, хух и 0, х1...хмх'х/ и х^хму} при ' + 1 = у и у = п, равен п;
2) ранг планарности многообразия ^Р^ полугрупп, заданного системой тождеств { х2 и 0, хух и 0, х1...х!-1ххи-1...ху-1ху...хп ~ х1...х!-1ххи-1...ху-м...хп} при ' + 1 * п, равен п - 1;
3) ранг планарности многообразия N2Р¡¡^ полугрупп, заданного системой тождеств { х2 и 0, хух и 0, х1...х!-1ххи-1...ху-1хуху+1...хп ~ х1...хмхух/+1..ху-1хх/+1...хп} при У * п, равен п - 1;
4) ранг планарности многообразия N2РБ"1 полугрупп, заданного системой тождеств { х2 и 0, хух и 0, хш.хп-х и хлщхлр^.хлп-цхп | п 6 Бп-1 }, где 5п-1 - симметрическая группа подстановок на (п - 1)-элемент-ном множестве, равен п - 1;
5) ранг планарности многообразия №Р^п полугрупп, заданного системой тождеств { х2 и 0, хух и 0, хш.хп-х и хл(1)хл(2)...хл(п-1)хл(п) | п 6 Бп }, где Бп - симметрическая группа подстановок на п-элементном множестве, равен п - 1;
Доказательство предложения.
1) Плоская укладка основы графа Кэли свободной (п - 1)-порожденной полугруппы многообразия
2
3
9
ЫгР^ при / + 1 =/ и / = п получается следующим образом: отправной точкой берется лес, как для всякого 0-приведенного многообразия из [8]; в силу внешнепланарности леса можно добавить к нему изолированную вершину - 0 и все остальные вершины леса соединить ребром с 0 так, чтобы планар-ность сохранилась. Теперь рассмотрим свободную п-порожденную полугруппу многообразия ЫгР^ . При достаточном количестве образующих начинает работать тождество вида хь.-хмхх/ « хь-хих/х/, где / + 1 = / и/ = п, которое в случае (п - 1)-порожденной полугруппы вырождалось, поскольку в любой (п - 1)-порожденной полугруппе многообразия ЫгР^ любое слово длины п равно 0. В результате образуется много склеек слов длины п в свободной п-порож-денной полугруппе Рп^гР^ ) многообразия ЫгР^ при п > 3, всё еще приводящих к планарному графу Кэли относительно множества образующих Хп = {х1, хг, ..., хп}; а при выборе п + 1 образующих (для обеспечения наличия элемента х+1 во множестве образующих) из множества образующих Хп + 1={х1, хг, ..., хп, хп + 1} в основе графа Кэли полугруппы Рп + ^ЫгР^ ) появляется изображенный на рис. 4 подграф, гомеоморфный полному двудольному графу Кз,з, состоящий из вершин: 0, х^.-хи, х1...х,-1х/х/, в одной доле и х1...х|-1х/, х1...х/-1х/, х1...х;-1х/+1, - в другой, соединенных следующими девятью попарно непересекающимися маршрутами:
0 ^ х1.х/-1х/; 0 ^ х1.х/-1х/; 0 ^ х^хих/п; х1.х/-1 ^ х1.х/-1х/;
х1.х/-1 ^ х1...х/-1хг; х1.х/-1 ^ х1...х,-1х/+1; х1...х/-1хх] ^ х1.х/-1х/; х1.х,-1х,ху ^ х^х-х
Х1...ХиХ|Х] ^ Х1...Х|-1Х|Х]Х]+1= Х1...Х|-1Х|Х]+1Х] ^ Х1...Х1-
1Х]+1Х] ^ Х1.Х|-1Х]+1.
XVXHXj+1
X1-Xi-1Xj+1Xj
X-x,.
xixjxj+i
X ...x..,
Вследствие этого нарушается планарность графа Кэли свободной (п + 1)-порожденной полугруппы Рп + 1(МгР) относительно множества образующих Хп + 1 при п > 3 согласно теореме Понтрягина-Куратовского. Таким образом, ранг планарности многообразия ЫгР^ равен п.
2) Укладка основы графа Кэли свободной (п - 1)-порожденной полугруппы многообразия МгР,^1 при / + 1 * п на плоскости получается аналогично предыдущему случаю. При достаточном количестве образующих в свободной п-порожденной полугруппе многообразия ЫгР^ начинает работать тождество вида х1..х-1х,х/+1...х/-1х/...хп = хь.-хмххм.-х/-1х/...хп, где / + 1 * п, которое в случае (п - ^-порожденной полугруппы вырождалось, поскольку в любой (п - 1)-порожденной полугруппе многообразия ЫгР^ любое слово длины п равно 0. В результате образуются склейки слов длины п в свободной п-по-рожденной полугруппе Рп^гР^ ) многообразия ЫгР, при п > 3 приводящие к появлению в основе графа Кэли этой полугруппы относительно множества образующих Хп = {х1, хг, ..., хп} изображенного на рис. 5 подграфа, гомеоморфного полному графу пятого порядка К5, состоящего из вершин: 0, х1...х/-1, х1.х/-1х/, х1.х/-1х/+1, х1.х/-1ху, соединенных следующими десятью попарно непересекающимися маршрутами: 0 ^ х^.-хи; 0 ^ х1...х/-1х/; 0 ^ х^-хилм;
0 ^ х1...хмхй
х1.х/-1 ^ х1.х/-1х/; х1.х/-1 ^ х1.х/-1х/+1; х^х
1 ^ х1...х/-1ху;
х1.х/-1х/ ^ х1.х/-1хх ^ х1...х/-1х/Ц...Ч-1х/+1.х(п) ^ х1.х/-1х/+1х] ^ х1...х/-1х/+1;
х1.х/-1х/ ^ х^-х^х/х^ ^ Xl...X/-lX'X/+l...X/-1х]...х(п) ^ х1.х/-1х/х/+1 ^ х1...х/-1х/;
х1.х/-1х/+1 ^ х1.х/-1х/+1х/ ^ х1...х/-1х/+1х/...х/-1х/.х(п) ^ х1.х/-1х,х/ ^ х1.х/-1ху; где х(п) - последний символ в слове длины п.
Как следствие, нарушается планарность графа Кэли свободной п-порожденной полугруппы Рп(МгР^ ) относительно множества образующих Хп при п > 3 согласно теореме Понтрягина-Куратов-ского, а ранг планарности многообразия МгР^ равен п -1.
Рис. 4. Подграф графа Саур + ¿ЫгР™ ), Хп+1), для любого п > 3
x1-x-1Xi
0
x1-x
Х1...ХМХ/
Рис. 5. Подграф графа Cay(Fn(N2P{rl'J>), Хп), для любого п > 3
3) Плоская укладка основы графа Кэли свободной (n - 1)-порожденной полугруппы многообразия NiP^ при j * n получается следующим образом: отправной точкой берется лес, как для всякого 0-при-веденного многообразия из [8]; в силу внешнепла-нарности леса можно добавить к нему изолированную вершину - 0 и все остальные вершины леса соединить ребром с 0 так, чтобы планарность сохранилась. Теперь рассмотрим свободную n-порожден-ную полугруппу многообразия NiP (¡J) . При достаточном количестве образующих начинает работать тождество вида Xi...X;-iX,X;+i...Xj-iXjXj+i...Xn « Xi...X,-iXjX,+i... Xj-iXiX/+i...Xn, где j * n, которое в случае (n - ^-порожденной полугруппы вырождалось, поскольку в любой (n - ^-порожденной полугруппе многообразия NiP<'J) любое слово длины n равно 0. В результате образуется достаточно склеек слов длины n в свободной n-порожденной полугруппе Fn(NiP (¡J) ) многообразия NiP^ при n > 3, приводящих к появлению в основе графа Кэли этой полугруппы относительно множества образующих Xn = {Xi, X2, ..., Xn} изображенного на рис. 6 подграфа, гомеоморфного полному двудольному графу Кз,з, состоящего из вершин: 0, Xi.Xi-iXiXi+i.Xj-iXj, Xi...Xi-iXjXi-n...Xj-iX; в одной доле и Xi...Xi-iXiXi+i...Xj-iXjXj+i...Xn, Xi...Xi-iXiXi+i...Xj-iXjXn...Xj+i, Xi .Xi- iXiXj+i ...Xj- iXjXi+i ..Xn - в другой, соединенных следующими девятью попарно непересекающимися маршрутами:
0 ^ X1...Xi-1XiXh1...Xj-1XjXj+1...Xn; 0 ^ X1...Xi-1XiXh1...Xj-1XjXn...Xj+1; 0 ^ X1...Xi-:XlXj+1...Xj-1XjX;+1...Xn;
X1.Xi-1XiXi+1.Xj-1Xj ^ X1.Xi-1XiXi+1.Xj-1XjXj+1 ^ X1...Xi-1XiXi+1.Xj-1XjXj+1.Xn;
X1.Xi-1XiXi+1.Xj-1Xj ^ X1.Xi-1XiXi+1.Xj-1XjXn ^ X1.Xi-1XiXi+1.Xj-1XjXn.Xj+1;
X1.Xi-1XiXi+1.Xj-1Xj ^ X1...Xi-1Xi ^ X1.Xi-1XiXj+1 ^ X1.Xi-1XiXj+1.Xj-1Xj ^ X1.Xi-1XiXj+1.Xj-1XjXi+1.Xn;
X1.Xi-1XjXi+1.Xj-1Xi ^ X1...Xi-1XjXi+1...Xj-1XiXj+1 ^ X1.Xi-1XiXi+1.Xj-1XjXj+1.Xn;
X1.Xi-1XjXi+1.Xj-1Xi ^ X1.Xi-1XjXi+1.Xj-1XiXn ^ X1.Xi-1XiXi+1.Xj-1XjXn.Xj+1;
X1...Xi-1XjXi+1...Xj-1Xi ^ X1.Xi-1Xj ^ X1.Xi-1XjXj+1 ^ X1.Xi-1XjXj+1.Xj-1Xi ^ X1.Xi-1XiXj+1.Xj-1XjXi+1.Xn.
Вследствие этого нарушается планарность графа Кэли свободной n-порожденной полугруппы Fn(N2Pirl'i)) относительно множества образующих Хп при п > 3 согласно теореме Понтрягина-Куратов-ского. Таким образом, ранг планарности многообразия N2P^ равен п - 1.
Утверждения 4) и 5) доказываются аналогично, принимая во внимание рис. 7 и рис. 8 соответственно.
Доказательство предложения завершено. □
В связи с результатами работы еще более актуальной становится проблема классификации многообразий полугрупп по рангам планарности, в частности, задача описания многообразий полугрупп бесконечного ранга планарности.
Xl...XnXiXj+1...Xj-lXjXi+1...X„
Xl...XMXjl...X>lXj ,
V
Xl...Xi-lXiXj+1 Xl...Xi-lXi
\Xl...XMXjjl...X>lXi
V
\Xl...Xi-lXjXj+1
Xl...X-lXiXi+1...Xj-lXj
Xl...Xi-lXXi+1...Xj-lXjXj+1
\.Xl...X-lXjXb1...XjrlXi
* 'Xl...Xi-lXjXi+1...Xj-lXiXn
Х-...Х -ХХ--.. X.-XX.'..,Х„ Х1...XMXiXW...X.-XX-.. .Xj+1
Рис. 6. Подграф графа Cay(F„(N2PtriJ>), Хп), для любого n > 3
X3X2
XlX2X3...Xn-1
XlX3X2...Xn-1
О Х1Х2Хз...Хп-1Хп Х1ХзХ2...ХпХл-1
Рис. 7. Подграф графа Cay(F„(N2Ps'1 ), Хп), для любого n > 3
0
X1X2X3...X„-1X„
XlX4X2.Xn-1 %X1X4
Рис. 8. Подграф графа Cay(Fn(N2P^n), Хп), для любого n > 3 СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Новые проблемы алгебры и логики. Юбилейное 900-е заседание семинара // Омский алгебраический семинар, ОФ ИМ СОРАН, г. Омск, 12 ноября 2015 г. URL: http://www.mathnet.ru/php/seminars. phtml?presentid=12900 (дата обращения: 17.07.2019).
2. Соломатин Д. В. Прямые произведения циклических полугрупп, допускающие планарный граф Кэли // Сибирские электронные математические известия. 2006. Т. 3. C. 238-252.
3. Соломатин Д. В. Ранги планарности многообразий коммутативных моноидов // Вестник Омского университета. 2012. № 4. С. 41-45.
4. Соломатин Д. В. О рангах планарности многообразий полугрупп идемпотентов, нильполугрупп и полугрупп с перестановочным тождеством // Вестник Омского университета. 2017. № 4 (86). С. 11-21.
5. Соломатин Д. В. Ранги планарности многообразий коммутативных полугрупп // Прикладная дискретная математика. 2016. № 4 (34). С. 50-64.
6. Соломатин Д. В. Планарные многообразия полугрупп // Сибирские электронные математические известия. 2015. Т. 12. C. 232-247.
7. Лекции по теории графов / Емеличев В. А., Мельников О. И., Сараванов В. И., Тышкевич Р. И. М. : Наука, 1990. 384 с.
8. Соломатин Д. В. О рангах планарности многообразий нильполугрупп // Вестник Омского университета. 2019. № 2 (24). С. 17-22.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ
Соломатин Денис Владимирович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и методики обучения математике, Омский государственный педагогический университет, 644099, Россия, г. Омск, наб. Тухачевского, 14; e-mail: [email protected]
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ
Соломатин Д. В. Ранги планарности многообразий полугрупп // Вестн. Ом. ун-та. 2019. Т. 24, № 4. С. 915. DOI: 10.24147/1812-3996.2019.24(4).9-15.
INFORMATION ABOUT THE AUTHOR
Solomatin Denis Vladimirovich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Docent of the Department of Mathematics and Methods of Teaching Mathematics, Omsk State Pedagogical University, 14, Tukhachev-sky quay, Omsk, 644099, Russia; e-mail: solomatin_ [email protected]
FOR GTATIONS
Solomatin D.V. The ranks of planarity of semigroups varieties. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2019, vol. 24, no. 4, pp. 9-15. DOI: 10.24147/1812-3996.2019.24(4).9-15. (in Russ.).
