CC BY
28
2/2011
ВЕСТНИК
РАДИАЛЬНО-ПРОДОЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ АЗИМУТАЛЬНЫХ СКОРОСТЕЙ В ТЕЧЕНИИ ЗА ЛОКАЛЬНЫМ
ЗАВИХРИТЕЛЕМ
RADIALLY-LONGITUDINAL DISTRIBUTION AZIMUTHAL VELOCITY IN THE FLOW BEHIND LOCAL SWIRLER
В статье рассматривается изменение азимутальных скоростей и чисел закрутки в циркуляционном течении вязкой несжимаемой жидкости в трубе, на входе в которую установлен локальный завихритель.
The article discusses the change of the azimuthal velocity and swirl numbers in the circulation flow a viscous incompressible fluid in a tube, at the entrance to which is installed local swirler.
Установившееся неравномерное цнркуляцнонно-продольное течение в цилиндрической трубе (рис. 1) является достаточно распространенным видом движения жидкости. Оно имеет место в теплообменниках ядерных энергоустановок, в аппаратах химической и микробиологической промышленности, его наблюдают в аортах сердца. В технологических каналах такое течение формируется локальными завихрителями.
Будем рассматривать гидродинамику циркуляционно-продольного течения в цилиндрической трубе в рамках уравнений Тейлора (осредненных по Рейнольдсу уравнений Громеки-Стокса) включающих компоненты как молекулярных, так и турбулентных напряжений
где р и £- плотность и кинематическая вязкость жидкости; Р, V иП - давление, местная скорость и потенциал внешних массовых сил.
В [1] показано, что в цилиндрических координатах г -в-2 при установившемся (д/д1 = 0) и симметричном относительно оси трубы (д/дв = 0) движении, система
Зуйков А.Л. Andrey L. Zuykov
ГОУ ВПО МГСУ
Рис. 1. Структура циркуляционно-продольного течения в трубе за лопастным локальным завихрителем (показаны справа)
дУ_ dt
- - р V2 -+ rotV х V = - grad (— +--П ) -s rot ( rotV ),
P 2
уравнений Тейлора принимает вид
дш дш
ш--ъ V--
дг дг
и г
д_
дг
р + (гу
Р 2
-П
+ (е + £г)
\
д ш дш ш д ш^
—Т +---Г + —Т
дг гдг г дг
8(ги) ди /
Ш + V— = {£ + £г
гдг дг
Л
о и
д и ди и
-2 +---2 +-
дг гдг г дг
( \д 2и
дv дv о
ш--V V— =--
дг дг дг
Р + {г!
Р 2
-П
+ {е + ег)
2
о V
д V ду
—2 +-+—2
дг гдг дг
+ 2 ^
дш
иг
дг
здесь ш , и, V - осредненные по Рейнольдсу радиальная, азимутальная и аксиальная составляющие местной скорости; (V)2 - осредненный по времени квадрат пульсаци-онной скорости; £ , е , е - радиальная, азимутальная и аксиальная вихревая вязкость.
Введем ряд допущений: положим радиальные скорости много меньше азимутальных и аксиальных, а вторые частные производные по аксиальной координате примем малыми в сравнении с производными по радиусу. Нормируя далее уравнения по средней (расходной) скорости потока
V ^ = ^'
радиусу трубы Я и атмосферному давлению го, получим
и г
д_
дг
(у О2
Еи ■ Р + ^---
2
П_
Рг
V * =± (! + £г.
дг Яе
д2и ^ ди дг2 гдг
и
2
' дг
д_
'дг
(у О2
Еи ■ Р + ^---
2
_П Рг
Яе
1
д V
дг2
1
гдг
(1)
где переменные имеют безразмерные значения, а числа Рейнольдса, Эйлера и Фруда соответственно равны
Яе = ^
Еи = -Р-
Рг =
ЕЯ
£ рко
Принимая далее озееновское приближение [2], согласно которому операторы V -д/дг заменяют на V0 -д/дг или в нормированной форме на д/дг , перепишем
второе уравнение системы (1) в виде
д (ги)
г д г
(2)
= (1 +
д г Яе ^ £ ) д г При ламинарном режиме движения жидкости, когда вихревая вязкость равна нулю, согласно (2) имеем
д и 1 д д (ги)
дг Яе д г \_ г д г
Решение этого уравнения для граничных условий, согласно которым азимутальная скорость обращается в ноль на стенках трубы, на оси вращения потока и во всем потоке на бесконечном удалении от локального завихрителя, а на входе в трубу за ло-
г
1
2
кальным завихрителем циркуляция постоянна вдоль радиуса, получено в [3] в виде нормированного разложения Фурье-Бесселя
1 - 1 0^п )
-О 1 I I —/1„
Яе
<(г, г,Яе) = 2Го X 1 ^ 11(Л„г) ехр( ~Л2„^),
(3)
п=1 о (Хп)
где 10(Лп) и 11(Лпг)- функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядка; Лп - действительные корни уравнения у1 (Лп ) = 0 ; Г0 - нормированное значение
циркуляции (или число Россби) за локальным завихрителем
и,,
(4)
Го = Яа = -0-.
Там же показано падение по длине трубы числа закрутки Хигера-Бэра [4]
| ргиу 2 кг ■ с1г
Бп =
Я¡ру22
лг ■ ¿г
(5)
которое, принимая радиальное распределение аксиальных скоростей близким к равномерному, с учетом (3) выражается функцией
Бп
- V —
~ ^ 12 п=1 Л.
1 -■
1
1 о(Лп )
ехр( -¿п^-Ь
Яе
(6)
где Бп 0 = Г0 - начальное значение числа закрутки за локальным завихрителем.
При турбулентном режиме движения, когда вихревая вязкость много больше молекулярной, уравнение (2) приводится к виду
аг
д г
1
Яе,
(д2 Г д г2
аг
г д г
у
где
Г = ги,
а в турбулентном числе Рейнольдса молекулярная вязкость заменена вихревой
упЯ
(7)
(8)
Яе, =
Будем искать решение (7) в виде функции
Г = Го • / (у), в которой безразмерная независимая переменная равна
У =
Яе ,г' 4 г
(9)
а циркуляция на входе в трубу принимается по (4) постоянной вдоль радиуса.
В качестве граничных условий положим равной нулю азимутальную скорость на оси вращения потока и на бесконечном удалении от локального завихрителя; в то же время, рассматривая данное решение по отношению к ядру турбулентного потока, на границе пристенного слоя не будем полагать скорость и = 0, так как это некорректно.
Найдем частные производные переменных у и Г
ду = _ Яе,г2 = _у дг 4 г2 г ' 9у = Яе ,г = 2У дг 2 г г
0
г
д2у = Яе,
д г2
2 г
2
аг
д г
дг_
д г
а г
йу
а г
йу
ду_
д г
ду д г
д2 Г
а г2
д г
а г
йу
5 г
а2 у а г
д г2 йу
Ду
5 г
_ у
г
2у
г
2
а г
йу
а г
йу
а2 г ау2
2
аг 4 у2 + —
ау
а2 г ау2
и подставим их в уравнение (7), в результате получим а2
2 г аг
—Т + —
ау 2 ау
= 0
= с,
ау
где С - константа интегрирования.
Дальнейшее интегрирование позволяет найти
Г = С + С! ехр( - у). Отсюда, удовлетворяя граничным условиям и = 0 при г = 0
и =0 при
г = <х
Г = Г0 = сот' при г = 0
для для для
г > 0, 0 < г < 1, 0 < г < 1,
окончательно получим
Г = Г0 [1 - ехр( - у) ], или, подставляя значения Г и у по (8) и (9), находим
и (г, г ,Яе ,) =
г
1 - ехр( - ' Г
4
(10)
Распределение (10) называют свободно-вынужденным вихрем Бюргерса-Бэтчелора. Определим для такого распределения функцию затухания числа закрутки Хигера-Бэра по длине трубы. С точностью до корректива Буссинеска в результате интегрирования (5) получим
Бп , 4 г , , _
Бпг
= 1 -
Яе,
1 - ехр( -
4г
(11)
где Бп 0 = Г0 - начальное значение числа закрутки за локальным завихрителем.
На рис. 2 показаны, полученные по (3), (6), (10) и (11) радиальные профили азимутальных скоростей и функции изменения числа закрутки Хигера-Бэра по длине трубы для ламинарного и турбулентного течений. Профили построены при Г0 = 1 и Яе = Яе, = 500 для сечений, расположенных от локального завихрителя на расстояниях г = 5Я, г = 10^, г = 20Я, г = 40^ и г = 80Я, пунктиром показан профиль, формируемый локальным завихрителем; функции затухания числа закрутки Хигера-Бэра по длине трубы построены для чисел Рейнольдса, равных Яе = Яе, = 250, Яе = Яе, = 500 и Яе = Яе, = 750.
Можно видеть, что затухание закрутки потока по длине трубы, характеризуемое полнотой профилей азимутальных скоростей и значениями чисел закрутки Хигера-Бэра, при ламинарном течении происходит существенно интенсивнее, чем при турбулентном.
г
-)
Ламинарное течение
Tvp6vMeHmHgfirne4eHue
1.0 2.0 3.0 4.0 „ .„, „ „„, „„, .„„
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 0 ™ 20 ^ 40 ^ 60 70 80 100
Рис. 2. Профили азимутальных скоростей и чисел закрутки Хигера-Бэра
Литература
1. Зуйков А.Л. Динамика вязких циркуляционных течений в трубах и поверхностных воронках. Автореферат дисс. ... докт. техн. наук. - М.: 2010 - 48 с.
2. Batchelor G.K. Axial flow in trailing line vortices // J. Fluid Mech., 1964, Vol. 20, №4, p. 645-658.
3. Зуйков А.Л. Профили тангенциальных скоростей в циркуляционном течении в трубе // Вестник МГСУ, 2009, №3, с. 195-199.
4. Зуйков А.Л. Критерии динамического подобия циркуляционных течений // Вестник МГСУ, 2010, №3, с. 106-112.
The literature
1. Zuykov A.L. A dynamics of viscous circulation flows is in pipes and surface whirlpools. Abstract of dissertation of doctor of engineering sciences. - M.: 2010 - 48 p.
2. Batchelor G.K. Axial flow in trailing line vortices // J. Fluid Mech., 1964, Vol. 20, №4, p. 645-658.
3. Zuykov A.L. Profiles of tangential speeds in a circulation flow in a pipe // Bulletin MSUSE, 2009, №3, p. 195-199.
4. Zuykov A.L. Criteria of dynamic similarity of circulating currents // Bulletin MSUSE, 2010, №3, p. 106-112.
Ключевые слова: неравномерное циркуляционно-продольное течение, уравнения Тейлора, азимутальные скорости, локальный завихритель, разложение Фурье-Бесселя, свободно-вынужденный вихрь Бюргерса-Бэтчелора, число закрутки.
Key words: irregular swirl flow, Taylor's equations, azimuthal velocity, local swirler, the expansion of the Fourier-Bessel, Burgers-Batchelor's free-forced vortex, swirl number.
e-mail автора: [email protected]
Рецензент: д.т.н., начальник отдела численных гидравлических исследований ЦГИОАО «НИИ-
ЭС» В.В.Беликов
Статья подготовлена в рамках реализации Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 годы.
