CC BY
55
ВЕСТНИК 3/2010
КРИТЕРИИ ДИНАМИЧЕСКОГО ПОДОБИЯ ЦИРКУЛЯЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ
Зуйков А.Л.
МГСУ
ААННОТАЦИЯ: Рассмотрены интегральные критерии гидродинамического подобия при гидравлическом моделировании циркуляционных течений. Показано, что основной критерий равен отношению момента количества движения циркуляционного потока к удвоенному произведению его продольной компоненты импульса на гидравлический радиус.
Ключевые слова: циркуляционное течение, гидравлическое моделирование, критерии гидродинамического подобия, число Россби, число закрутки.
CRITERIA OF DYNAMIC SIMILARITY OF CIRCULATING CURRENTS
Andrey L. Zuykov
Moscow State University of Civil Engineering
ABSTRACT: Integrated criteria of hydrodynamic similarity are considered at hydraulic modeling of circulating currents. It is shown that the basic criterion is equal to the relation of the moment of quantity of movement of a circulating stream to its doubled product longitudinal impulse components on hydraulic radius.
Key words: a circulating current, hydraulic modeling, criteria of hydrodynamic similarity, Rossby number, swirl number.
Всякое циркуляционное течение: циркуляционно-продольное в трубе (рис. 1), в поверхностной вихревой воронке, или в факеле распыла вихревой форсунки является сложным многомерным движением жидкости.
Рис. 1. Структура циркуляционно-продольного течения в трубе
Исследование таких течений на физических моделях, как правило, требует помимо соблюдения основных критериев гидродинамического подобия
(Рейнольдса, Фруда, Эйлера, Вебера, Струхаля), соблюдения также некоторых дополнительных критериев, составляющих условия однозначности. Для циркуляционных течений таким критерием, определяющим условия однозначности на входной границе течения, является число Россби [1]
и„.
(1)
Яа =
V»
где и0 и v0 - азимутальная скорость на внешней границе течения и средняя
продольная (расходная) скорость течения.
При гидравлическом моделировании вихревых воронок используют также другие его варианты [2], это числа:
Анвара Кольфа Джейна
2
Ап = — Яа
ж
Ка =
Яа
А „
иа =-Яа
жЯ
здесь А и Я - глубина вихревой воронки и внешний радиус течения.
Однако, соблюдение критерия Россби (или его вариантов) еще недостаточно для обеспечения условий динамического подобия при гидравлическом моделировании. Физически более строгие динамические критерии можно получить только через интегральные характеристики течения в целом.
Обратимся к дивергентной форме уравнений Рейнольдса, описывающих движение турбулентной среды, и рассмотрим установившееся (д/д1 = 0 ) осе-симметричное (д\дв = 0) циркуляционно-продольное течение
8 2 8 2 —[ г (рт -а г)] + —[ г (рш\> -тГ2)] - (ри -а„) = 0
¿ж дг
8 2 д 2 —[г (рши -тгв)] + — [ г (ри» -твг)] = 0 (2)
¿/г дг
8 д — [г (рш\> -Тгг )] + — [ г (рм 2 )] = 0
(Ж 02
где компоненты тензора нормальных и касательных напряжений записаны как
дш —:—д .и,
<тгг = - р + рп + --рш'ш',
дг
®ее = _Р + рП + 2^ — - ри'и г
дv , ,
^ = - Р + РП + Р^'^' ,
о г
= М
= Иг~Ы - рш'и' дг г
ди
дг
■ ри V
,дш 8v. —— = ¡и(— +—) - рш\> дг о г
здесь ш , ш', и , и' и V, V'- осредненные по Рейнольдсу и пульсационные
2
г
г
радиальная, азимутальная и продольная составляющие местной скорости течения, р - давление, П - потенциал внешних сил, р и ¡л - плотность и динамическая вязкость жидкости.
Интегрирование второго уравнения системы (2) по текущему радиусу от 0 на оси вращения до внешней границы течения Я позволяет записать
А "
д г
-(^ргыу 2жта?г ) = (тгв)Я 2лЯ2.
(3)
Запись справедлива, если принять турбулентность однородной, понимаемой как ды'¡дг = 0 и ду'/дг = 0, считать ды/дг величиной второго порядка малости, а касательные напряжения на внешней границе (у стенки трубы в вязком подслое) равными их вязким компонентам, при этом (г& )Я = 0 и
(О Я -А (ы )]я ,
дг г
где [5(ы/г)/дг]Я -
частная
производная от угловой скорости (О = ы/г )
те-
чения по радиусу у стенки трубы.
Интегрируя аналогичным образом третье уравнение системы (2), находим
д Я
— [ 1"(Р + Р*2)2яЫг ] = (Тгг)я 2жЯ, (4)
5г 0
отбросив также как величину второго порядка малости 5у/дг, при этом
дл>
(?гг )Я = /АТГ-ХЯ .
дг
Можно видеть, что левые части (3) и (4) представляют собой аксиальное изменение момента количества движения течения
л
М = |ргыу 2лтёг,
и количества движения
таким образом, имеем
л
К = {(Р + Ру 2)2л;г&
д М
дг д К дг
= (^гв) Я 2лЯ 2
= (Тгг)я 2яВ.
(5)
Следуя (5), изменение основных характеристик циркуляционного течения вдоль аксиальной координаты можно представить как результат деления в виде безразмерного параметра
3/2010 ВЕСТНИК .f/20™_МГСУ
- ^=«(«,)r, (6)
R ( SK/Sz) (г„ ) , где (ar)R - угол скоса касательного напряжения на стенке.
Параметр (6), таким образом, характеризует локальное соотношение сил гидравлического сопротивления в азимутальном и аксиальном направлении. Интегрируя далее (6) по аксиальной координате, Х.О.Нурсте в работе [3] записывает обобщенный интегральный параметр
Nu = -M-, (7)
R ■ K
и называет его безразмерным параметром крутки потока.
Вместе с тем на практике чаще используется не количество движения потока, а его продольный инерционный импульс
R
I = | pv 22nrdr . о
В результате, заменяя в (7) количество движения на продольный импульс, получаем
М i pruv 2 Ttrdr
Sn =--2-, (8)
R ■ I R J pv 2 Krdr
так называемое число закрутки Хигера-Бэра [4]. Сегодня число закрутки Sn наиболее популярный безразмерный параметр в механике циркуляционных течений, он достаточно полно характеризует соотношение центробежных и инерционных массовых сил. Особенно эффективно его применение в областях, где используют сжимаемые среды, в том числе при исследовании факелов распыла вихревых форсунок в условиях горения.
Там, где предметом исследования являются циркуляционные течения несжимаемой жидкости, особенно, имеющие в приосевой зоне полый вихревой жгут, применение числа закрутки в форме (8) менее эффективно, чем использование числа Абрамовича. В середине прошлого века Г.Н.Абрамович [5] ввел понятие геометрической характеристики закручивающего устройства, которая, например, для цилиндрического лопастного завихрителя (рис. 2) равна
A = sin( /3), (9)
nab
где R, R0 - радиус отводящего канала и эффективный радиус по выходным кромкам направляющих лопаток, - угол скоса лопаток, п - число лопаток, а - ширина межлопастного канала, b - высота направляющих лопаток.
Можно показать, что геометрическая характеристика закручивающего устройства по Абрамовичу равна моменту количества движения циркуляционного потока за завихрителем, деленному на удвоенное произведение его продольной компоненты импульса на гидравлический радиус
A =
M J pruv 2 7irdr
2 R г I 2 R r \pv2 2 nrdr
(10)
Рис. 2. Цилиндрический лопастной завихритель (вихревая форсунка)
Действительно, проходя решетку направляющих лопаток, каждая единица массы жидкости приобретает относительно оси отводящего канала одинаковый момент количества движения
АМ = pVTR0 8ш( /3), где VT - скорость жидкости в каналах между направляющими лопатками.
Тогда, при общем расходе Q , следующем через завихритель, момент количества движения кольцевого (имеющего полый вихревой жгут радиусом г0)
циркуляционного потока непосредственно на входе в цилиндрический отводящий канал будет равен
R
М = !ргиу 2кЫг =QАМ = pQVтR0 $1п( 0),
г0
а его продольный импульс с точностью до корректива Буссинеска составит
I = jpv2 2 nrdr =pQv 0.
Выразим теперь скорости VT и v0 через расход Q , деленный соответственно на общую площадь межлопастного сечения (nab)
vt = Q-,
nab
и на площадь поперечного сечения кольцевого циркуляционного потока во входном створе цилиндрического отводящего канала S = п( R2 — r02)
Q
*(.R2 " ro2)'
Взяв отношение момента к импульсу, в результате очевидных сокращений получим
v 0 =
3/2010 ВЕСТНИК J/20^_МГСУ
— = R (1 - ^V) ^ sin( Р).
I R2 nab
Но правая часть этого равенства представляет собой произведение двух комплексов, где R (1 — r02 /R2) есть удвоенное отношение площади живого
сечения кольцевого циркуляционного потока S = п( R2 — r02) к смоченному
периметру L = 2nR , что равно удвоенному гидравлическому радиусу 2 R г
R (1 - 4) = 2^( R 2 - ro2) = 2S = 2 R г, R2 2KR L r
а второй комплекс по (9) равен геометрической характеристике завихрителя
kRR0 ■ , .
- sin( Р) = A.
nab
Отсюда окончательно находим
M
A =
2 R г I
В последующем этот гидравлический параметр стал именоваться гидравлической характеристикой циркуляционного потока [6].
Сопоставляя числа закрутки Sn и A , можно видеть, если поток капельной жидкости является сплошным, заполняя все сечение канала, т.е. не имеет вихревого жгута, то Rr = R2, при этом гидравлическая характеристика циркуляционного потока численно равна числу закрутки A = Sn , а если в потоке имеется вихревой жгут, то соотношение гидравлической характеристики (числа Абрамовича) и числа закрутки Хигера-Бэра определяется равенством
A = —R—Sn . 2 R Г
Таким образом, число Абрамовича для несжимаемой жидкости является параметром, определяющим интегральное динамическое подобие циркуляционных течений, т.е. для подобных потоков должно соблюдаться условие
— -л
A =-= idem , (11)
О D Т К '
равно как и
2 R г I
u
Ro = — = idem . (12)
Можно показать связь числа Абрамовича (А) с числом Россби ^о). Если в лопастной системе завихрителя закон сохранения момента выполняется, то
и0R = VTR0 зт( Тогда, применяя изложенный выше вывод, нетрудно показать
ВЕСТНИК 3/2010
A = —R—Ro . 2 R r
Следовательно, числа Россби и Хигера-Бэра в определенных условиях являются тождественно равными.
В качестве заключения отметим, поскольку циркуляционный поток на входе в отводящий канал, имеет входную гидравлическую характеристику (10), численно равную геометрической характеристике (9) формирующего его за-вихрителя, то следует полагать, что при соблюдении геометрического подобия завихрителей будут обеспечиваться и условия динамического подобия формируемых ими потоков. Причем, если геометрическая характеристика завихрите-ля вычисляемый и, следовательно, регулируемый в соответствии с потребностями параметр, то это дает исследователю инструмент осознанного варьирования условий эксперимента.
Литература.
1. Delery J.M. Aspects of vortex breakdown // Progr. Aerospace Sci., 1994, Vol. 30, pp. 1-59.
2. Swirling flow problems at intakes / Edit. Knauss J. Rotterdam, A.A.Balkema Publ., 1987.
3. Nurste H.O. Attenuation swirl stream in a pipe of round section // News of Academy of sciences of the Estonian SSR, Series of the Physicist & Mathematics, 1973, Vol. 12, № 1, pp. 77-82.
4. Gupta A.K., Lilley D., Syred N. Swirl flows. N.Y., Abacus Press, 1984.
5. Abramovich G. N. The theory of a centrifugal atomizer // Collection CAHI, Industrial aerodynamics, Publishing house BNT MAP, 1944.
6. Volshanik V.V., Zuykov A.L., Mordasov A.P. Swirl flows in hydraulic engineering constructions. M., Energoatomizdat, 1990.
Рецензент: профессор д.т.н. В.В.Волшаник.
E-mail автора: [email protected]
