CC BY
25
УДК 532.5
А.Л. Зуйков
ФГБОУВПО «МГСУ»
УТОЧНЕННЫЕ АЗИМУТАЛЬНЫЕ СКОРОСТИ В ТЕЧЕНИИ ЗА ЛОКАЛЬНЫМ ЗАВИХРИТЕЛЕМ
Рассмотрено уточненное распределение азимутальных скоростей в циркуляционном течении вязкой несжимаемой жидкости в трубе, на входе в которую установлен локальный завихритель.
Ключевые слова: неравномерный закрученный поток, уравнения Навье — Стокса, азимутальные скорости, локальный завихритель, разложение Фурье — Бесселя.
На рис. 1 показана кинематическая структура ламинарного установившегося (= 0) циркуляционно-продольного течения жидкости в цилиндрической трубе
с расположенным на входе
в нее локальным завихрителем.
В цилиндрической системе координат г-0-г это течение при симметричном относительно оси трубы (д/д$ = 0) движении описывается дифференциальными уравнениями Навье — Стокса, принимающими вид [1—6]
Рис. 1. Структура циркуляционно-продольного течения в трубе
дш дш и д
то-+ V---=--
дг дг г дг
Р-п
+ 8
д(ги) ди то ——- + V— = е гдг дг
ду ду д
то — + V— =--
дг дг дг
д2и ^ ди и ^ .
дг2 гдг г2 дг2
д2 то дш
дг2 гдг
2
о и
то
2
а2 то
' дг2
Р-П
Р
+ 8
гд2 V | а2 V
дг2 г дг дг2
(1)
где то, и, V — радиальная, азимутальная и аксиальная составляющие местной скорости;
Р и П — давление и потенциал внешних массовых сил; р и е — плотность и кинематическая вязкость жидкости.
В [1] было показано, что при введении допущений, согласно которым радиальные скорости принимаются много меньше азимутальных и аксиальных (то << и,
то << V), а вторые частные производные по аксиальной координате — малыми в сравнении с производными по радиусу (д2 /дг2 << д/дг), в результате нормирования уравнений (1) по средней (расходной) скорости потока
радиусу трубы Я и атмосферному давлению Р0, после введения озееновского приближения [7], по которому операторы V •д/дг заменяют на V0 -д/дг, второе уравнение системы (1) принимает вид
© Зуйков А.Л., 2011
51
ВЕСТНИК МГСУ
1/2012
д u 1 д dz Re дr
д (ru) r д r
(2)
где Re — число Рейнольдса R
Re =
Для граничных условий, согласно которым азимутальная скорость обращается в ноль на стенках трубы, на оси вращения потока и во всем потоке на бесконечном удалении от локального завихрителя, а на входе в трубу за локальным завихрителем циркуляция (Г = ru) постоянна вдоль радиуса, т.е. при
u = 0 при r = 1 для z > 0,
u = 0 при r = 0 для z > 0,
u = 0 при z = да для 0 < r < 1,
Г = Г0 = const при z = 0 для 0 < r < 1 решение уравнения (2) получено в [1] в виде разложения Фурье — Бесселя
(3)
((r, z, Re) = 2Г0 f 1 J°(Х") J 1(Xnr) exp (-к2n —
0Ьn J0 (^n) Ч n Re
(4)
где J0 (Xп) и J1 (Xпт) — функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядка; Xп — действительные корни уравнения Jl(Xn) = 0; Г0 — нормированное значение циркуляции (или число Россби) за локальным завихрителем
Г„ = Ро = ^.
Между тем, отказавшись от введенного допущения, по которому вторые частные производные по аксиальной координате приняты малыми в сравнении с производными по радиусу (д2 /дz2 << д/дт), можно получить более точное в сравнении с (4) решение. Оставляя другие принятые допущения без изменений, после нормирования системы (1) второе ее уравнение приведем к виду
д и д2 и
Re
д2 u д u
2 ^ т- (5)
дz дz дт тдт т В качестве граничных условий задачи примем условия (3), кроме условия на входе в трубу при z = 0, которое будет рассмотрено ниже.
Положим функцию азимутальных скоростей, равной произведению
и (т, z ,Яе) = ф (т) ф (z ,Яе),
где один из множитель зависит от текущего радиуса ф (т) , а второй — от осевой координаты и числа Рейнольдса ф(z, Ре). Разделяя переменные, находим
Re-
dz dz2 I ф д r2 r д r
Но это равенство, где левая часть зависит только от переменной z, а правая — только от т, возможно лишь в случае, если обе части не зависят ни от z, ни от т, т.е. представляют собой некую постоянную Тогда можно записать
5ф д2ф | 1 (д2ф 5ф
Re—1- - ,
5 z 5 z2
ф ^ д r r д r
— 1 = ^,
и получить систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений
0
д2 ф Зф —Т~ Re^1 + ПФ = 0,
5 z2 32 ф
5 z
Зф
1
-I П+-Т |ф = 0
(6)
д т т д т V т' где постоянная ^ может принимать три значения: ^>0, ^ = 0 и ^<0.
При ^ > 0 второе уравнение системы (6) обращается в модифицированное уравнение Бесселя [8], которое действительных корней не имеет, следовательно, случай 0 не может рассматриваться как решение уравнения (5). Во втором случае при ^ = 0 находим
^- Ре= 0, д z2 дz
= 0.
д2 ф Зф ф д r2 r 8 r r2
Отсюда получаем общее решение, соответствующее течению Куэтта [9]:
u(r,z,Re) = Ф(г)• Ф(z,Re) = I С3r + 11 C2 + C1
exp(Re z) Re
В третьем случае положим ^ = - X 2n < 0 . Тогда (6) приводится к
д2 ф Зф 2 п —Re —- - X n ф = 0,
д z2 д z n
д2 ф Зф
(7)
X 2 -
1
= 0.
3 т т д т
Можно видеть, что первое уравнение системы имеет частное решение
Фп (z, Re) = С5 exp
Re z
1 4^n ,
1 + —n +1
Re2
+ C6 exp
Re z
1 ♦ 4 -1 Re2
в котором константу С5 следует положить равной нулю, ибо в обратном случае получим неограниченное нарастание азимутальных скоростей по длине трубы до и 8 ^ да при z ^ да.
Второе уравнение этой системы, являясь частным случаем дифференциального уравнения Бесселя [8], имеет решение в виде произведения константы на функцию Бесселя первого рода первого порядка
Фп (т) = Лп^(Х пт).
В результате получаем следующее решение
un = Ф„ (r) • Фп (z, Re) = AnJ1 (X nr) exp
Re z
1+-1
Re2
здесь константа С6 вошла в постоянную Ап.
Умножая числитель и знаменатель экспоненты на
1 ^ и + 4 х n
Re2
и используя полную систему частных решений, находим общее решение задачи для ^ = -XП < 0 в виде ряда Фурье — Бесселя
( -.О Л
i(r, z,Re) = ^ AnJ1(Xnr) exp
-2Х„ z
Re+yj Re+ 4X 2n
(8)
n=1
Сопоставляя (7) и (8) с граничными условиями (3), можно прийти к выводу, что общим решением задачи (5) следует положить только решение (8), ибо только тогда граничные условия удовлетворяются полностью, причем, если — один из действительных корней уравнения J1 (X n) = 0 .
Профиль Куэтта (7) вида
u (r ,0) = Q 0 r + (9)
r
где Г0 = Cj С4/Re и Q 0 = C2 C3 — константы, определяющие свободную и вынужденную составляющие входного вихря, положим в качестве граничного условия при z = 0 . Это позволяет задавать произвольную закрутку потока за локальным завихри-телем на входе в трубу от однородной, формируемой вихревым затвором [10] и соответствующей свободному вихрю Г 0 = ru = const, до неоднородной виде вынужденного вихря Q0 = u/r = const, формируемого тангенциальным завихрителем [5, 11], включая промежуточные формы. Задав таким образом начальные условия, следуя (8) и (9), при z = 0 получим
Г га
«0r + =Е AnJx(Xnr). (10)
r n = 1
Воспользуемся условиями ортогональности функций Бесселя [8], тогда, умножая правую и левую части (10) последовательно на J1(X1 r)rdr, J1(X2r)rdr, ..., J1(Xnr)rdr, ..., J1(Xar)rdr и интегрируя по радиусу в пределах от 0 до 1, получим систему равенств. Для произвольного n частного решения соответствующее равенство имеет вид
П 0 ASi.) +Г „i^in! . ф [ J,.( , „ „2,
Л n Л 2
где J2(X n) — функции Бесселя первого рода второго порядка.
Используя далее рекуррентные соотношения, связывающие цилиндрические функции между собой [8], окончательно получим 2Г0 [1 - J0 (Xn)] 2Q0
A„ =
ХИ/02(ХИ) X ^0(Хп) Вводя константы Ап в исходное уравнение (8), запишем распределение азимутальных скоростей в исследуемом циркуляционно-продольном течении
i(r, z,Re) = 2± Gn exp
n=1 ^ nJ 0(Л n )
2
—2X nz Re+^J Re+ 4X 2n
(11)
где Gn — постоянная и-го частного решения 1
Gn =Г 0
--1
-П 0.
У 0( ^ п )
На рис. 2 приведены распределения по радиусу и длине трубы нормированных азимутальных скоростей и(г,г). Расчеты выполнены при Яе = 500. За локальным завихрителем во входном створе трубы задавались следующие циркуляционно-продольные течения: свободный вихрь Г0 = 1 , 0.0 = 0 (рис. 2, а); вынужденный
вихрь Г0 = 0, ^0 = 6 (рис. 2, б); свободно-вынужденный вихрь Г0 = 1 , ^0 = 3
(рис. 2, в). На профилях указано расстояние от локального завихрителя до расчетного створа в долях от радиуса трубы: г = 5Я, 10Я, 20Я, 40Я, 80Я, 160Я. Штрихом показаны распределения азимутальных скоростей на входе в канал при г = 0.
r/R
0.0 1.0 2.0 3.0
a
r/R
1.0
0.8 -
0.6 -
0.4 -
0.2 -U 0.0
4.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.
r/R
1.0 0.8 -0.6 -0.4 -0.2 -U 0.0
.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0
в
Рис. 2. Распределения азимутальных скоростей и(т^)
В целом можно видеть, что циркуляционно-продольное течение представляет собой вязкий свободно-вынужденный вихрь, при этом трансформация азимутальных скоростей по длине трубы подчиняется экспоненциальному закону.
Графики азимутальных скоростей, рассчитанные по (11) для условий Яе = 500, Г0 = 1, О 0 = 0, и показанные на рис. 2, а, были сопоставлены с графиками,
показанными на рис. 3, а, рассчитанными для тех же условий по формуле (4). Можно
видеть их полную идентичность.
Погрешности, вносимые в решение (4) ввиду отбрасывания производной
д 7 дz
r/R
r/R
1.0 0.8 -0.6 -
0.4 -
0.2 -
U 0.0
У
80 160
\20 tr-^z = 5R
40 Vo-^
„2
dz и вычисляемые как
■ = S,
u.
ii
-2E-4 0 2E-4 4E-4 6E-4 8E-4
азимуталь-
Рис. 3. Распределение азимутальных скоростей u(r, z) и погрешностей S (r, z)
где u11 и u4
ные скорости соответственно по (11) и (4), приведены на рис. 3, б. Можно видеть, что разность решений (11) и (4) составляет бесконечно малую величину -1-10"4 <8<8-10"4, т.е. вторыми частными производными по продольной координате (д2 /dz2) при математическом моделировании циркуляционно-продольных течений можно пренебречь.
Библиографический список
1. Зуйков А.Л. Профили тангенциальных скоростей в циркуляционном течении в трубе // Вестник МГСУ, 2009. № 3. С. 195—199.
2. Зуйков А.Л. Распределение продольных скоростей в циркуляционном течении в трубе // Вестник МГСУ, 2009. № 3. С. 200—204.
3. Зуйков А.Л. Функция тока и зона рециркуляции в ламинарном течении с закруткой // Вестник МГСУ, 2009. Спецвыпуск № 2. С. 91—95.
4. Зуйков А.Л. Вихревая структура и тензор напряжений в ламинарном течении с закруткой // Вестник МГСУ, 2009. Спецвыпуск № 2. С. 95—99.
5. Зуйков А.Л. Гидродинамика циркуляционных течений. М. : Изд-во АСВ, 2010. 216 с.
6. Зуйков А.Л. Радиально-продольное распределение азимутальных скоростей в течении за локальным завихрителем // Вестник МГСУ, 2011. № 2. С. 119—123.
7. Batchelor G.K. Axial flow in trailing line vortices // J. Fluid Mech. 1964. Vol. 20. № 4. P. 645—658.
8. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М. : Наука, 1970. 720 с.
9. Зуйков А.Л. Модифицированный вихрь Куэтта // Вестник МГСУ, 2010. № 4. Т. 2. С. 66—71.
10. Кривченко Г.И., Остроумов С.Н. Высоконапорная водосбросная система с вихревым затвором // Гидротехническое строительство. 1972. № 10. С. 33—35.
11. Волшаник В.В., Зуйков А.Л., Мордасов А.П. Закрученные потоки в гидротехнических сооружениях. М. : Энергоатомиздат, 1990. 280 с.
Поступила в редакцию в декабре 2011 г.
Об авторе: Зуйков Андрей Львович — доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой гидравлики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет», 129337, Россия, г. Москва, Ярославское шоссе, дом 26, 8-(495)-287-49-14, вн. 14-18, [email protected].
Для цитирования: Зуйков А.Л. Уточненные азимутальные скорости в течении за локальным завихрителем // Вестник МГСУ. 2012. № 1. С. 51—56.
A.L. Zuykov
REFINEMENT OF THE AZIMUTHAL VELOCITY IN THE FLOW BEHIND LOCAL SWIRLER
The article discusses refinement distribution of the azimuthal velocity in the circulation flow a
viscous incompressible fluid in a tube, at the entrance to which is installed local swirler.
Key words: irregular swirl flow, Navier — Stokes equations, azimuthal velocity, local swirler,
the expansion of the Fourier — Bessel.
Reference
1. Zuykov A.L. Profili tangencial'nyh skorostej v cirkuljacionnom techenii v trube [Profiles of tangential speeds in a circulation flow in a pipe] // Vestnik MGSU [Proceedings of the Moscow State University of Civil Engineering], 2009, no 3, Pp. 195—199.
2. Zuykov A.L. Raspredelenie prodol'nyh skorostej v cirkuljacionnom techenii v trube [Distribution axial velocity in the circulation flow in a tube] // Vestnik MGSU [Proceedings of the Moscow State University of Civil Engineering], 2009, no 3, Pp. 200—204.
3. Zuykov A.L. Funkcija toka i zona recirkuljacii v laminarnom techenii s zakrutkoj [The stream function and recirculation zone in a laminar flow with a twist] // Vestnik MGSU [Proceedings of the Moscow State University of Civil Engineering], 2009, Special Issue no 2, Pp. 91—95.
4. Zuykov A.L. Vihrevaja struktura i tenzor naprjazhenij v laminarnom techenii s zakrutkoj [Vortex structure and the stress tensor in a laminar flow with a twist] // Vestnik MGSU [Proceedings of the Moscow State University of Civil Engineering], 2009, Special Issue no 2, Pp. 95—99.
5. Zuykov A.L. Gidrodinamika cirkuljacionnyh techenij [Hydrodynamics of the circulation flows]. Moscow, Publishing house ACB, 2010, 216 p.
6. Zuykov A.L. Radial'no-prodol'noe raspredelenie azimutal'nyh skorostej v techenii za lokal'nym za-vihritelem [Radially-longitudinal distribution azimuthal velocity in the flow behind local swirler] // Vestnik MGSU [Proceedings of the Moscow State University of Civil Engineering], 2011, no 2, Pp. 119—123
7. Batchelor G.K. Axial flow in trailing line vortices // J. Fluid Mech., 1964, Vol. 20, no 4, Pp. 645—658.
8. Korn G., Korn T. Spravochnik po matematike dlja nauchnyh rabotnikov i inzhenerov [Mathematical handbook for scientists and engineers]. Moscow, Nauka, 1970, 720 p.
9. Zuykov A.L. Modificirovannyj vihr' Kujetta [Modified Couette vortex] // Vestnik MGSU [Proceedings of the Moscow State University of Civil Engineering], 2010, no 4, Vol. 2, Pp. 66—71.
10. Krivchenko G.I., Ostroumov S.N. Vysokonapornaja vodosbrosnaja sistema s vihrevym zatvo-rom [High-pressure system with a vortex spillway gate] // Gidrotehnicheskoe stroitel'stvo [Hydraulic engineering], 1972, no 10, Pp. 33—35.
11. Volshanik V.V., Zuykov A.L., Mordasov A.P. Zakruchennye potoki v gidrotehnicheskih sooruz-henijah [Swirl flows in hydraulic engineering constractions]. Moscow, Energoatomizdat, 1990, 280 p.
A b o u t a u t h o r: Zuykov Andrey Livovich — PhD, Head of the Department of Hydraulics, Moscow State University of Civil Engineering, 26, Jaroslavskoe Shosse, 129337, Moscow, Russia, +7-(495)-287-49-14 * 14-18, [email protected].
F o r c i t a t io n: Zuykov A.L. Utochnennye azimutal'nye skorosti v techenii za lokal'nym zavihritelem [Refinement of the azimuthal velocity in the flow behind local swirler]. Vestnik MGSU [Proceedings of the Moscow State University of Civil Engineering], 2012, no 1, Pp. 51—56.
