CC BY
44
ВЕСТНИК
УДК 627.8
А.Л. Зуйков, Г.В. Орехов, В.В. Волшаник
ФГБОУ ВПО «МГСУ»
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ АЗИМУТАЛЬНЫХ СКОРОСТЕЙ В ЛАМИНАРНОМ КОНТРВИХРЕВОМ ТЕЧЕНИИ
Рассмотрена аналитическая модель контрвихревого течения вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрическом канале. Модель основана на решении уравнений Навье — Стокса методом разложения Фурье — Бесселя. Получены аналитические функции распределения по длине и радиусу канала азимутальных скоростей при взаимодействии спутных концентрических противоположно закрученных потоков. Выполнен анализ полученного решения.
Ключевые слова: контрвихревое течение, вязкая несжимаемая жидкость, уравнения Навье — Стокса, разложение Фурье — Бесселя, азимутальные скорости, цилиндрический канал.
Контрвихревым будем называть неравномерное циркуляционное течение, в котором движущиеся продольно цилиндрического канала спутные коаксиальные взаимодействующие слои (потоки) вращаются в противоположных направлениях, т.е. в цилиндрической системе координат г - 0 - х азимутальные скорости и0 взаимодействующих потоков имеют разные знаки. Характерные профили скоростей в контрвихревом течении с двумя противоположно закрученными слоями показаны на рис. 1.
жущейся среды и интенсивного гашения (диссипации) ее механической энергии. Оба эффекта имеют широкий практический выход: первый — в технологиях смешивания многофазных или разноплотностных сред в микробиологии, химии, теплотехнике, энергетике, двигателе- и ракетостроении, экологии, второй — в гидротехнике для гашения избыточной механической энергии холостого потока воды, в системах подавления шума авиадвигателей, шума винтов судов и субмарин.
Рис. 1. Характерные профили азимутальных и осевых скоростей в контрвихревом течении
Итак, особенностью контрвихревых течений является взаимно противоположное направление азимутальных скоростей вдоль границы взаимодействующих потоков. Эта особенность позволяет получить ряд технологических эффектов, среди которых отметим эффекты интенсивного перемешивания (диффузии) дви-
Исследование контрвихревых течений до настоящего времени выполнялось исключительно методами численного [1, 2] и физического [3—5] моделирования, здесь впервые делается попытка исследовать их теоретически. Основой этих аналитических исследований послужила работа автора [6].
Будем рассматривать установившееся симметричное относительно оси цилиндрического канала течение вязкой несжимаемой жидкости. В ламинарном диапазоне движения жидкости уравнения Навье — Стокса, применяемые для его описания, в этом случае примут следующий вид:
dur
—- + u dr
d(ruq) rdr
dux
—- + u dr
du„
u
dx r due
-ux — = z
dx
dr
ö( p
P
fd\ dr2
dur rdr
|2„ >
~dx2
( d 2ue "dr2
due rdr
dux
dx
д (P ^
--П + e
dx KP j
fd\ dr2
d
dx2 j ?
dux __±_ д \ ) 1 Л
rdr + 0 dx2 y
(1)
где иг, ыв, их — радиальная, азимутальная и осевая составляющие вектора скорости; Р и П — давление и потенциал внешних массовых сил; р и е — плотность и кинематическая вязкость жидкости.
Допуская, что радиальные скорости много меньше азимутальных и осевых (иг < и2 , иг < их ), и нормируя уравнения по средней по расходу Q скорости потока
г=А.
пЯ 2
радиусу канала Я и атмосферному давлению Р0, систему (1), с учетом озеенов-ского приближения [7], когда операторы их д/дх заменяют на V д/дх, приводят к нормированному (безразмерному) виду
и2 =4 Ей • Р-П
дг I Fr
r
due dx Re
1
f*2
d ua du,
dr2
_e_
rdr
d 2ua
dx2
du,eu . P_L
dx dx I Fr j Re
fd 2u
\
dr2
dux
rdr
2
д 2u ~dx2
(2)
где Ей, Fr, Re — соответственно числа Эйлера, Фруда и Рейнольдса
Eu = - P
pV2
Ъ V2 D VR
Fr =-, Re = — .
gR *
Можно видеть, что второе уравнение системы (2)
Duq dx
J_ Re
^ д2ме + Duq к дг2 rdr
u.
2
q + d uq г2 dx2
(3)
связанное только с распределением азимутальных скоростей, не зависит от других уравнений и может быть решено самостоятельно.
Поставим задачу решить уравнение (3) для случая контрвихревого течения. Причем будем исследовать изменение структурных характеристик контрвихревого течения по радиусу и длине трубы от сечения, где слои с противоположной закруткой начинают взаимодействовать, до сечения, где течение с вырожденной закруткой можно полагать осевым и равномерным. Участок интенсивного взаимодействия противоположно закрученных слоев будем называть активной зоной. Последующий участок с течением с остаточной однонаправленной закруткой или осевым течением будем называть зоной пассивной трансформации течения. Согласно сказанному, граничные условия задачи можно сформулировать следующим образом:
равенство нулю азимутальных скоростей на сплошных твердых стенках канала ввиду вязкого залипания жидкости;
равенство нулю азимутальных скоростей на оси вращения потока (на оси канала) ввиду осевой симметрии течения;
вырождение азимутальных скоростей на бесконечном удалении от формирующих их установленных на входе в канал локальных завихрителей. Эти граничные условия могут быть записаны в виде системы ие (1, х, Яе) = 0 при г = 1 для х > 0,
ие (0, х, Яе) = 0 при г = 0 для х > 0, - (4)
ие (г, <х, Яе) = 0 при х = <х для 0 < г < 1.
На входе в канал (х = 0) распределение азимутальных скоростей зададим таким образом, чтобы формировалось контрвихревое течение. Для этого, прежде всего, используем профиль Куэтта
Г
ие (г,0,Яе) = О0 г + , (5)
г
в котором и Г0 — условные угловая скорость и циркуляция смешанного свободно-вынужденного вихря, при этом и Г0 следует положить с обратными знаками, например > 0 и Г0 < 0, обеспечив контвихревое вращение коаксиальных слоев.
Если предположить, что полная взаимная вязкая диффузия циркуляции противоположно закрученных коаксиальных слоев должна соответствовать нулю их интегрального момента количества движения на входе в активную зону
1
4=0 =1 ГПвих М = 0 , (6)
0
и при этом положить здесь равномерный профиль осевых скоростей их (г,0, Яе) = 1,
то в результате интегрирования (6) с учетом (5) можно получить □о = -2Го.
В этих условиях за пределами активной зоны следует ожидать течение без остаточной циркуляции, т.е. продольно-осевое. В иных случаях течение ниже активной зоны останется циркуляционно-продольным с закруткой в сторону более мощного либо вынужденного (периферийного), либо свободного (в ядре течения) входного вихря.
Гидравлика. Инженерная гидрология. Гидротехническое строительство УЕБТЫНС
_мвви
В общем случае произвольный радиальный профиль контрвихревого течения на входе в активную зону можно задать степенным рядом Тейлора
ие (г,0,Яе) = а1г + а2г 2 + а3г3 +...
Например, если коэффициенты ряда положить равными
а = (-1) "+1 " ^ } (2 п -1)!'
то в качестве входного получим синусоидальный профиль
ие (г, 0,Яе) = Бт(2тсг),
а если коэффициенты положить равными
ап = (-1)п+1 ,
п!
то входным профилем будет вихрь Бюргерса — Бэтчелора
ие (г, 0, Яе) = — [1 - ехр (-—1г2)].
Мы не будем рассматривать входной профиль в виде ряда Тейлора, ибо не представляет труда задать его в приложении к конкретному практическому случаю, ограничившись в зависимости от требуемой точности несколькими его членами, после чего, формально повторив операции, описанные ниже, получить искомую функцию радиально-аксиального распределения окружных скоростей.
Рассмотрим иной способ задания входного в активную зону контрвихревого профиля, а именно: в виде функции Бесселя [8], например, первого рода первого порядка
щ (г, 0, Яе) = Л / (мт), (7)
где А0 — произвольный коэффициент; ц — константа, не равная корню функции Бесселя первого рода первого порядка (/] (м) ф 0).
При этом для формирования контрвихревого течения необходимо по крайней мере положить ц > X где ^ — первый нуль функции Бесселя первого рода первого порядка (Х1 = 3,832). Заметим, что повышение значения т более второго, третьего и т.д. нулей функции Бесселя первого рода первого порядка позволяет задать требуемое или произвольное количество коаксиальных слоев со взаимно противоположным вращением, что является важным качеством функции (7).
Если на входе задать равномерный профиль осевых скоростей их (г,0,Яе) = 1, то момент (6) при применении функции Бесселя (7) составит
М\х__0 = 2Л«)г2№)йг = 2А , о М
как видим, момент будет равен нулю, если ц — один из действительных корней функции Бесселя первого рода второго порядка /2(ц) = 0. Во всех иных случаях, т.е. при /2(м) ф 0, моменты противоположно закрученных слоев будут не равны друг другу по абсолютной величине, следовательно, результирующее течение за пределами активной зоны должно остаться затухающим циркуляци-онно-продольным.
ВЕСТНИК
МГСУ-
Итак, на входе в активную зону зададимся следующим результирующим распределением азимутальных скоростей
г
и2 (г ,0, Яе) = О.0г + —0 + А0 J1 (цг) г
(8)
обеспечивающим контрвихревое течение в активной зоне, в т.ч. многослойное, реализация которого на натуре или физической модели представляется делом совсем не легким. Таким образом, теоретическое исследование многослойных контрвихревых течений позволяет получить информацию о них, труднодоступную в опыте.
Оговорив теперь все граничные условия, переходим к непосредственному решению поставленной задачи. Вернемся к исходному нормированному уравнению (3), приведя его к виду
^ дпв д2пв д2пв + дпв ме дх дх2 " дг2 гдг г2
(9)
Для решения уравнения (9) воспользуемся методом Фурье, согласно которому будем искать его частные решения в виде произведения двух функций ив (г, х,Яе) = ф(г)ф(х), (10)
где ф(г) — функция только переменной г, а ф( х) — функция только переменной х.
Тогда, подставляя (10) в (9), будем иметь
Ф
дх дх2
= Ф
( д 2ф + дф кдг2 гдг
Ф
или, деля на произведение фф, что разделяет переменные, находим
КедФ дУ
дх дх2
( ^2
д2ф + дф дг2 гдг
ф
Но это равенство, где левая часть зависит только от переменной х, а правая — только от г, возможно лишь в единственном случае, если обе части одновременно не зависят ни от х, ни от г, т.е. представляют собой одну и ту же постоянную. Обозначим эту постоянную п. Тогда можно записать
Яе
дх дх2
^ д2ф + Зф кдг2 гдг
ф
и получить систему двух обыкновенных линейных дифференциальных уравнений второго порядка
д2^ дф —2 - + пф = 0; до дх
д 2ф ..2 '
п
|ф=0,
(11)
дф
дг2 гдг
в которой постоянная п может принимать три значения: п > 0, п = 0 и п < 0.
При п > 0 второе уравнение системы (11) обращается в модифицированное уравнение Бесселя [8], которое действительных корней не имеет, следовательно, случай п > 0 не может рассматриваться как решение исходного уравнения (3) или (9).
2
г
2
г
2
г
Во втором случае при п = 0 находим
^ - Яе ^ = 0; дх дх
52ф 5ф ф Нт +—Г = 0.
дг гдг г
Отсюда получаем общее решение, соответствующее течению Куэтта [9]
ехр(Яех)
/
м0 (r, x,Re) = ф(г )ф( x,Re) =
С3 r +
r
C2 + C
Re
(12)
В (12) необходимо положить С1 = 0, ибо в противном случае будет иметь место неограниченное нарастание абсолютных значений азимутальных скоростей по длине канала в зависимости от знака константы С1 вплоть до ме (г, да, Яе) = ±да , что не соответствует физической картине течения согласно граничным условиям (4).
В третьем случае положим ^ — —А,п < 0 . Тогда (11) приводится к виду
сф
дх
д2ф _ дф _ —2 - R^-ь + ПФ = 0;
дх1 д 2ф дф
(
дг гдг
1
Л
Х п - —
V r J
ф = 0.
Можно видеть, что первое уравнение этой системы имеет п-е частное решение
ф „ (х ,Re) = С5 exp
Re х
1 + -
4К
Re2
+1
+ C6 exp
Re х
1 + -
44
Re2
-1
в котором константу С5 по причинам, изложенным выше, следует положить равной нулю. Второе уравнение этой системы, являясь частным случаем дифференциального уравнения Бесселя [8], имеет п-е частное решение в виде произведения константы на функцию Бесселя первого рода первого порядка Фп (Г) — А^^А пг).
В результате получаем следующее п-е частное решение
u (r, X, Re) = ф (г)фя (X, Re) = AnJ (knr) exp
где константа С6 вошла в постоянную А
Умножая числитель и знаменатель экспоненты на
1 + 1 + 4Х2п/ Яе2,
и используя полную систему частных решений, находим общее решение задачи для случая ^ — —А2п < 0 в виде ряда Фурье — Бесселя
^ 2 Л
-2А 2 х
) (r , X, Re) = Z AnJ1 (Х nr) eXP ^
n=1
Re+^/Re+4A
2
n J
(13)
Сопоставляя (12) и (13) с граничными условиями (4), можно придти к выводу, что общим решением уравнения (3) следует положить только решение
(13), ибо только тогда граничные условия удовлетворяются полностью, причем
если 1 п — один из действительных корней уравнения Jl(1 п) = 0.
Профиль Куэтта (12) вида г
ие (г,0,Яе) = П0г + , г
где Г0 = С2С4 и О.0 = С2С3 — константы, определяющие свободную и вынужденную составляющие входного вихря, положим в качестве граничного условия при х = 0. К ним добавится составляющая, определяемая функцией Бесселя (7), таким образом, на входе в активную зону при х = 0 имеется распределение азимутальных скоростей, заданное равенством (8).
Для определения неизвестных постоянных Ап в распределении (13) положим в нем х = 0 и приравняем выражению (8), в результате получим равенство
г
Qor + A0 ^(цг) = £ A J1(1 nr).
r
n=1
Умножим правую и левую части этого равенства последовательно на rJl (k1r)dr , rJl (X2r)dr, ..., rJl (Xnr)dr, и далее до rJx r)dr , и проинтегрируем произведения по r в пределах от 0 до 1. Тогда в соответствии с условиями ортогональности функций Бесселя [8] получим следующую систему уравнений относительно постоянных А :
п
111 1 Q0 J r2 J1 (11r )dr + Г0 J J1 (11r)dr + A0 J J1 (M-rJ (11r )rdr = A1J J1 (l n r )J1 (11r)rdr;
0 0 0 0
111 1 Q0 J r2 Jj (l 2 r)dr + Г0 J Jj (l 2 r )dr + A0 J Jx (цг) Jx (l 2 r )rdr = A2 J Jx (l 2 r)Jx (l 2 r)rdr;
0 0 0 0
111 1 Q0 J r2 J1 (l nr )dr + Г0 J J1 (l n r)dr + A0 J J1 (Mr) J1 (l n r )rdr = An J J (l n r) J1 (l n r )rdr;
^0} г 2 3 г^г + Го} 3 (1Я г^г + Ао | (цг у1 (1Я г )Мг = А„ | 3 г) 3 r)rdr.
0 0 0 0
Интегрируя эти уравнения, для произвольного п-го частного решения находим
О -12(Ьп ) + г 1 - -10(Ь п ) + А Ь п^У) -10(Ь п ) Ап г Г ,п )П2
Оо^-+ г0-:-+ А0-2—-= [,У1(Лп)] .
Ьп Ьп М2 -К 2
Воспользуемся теперь рекуррентными соотношениями, связывающими цилиндрические функции различного порядка между собой [8]. Поскольку согласно этим соотношениям при условии п) = 0 справедливы равенства
3[(К ) = J0(1п ) =- J 2 (1 п ),
найденное выше соотношение принимает вид, приведенный относительно неизвестной постоянной А :
п
= 2Гр [1 - 30(1 п)] _ 2^0 + 2А^(ц)
А = ^ 0У пл — -0 +_ п 1 п4 (1 п ) 1 п30 (^п) [ МД п )2 _ 1]1 п30(1 п )
Вводя константы Ап в исходное уравнение (13), запишем окончательное распределение азимутальных скоростей в исследуемом контрвихревом течении
щ (r, x,Re) = 2jr Gn J^\ exp
n=1 knJ o(A n )
(
-2X2 x
Re+sJ Re+ 4X
2
J
(14)
Gn =Г0
1
-По - АоJlW2 . (15)
0 1 - (цДn)2
где Хп — корень функции Бесселя первого рода первого порядка (/Д^п) = 0); /Д...) — функция Бесселя первого рода нулевого порядка; Gn — постоянная п-го частного решения 1
_ ^ «)
Трансформация профилей азимутальных скоростей в контрвихревых течениях по радиусу и длине активной зоны показана на рис. 2.
На рис. 2 расстояния от входного створа активной зоны до расчетного указаны на профилях в долях от радиуса трубы: х = 5Л, 10^, 20R, 40R, 80R. Расчеты выполнены при числе Рейнольдса, равном Re = 500, на входе в активную зону (х = 0) задавались контрвихревые течения с параметрами: 1) Г0 = -1,1, = 3,8, А0 = 0 (рис. 2, а), 2) Г0 = 0, = 0, Л/Дц) = 1, ц = 6,6 (рис. 2, б), 3) Г0 = -0,5, Ц, = 2, Л/Дц) = 0,6, ц = 6,6 (рис. 2, в), 4) Г0 = 0, Ц, = 0, Л/Дц) = 1,9, ц = 13 (рис. 2, г), 5) Г0 = 0, Ц, = 2,5, Л/Дц) = 0,8, ц = 6,6 (рис. 2, д), 6) Г0 = -0,5, = 0, Л/Дц) = 0,8, ц = 6,6 (рис. 2, е). Перечисленные параметры охватывают характерные режимы контрвихревых течений: от режимов с полным гашением циркуляции двуслойных течений в пределах активной зоны, до многослойных течений и режимов с остаточной циркуляцией на выходе в сторону более мощного периферийного или внутреннего вихрей.
Анализ полученных результатов показывает, что контрвихревое течение с примерно равными моментами вращения противоположно закрученных коаксиальных слоев в пределах активной зоны трансформируется в продольно-осевое, т.е. ние без закрутки. Это можно наблюдать на рис. 2, а—в, где активная зона, т.е. зона интенсивной вязкой диффузии закрутки взаимодействующих слоев примерно равна 40 радиусам трубы. Факт интенсивной диффузии закрутки очевиден, он не требует подробных объяснений, ибо определяется взаимным вязким гашением аксиальных скоростей коаксиальных противоположно закрученных слоев. Не менее очевидно, что еще более интенсивно взаимная закрутка гасится с увеличением числа взаимодействующих слоев. Так, при увеличении числа коаксиальных противоположно закрученных слоев в два раза (с 2 на рис. 2, а—в до 4 на рис. 2, г) ровно в те же два раза сокращается длина активной зоны (с 40 до 20 радиусов). Существенное превышение момента вращения одного взаимодействующего слоя по отношению к моменту вращения другого слоя, показанное на рис. 2, д, е, не вызывает заметного изменения длины активной зоны: можно видеть, что эта длина остается приблизительно той же, около 40 радиусов трубы. Однако на выходе из активной зоны в этом случае наблюдается общее циркуляционно-продольное течение с естественной закруткой в сторону преобладающего момента. За пределами активной зоны вязкая диффузия остаточной закрутки сформировавшегося общего циркуляци-онно-продольного потока происходит достаточно медленно, поэтому данный участок можно называть зоной пассивной трансформации течения.
ВЕСТНИК
МГСУ-
-3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0
-| I | I I | I рМ 0
-3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0
б
г/Я
1.0 0.8 -0.6 -0.4 -
0.2 0.0
х /
( ю( 20\40
1 1 I 1 1 Г
-3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0
1 1 I 1 I 1 Г
-3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0
Мг
-2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 3.0
-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0
е
Рис. 2. Профили азимутальных скоростей в контрвихревых течениях
Значительное влияние на протяженность активной зоны, т.е. интенсивность диффузии закрутки в контрвихревом течении, оказывает вязкость среды.
е
Анализируя функцию распределения (14), где вязкость присутствует в числе Рейнольдса, нетрудно установить, что ее изменение сказывается обратно пропорционально на протяженности активной зоны: при возрастании вязкости протяженность зоны пропорционально сокращается, при снижении — пропорционально нарастает.
В этой связи необходимо отметить следующее. В ряде предшествующих работ, например, в [10], авторами было показано, что при расчете турбулентных циркуляционно-продольных течений жидкости достаточно хорошую сходимость с экспериментальными данными получают при использовании турбулентного аналога числа Рейнольдса, вычисляемого по вихревой вязкости турбулентной среды
где г{ — вихревая вязкость; X — коэффициент гидравлического сопротивления по длине; х = 0,2 — универсальная постоянная (для воды).
Если в реальных условиях коэффициент X изменяется в пределах 0,011.0,03, то турбулентное число Рейнольдса будет иметь значения в диапазоне Reí = 80.135. Сопоставляя с полученными результатами, нетрудно видеть, что при контрвихревом взаимодействии турбулентных закрученных потоков длина активной зоны сократится в 3,5.6 раз, т.е. составит примерно 7.11 радиусов канала. Именно это значение длины активной зоны или, как ее еще называют «камеры смешения», подтверждается экспериментально в [11], посвященной турбулентным контрвихревым потокам.
1. Chen Y.S. A Numerical Methods for Three-Dimensional Incompressible Flow Using Nonorthogonal Body-Fitter Coordinate Systems // AIAA paper. 1986. № 86-1654. 9 р.
2. Ахметов В.К., Шкадов В.Я. Численное моделирование вязких вихревых течений для технических приложений : монография. М. : Изд-во АСВ, 2009. 176 с.
3. Vu B.T., Gouldin F.C. Flow Measurements in a Model Swirl Combustor // AIAA Journal. 1982. Vol. 20. № 5. pp. 642—651.
4. Свириденков А.А., Третьяков В.В. Экспериментальное исследование смешения турбулентных противоположно закрученных струй на начальном участке в кольцевом канале // Инженерно-физический журнал. 1983. Т. 44. № 2. С. 205—210.
5. Свириденков А.А., Третьяков В.В., Ягодкин В.И. Об эффективности смешения коаксиальных потоков, закрученных в противоположные стороны // Инженерно-физический журнал. 1981. Т. 41. № 3. С. 407—413.
6. Зуйков А.Л. Гидродинамика циркуляционных течений : монография. М. : Изд-во АСВ, 2010. 216 с.
7. Batchelor G.K. Axial Flow in Trailing Line Vortices // Journal of Fluid Mechanics. 1964. Vol. 20. № 4. рp. 645—658.
8. Korn GA., Korn T.M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York - Toronto - London. McGraw W - Hill book Company, Inc. 1961. 720 p.
9. Зуйков А.Л. Модифицированный вихрь Куэтта // Вестник МГСУ 2010. № 4. Т. 2. С. 66—71.
10. Зуйков А.Л., Волшаник В.В. Аналитическое исследование структуры закрученного потока вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе : монография. М. : МГСУ, 2001. 66 с.
Библиографический список
11. Зуйков А.Л. Динамика вязких циркуляционных течений в трубах и поверхностных воронках : дисс. ... д-ра техн. наук. М., 2010. 335 с.
Поступила в редакцию в феврале 2013 г.
Об авторах: Зуйков Андрей Львович — доктор технических наук, заведующий кафедрой гидравлики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, (8495) 287-49-14 вн.14-18, [email protected];
Орехов Генрих Васильевич — кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой гидроэнергетики и использования водных ресурсов, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, (8499) 182-99-58, [email protected];
Волшаник Валерий Валентинович — доктор технических наук, профессор, профессор кафедры гидроэнергетики и использования водных ресурсов, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, (8499) 182-99-58, [email protected].
Для цитирования: Зуйков А.Л., Орехов Г.В., Волшаник В.В. Распределение азимутальных скоростей в ламинарном контрвихревом течении // Вестник МГСУ. 2013. № 5. С. 150—161.
A.L. Zuykov, G.V. Orekhov, V.V. Volshanik
DISTRIBUTION OF AZIMUTHAL VELOCITIES IN A LAMINAR COUNTER VORTEX FLOW
The authors analyze an analytical model of a counter vortex flow of the incompressible viscous fluid in a cylindrical channel. The model is based on the resolution of a system of Navier — Stokes equations using the Fourier — Bessel decomposition method. The authors have generated analytical distribution functions of azimuthal velocities along the length and radius of the channel in the event of interaction between adjacent concentric and inversely twisted flows. The authors have performed their analysis of the proposed solution.
The authors have identified that the value of the viscosity of the medium produces a substantial influence on the length of the active zone of the flow, or on the intensity of diffusion of vortices within the counter vortex flow. Using the distribution function, the authors have identified that wherever viscosity is present within the Reynolds number, the viscosity value is inversely proportionate to the length of the active zone: the higher the viscosity, the shorter the active zone, and the lower the viscosity, the higher the active zone.
Key words: counter vortex flow, viscous incompressible fluid, Navier — Stokes equations, Fourier — Bessel decomposition, azimuthal velocity distribution along the length and radius of a cylindrical channel.
References
1. Chen Y.S. Numerical Methods for Three-dimensional Incompressible Flow Using Nonorthogonal Body-Fitter Coordinate Systems. AIAA paper, 1986, no. 86-1654, 9 р.
2. Akhmetov V.K., Shkadov V.Ya. Chislennoe modelirovanie vyazkikh vikhrevykh tech-eniy dlya tekhnicheskikh prilozheniy [Numerical Simulation of Viscous Vortex Flows for Technical Applications]. Moscow, ASV Publ., 2009, 176 p.
3. Vu B.T., Gouldin F.C. Flow Measurements in a Model Swirl Combustor. AIAA Journal, 1982, vol. 20, no. 5, pp. 642—651.
4. Sviridenkov A.A., Tret'yakov V.V. Eksperimental'noe issledovanie smesheniya turbu-lentnykh protivopolozhno zakruchennykh struy na nachal'nom uchastke v kol'tsevom kanale [Experimental Study of Turbulent Mixing of Oppositely Swirled Jets in the Initial Section of the Annular Channel]. Inzhenerno-fizicheskiy zhurnal [Journal of Engineering Physics]. Minsk, Belarus, 1983, vol. 44, no. 2, pp. 205—210.
5. Sviridenkov A.A., Tret'yakov V.V., Yagodkin V.I. Ob effektivnosti smesheniya koaksial'nykh potokov, zakruchennykh v protivopolozhnye storony [Effectiveness of Mixing of Coaxial Flows Twisted in Opposite Directions]. Inzhenerno-fizicheskiy zhurnal [Journal of Engineering Physics]. Minsk, Belarus, 1981, vol. 41, no. 3, pp. 407—413.
6. Zuykov A.L. Gidrodinamika tsirkulyatsionnykh techeniy [Hydrodynamics of Circulatory Flows]. Moscow, ASV Publ., 2010, 216 p.
7. Batchelor G.K. Axial Flow in Trailing Line Vortices. Journal of Fluid Mechanics. 1964, vol. 20, no 4, pp. 645—658.
8. Korn G.A., Korn T.M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York - Toronto - London. McGraw - Hill book Company, Inc., 1961, 720 p.
9. Zuykov A.L. Modifitsirovannyy vikhr' Kuetta [Modified Couette Vortex]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2010, no 4, vol. 2, pp. 66—71.
10. Zuykov A.L., Volshanik V.V. Analiticheskoe issledovanie struktury zakruchennogo po-toka vyazkoy neszhimaemoy zhidkosti v tsilindricheskoy trube [Analytical Study of the Structure of a Swirling Flow of the Viscous Incompressible Fluid in a Cylindrical Pipe]. Moscow, MGSU Publ., 2001, 66 p.
11. Zuykov A.L. Dinamika vyazkikh tsirkulyatsionnykh techeniy v trubakh i poverkhnost-nykh voronkakh [Dynamics of Vviscous Circulatory Flows in Pipes and Surface Craters]. Moscow, 2010, 335 p.
About the author: Zuykov Andrey L'vovich — Candidate of Technical Sciences, Chair, Department of Hydraulics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU),
26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected]; +7 (495) 287-49-14, ext. 14-18.
Orekhov Genrikh Vasil'evich — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Chair, Department of Hydroelectric Engineering and Use of Aquatic Resources, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected]; +7 (499) 182-99-58;
Volshanik Valeriy Valentinovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Professor, Department of Hydroelectric Engineering and Use of Aquatic Resources, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected]; +7 (499) 182-99-58.
For citation: Zuykov A.L., Orekhov G.V., Volshanik V.V. Raspredelenie azimutal'nykh skorostey v laminarnom kontrvikhrevom techenii [Distribution of Azimuthal Velocities in a Laminar Counter Vortex Flow]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 5, pp. 150—161.
