CC BY
4UDK 514.85
QURILISH - LOYIHALASH JARAYONIDA MURAKKAB SHAKLLI OBYEKTLARNI R-FUNKSIYA USULI (RFM) YORDAMIDA GEOMETRIK MODELLASHTIRISH
Artikbayev Mahkam Artikbayevich Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Nukus filiali, PhD.
Annotatsiya. Mazkur maqola, qurilish - loyihalash jarayonida ko'p foydalaniladigan murakkab shaklga ega ikki va uch o'lchovli obyektlarni RFM asosida geometrik modellashtirishga bag'ishlangan. Bunda tadqiq qilinayotgan murakkab shakldagi sohalarning chegaraviy tenglamalarini RFMdan foydalangan holda qurish ko'rib chiqilgan. RFM asosida ikki va uch o'lchovli murakkab obyektlarning geometrik modellari ishlab chiqilgan.
Аннотация. Данная статья посвящена геометрическому моделированию на основе RFM двух- и трехмерных объектов сложной формы, которые часто используются в процессе строительно-проектирования. Рассмотрено построение граничных уравнений исследуемых участков сложной формы с использованием метода RFM. На основе RFM разработаны геометрические модели двух- и трехмерных сложных объектов.
Abstract. This article is devoted to geometric modeling based on RFM of two- and three-dimensional objects of complex shape, which are often used in the process of construction design. The construction of boundary equations for the studied areas of complex shape using the RFM method is considered. Based on RFM, geometric models of two- and three-dimensional complex objects have been developed.
Kalit so'zlar: R-funktsiya usuli (RFM), soha, obyekt, geometrik model, interpretatsiya, predikat, konyunksiya, dizyunksiya.
Ключевые слова: Метод R-функций (RFM), область, объект, геометрическая модель, интерпретация, предикат, конъюнкция, дизъюнкция.
Key words: R-function method (RFM), domain, object, geometric model, interpretation, predicate, conjunction, disjunction.
Hozirgi vaqtda zamonaviy inshootlarni qurilish-loyihalash jarayonida har bir mutaxassis turli murakkab shaklli obyektlarni geometrik modellashtirish va murakkab konfiguratsiyali elementlar ustida olib boriladigan turli hisob-kitob ishlarida paydo bo'ladigan muammolarni yaxshi biladi. Tabiiyki, loyihalash jarayonida murakkab shaklli obyektlarni geometrik modellashtirish va mazkur jarayonda har xil hisob-kitob ishlarini aniq va to'liq amalga oshirish, yuqori darajadagi sfatli zamonaviy binolarni qurish uchun muhim ahamiyat kasb etadi.
Zamonaviy konstruksiyalarni optimizatsiya qilish va hisob - kitoblarni yuritish, loyihalashlarni olib borish ishlari mazkur elementlar mustahkamligini va ekspluatatsiya qilganda ishonchliligini uzoq muddatga yaroqli bo'lishini talab qilib tadqiqotchilar oldiga barcha sinf masalalarini avtomatlashtirish muammosini qo'yadi va bu masalalar faqat fizik parametrlari bilan farq qilib qolmasdan, balki o'rganilayotgan sohaning konstruktiv shakli bilan ham bog'liq bo'ladi. Shu sababli murakkab konstruktiv shaklga ega bo'lgan sohalarni tadqiq qilish uchun ularning chegaraviy tenglamalarini qurish (ishlab chiqish) masalasi kelib chiqadi. Mazkur masalani yechish uchun R-funksiya usuli qo'llaniladi [1-10].
Vladimir Leontievich Rvachev (1933-2005) - taniqli rus olimi, matematik fizika va amaliy matematika bo'yicha mutaxassis hisoblanadi. U fan va texnikaning turli sohalarida keng qo'llaniladigan R-funksiyalar nazariyasini rivojlantirishga katta hissa qo'shgan [1, 2].
R-funksiyalar (relyatsion funktsiyalar deb ham ataladi) geometrik obyektlar va ularning xususiyatlarini tavsiflash uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan matematik vositadir. R-funksiyalar murakkab geometrik shakllarni mantiqiy funksiyalar orqali tasvirlash va ularni algebraik
КУРИЛИШ ВА ТАЪЛИМ ИЛМИЙ ЖУРНАЛИ, 2023, №5-6
211
tenglamalarini ishlab chiqish imkonini beradi [6-l0].
R-funksiya usuli (RFM) ning asosiy mazmuni:
Aytaylik, S (x) = (x > 0), x e R1, x > 0 bo'lganda 1 qiymatga ega, aks holda x > 0 bo'lganda 0 qiymatga ega predikat (mulohaza) bo'lsin.
Bunda: x = (x, x2,..., x ); S (x) = IS (x ), S (x2 ),.., S (x„ )}. U holda y = f (x) funksiyasi R-funksiya deyiladi, agarda shunday mantiqiy funksiyasi Y = F(X), X = (X,X2,...,Xn) mavjud bo'lib, quyidagi (1) shart bajarilsa:
S2[f (x)] = F[S2(x)]. (l)
Bu yerda, Y = F(X) funksiyasi mantiqiy funksiya bo'ladi, agarda Xi va B2 ={0;l}
to'plam elementlari, faqatgina ikkita elementdan tashkil topsa, ya'ni 0 va 1.
Yuqoridagi (1) shartidan shu narsa ma'lum bo'ladiki har bir R-funksiyaga, mantiqiy funksiya mos keladi. Teskarisi o'rinli emas, bitta mantiqiy funksiyaga cheksiz ko'p R-funksiyalar to'plami mos kelishi mumkin.
Agar M(H) to'plamdan H-funksiyasi R-funksiyaning har bir sohasi bilan kesishmasi bo'sh to'plam bo'lmasa, R-funksiyalardan tashkil topgan tizim yetarlicha to'la deyiladi. Tizimning yetarlicha to'la bo'lish sharti - bu H* tizimi barcha mantiqiy funksiyalarida to'la bo'lishini ta'minlaydi. Ixtiyoriy mantiqiy funksiya murakkab funksiya ko'rinishida berilishi mumkin.
Mantiqiy funksiyalar to'plamida eng ko'p qo'llaniladigan to'la tizim quyidagi hisoblanadi:
H* = IX л Y, X v Y, X},
bu yerda: X л Y - kon'yunksiya, X v Y - diz'yunksiya va X - inkor amallari.
Bu mantiqiy funksiyalarga oddiy geometrik interpretatsiya berish mumkin [l-5].
RFM yordamida murakkab sohaning chegaraviy algebraik tenglamasini qurish.
1-Amaliy misol. Quyidagi l-rasmdagi murakkab sohani ko'rib chiqaylik. Bunda uchlari aylana shakliga olib kelingan to'g'ri to'rtburchakli murakkab obyekt R-funksiya usuli (RFM) yordamida geometrik modellashtiriladi ya'ni 1-rasmdagi murakkab sohaning chegaraviy algebraik tenglamasi ishlab chiqiladi [6, 7, 10].
Фь
1-rasm. Burchaklari aylana shakliga keltirilgan to'g'ri to'rtburchakli murakkab
obyekt.
Demak, yuqoridagi l-rasmda berilgan Q sohasi predikatlar orqali quyidagicha beriladi: Q = (((((Sj л S2)v£3 л S4))v £s) v S6)v S7) v Ï8- (2)
Bu yerda:
^УРИЛИШ BA TAЪЛИM ИЛМИЙ ЖУРHAЛИ, 2023, №5-6
2l2
£ = (a¿ - x¿ > 0), £2 = (br2 - y2 > 0), £3 = (b2 - y2 > 0), £4 = (ar2 - x2 > 0), 1 = (rs2 - (x - ar)2 - (y - br)2 > 0), 1 = (rs2 - (x + ar)2 - (y - br)2 > 0), £7 = (rs2 - (x + ar)2 - (y + br)2 > 0), 1 = (rs2 - (x - ar)2 - (y + br)2 > 0), ar = a - rs, br = b - rs.
Bunda mantiqiy funksiyalardan analitik tenglamalar ko'rishga o'tish RFM asosida, quyidagi formulalar yordamida amalga oshiriladi [1-3, 10]:
x Aa y = — (x + yx2 + y2 - 2axy ) (R - kon'yunksiya)
1 + a
x va y = —1—(x + y + Jx2 + y2 - 2axy ) (R - diz'yunksiya) 1 + a
(3)
x = -x (R- inkor) bu yerda a = a(x, y) - funksiya -1 <a< 1 orlig'ida joylashgan.
Xususiy holda a = 0 deb olinadi va u holda (3) quyidagicha bo'ladi: xa0 y = (x + y-y¡x2 + y2) (R- kon'yunksiya)
x v0 y = (x + y + y]x2 + y2) (R- diz'yunksiya) (4)
x = -x (R- inkor)
U holda, yuqoridagi 1-rasmda berilgan Q sohasini chegaraviy tenglamasi (5) ko'rinishida ifodalanadi, ya'ni:
(((((£1 A0 12) V0 (£3 A0 14)) V0 15) V0 16) V0 17) V0 £8 = 0. (5)
Endi (4) formulasidan foydalanib, (5) tenglamasidan umumiy holdagi co(x, y) = 0 analitik tenglamasiga ega bo'lamiz. Bu yerda c(x, y) - oddiy elementar funksiya. Shunday qilib, Q sohani ichkarisida co(x,y) > 0, Q sohani tashqarisida esa co(x, y) < 0 bo'ladi.
Sohani 8Q chegarasining c(x, y) = 0 uchun normallashgan tenglamasini qurish ko'pchilikda qiziqish uyg'otadi. Tarif bo'yicha, c(x,y) = 0 tenglamasi Q = [c(x,y) > 0] sohasida birinchi tartibli normallashgan deyiladi, agarda co(x, y) > 0, Q sohasi ichida bo'lsa va
c(x, y) < 0, 8Q chegarada bo'lsa, — Ln = 1 (v- 8Q ichki normal) bo'ladi.
8v
Agarda
8 C
83c
2 8Q ^ 3 8Q
8v 8v
8 nc 8vn
8
= 0 bo'lsa, c(x,y) = 0 tenglamasi n- tartibli
normallashgan deyiladi.
Demak, sohani chegaraviy tenglamasining birinchi tartibli normallashgan tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:
m = (((((£1 Aq £2) Vq (£3 AQ £4)) V0 £5) V0 £5) V0 £7) V0 £8 = 0. (6)
Bu yerda:
£1 = £3 =
J_ 2 a
(a1 - x2 > 0)
— (b2 - y2 > 0) 2b
,£2 = ,£4 =
1
2br 1
2 ar
(br2 - y2 > 0) (ar2 - x2 > 0)
Ё8 =
-(rs2 - (x - ar)2 - (y - br)2 > О)
2rs
— (rs2 - (x + ar)2 - (y - br)2 > О) 2rs
— (rs2 - (x + ar)2 - (y + br)2 > О) 2rs
1
2rs
(rs2 - (x - ar)2 - (y + br)2 > О)
2-Amaliy misol. Misol tariqasida transformator ishlab chiqarishda qo'llaniladigan murakkab shaklli plastinani ko'rib chiqaylik (2-rasm).
2-rasm. Murakkab shaklga ega ikki o'lchovli obyekt
R-funksiya usuli yordamida murakkab shakldagi yupqa plastinaning analitik tenglamasini ishlab chiqiladi. Bunda mantiqiy funksiyalardan analitik tenglamalar qurishga o'tish RFM asosida, (3) - (4) formulalar yordamida amalga oshiriladi [l-4, 9, l0].
U holda yuqoridagi 2-rasmda berilgan murakkab sohaning chegaraviy tenglamasi (7) ko'rinishida ifodalanadi, ya'ni:
Q = f2 л f34 л f56. (7)
Bunda:
fi2 = f л f = a2 - x2 + b2 - y2 a2 - x2 )2 +(b2 - y2 )2 > О, f = ( a2 - x2 )> О, f =(b2 - y2 )> О;
f34 = f3 л f4 =
a
x — - a, + y - b -,.
,2 J 1 ' 1 \
f \2 ^ 2
f x - a - ai2 +( y2 - V У
1 2 j 1 J
КУРИЛИШ BA TAЪЛИM ИЛMИЙ ЖУРHAЛИ, 2023, №5-6
2l4
/3 =
a
\2
x — - a
> 0, /4 =(y2 - b12 )> 0;
/56 = /5 a/ =|x + a I -a22 + y2 -b22 -
a 2
/0
(, \2 ^ 2
If a x + — I - a22 + (y2 - b22 )
I 2
V J J
/5 =
a
\2 N
x + — - a
> 0, /6 =(y2 - b2 )> 0.
3-Amaliy misol. Mazkur amaliy misolda 3-4 rasmlardagi sodda va murakkab uch o'lchovli obyektlarning RFM asosida geometrik modelini ya'ni chegaraviy algebraik tenglamasini ishlab chiqishni ko'rib chiqamiz.
3-rasm. Tog'ri burchakli parallelepiped shakliga ega sodda uch o'lchovli obyekt
Uch o'lchovli obyektlarni RFM asosida geometrik modellashtirish (3) va (4) formulalari yordamida quyidagicha amalga oshiriladi, ya'ni bunda (8) va (9) birlashtirilgan umumiy ko'rinishlariga ega bo'lamiz. Dastlab, 3- rasmdagi tog'ri burchakli parallelepiped shakliga ega sodda uch o'lchovli obyektning (8) chegaraviy algebraik tenglamasini ishlab chiqiladi:
« = /1 a/2 A/3. (8)
Bu yerda:
/1 = (a2 - x2) > 0, /2 = (b2 - y2) > 0, /2 = (c2 - z2) > 0.
Endi, 4- rasmdagi ichki qismi bo'sh bo'lgan va tog'ri burchakli parallelepiped shaklidagi murakkab uch o'lchovli obyektning RFM asosida ishlab chiqilgan geometrik modeli ishlab chiqiladi va u (9) birlashtirilgan umumiy ko'rinishiga ega:
4-rasm. Murakkab shaklga ega uch o'lchovli obyekt
^ = /1 A /2 A U
(9)
Bu yerda:
f =( (a - w)2 - ( x - ai)2 )> 0, f2 =( (b - w)2 - ( y - b1)2 )> 0, f =( (c - w)2 - ( z - c^2 )> 0.
Shunday qilib, tadqiq qilinayotgan murakkab sohaning chegaraviy tenglamasini qurishda RFMdan foydalanish eng samarali usul bo'lib hisoblanadi [4-10]. Sababi, RFM asosida har qanday murakkab sohaning chegaraviy tenglamasini olish mumkin. Bu esa o'z navbatida mazkur murakkab shaklli obyektlar ustida har xil tadqiqotlar olib borish imkonini beradi [7-9].
Xulosa. R-funksiya usulini qo'llash keng doiradagi sohalarni qamrab oladi, masalan:
1. Qurilish va strukturaviy tahlil: R-funksiya usuli murakkab shakllarni geometrik modellashtirish uchun ishlatilishi mumkin, bu ularni kuchlanish, deformatsiyalanish holatlarni va boshqa strukturaviy xususiyatlarni hisoblash imkonini yaratadi.
2. Kompyuterda modellashtirish va grafika: R-funksiya usuli oddiy algebraik amallar yordamida murakkab uch o'lchamli obyektlarni yaratish imkonini beradi, bu esa kompyuter grafikasida modellashtirish va vizuallashtirish jarayonini osonlashtiradi.
3. Tasvirga ishlov berish va naqshni aniqlash: R-funksiya usuli tasvirlardagi geometrik shakllarni tavsiflash va tahlil qilish uchun ishlatilishi mumkin, bu ularni kompyuterda ko'rish va naqshni aniqlash vazifalari uchun foydalanish imkonini beradi.
Hulosa qilib shuni aytish mumkinki, R-funksiya usuli murakkab geometrik shakllarni tavsiflash va tahlil qilish imkoniyatini yaratadi. Hozirgi zamonaviy texnikaning ko'plab sohalarida RFMdan foydalanish, bizga eng samarali natijalarga erishish imkoniyatini taqdim etishi mumkin.
ADABIYOTLAR
1. Рвачев В.Л. Метод R-функция и ее некоторые применения. - Киев, «Науково-думка». 1982. -552 с.
2. Рвачев В.Л., Курпа Л.В. R-функция в задачах теории пластин. - Киев: Наукова думка, 1987. - 176с.
3. Курпа Л.В. Методом R-функции для решения линейных задач изгиба и колебаний пологих оболочек. Харьков НТУ ХПИ 2009. 391 с.
4. Лисняк А. А., Гоменюк С. И. Применение R-функций для геометрического моделирования объектов сложной формы. // Радиоелектроника. Информатика. Управления. 2009. №2. С.76-81.
5. Максименко Шейко-К.В., Шейко Т.И. Математические моделирование геометрических фракталов с помощью R-функций // Кибернетика и системный анализ. 2012, №4. - С. 155-162.
6. Aytmuratov B.Sh., Artikbayev M.A. Elektromagnit maydondagi yupqa plastinkalarning tebranish masalalarini echishda R-funksiya usili yordamida murakkab sohaning chegaraviy tenglamasini qurish // "Axborot texnologiyalarining zamonaviy muammolari hamda ularning yechimlari" mavzusida respublika onlayn ilmiy-amaliy anjuman, Urganch, 2020. - B. 433-435.
7. F. M. Nuraliev, B. S. Aytmuratov and M. A. Artikbayev, "Solving the vibration of magnetic elastic plates with sophisticated form," 2019 International Conference on Information Science and Communications Technologies (ICISCT), 2019, pp. 1-4, doi: 10.1109/ICISCT47635.2019.9011984.
8. Nuraliev F.M., Aytmuratov B.Sh., Safarov Sh.Sh., Artikbayev M.A. Mathematical modeling of geometric nonlinear processes of electromagnetic elastic thin plates of complex configuration // Scientific journal «Problems of Computational and Applied Mathematics». № 1(38), 2022. pp 90-109.
9. Nuraliev F., Safarov Sh., Artikbayev M., Abdirozikov O. Calculation results of the task of geometric nonlinear deformation of electro-magneto-elastic thin plates in a complex configuration // 2022 International Conference on Information Science and Communications
КУРИЛИШ ВА ТАЪЛИМ ИЛМИЙ ЖУРНАЛИ, 2023, №5-6
216
Technologies. - 2022, pp. 1-4. doi: 10.1109/ICISCT52966.2021.9670282.
10. Aртикбаев M.A., Кyвандикова Д.К., Aбдyллаева Д.К., Узакбаева С.Б. Myраккаб сохдларнинг чегаравий тенгламасини R-Функция усули ёрдамида куриш // Myx,аммад ал-Хоразмий авлодлари илмий амалий ва ахборот-тах,лилий журнал, 2(24)/2023.- 1В7-190 бет.
^УРИЛИШ BA TAЪЛИM ИЛMИЙ ЖУPHAЛИ, 2023, №5-6
217
