CC BY
2Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 4 | 2023-yil
"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 4 | 2023 year
Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 4 | 2023 год
IKKI QATLAMLI NOELASTIK PLASTINKANING KO'NDALANG TEBRANISHI UMUMIY
TENGLAMASINI TAHLIL QILISH
Djalilov Mamatisa Latibdjanovich
Muhammada Al-Xorazmiy nomidagi Toshkent axborot texnologiyalari universiteti Farg'ona filiali, Kompyuter tizimlari kafedrasi, k.t.n. dotsent E-mail: [email protected]
Annotatsiya: Ushbu maqolada "O'zgarmas qalinlikdagi ikki qavatli plastinkalarning tebranishlari" nomli [1] maqoladan olingan bo'laklari bir jinsli noelastik plastinkaning ko'ndalang tebranishlari uchun umumiy tenglama tahlil qilingan. Masala yechilishini soddalashtiruvchi gipotezalarni jalb qilmasdan, aniq uch o'lchovli ko'rinishda qatlamlari bir jinsli plastinalarning tebranishi o'rganilgan, ular asosida bunday plastinkalarning tebranishlarining umumiy va taqribiy tenglamalarini oligan.
Kalit so'zlar: tahlil; taqribiy; tebranish; ikki qatlamli plastinka; chegaraviy masala; kuchlanish; deformatsiya; tebranish tenglamasi.
Kirish. Ikki qavatli va ko'p qatlamli plastinkalar qurilish va texnikaning turli sohalarida keng qo'llaniladi. Ikki qavatli, uch qatlamli va ko'p qatlamli tuzilmalardan foydalanishning ko'payishi bunday elementlarni hisoblashning samarali usullariga ehtiyoj paydo bo'lishiga yordam berdi. Shu sababli, ikki qavatli plitalardan foydalanishning boshlanishi bilan birga, hisoblash nazariyalari ham paydo bo'ldi. Shu munosabat bilan plastinkalar tebranishiga oid bir nechta tadqiqot ishlari olib borilgan. Ushbu tadqiqot ishlari ko'plab maqolalarni, shu jumladan [1] maqolani o'z ichiga oladi.
Masalaning qo'yilishi va yechish usullari. Qalinligi o'zgarmas, qatlamlari bir jinsli yelimshak elastik plastinkalarning [1] da berilgan tebranishlarining uchumiy teglamalari tuzilish jihatidan murakkab va x, y koordinatalari va vaqt t bo'yicha yuqori tartibli hosilalarni o'z ichiga oladi va shuning uchun amaliy masalalarni yechish hamda muhandislik hisoblashlarni amalga oshirish uchun mos emas.
Amaliy masalalarni yechish uchun umumiy tenglamalar o'rniga, hosilalarda chekli tartibni o'z ichiga olgan taqribiy tenglamalardan foydalanish maqsadga muvofiqdir.
Plastinkaning ko'ndalang tebranishlari uchun klassik tenglamalar 4-tartibdan yuqori bo'lmagan hosilalarni o'z ichiga oladi va qatlamlari bir jinsli ikki qatlamli plastinkalar uchun eng oddiy taqribiy tebranish tenglamasi oltinchi tartibli tenglama bo'ladi.
Agar [1] da berilgan (3.8) operatorlarda dastlabki ikki had bilan cheklansak, u holda (3.11) tenglamadan
Lx{W2) = F1( x, y, t )
bu yerda L1va Fi(x,y,t) operatorlar quyidagi ifodalarga teng:
L = (M1C n) K 2(n) - M 2(n) K1(n >j))(H 3(n) E 4(n ) - H4( n)E3(n) ) +
+ (M K, K ')K 3(n) - M3(n)K1(n ))(H4( n) E2(n) - H 2(n ,)E4(n) ) +
+ (M K, г) K 4( n) - M 4(n) K1(n i))(H 2(n) E3(n) - H3(n i)E2(n) ) -
- (M2(, n) K 3( n) - M 3(n) K 20 ,))(H 4(n) E1(n) -H1(n i)E4(n) ) -
- (M2(, n) K 4(n) - M 4(n) K 2( n))(H1(n) E3(n) - H3(n ч) E1(n)) +
+ (M 3(, n) K 4(n) M 4(n) K 3(, n))(H1(n) E2(n) - H 2(n •j) E1(n));
F1 _ [K1(n)(H 2(n) E3(n) H3(n) E2(n)) + K2(n)(H3(n) E1(n) H1(n) E3(n) ) +
+ *3(n) (H1(n)E2(n) - H2(n)Em )]{M0-1 (/f)} +
+ [M 1(n)(H2(n)E3(n) - H3(n)E2(n) ) + M2(n)(H3(n)E1(n) - H1(n)E3(n)) +
/(0) öf(0)
+ M 3(n) (H1(n) E2(n) - H 2(n) Elin) )]{M - ( + f- )} -
- (M1(n)(K2(n)E3(n) - K3(n)E2(n) ) + M2(n)(K3(n)E1(n) - K1(n)E3(n)) +
+ Mз(я) (KVn)E2(n) - K2(n)EVn))] {M- (/«)} +
+ (M 1(n) (K2(n)H3(n) - K3(n)H2(n) ) + M2(n) (K2(n)H1(n) - K1(n)H2(n) ) +
df(1) /(1)
+ M 3(n)(K1(n)H 2(n) - K 2(n) H«n))KM -Ч + fr )};
22
Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 4 | 2023-yil
"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 4 | 2023 year
Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 4 | 2023 год
quyidagi taqribiy integro-differetsial teglamani hosil qilamiz
Qi
iöW
vöt4 ,
+ 02
A-
v 8t
q3 (a2W )+ Qa
( ö W
vöt6 ,
+ 05
( ö W
A-
v öt у
+ 06
( 2 Ö2W^
A2
öt2
+ 07 (a 3W )= Fi( x, y, t ).
(1)
01,
F1(x, y, t )
(1) tenglamadagi ^ va operatorlarni aniqlash formulalari:
01 = M-2 (hoPo + \p1)2;
02 = -2M— (2(ho P2 Do + \DX \hp, + \Px ) +
+ (P2 - 1)(hoPo(ho + h)-(ho2D0P0 + h12D1P1 )));
03 = 4(P2 -1)(ho2P2Do + h12D1 + h12D1 + 2hohpDo);
04 = -1M1-2 (ho2poMo-1 (Ъ3\ pp + hoPo (hoPo + 4Ä1P1 ))(2 - Do) +
6
+ hppM!- (3ho2Po2 + Ä1P1 (hp + 4hoPo))(2 - D1));
05 = - 1Mr2(ho2P2PoMo-2(2P2(4Do(1 - Do) + (P2 -1)(4 + D2)) -
6
- h^P^M 1-2(2(4D12 - 4D, -1)- (P2 - 1)D,(2-A)) + + 6h„2h12(PoP1M-^M !-1(4(P22 Do + A) + (P2 - 1)(2P2 (1 - Do) - P2 D1(2 - Do) + A(1 + Do))) + +M ^(Po2 +p2)) +
+ 2P2hoh1(2PoP1M-M 1-1)(ho2(2 + 4Do -D02) + h2(2P2 -P2D1 + 5D1 -D2)) + + h 2h M o-2 ((P2 -1)(4 - 3Do) + 2D1(4 - Do)) + 2h J P 2M "2 Do(4 - D1)); (2)
06 = 1M1-2(ho2P2PoMo1(2P2((P2 -1)(2 + 9Do -3D2))-2Do(1 -3P2 + 4Do)) +
+ h14P1 M1-1(4D1 (1 - 2Д)- 4D + (P2 - 1)Dj(3-Д)) + + 3h2h12((4P2Do(P2(1 - Д) - Д) - (P2 - 1)(2(P2 - 1)Д(1 - Do) -+ P2(2 - Do - 2D0Di)))P0M o1 + (4D1(1 + Do + P2A) - (P2 -1)(6AA(P2 -1) --6P2Do + Di))PiM-1)- 2hoh^P2(PoMo1(2ho2((P2 - 1)(Do2 - 2D0 -1)-
- 2Д(1 + Do))- h2(2(P2 -1) + A(P2 + 3))))-
- 4P,M!\ho2 + h11)(2(P1 -1)(1 -A) + PD + (1+A))))));
Q7 = - (ho4P2Do(4Do - 5(P2 -1) + hD1 (4Д - (P2 -1)) -
+ 3Ao2A12(8P2DoD1 - (P2 - 1)((2(P2 + 1)ЗД - 3P2 Do - Д(1 - DJ)) -- 4hohlP2D0(ho2(P2 -1) + 2D,) + h2(2(P2 -1) + (P2 + 1)Do)));
va
r>2
F1(x,y,t) = M1-2 ((hoPo + Ä1P1 X/z<°> -/z(1))) +
öt2
+ (ho + k)(h1P1(
(3)
ö2/(o) ö2/ J xz I ^ y
2 /•№)
öx2
öy2
^ + hoPo(
ö2/z , ö/
2 (1)
öx2
öy2
-))+
+ (ho2 Do Po + h2 АлХО
ö2/?\ ö2/2\ ,a/1\öV®
) - (-
)) -
öx2 öy öx2 öy2
- 2A(2Mf2((hoPDo + hD)(Mo/z(0) -MJzm)) +
(3)
ö2 f(o) ö2 f(o) ö2 /(1) ö2 f(1) + 2P2hohi)(DoM o-1(-/^ + -/r ) + DM i-1( ~/Г + /")) + öx öy öx öy
ö2 f (o) ö2 /(o) ö2 /« ö2 /(1) ö Jxz , J yz \ X iö Jxz , J>
+Mr'^Do + hfAX^rlh + ^Hr) + +
öx öy öx öy
Agar plastinka bir jinsli va W - "o'rta" sirt nuqtalarining ko'ndalang - plastinka tekisligi siljishi bo'lsa, bu holda quyidagi bog'liqliklar bajariladi.
^o = Mo = M1; P2 = 1; ho = Co = C1; Do = Д.
va (1) tenglama quyida ko'rsatilgan tenglamaga aylanadi
((1 - Co)2^ + (1 + Co)2 A)((A(21o) + A) +
+ -f^Do^ + A)2) + 4Do^(1o) A) + 4AJ1o) (^i! + A)))(W ) 6
1 , ö2 = ho (Mo öt2((/z) + ho( öx2
ö 2/xf , ö/0)
öy 2
+
yz
)) -
- 4DoM 0'A((/Z ) + h (4)
ö2 /(1) ö2 /(1) ö J xz , J yz
öx2
+
öy2
(4) ning chap tomonda ikkita operatorning ko'paytmasi mavjud: birinchisi bo'ylama tebranish, ikkinchisi esa - ko'ndalang tebranish jarayonlarini tavsiflaydi.
Xuddi shunday, [1] da berilgan (1.3.12)
umumiy tenglamadan v öy x ^ uchun taxminiy tenglama keltirib chiqariladi va uning ko'rinishi (5) orqali ifodalangan integro - diffentsial tenglama bo'ladi
^ ^4 rs2 ^6
(G1 — + G2 A + G3 — + G4 + G5 A2 + G6 + öt
öt2
+g7 a+G8A 2 + G9 A3)( (5)
öt2
w öü1 öv
öt6
öy öx
) = F2 (t),
28
+
2
Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 4 | 2023-yil
"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 4 | 2023 year
Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 4 | 2023 год
operatorlar quyidagi
bu yerda va F (x y, t ^ formulalar orqali aniqlanadi:
G1 = M-1 (hoPo + Kpx ) ;
G2 = -(ho P2 + h1 ) ;
G =1 M-2(hl(h(iPoi + 3Äp)PoMo-1 + h2(h P1 + 3hoPo)pM1-1); 6
(6)
G4 =-\(\'(2P1\p,M „-' + 3h,(p„M-1 +pM,-1)) + h,!(2h,pMr1 + 3P2h„(p„M „-' +pMr')));
6
G5 =1 Mr2(ho2(P2 ho + 3h1) + hf(h1 + 3P2 ho));
6
G6 ^7^r(ho5P2Po2Mo-2(1op^M1-1 +PoMo-1) + hPMr'aopoMo-1 + PM-1) +
12o
+ 5ho h popM-M (hoPoMo-1 (3 - 3Do - D2) - hlPpM- (3 - 3Д - D )));
G = ¡^(-13(ho5 P2PX-2 + hp2 m;2) + 2o(h5 P2 + К)ррМЖ -
- 5hoh (h^opo^Mo^((3 - 3Do - DDpoMo-1 - (Do - 4)p1M-) +
+ hLP2pM;1((3 - 3D - Dl)pM 1-1 - D - 4)p1M1-1poMo-1)));
(6)
1
G8 ^^hfoPoM-1 + Ä15pX-2) + 1o(Äo5P2P1M1-1 + h\poMo"1) +
+ 5hoh (h(pM-1 - (Do - 4)poMo-1) + Ä14(poMo-1 - (Д - 4)pM1-1)));
G ^I^(-24(ho5P2Po2Mo2 + АРМ-2) + 6(ho5P2 + h5)PoPM-lM 1-1 -
- 6hohx (hlpoMo1((1 - 3Do - Do2)PoMo1 - (Do - 2РМГ1) + + h3P2PM 1-1((3 - D1 - D^pM- - (Do - 2)pM11 PoMo1)));
va
Я2 f (0) a2 f (°) Я2 f (1) 32 f (1)
F2(x, y, t) = p2 ( N-Ч -/x^ —/2^ ) + N-1( f)) +
+ - (Ргк2рМ-\No-
-x 2 -y 2
-2 f(o) a2 /«»
-V» r-1 - fxz - fyz
-x -y
2
--^(No-
a-2 ay2
) - ho2poM o-1(N1
-2 f (1) a2 f(1) a 2
-Var-1 a fxz _Jjz-ъ a
---W^TT -
ax2
ay2 at2
1 a2f™ af
■) - h( n
1 f -/l Ü
^2 ^ 2 2.
(1) - tenglama taqribiy bo'lishiga qaramay, u juda murakkab. (2) - operatorlar qatlamlari bir jinsli qalinligi doimiy ikki qatlamli plastinka materialining mexanik va reologik xususiyatlarini va uning geometrik o'lchamlarini tavsiflovchi barcha parametrlar va operatorlarni o'z ichiga oladi.
(1) - taqribiy tenglama tebranish masalalarini hal qilishda alohida hollarda soddalashadi. Masalan, (2) - operatorlar platinkaning ikkala qatlamlar uchun Puasson koeffitsiyentlari doimiy va ularning qalinligi teng bo'lganda hamda boshqa hollarda ancha soddalashdi.
Masalan, agar h va V1
bo'lsa,
(6) dagi operatorlar bo'ladi:
Q,
quyidagi ko'rinishga ega
Q = M r2ho2 (po +P1 )2;
Q2 = -2Mr2ho2 (2Do (P2 + 1)(Po + p) + (P2 + 1)(2po - Do (Po - р )));
Q3 = 4(P2 - 1)ho2Do(3P2 +1);
(7)
Q4 =-7 M12ho4(2 - Do)(PoM o-1(3p2 +Po(Po + 4p)) + pMÏQpl + p(p + 4po))); 6
Q5 = - - h4 (P Po2M o-2(4Do(4 - Do) + P2(8Do(1 - Do) + 5) + 6
+ (P2 -1)(12-6Do + D2)) + 2poP1Mo1Mr1(2(6Do + P2(2 + 5Do) + + P2(2 + 9Do - D2)) + (P2 - 1)P2 (2 - 3Do + D2) + Do (1 + Do)) + + P12M1-2(8(1 + Do - D2) + 4P2 Do(4 - Do) + (P2 - 1)Д,(2 - Do)));
Q6 = 1 ho2(PoMo-1(4P2Do(2 + 5P2 -3Do(P2 -1)) + (P2 - 1)(P2(2o -8D - 13Д2) +
(7)
+ 6Do (1 - Do))) + p Mj-Do (4(4 + Do) + 4P2 (4 + 2P2 + 5Do) +
+ 17(P2 - 1)(Do + 2P2(1 - Do))));
4 h 4 3
Q7 = 4 ho4Do (Do (4 - 15P2 - 5Po2) + (P2 -1)(1 - BPJ);
(1) tenglamadagi oltinchi tartibli operator, agar plastinka elastik va Q j koeffitsiyentlar
Q2 ■ Q4 ■ Q7 = Q1 ■ Q5 ■ Q7 + Q3 ■ Q4 ■ Q6
ifoda bilan o'zaro bog'liqlikga ega bo'lsa, i k k i n chi va to'rtinchi tartibli operatorlarning ko'paytmalari sifatida ifodalash mumkin.
q a Agar, j va j operatorlar
Q1 = A1A2 ; Q2 = A1A4 + A2 A3 ; Q3 = A2 A4 ; Q4 = A1A5 ; Q5 = A2 A5 ; Q6 = A1A6 ; Q7 = A2 A6 ;
bog'liqliklarga ega bo'lsa, u holda ikki qatlamli elastik plastinkaning tashkil etuvchilarining berilgan
h / h
qiymatlarida (7) ifoda 2 ^ ga nisbatan Ю-chi tartibli algebraik tenglamani beradi, bunda (1) dagi oltinchi tartibli operatorni nisbatan past tartibli operatorlar ko'paytmasi ko'rinishida quyidagicha yozish mukin
29
Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 4 | 2023-yil
"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 4 | 2023 year
Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 4 | 2023 год
(
2 Л
Al dt2 + A dx2
XULOSALAR
-И Л
d2 d2 d4 d ' A3 — + a4 — + A5 — + A — (w)= 0
3 dt2 4 dx2 5 dt4 1 dx4, 7
1. Hech qanday farazlarni jalb qilmasdan, aniq uch o'lchovli ko'rinishda bo'lak-bo'lakli bir jinsli plastinalarning tebranishlarini o'rganish, plastikalarning tebranishlarining umumiy va ular asosida taqribiy tenglamalarini hosil qilish imkonini beradi.
2. Ikki qatlamli plastinkaning tebranishlari uchun eng oddiy taqribiy tenglama uning bo'ylama-ko'ndalang tebranishini tavsiflovchi hosilalar uchun oltinchi tartibli differensial tenglama ekanligi ko'rsatilgan.
3. Elastik ikki qatlamli plastinka uchun oltinchi tartib operator, agar plastinka qatlamlarining komponentlari ushbu komponentlarni o'z ichiga olgan keltirib chiqarilgan tenglamani qanoatlantirsa, ikkinchi tartibli - bo'ylama va to'rtinchi tartibli - ko'ndalang tebranish operatorlariga ajraladi.
ADABIYOTLAR
1. Филлипов И.Г., Джалилов М.Л. Теория колебания двухслойной кусочно-однородной вязкоупругой пластинки постоянной толщины -Деп. В ВНИИНТПИ, 4.09.89-№10373. 35 с.
2. Джалилов М.Л. Колебания прямоугольный и безграничной упругой двухслойной пластинки - Деп. В ВНИИНТПИ, 8.02.90-№10612. 7 с.
3. М.Л. Джалилов. С.Ф. Эргашев. Общее решение задачи для кусочно-однородной двухслойной среды постоянной толщины. НТЖ ФерПИ ( STJ FerPI), 2017. Том 21. № 4.
4. Филиппов И.Г., Егорычев О.А. Волновые процессы в линейных вязкоупругих средах. М.: Машиностроение, 1983. 272 с.
5. Achenbach J.D. An asymptotic method to analyze the vibrations of elastic layer // Trans. ASME,1969. Vol. E 34, Ко 1. P. 37-46.
6. Brunelle E.J. The elastics and dynamics of a transversely isotropic Timoshenko beam // J. Compos. Mater., 1970. Vol. 4. Р. 404-416.
7. Gallahan W.R. On the flexural vibrations of circular and elliptical plates // Quart. Appl. Math., 1956. Vol. 13, Ко 4. Р. 371-380.
8. Dong S. Analysis of laminated shells of revolution // J. Esg. Mech. Div. Proc. Amer. Sac. Civil Engrs., 1966. Vol. 92, No 6.
9. Lexniskiy, S.G. (1977). Teoriya uprugosti anizotropnogo tela. (p.416). Moscow: Nauka.
10. Sarrera, E. (2001). Developments ideas and evaluations based upon the Reissner's mixed theorem in the modeling of multilayered plates and shells. Appl. Mech. Rev. 54(4), pp. 301-329.
11. Ambarsumyan, S.A. (1987). Teoriya anizotropnix plastin. (p.493). Moscow: Nauka.
12. Reissner, E. (1984). On a certain mixed variational theory and a proposed application. Int. Z. Numer. Methods Eng. 20, pp. 1366-1368.
13. Ren, Z.G. (1986). Bending theory of laminated plates. J.Comp.Sci. Technol, 27, pp. 225239.
14. Khudoynazarov, Kh., & Khudoyberdiyev, Z. (2018). Symmetrical vibrations of a threelayered elastic plate//Int. J. of Advanced Research in Science, Engineering and Technology, 5(10), pp.7117-7121.
15. Volmir, A.S. (1972). Nelineynaya dinamika plastinok i obolochek. (p.432). Moscow: «Nauka».
16. Xalmuradov, R.I., Xudoynazarov, X.X., & Xudoyberdiyev, Z. (2018). Nestasionarniye kolebaniya trexsloynoy vyazkouprugoy plastinki. Nauchniy vestnik SamGU, 1(107), pp.30-39.
17. Xalmuradov, R.I., Xudoynazarov, X.X., & Xudoyberdiyev, Z. (2017). Svobodniye kolebaniya uprugoy trexsloynoy plastinki. Uzbekskiy jurnal Problemi mexaniki, 2, pp. 46- 52.
30
