769BIR JINSLI TOR TEBRANISH TENGLAMASI UCHUN I I- CHEGARAVIY MASALANI FURE USULIDA YECHISHDA MATEMATIK PAKETLARNING
ROLI
Baxtiyor Zoxirovich Usmonov
Toshkent viloyati Chirchiq davlat pedagogika instituti katta o'qituvchisi
bakhtiyer.usmanov@mail.ru
Gulbar Shavkatovna Tog'ayeva
Toshkent viloyati Chirchiq davlat pedagogika instituti magistranti
Munisa Aminovna Davlatova
Toshkent viloyati Chirchiq davlat pedagogika instituti magistranti
ANNOTATSIYA
Ushbu maqolada bir jinsli tor tebranish tenglamasi uchun II- chegaraviy masalani fure usulida yechishda matematik paketlardan foydalanib, yechish, aniq amaliy masalalarda bu jarayonni ko'rsatish, masalani yechishning algoritmi va dasturini yaratish ko'zda tutilgan.
Kalit so'zlar: Tor tebranish tenglamasi, chegaraviy masala, SHturm-Liuvill masalasi, matematik paket, maple, dsolve, metod.
THE ROLE OF MATHEMATICAL PACKAGES IN SOLVING THE I I-BOUNDARY PROBLEM FOR THE SINGLE NETHORS VINK EQUATION
Bakhtiyor Zokhirovich Usmonov
Senior teacher of Chirchik State Pedagogical Institute of Tashkent region
bakhtiyer.usmanov@mail.ru
Gulbar Shavkatovna Togayeva
Master of Chirchik State Pedagogical Institute of Tashkent region
Munisa Aminovna Davlatova
Master of Chirchik State Pedagogical Institute of Tashkent region
ABSTRACT
This paper deals with the solution of the II-boundary value problem for a homogeneous narrow oscillation equation using mathematical packages in the Fure
method, to show this process in specific practical problems, to create an algorithm and program for solving the problem.
Keywords: Narrow oscillation equation, boundary value problem, Sturm-Liuville problem, mathematical package, maple, dsolve, method.
KIRISH
Hozirgi vaqtda matematik hisob-kitoblarni avtomatlashtirish uchun dasturlash mumkin bo'lgan mikrokalkulyatorlardan tortib o'ta kuchli superkompyuterlarga qadar turli xil hisoblash vositalari qo'llaniladi . Biroq, bunday hisob-kitoblar qiyin bo'lib qolmoqda. Bundan tashqari, kompyuterlardan foydalanish yangi qiyinchiliklarni keltirib chiqardi: hisob-kitoblarni boshlashdan oldin foydalanuvchi dasturlash asoslarini bir yoki bir nechta dasturlash tillarida va sonli hisoblash usullarini o'zlashtirishi kerak.
METODOLOGIYA
Matematik va muhandislik hisob-kitoblarini avtomatlashtirish uchun ixtisoslashtirilgan dasturiy ta'minot tizimlari paydo bo'lgandan keyin vaziyat o'zgarishni boshladi.
Matematik tizimlar, universal matematik paketlar (muhitlar) bu matematikani yechish uchun turli xil vositalarni o'z ichiga olgan dasturiy ta'minot to'plamlari Windows muhiti va shaxsiy kompyuterning resurslari bilan qo'llab-quvvatlanadi , shuningdek boshqa dasturlardan hujjatlarni ularning formatlari bo'yicha import qiladi. Matematik paketlar qobiliyatlari quyidagilarni o'z ichiga oladi:
• hisoblashning yuqori aniqligi;
• hosilalar va integrallarning algebraik va sonli hisob-kitoblari;
• algebraik, differentsial va farqli tenglamalar tizimining echimi;
• o'rnatilgan matematik funktsiyalarning keng doirasi (jami 200 dan ortiq), shu jumladan Furye transformatsiyalari, statistik va boshqalar.
• matritsa va vektor hisoblashlarining bir qator funktsiyalarini qo'llab-quvvatlash;
• haqiqiy sonlar va murakkab sonlar sohasida ham hisob-kitoblarni qo'llab-quvvatlash .
Yuqoridagilardan ko'rinib turibdiki , Matematik paketlar har qanday foydalanuvchi uchun zamonaviy tabiatshunoslikning turli sohalaridagi matematik muammolarini hal qilish uchun juda keng imkoniyatlar beradi .[3-6] ishlarda matematik masalarni AKT faydalanib o'rgatish va Differensial tenglamalarni yechishda matematik paketlarni o'rni va ahamiyati haqida ma'lumotlar keltirilgan.[7 -
9] ishlarda matematik modellar va matematik dasturlarini tadbiqlari haqida ma'lumotlar keltirilgan. [10-22] ishlarga giperbolik tenglamalar uchun har xil masalalar keltirilgan. [23-24] ishlarda matematik paketlar imkoniyatlari haqida ma'lumotlar keltirilgan.
Ushbu ilmiy maqola hisoblash matematikasi va kompyuterning ilmiy tadqiqot ishlarda qo'llanilishiga bog4iq bo'lib, ilmiy va amaliy jihatdan dolzarbdir [4]. Maqolada bir jinsli tor tebranish tenglamasi uchun II- chegaraviy masalani fure usulida yechishda matematik paketlarn yordamida analitik va taqribiy yechish masalasi qaraladi. Quyida masalaning qo'yilishi va uni yechishning ketma-ket algoritmi keltirilgan. bir jinsli tor tebranish tenglamasi uchun II- chegaraviy masalani fure usulida yechish uchun zarur bo'lgan hisoblash usullari tavsiflanadi.
Tadqiqot ob'ekti sifatida bir jinsli tor tebranish tenglamasi uchun II-chegaraviy masalani fure usulida yechish, chegaraviy masalalar qaraladi. Tadqiqot metodlari: masalani yechishning aniq usullari, taqribiy-aniq usullari va sonli usullar.
MUHOKAMA VA NATIJALAR
Amalda ixtiyoriy matematik paket yordamida amalga oshirish mumkin bo'lgan "elementar" hisoblashlar va almashtirishlar zanjiri murakkab masalalarni ham yechish imkonini beradi (masalan, matematik fizika maslalari, chegaraviy masalalarni yechish). Maple dasturiy paketi matematikaning maxsus bo'limlaridagi ko'pgina masalalarning yechimlarini topishga imkon beradi. Maple muhitida ishlash texnologiyasi bilan maxsus adabiyotlarda tanishish mumkin [5-6]. Maple matematik paketidan «Differensial tenglamalar», «Oliy matematika» va «Matematik fizika tenglamalari» fanidan bo'ladigan amaliy mashg'ulotlarda, seminar mashg'ulotlarida, oddiy differensial tenglama va tenglamalar sistemasi, matematik sizika masalalari, chegaraviy masalalarni sonli yechish bo'yicha tanlov fanlari mashg'ulotlarida foydalanish mumkin.
Bu ishda bir jinsli tor tebranish tenglamasi uchun II- chegaraviy masalani fure usulida yechish usulini qaraymiz[1-3].
Berilgan Q(x, t) = {(x, t) : 0 < x < 1, 0 < t < T} sohada quyidagi
d2u 2d2u
= a
dt2 dx2
tor tebranish tenglamasini qaraylik.
(1)
II - Chegaraviy masala(1 - chizma). (1) tenglamaning Q sohada aniqlangan va C (Q )n C2 (Q) sinfga tegishli
ux\x=0 = 0 Ux\x=l= 0, 0 < t < T (2) chegagaviy shartlarni hamda
ul t=0 -((x) 0 < x < / , ut\t=Q =p(x), 0 < x < / (3)
boshlang'ich shartni qanoatlantiruvchi u(x, t) echimi topilsin, bu erda ((x) funksiya [0,/ ] sigmentda ikki marta uzluksiz differensialanuvchi bo'lib, (0,/) da uch tartibli bo'lak - bo'lak uzluksiz hosilaga ega, \y(x) esa [0,/] sigmentda uzluksiz differensialanuvchi bo'lib, (0,/) da ikkinchi tartibli bo'lak - bo'lak uzluksiz hosilaga ega hamda ((0) = ((/) = 0, ("(0) = ("(/) = 0, y/(0) - y/(J) - 0 muvofiqlashtirish shartlarini bajaradi, ßx(t) va №2 (t) funksiyalar esa [0, T]
sigmentda uzluksiz bo'lib, ((0) - № 1(0), ((/) - № 2(0) shartlarni qanoatlantiradi.
1-chizma
II - chegaraviy masala yechishga kirishamiz. (1) tenglamaning aynan nolga teng bo'lmagan va (2) chegagaviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini
u( x, t) - X(x)T (t) (4)
ko'rinishda izlaymiz, bu erda X(x) faqat x ga bog'liq funksiya, T(t) esa faqat t ga bog'liq deb hisoblaymiz. Masala echimini (4) ko'rinishda izlanishiga Furbe (yoki o'zgaruvchilarni ajratish) usuli deyiladi.
(4) ni (1) tenglamaga qo'yib, quyidagini
T"(t) _ X"(x)
a2 T (t) X (x) (5)
olamiz.
(5) tenglamaning o'ng tomoni t ga, chap tomoni esa x ga bog'liq emas.
SHuning uchun, T (t) va X (x) miqdorlarning har biri x ga ham, t ga ham a T(t) X(x)
(7)
(8)
bog'liq emas, ya'ni ular o'zgarmasdir, bu o'zgarmasni —Ä2 orqali belgilaymiz:
T\t) _ X "(x) _
a2 T(t) X (x) Ä (6)
(6) ayniyatga ko'ra
X"+ Ä2 X = 0
?
T " + a2 Ä2T = 0
tenglamalarni hosil qilamiz.
(4) ni (2) chegaraviy shartga qo'yib, quyidagini
X '(0) = X'(/) = 0 (9)
olamiz.
Bundan X (x) funksiyani aniqlash uchun quyidagi masalaga kelamiz:
X "+Ä2 X = 0, (10)
X '(0) = X'(/) = 0 (11)
Odatda bu masalani Shturm-Liuvill masalasi deb atalib, Ä ning topiladigan qiymatlari xos (maxsus) qiymatlar (sonlar), unga mos trivial bo'lmagan echimlar esa xos (maxsus) funksiyalar deyiladi. Barcha xos qiymatlar to'plami masalaning spektri deyiladi.
(4) ko'rinishdagi (2) shartlarni qanoatlantiruvchi trivial bo'lmagan u(x,y) echimni topish uchun (10) tenglamaning (11) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi aynan nolga teng bo'lmagan echimni topish zarurdir. (10) tenglamaning umumiy echimi
X (x) = CcosX • x + C2sinX • x ko'rinishga ega bo'ladi. (2) chegaraviy shartlarga binoan C cos Xl = 0, C = 0.
Bunda C2 ^ 0 deb xisoblaymiz, aks xolda X(x) = 0 bo'lib qoladi. Demak,
„ r. ,, 7 n 7 + 2ft n ^
cosX^l = 0 ^ Xl = — + nn ^ X =———, neZ ni hamda sin 7x va
2 2l
sin (—fix) = —sin 7x funksiyalar chiziqli bog'liq bo'lgani uchun n = { 1, 2, 3, ...} qiymatlarni qabul qiladi.
SHunday qilib, quyidagi xulosaga kelamiz:
Xn = 77 +2[7n, n = 1, 2,3,... sonlar (10), (11) masalaning xos qiymatlar va unga mos funksiyalar
Xn(x) = Cn cos 7x, n = 1, 2, 3, ... . (12)
(10), (11) masalaning xos funksiyalari deyiladi, bu erda Cn - noldan farqli ixtiyoriy haqiqiy o'zgarmaslar.
Biz quyida Cn = 1, n = 1,2,3... deb hisoblaymiz. Demak (10), (11) masalaning echimi quyidagi
s \ 7 + 2nn 1 ~ ~
Xn(x) = cos——— x, n = 1, 2, 3, ... . (13) ko'rinishda bo'ladi.
(10)-(11) Shturm-Liuvill masalasi maple paketidan foydalanib xos qiymat va xos funksiyasini topishni keltiramiz. X ^ 0 holni qaraymiz: > eq:=diff(X(x),x,x)+lambdaA2X(x)=0
d 2
eq := (— X(x)) + X2X(x) = 0 dx
Tenglamani umumiy yechimini qo'yidagi ko'rinishda topamiz: >dsolve(eq.X(x)): X(x): =unapply(rhs(%).x):
X (x) = _ C1sin( Xx) + _ C 2cos(Xx) X (x) := x ^ _ C1sin( Xx) + _ C 2cos(Xx) Hosil bo'lgan yechimni (11) chegaraviy shartlarga qo'yamiz: >assume(l>0)
>eq1:=D[1]X(0)=0: eq2: :=D[1]X(l)=0:
eq1 := _ C1A cos(A • 0) - _ C 2A sin( Ä-0) = 0 eq2 := _ C1A cos(A • l) - _ C2A sin( A • l) = 0 Koeffisiyentlar matrissasini tuzamiz va uning determinantini hisoblaymiz: >linalg[.genmatrix]({ eq 1 .eq2 }.{_C1 ._C2}): >linalg[det](%); Delta:=combine(%):
"A 0 " 0 -A cos(A • l)_
A := -A2 cos(A • l)
Determinantni nolga tenglashtiramiz va xarakteristik tenglamani yechimini hosil qilamiz.
>Delta: =select(has.Delta.[cos]):
A := - cos(A-1)
>_Envallsolutions: =true: >lambda:=solve(Delta.lambda):
v=7(1 + 2_ Z1~) : 2l
>lambda:=subs(_Z1='n'.lambda):
l=n(1 + 2k) : 2l
Xos funksiyani topamiz: >assume(k.posint):X(x);
Xn(x) = cos7 x, n = 1, 2, 3, ....
_ 7 + 27n
Endi har bir An =--- ni (8) tenglamaga qo'yib, uning umumiy echimi
.2/
(uni Tn (t) deb belgilab), quyidagi
m / \ 7 + 27n r 7 + 27n
ln (t) = ancos cos-at + bnsin cos-at (14)
2l 2/
ko'rinishda ega bo'ladi, bu erda an va bn ixtiyoriy o'zgarmaslar.
(4) ga asosan yuqoridagilardan kelib chiqadiki, har bir
un (Xt) = Xn (x)Tn (t) =
с , „,- I л — + 2-n
cos-X (15)
2l ()
— + 2 —n _ — + 2 jn a„cos cos-at + b„sin cos-at
V n 2l n 2l У
(15) yechimlarning cheksiz yig'indisi ham echim bo'ladi, ya'ni
-(l + 2n ) a
—(ancoscos—
n—1
u ( x, t) — 2 — (ancos cos—— t +
—(l + 2n ) a —(l + 2n ) +bnsin cos—--— t )cos—--- X (16)
n 21 21
(16) ni t bo'yincha differensiallab boshlang'ich shartlarga asosan (16) yechimdagi koeffitsientlar
_ 21 , ^ . -nx
"n —
' о i na- о
formulalar orqali topiladi.
2 -nx 1
an — 2 Mx) sin-7х dx^ bn — — jV(x)sin — dx (17) /л l na- a l
XULOSA
Bir jinsli tor tebranish tenglamasi uchun II - chegaraviy masalani fure usulida yechish, hamda uning grafigini hosil qilish zarur bo'lsa, bu talabalardan, ilmiy xodim va o'qituvchilardan ko'p vaqt va malaka talab etadi. Yuqoridagi masaladan ko'rinib turibdiki, uni Maple muhitida oson yechish va bir paytda uning grafigini ham hosil qilish mumkin ekan.
REFERENCES
1. Салохиддинов М.С. Математик физика тенгламалари. Т., «Узбекистан», 2002, 448 б.
2. Михлин С.Г. Курс математической физики. М., 1968.
3. B.Z.Usmonov, G.Sh.Togayeva, M.A.Davlatova "O'zgarmas koeffitsientli ikkinchi tartibli bir jinsli differentsial tenglamalarini o'qitishda matematik paketlarni o'rni"./ACADEMIC RESEARCH IN EDUCATIONAL SCIENCES VOLUME 2 | ISSUE 3 | 2021 ISSN: 2181-1385 Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723
4. G.U.Suyunova., B.Z.Usmonov. "BIOLOGIYA FANINI O'RGATISHDA AXBOROT-KOMMUNIKATSIYA TEXNOLOGIYALARI O'RNI VA VAZIFALARI". /ACADEMIC RESEARCH IN EDUCATIONAL SCIENCES VOLUME 2 | ISSUE 3 | 2021 ISSN: 2181-1385 Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723
5. Б.З.Усмонов ^.А.Эшкораев. «Координаталар усули ёрдамида масалаларни ечиш». Журнал FIZIKA, MATEMATIKA va INFORMATIKA 1-Том. 2020 й. 80-87
6. B.Z.Usmonov, B.Alimov, Q.A.Eshqorаyev. G'.N.Nasridinov. "Tub sonlarni o'quvchilarga sodda va qiziqrli yo'llar bilan tushuntirish". Jurnal FIZIKA, MATEMATIKA va INFORMATIKA 1-Том. 2020 й. 109-114.
7. Sh Rakhimov, A Seytov, B Nazarov, B Buvabekov "Optimal control of unstable water movement in channels of irrigation systems under conditions of discontinuity of water delivery to consumers". IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. 2020/7/1 Том 883. Номер 1. Страницы 012065.
8. АЖ Сейтов, АР Кутлимурадов, РН Тураев, ЭМ Махкамов, БР Хонимкулов"ОПТИМАЛЬНЫЕ УПРАВЛЕНИЯ ВОДНЫХ РЕСУРСОВ КРУПНЫХ МАГИСТРАЛЬНЫХ КАНАЛОВ С КАСКАДОМ НАСОСНЫХ СТАНЦИЙ ИРРИГАЦИОННЫХ СИСТЕМ". /Academic research in educational sciences. Том 2. Номер 2. г 2021. Ташкент
9. A. Zh. Seitov., B. R. Khanimkulov. « MATHEMATICAL MODELS AND CRITERIA FOR WATER DISTRIBUTION QUALITY IN LARGE MAIN IRRIGATION CANALS»./ Academic Research in Educational Sciences Vol. 1 No. 2, 2020 ISSN 2181-1385.
10. Исломов Б.И., Усмонов Б. З. Аналог задачи Геллерстедта для одного класса уравнения третьего порядка эллиптико-гиперболического типа. \\ «Узбекский математический журнал». 2017. № 4. С. 51-57 .
11. Islomov B. I.,Usmonov B.Z. Nonlocal boundary value problem for a third-order equation of elliptic-hyperbolic type. // " Labachevskii Journal of Mathematics".2020. Vol. 41. No 1. pp. 32-38.DOI: 10. 1134/ S19950802200
10060.
12. Усмонов Б. З. Обобщения задачи Трикоми для одного класса уравнения третьего порядка эллиптико-гиперболического типа с разрывными условиями. // БухДУ илмий ахборотномаси, 2019 йили, №4.
13. Исломов Б. И., Усмонов Б. З. Локальная краевая задача для одного класса уравнения третьего порядка эллиптико-гиперболического типа . // Вестник ЮУрГУ. Серия "Математика. Механика. Физика" 2020. № 3 (кабул килинган ва такриздан утган)
14. Усмонов Б. З. Нелокальная краевая задача для уравнения третьего порядка с эллиптико-гиперболическим оператором. //Булитин Институт Математики. 2020. № 2.
15. Исломов Б.И., Усмонов Б. З. "Краевые задачи для одного класса уравнения третьего порядка с эллиптико-гиперболического оператором"// Самду Илмий ахборатномаси. 2020. №3
16.Исломов Б.И., Усмонов Б. З. Краевая задача для одного класса уравнения смешанного типа третьего порядка с оператором Лаврентьева-Бицадзе. // Тезисы докладов «Актуальные проблемы дифференциальных уравнений и их приложения». Ташкент. 2017. С.43-44
17. Исломов Б.И., Усмонов Б. З. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа третьего порядка с оператором Лаврентьева-Бицадзе// Материалы международной научно конференции «Дифферинциальные уравнения и смежные проблемы», 25-29 июня 2018 год, 238-240
18. Усмонов Б. З. Краевая задача типа задачи бицадзе-самаррского для уравнения смешанного типа третьего порядка эллиптико- гиперболического типа.// Abstracts of the International Conference "Mathematical analysis and its application to mathematical physics". September 17-20, 2018, Samarkand, Uzbekistan, 56-60.
19. Усмонов Б. З. Краевая задача для уравнения третьего порядка эллиптико-гиперболического типа. // Международная конференция «Обратные и некорректные задачи» Самарканд,2-4 октября,2019.128-129 .
20. Исломов Б.И., Усмонов Б. З. Нелокальная краевая задача для уравнения эллиптико-гиперболического типа третьего порядка, когда главную часть оператора содержит производную по y // Узбекско-Российская научная конференция «Неклассические уравнения математичиской физики и их приложения». 24-26 октября 2019 года Тошкент,Узбекистан.
21. Усмонов Б. З. Краевая задача для уравнения третьего порядка эллиптико-гиперболического типа . // Международная научной конференции. «Современные проблемы дифференциальных уравнений и смежных разделов математики»/ 12-13 марта, 2020 год Фаргана.
22. Исломов Б.И., Усмонов Б. З. Краевая задача для уравнения, составляющими из произведения не перестановочных дифференциальных операторов в прямоугольной области.// Of the Uzbekistan-Malaysia international online conference "COMPUTATIONAL MODELS TECHNOLOGIES". August 24-25,2020
23.Абдурахмонов А.Г. «THE USE OF MODERN INFORMATION TECHNOLOGY IN SOLVING NON-STANDARD PROBLEMS»./ European Journal of Research and Reflection in Educational Sciences vol.8 No.12..2020.
24. Абдурахмонов А.Г. « Применение математических пакетов в образовании на примере математического пакета maple». "Экономика и социум" №3(82) 2021
