173KVAZICHIZIQLI ISSIQLIK OTKAZUVCHANLIK TENGLAMASI UCHUN
QOYILGAN BOSHLANGICH CHEGARAVIY MASALANI YECHISH
Mirjalol Turon o'g'li Shodmonqulov
Jizzax davlat pedagogika insitituti Ta'limda axborot texnologiyalari kafedrasi o'qituvchisi
Yigitali Xolmirza o'g'li Xandamov
Jizzax davlat pedagogika insitituti Ta'limda axborot texnologiyalari kafedrasi o'qituvchisi
ANNOTATSIYA
Maqolada ikkinchi tartibli parabolik tipdagi tenglamalar uchun chegaraviy masala qo yilishi, nostatsionar issiqlik otkazuvchanlik tenglamasi uchun ayirmali sxemalar yaqinlashishi va maksimum prinsipi o rganildi. Tanlab olingan namunaviy masala maksimum prinsipi va teks yaqinlashishga tekshirildi.
Kalit so'zlar: ikkinchi tartibli parabolik tipdagi tenglamalariga taluqli issiqlik o'tkazish tenglamasi bilan ifodalangan nostatsionar issiqlik otkazuvchanlik tenglamasi, chegaraviy masalaning qo'yilishi, ayirmali sxemalar, maksimum prinsipi va approksimatsiya.
SOLVING THE PRIMARY BOUNDARY PROBLEM FOR QUASIQUE HEAT
CONDUCTION EQUATION
Mirjalol Turon ogli Shodmonkulov
Teacher of the Department of Information Technology in Education Jizzakh State Pedagogical Institute
Yigitali Kholmirza ogli Khandamov
Teacher of the Department of Information Technology in Education Jizzakh State Pedagogical Institute
ABSTRACT
The article addresses symmetric heating of a homogeneous plate using convection. This method solves the typical problem of optimal control. The problem of finding optimal control and minimum time in symmetric heating of a homogeneous plate is considered.
Keywords: Simple plate, heat transfer equation, convection, Fure criterion, optimal control, aproximation, maximum principle.
KIRISH
Issiqlik fizikasining asosiy masalasi bo'lib ikkinchi tartibli parabolik tipdagi tenglamalariga taluqli issiqlik o'tkazish tenglamasi bilan ifodalanadigan nostatsionar issiqlik o'tkazuvchanlik tenglamalarini tadqiq etish muhim ahamiyatga ega. Ushbu ishida ikkinchi tartibli parabolik tipdagi tenglamalar uchun chegaraviy masala qoyilishi, nostatsionar issiqlik o'tkazuvchanlik tenglamasi uchun ayirmali sxemalar yaqinlashishi o'rganildi. Nostatsionar kvazichiziqli issiqlik o'tkazuvchanlik tenglamasi uchun qo yilgan boshlang'ich chegaraviy masalada ayirmali sxemalar uchun maksimum prinsipi va tekis yaqinlashishi tekshirildi [1].
METODOLOGIYA
Quyidagi kvazichiziqli issiqlik o'tkazuvchanlik tenglamasi uchun birinchi chegaraviy masalani qaraymiz
du d
,du
dU = _q k(u )dU dt dx ^ dx j
0 < x < 1, 0 < t < T,
u(x,0) = u0 (x ), u (0, t )= u (x ), u(l, t )= u2 (t)
2 V/'
(1) (2)
bunda k(u) > 0[2].
Chiziqlimas tenglamada k(u) funktsiyaning o'zgarish chegaralari ma'lum bo'lmasa, ko'pincha oshkor sxemalardan ochiladi. Shu sababli endi kvazichiziqli issiqlik o'tkazuvchanlik tenglamasi uchun ikki turdagi oshkormas vaznli ayirmali sxemalarni qaraymiz. Ulardan biri y+1, /=1,2,...,N-1 ga nisbatan chiziqli bo'lgan quyidagi a) sxemani qaraymiz:
y{+1 - yj
a
h
„ yff - yj+1 y/+1 - yj+11
at+1--at
h
h
+
1 - a
h
„ yi+1 - yi n yi - yi-1
u ,--u
I+1
h
h
(3)
bu yerda ai = 0,5[k(y/)+ k(y1l-1)]. Bu sxema absolyut turg'un va t bo'yicha
birinchi tartibli va h bo'yicha ikkinchi tartibli approksimatsiyaga ega. y+1, /=1,2, .,N-1 yechim progonka usuli bilan topiladi[7].
Ko'pincha quyidagi chiziqlimas b) sxema qo'llaniladi:
yi+1 - yi
a
h
a(yj+11)
y/ ++11
■y
+1
h
a{yi+1 )
y
+1
■ y/-+11
h
+
1 -a
h
a
yi+1 - yi „ yi - yi-1
/+1
h
a
h
a(y/+1 ) =
k (yj+1)+ k Qfl1) 2 .
(4)
t
t
Bu sxemani amalga oshirish uchun u yoki bu iteratsion sxemani qo'llash zarur. Masalan bunday:
(s+1)
yt - y
a
h
a
f(s) \
y<+i
v y
(s+1) (s+1)
yt+1- y
+
1 -a
h
a.
yi+i
h
-a
f(s y
v y
(s+1) (s+1)-
y i - y i-1
h
+
i+1
h
-a
y
y/-1
h
(5)
(0) (M)
s = 0,1,...,M-1, y = yj, y = y/+1.
Bu yerda s - iteratsiya soni. Ko'rib turibmizki, chiziqlimas koeffitsiyentlar avvalgi iteratsiyadan olinyapdi, y/+1 uchun dastlabki yaqinlashish sifatida y/
(s+1)
tanlanyapdi. Yangi iteratsiyadagi y1 qiymat (5) sistemadan progonka usuli yordamida topiladi. M = 1 da (5) iteratsion sxema (3) ayirmali sxema bilan ustma-ust tushadi[4].
(2) chegaraviy shartlar quyidagicha approksimatsiya qilinadi:
y0 = uo(xi), y0+1 = ^1 (tj )l y;^+1 = ^2 (tj ]i
(6)
(s + 1)
y ga nisbatan ayirmali sxema chiziqlidir. (3), (4) iteratsion sxema bo'yicha
hisoblashda yoki iteratsiya soni yoki iteratsiya yaqinlashishi aniqligi s beriladi va quyidagi shart bajarilishi talab etiladi[4].
max
(s+1) (s)
y+1-
<s.
X
u( x, t) =
MUHOKAMA VA NATIJALAR
Endi k(u) = %0us, Xo> 0, S> 0 da (3), (4) vazinli sxemalarni a ning turli qiymatlarida hisoblab sonli natijalar olamiz, quyidagi yechimni qaraymiz
[SL»x-1(Dt - x)]s, x < Dt da,
0, x > Dt da,
bu yerda D - temperatura to'lqini tezligi. Bu funksiya quyidagi masalaning yechimi hisoblanadi
du d , s du.
— = — (Zous —), x > 0, t > 0,
dt dx dx (7)
i
u(x,0) = 0, u(0, t) = uQts, Academic Research, Uzbekistan 879 www.ares.uz
bu yerda щ = ( 5D— )5
Zo
XULOSA
Bu misolni 7 parametrning qiymatlarida 5 = 2, %0= 0,5, D = 5, h = 0,2
(nuqtalar soni N=50) va т = 2 • 10"4 qadam bilan hisoblaymiz. Aniq yechim va (3), (4) sxemalar natijalari quyidagi 1, 2-rasmlarda keltirilgan[3].
1-rasm. (3) sxema bo'yicha olingan yechimlar
2-rasm. (4) sxema bo'yicha olingan yechimlar Academic Research, Uzbekistan 880
REFERENCES
1. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. -М.: Едиториал УРСС, 2003. - 784 с.
2. Хужаров Б.Х. Курилиш масалаларини сонли ечиш усуллари. - Т.: Узбекистон, 1995. - 272 б.
3. Дьяконов В. П. MATLAB 7.*/R2006/R2007: Самоучитель. - М.: ДМК Пресс, 2008. - 768 с.
4. Самарский А.А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1989. - 616 с.
5. Xandamov, Y. (2020). Система моделирования разрешения и совершенствования непрерывного образования. Архив Научных Публикаций JSPI.
6. Xandamov, Y., & Shodmonqulov, M. (2020). BIR JINSLI PLASTINKANI SIMMETRIK QIZDIRISH VAQTINI OPTIMALLASHTIRISH MASALASI. Архив Научных Публикаций JSPI.
7. Шодмонкулов, М. Т., & Хандамов, Й. Х. (2020). ВОПРОС ОПТИМИЗАЦИИ ВРЕМЕНИ СИММЕТРИЧНОГО НАГРЕВАНИЯ ОДНОРОДНОЙ ПЛАСТИНКИ. International scientific review, (LXX).
