CC BY
0QAYTMA SIMMETRIK TENGLAMALAR
1Axmedova Gavxar Axadovna, 2Axmadjonova Munisa Arabjon qizi
1QDPI o'qituvchi, 2QDPI talaba https://doi.org/10.5281/zenodo.13895070
Annotatsiya. Bizga matematika kursidan ma'lumki, yuqori darajali tenglamalar deganda uchinchi, to'rtinchi va hokazo darajali tenglamalarni yechishni tushunamiz. Quyida shunday qaytma simmetrik tenglamalar haqida ma'lumotlar berilgan va misollaryechib ko'rsatilgan.
Kalit so'zlar: qaytma tenglama, toq va juft daraja, ildiz, tenglamalar birlashmasi, daraja, teng kuchli.
Ключевые слова: возвратное уравнение, нечетная и четная степень, корень, объединение уравнений, степень, равная степень.
Аннотация. Как мы знаем из курса математики, уравнения высшего порядка подразумевают решение уравнений третьего, четвертого и т. д. порядка. Ниже приведены сведения о таких возвратных симметричных уравнениях и показаны примеры.
Keywords: inverse equation, odd and double power, root, combination of equations, power, equal force.
Abstract. From the mathematics course, we know that high-level equations mean solving the equations of the third, fourth, and so on. The following is information on inverse symmetric equations and examples.
a0x2n+1 + axx2" + a2x2n—1 +... + anxn+l + Aanx" +A\_1x"-1 + a0 A2n+1 = 0 (1)
anx2n + a x2n-1 + ax2"-2 +... + a ^ xn+1 + ax" + Aa . x"-1 + A2 a ,x"-2 +... + A" an = 0
0 1 2 n+1 n n-1 n— 2 0
(2)
Bunda A - fiksirlangan son va a0 ф 0, tenglamalar qaytma tenglamalar deyiladi. A = 1 da (1) va (2) tenglamalar toq va juft darajali simmetrik tenglamalar deyiladi. Toq darajali qaytma tenglama har doim x = — A ildizga ega, chunki bu tenglamani quyidagi ko'rinishda yozish mumkin.
a (x2n+1 + A2n+1) + ax (x2n—1 + A2"-1) +... + ax" (x + A) = 0.
x = —Ada qavs ichidagi har bir ifoda 0ga aylanadi. x + A ko'paytuvchini qavsdan tashqariga chiqarib, (1) tenglama x + A = 0 va juft darajali qaytma tenglamalar birlashmasiga teng kuchli bo'ladi. x = 0 (2) tenglamaning ildizi bo'lmaganligi uchun uni xn ga bo'lamiz va hadlarini gruppalab
r . .. \ r .... 1 \
A
x
V '' У '
(3)
a0
f / п \"Л i / n \n—1 Л x"—1 + fA 1
A
x" +1 —
V V x У У
+a
+... + an_j I x +— | + a = 0
A
tenglamani hosil qilamiz. x + — = u deb belgilash kiritamiz.
x
x2 + fA1 = u2 — 2A,
x3 +
X4 +
1 '
V x y
1 '
1
x + —
V x y
c
- 31
1
x + —
V x y
= u3 - 31u,
Vxy
V
1 x + — xy
- 41
i
1
,x +1 V x y
- 612 = u4 - 41u2 + 212
va hokazo. Bunda 2n -darajali xga nisbatan (3) tenglamani n -darajali u ga bog'liq algebraik tenglama ko'rinishida yozib olamiz. Hosil bo'lgan n -darajali tenglamani yechish mumkin bo'lsa, (2) tenglamaning ildizlari ham topiladi.
ax3 + bx2 + bx + a = 0, a ^ 0 (4)
ko'rinishdagi tenglamalar uchinchi darajali qaytma simmetrik tenglamalar deyiladi.
ax3 + bx2 + bx + a = a (x3 +1) + bx (x +1) = a (x +1)(x2 - x +1) + bx (x +1) =
= (x +1)(ax2 +(b - a)x + a)
bo'lganligi uchun (4) tenglama
x +1 = 0 va ax2 +(b - a) x + a = 0
tenglamalar birlashmasiga teng kuchli bo'ladi. 1-misol. Ushbu
3x3 + 4 x2 + 4 x + 3 = 0
tenglamani yeching.
Yechish. Berilgan tenglama uchinchi darajali simmetrik tenglamadir.
3x3 + 4x2 + 4x + 3 = 3(x3 +1) + 4x(x + 1) = (x + 1)(3x2 -3x + 3 + 4x) = (x + 1)(3x2 + x + 3)
bo'lganligi uchun berilgan tenglama x +1 = 0 va 3x2 + x + 3 = 0 tenglamalar birlashmasiga teng kuchli. Bundan x = -1. Ikkinchi tenglama ildizga ega emas.
Javob: x = -1.
ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0, a ^ 0
(5)
tenglama to'rtinchi darajali qaytma simmetrik tenglama deyiladi. x = 0 soni bu tenglamaning ildizi bo'lmaganligi uchun (5) tenglamaning har ikki qismini x2 ga bo'lib, unga teng kuchli quyidagi tenglamani hosil qilamiz.
b
2 a u n ax +—7 + bx +---+ c = 0
x x
(6) tenglamani quyidagi ko'rinishda yozamiz.
(6)
a
x + -
1
- 2
1
+ b I x + — 1 + c = 0
1
Bu tenglamada x + — = y almashtirish bajarib,
x
ay2 + by + c - 2a = 0
(7)
kvadrat tenglamani hosil qilamiz. Agar (7) tenglama ikkita y1 va y2 ildizlarga ega bo'lsa, u holda berilgan tenglama quyidagi tenglamalar birlashmasiga teng kuchli bo'ladi.
x2 - xy +1 = 0 va x2 - xy2 +1 = 0
Agar (4) tenglama bitta y0 ildizga ega bo'lsa, u holda berilgan tenglamax2 - y0x +1 = 0 tenglamaga teng kuchli bo'ladi. Agar (7) tenglama ildizga ega bo'lmasa berilgan tenglama ildizga ega bo'lmaydi.
2-misol. Ushbu
x4 - 5x3 + 8x2 - 5x +1 = 0 (8)
tenglamani yeching.
Yechish. Berilgan tenglama to'rtinchi darajali simmetrik tenglamadir. x = 0 uning ildizi bo'lmaganligi uchun (8) tenglamaning har ikki qismini x2 ga bo'lamiz va unga teng kuchli
x2 -5x + 8-- + -1 = 0 (9)
x x
tenglamani hosil qilamiz. (9) tenglamaning o'xshash hadlarini gruppalab,
1
tenglamani hosil qilamiz.
x2 +--5 x
x2 +-1 - 5
x2
1
x + -
V x J
1
x + -V x J
+ 8 = 0
+ 6 = 0
х +1 = y deb belgilash kiritamiz. y2 - 5y + 6 = 0; уг = 2, y2 = 3 . Demak, berilgan (8)
x
tenglama quyidagi tenglamalar birlashmasiga teng kuchli
1 „ 1 „
x + — = 2 va x + — = 3 .
x x
Birinchi tenglamaning yechimi x = 1, ikkinchi tenglamaning ildizi x2 = 3 va 3 - 45
x3 = —-— ga teng. Demak, berilgan tenglama 3ta ildizga ega.
T , , 3 + ^ 3 -У5 Javob: x = 1, x2 =—~—, x3 =—-— .
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR.
1. 1 .В.В.Вавилов, Н.И.Мельников, С.Н.Олехник, ПасиченкоП.Н. Задачи по математике. Алгебра. Справочной пособие. Москва.Наука.1 987г.
2. 2. С .Н. Олехник и др. Уравнения и неравенства.Нестандартные методы решения. Учебно - метод. пособие. Москва. 2001.
3. 3.Mirzaahmedov M. va boshqalar. Matematikadan olimpiada masalalari. Toshkent. O'qituvchi. 1997.
