TRIGONOMETRIK TENGLAMALARNI YECHISHNING BA’ZI BIR USULLARI Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»



gL

TRIGONOMETRIK TENGLAMALARNI YECHISHNING BA'ZI BIR

USULLARI

Z. M. Murtozaqulov

Chirchiq davlat pedagogika universiteti

M. N. Xambaraliyeva

Chirchiq davlat pedagogika universiteti MI-21.5-guruh talabasi

ANNOTATSIYA

Ushbu maqolada oliy va o'rta maxsus ta'lim o'quvchi va talabalari uchun trigonometrik tenglamalarni yechishga doir misollarni ko'rib otamiz. Kalit so'zi: tenglama, eng sodda trigonometrik tenglamalar.

Kirish

Zamonaviy matematikaning rivojlangani sari umumiy o'rta ta'lim matematikasining ham rivojlanib hamda bir muncha qiyinlashib borayotgani hech kimga sir emas, bu ko'rsatkich oliy ta'lim muassasalari boshlang'ich kurs talabalarida ham davom etish holatlari kuzatilmoqda. Shu o'rinda aytish mumkinki boshlang'ich sinf matematikasiga bir qator yangi mavzularning kiritilishi, yuqori sinflarning 6-7 sinf darsliklariga mantiq amallarining elementlari, kombinatorika elementlari va ehtimollar nazariyasi asoslarining bir nechta misol masalalari shular jumlasidandir. Yuqoridagilardan kelib chiqqan holda ushbu maqolada trigonometrik tenglamalar mavzusi va sodda trigonometrik ayniyatlar yoritib berilgan.

1. Trigonometrik tenglamalar.

Ta'rif: Noma'lum x trigonometrik funksiyalar belgisi ostida qatnashgan tenglamalar trigononometrik tenglamalar deyiladi.

Masalan,

4 tg— = 3 sin x, sin 3x — sin x =1, sin 2x + cos 2x = 42

2

2

sin x

ko'rinishdagi tenglamalar trigonometrik tenglamalardir.

Odatda berilgan trigonometrik tenglamani teng kuchli tenglama bilan almashtirish natijasida sodda trigonometrik tenglamaga keltiriladi. Bu tenglamani yechib berilgan trigonometrik tenglamaning yechimlari topiladi. Quyidagi

October 20, 2023 Republican Scientific and Practical Conference

404

gi

sin x = a ( a < 1) cos x = a (|a < 1) tgx = a ctgx = a

tenglamalarga sodda trigonometrik tenglamalar deyiladi.

Trigonometrik tenglamalarni ularga teng kuchli tenglamalar bilan bilan

almashtirishda trigonometrik funksiyalar orasidagi boglanishlardan foydalaniladi.

Quyida bunday boglanishlardan ba'zilarini keltiramiz.

, . 2 2 sin a cos a 1. sin a + cos a = 1, tga =-, ctga =

cos a

sin a

2. sin(a±ß) = sin a cos ß + cos a sin ß.

3. cos(a ± ß) = coa cos ß ± sin a sin ß.

a • • n „ • a + ß a-ß

4. sin a + sin ß = 2sin-cos-

2

2

_ . . _ _ . a - ß a + ß 5. sin a- sin ß = 2 sin-cos

2

2

A _ _ a+ß a-ß

o. cosa + cos ß = 2 cos-cos-.

2 2

n no a + ß a-ß 7. cos a- cos ß = -2cos-cos-

2

2

2. Eng soda trigonometrik tenglamalar.

sinx=a tenglama.

Ma'lumki, -1 < sin x < 1, shuning uchun sin x = a tenglama \a\ > 1 bo'lganida

yechimga ega emas. -1 < a < 1 oraliqda tenglamaning yechimini toppish uchun quyidagi ta'rifni kiritamiz.

Ta'rif: a e[-1;1] sonning arksinusi deb sinusi a ga teng bo'lgan x g [-^ ;

songa aytiladi; agar sinx=a va x g [-—; — ] boisa, arcsina=x

2 2"

Tenglamani yechish uchun y=sinx funksiyani grafigidan foydalanamiz. Grafikdan ko'rinadiki, a g [-1; 1] bolganda y=a funksiya a g[0; 2—] oraliqda y = sin x funksiya grafigini absissalari x0 va x1 = — - x0 bo'lgan nuqtalar kesadi. Bu ikki nuqtani bitta formula orqali yozish mumkin:

x -

= (-1)n arcsin a, bu yerda n=0,1

y=sinx funksiyaning davriyligida foydalanib, tenglamani yechish uchun ushbu formulani hosil qilamiz:

October 20, 2023 Republican Scientific and Practical Conference

405

gi

x = (-1) k arcsin a + 7k, k e Z.

sinx=a tenglamaning xususiy hollardagi yechimlarini keltiramiz:

7 37

a=1 bo'lganda x = — + Ink, k e Z; a = -1 bo'lganda x = — + 27k, k e Z; a=0

bolganda x = nk, k e Z.

sinx=a tenglamani yechishni birlik doirada tushunturish oson. sinx ning ta'rifiga ko'ra, uning qiymati birlik doiradagi Ax nuqtaning ordinatasidir. |a| < 1

bolganda bunday nuqtalar 2 ta, ya'ni AXi va AX2. a = ±1 bolganda esa 1 ta.

osx=

a

tenglama

-1 < cox < 1, shuning uchin cosx = a tenglama \a\ > 1 bolganida yechimga ega

emas. -1 < a < 1 oraliqda tenglamaning yechimini toppish uchun quyidagi ta'rifni kiritamiz.

Ta'rif: a e [-1; 1] sonning arkkosinusi deb kosinusi a ga teng bo'lgan x e [0; 7] songa aytiladi; agar cosx=a va x e [0; 7] bolsa, arccona=x.

Ta'rifga ko'ra, [0; 7] oraliqda cosx=a tenglama bitta x=arccosa ildizga ega. y=cosx funksiya juft bo'lganligi uchun [0; 7] oraliqda ham bitta x=-arccosa yechimga ega. funksiyaning davri 27. U holda cosx=a teglamani yechish uchun ushbu formulani hosil qilamiz. x = ± arccos a + 27k, k e Z

cosx=a tenglama yyechilishini birlik doirada tushuntiramiz. cosx funksiyaning ta'rifiga ko'ra uning qiymati birlik doiradagi Ax nuqtaning absissasi boladi. |a| < 1

bolganda bunday nuqtalar 2 ta, ya'ni AXivaAX2; a = 1 vaa = -1 bolganda bunday

nuqta bitta.

October 20, 2023 Republican Scientific and Practical Conference

406

jort^

gi

У i i ^ Л-

fSw 1

-il 0 al \ x %2

cosx=a tenglamaning xususiy hollardagi yechimlarini keltiramiz: a=1 bo'lganda x = 2—k, kg Z; a = -l bo'lganda x = — + 2—, k g Z; a=0 bo'lganda

x = — + —, k g Z. 2

tgx=a tenglama. tgx=a tenglamani yechish uchun quyidagi ta'rifni kiritamiz. Ta'rif: a g R sonning arktangensi deb, tangensi a songa teng bo'lgan

- — ;—\ songa aytiladi: agar tgx=a va x g - — ;—\ bolsa, arctga = x. V 22 J V 22 J

tgx = bolgani uchun tgx birlik doiradagi B(x; y) nuqta ordinatasining

x g

cos x

absissaga nisbatiga teng, ya'ni bu nuqta y = a to'g'ri chiziq bilan birlik doiraning

x

kesishish nuqtasidir. Rasmga ko'ra bunday nuqtalar 2 ta: B1 va B2 nuqtalar. Shuning uchun tenglamaning yechimi quyidagicha boladi:

x = arctga = —n, n g Z .

Eng soda trigonometrik tenglamalar uchun jadvalni keltiramiz:

Tenglama Yechimlari Ba'zi xossalar

sin x = a x = (-1) k arcsin a +—k, k g Z. arcsin( -a) = - arcsin a, |a| < l.

cos x = a x = ± arccos a + 2—k, k g Z. arccos(-a) = — - arccos a, a < l.

tgx = a x = arctga + —k, k g Z. arctg(-a) = -arctga, a g R.

Uchunchi ustund a keltirilgan xossalar manfiy sonlar arksinuslari

(arkkosinuslari, arktangenslari) qiymatlarini musbat sonlar arksinuslari qiymatlari

л/2 л/2 ж

orqali toppish imkniyatini beradi. Masalan, arcsin( - —) = - arcsin — = - —,

. , л/3ч л/э ж 5—

arcsin(--) = ж - arccos — = ж--= — .

2 2 б б

sinx=sina, tenglamalar.

cosx=cosb, tgx=tgc ko'rinishdagi

October 20, 2023 Republican Scientific and Practical Conference

g

g

Bunday ko'rinishdagi teglamalarning yechimi, mos ravishda, quyidagicha bo ladi: x = (-1)ka + жк, к e Z; x = ±b = 2m, n e Z; x = c + тлп, m e Z .

REFERENCES

1. M.A.Mirzaahmedov, Sh.N.Ismailov, A.Q.Amanov. Matematika 10 (Algebra va analiz asoslari II qism). Toshkent-2017.

2. T.Jo'rayev, A.Sa'dullayev, G.Xudoyberganov, H.Mansurov, A.Vorisov. Oliymatematika asoslari. I qism. Toshkent-"O,zbekiston"-1995.

3. Murtozaqulov Z. M., Solayeva M. N. darslikdagi differensial tenglamalarni yechishdagi yetishmayotgan metodlar va ma'lumotlar //Academic research in educational sciences. - 2021. - Т. 2. - №. CSPI conference 3. - С. 462-467.

4. MURTOZAQULOV Z. M., ABDUJABBOROV S. H. F. Tenglamalar sistemasini yechishda qulay bo'lgan metod va ko'rsatmalar //ЭКОНОМИКА. - С. 898-904.

5. Zafar Madat o'g'li Murtozaqulov. KOMBINATORIKAGA DOIR MASALALARINI YECHISHDA FORMULALARNI TO'G'RI QO'LLASH. Uzbek Scholar Journal. Volume- 09, Oct., 2022 (272-277).

6. Муртозакулов Зафар Мадат угли. УЧ УЛЧАМЛИ ЛЕЙБНИЦ АЛГЕБРАЛАРИДА L1, L2, L3 АЛГЕБРАЛАРДАГИ БУЗИЛИШЛАРИНИ ДАМДА УТИШ МАТРИЦАЛАРИНИ ХИСОБЛАШ.// ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ. (119-127).

7. Муртозакулов Зафар Мадат угли. ТАБИИЙ УСУЛДА ГРАДИУРЛАНГАН КВАЗИ-ФИЛИФОРМ ЛЕЙБНИЦ АЛГЕБРАСИНИНГ ДИФФЕРЕНЦИАЛИ. Ustozlar uchun. (78-83).

https://cspi.uz/

Republican Scientific and Practical Conference

October 20, 2023